高中数学北师大版必修五全册学案第课时距离和高度问题

§3解三角形的实际应用举例第1课时距离和高度问题知能目标解读1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法求解不可到达的两点之间的距离.2.学会处理测量距离、测量高度等解三角形的实际问题.3.深刻理解三角形的知识在实际中的应用，增强应用数学建模意识，培养自己分析问题和解决实际问题的能力.重点难点点拨重点：分析测量的实际情景，找出解决测量距离的方法.难点：分析如何运用学过的解三角形知识解决实际问题中距离测量和高度问题.学习方法指导1.解三角形应用题的基本思路解三角形应用题要注意两点：（1）读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，准确理解应用题中的有关术语、名称.理清量与量之间的关系.(2)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、近似计算要求.2.常见应用题型正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.3.解三角形应用题常见的几种情况（1）测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从而得到运用正弦定理去解决的方法.（2）测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题.然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，然后运用正弦定理解决.知能自主梳理实际问题中的名词、术语1.方位角：从指北方向时针转到目标方向的水平角.如图(1)所示.2.方向角：相对于某一正方向（东、西、南、北）的水平角.①北偏东α°，即由指北方向旋转α°到达目标方向，如图（2）.②北偏西α°，即是由指北方向旋转α°到达目标方向.3.基线：在测量上，我们根据测量的需要适当确定的线段叫做基线.一般来说，基线越，测量的精确度越高.4.测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，这类问题不能直接用解三角形的方法解决，但常用和，计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题.5.仰角与俯角：目标方向线（视线）与水平线的夹角中，当目标（视线）在水平线时，称为仰角，在水平线时，称为俯角，如图.［答案］1.顺2.顺时针逆时针3.长4.正弦定理余弦定理5.上方下方思路方法技巧命题方向测量高度问题［例1］如图，测量人员沿直线MNP的方向测量，测得塔AB的仰角分别是∠AMB=30°，∠ANB=45°∠APB=60°，且MN=PN=500m，求塔高.［分析］解题的关键是读懂立体图形.［解析］设AB高为x.∵AB垂直于地面，∴△ABM,△ABN,△ABP均为直角三角形，∴BM=x·cot30°＝x,BN=x·cot45°＝x,BP=x·cot60°=x.在△MNB中,由余弦定理，得BM2=MN2+BN2-2MN·BN·cos∠MNB,在△PNB中，由余弦定理，得BP2=NP2+BN2-2NP·BN·cos∠PNB,又∵∠BNM与∠PNB互补，MN=NP=500，∴3x2=250000+x2-2×500x·cos∠MNB，①x2=250000+x2-2×500x·cos∠PNB，②①+②，得x2=500000+2x2,∴x=250.答：塔高250m.［说明］在测量高度时，要理解仰角和俯角的概念，区别在于视线在水平线的上方还是下方，一般步骤是：①根据已知条件画出示意图；②分析与问题有关的三角形；③运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解；④把解出答案还原到实际问题中.还要注意综合运用平面几何和立体几何知识以及方程的思想.变式应用1如图，在塔底B处测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB=20m，求山高DC（精确到0.1m）.［分析］如图，DC在Rt△BCD中，∠DBC=60°，只需求出边BC的长，即可求出DC，而BC又在斜三角形ABC中，依据条件由正弦定理可求出BC.［解析］由已知条件，得∠DBC=60°,∠ECA=45°,则在△ABC中，∠ABC=90°-60°=30°,∠ACB=60°-45°=15°,∠CAB=180°-（∠ABC+∠ACB）=135°.在△ABC中，.∴BC=.在Rt△CDB中，CD=BC·sin∠CBD=20(+1)×≈47.3.答：山高约为47.3m.命题方向测量距离问题［例2］要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边选取相距100米的C、D两点，并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°（A、B、C、D在同一平面内），求A、B两地的距离.［分析］此题是测量计算河对岸两点间的距离，给出的角度较多，涉及几个三角形，重点应注意依次解哪几个三角形才较为简便.［解析］如图所示，在△ACD中，∠CAD=180°-（x0°+30°）=30°,∴AC=CD=100.在△BCD中，∠CBD=180°-（45°+75°）=60°.由正弦定理,得BC=.在△ABC中，由余弦定理,得AB2=（100）2+（200sin75°)2-2×100×200sin75°·cos75°=1002(3+4×)=1002×5,∴AB=100.答：A、B两地间的距离为100米.［说明］（1）求解三角形中的基本元素，应由确定三角形的条件个数，选择合适的三角形求解，如本题选择的是△BCD和△ABC.（2）本题是测量都不能到达的两点间的距离，它是测量学中应用非常广泛的三角网测量方法的原理，其中AB可视为基线.（3）在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线，如本例的CD.在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高.变式应用2如图所示，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角（指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为x0°，航行半小时后船到达C点，观测灯塔A的方位角是65°.问货轮到达C点时与灯塔A的距离是多少？［分析］根据所给图形可以看出，在△ABC中，已知BC是半小时路程，只要根据所给的方位角数据，求出∠ABC及A的大小，由正弦定理可得出AC的长.［解析］在△ABC中，BC=40×=20,∠ABC=140°-x0°=30°,∠ACB=(180°-140°)+65°=105°,∴A=180°-(30°+105°)=45°,由正弦定理，得AC==(km).答：货轮到达C点时与灯塔A的距离是10km.探索延拓创新命题方向综合应用问题［例3］如下图所示，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°的方向B1处，此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西x0°方向的B2处，此时两船相距10海里，问乙船每小时航行多少海里？［分析］甲、乙两船航行时间相同，要求得乙船的速度，只需求得乙船航行的距离B1B2即可.连结A1B2，转化为在△A1B1B2中已知两边及夹角求对边的问题.［解析］如上图，连结A1B2，∵A2B2=10，∴A1A2=×30=10.∵△A1A2B2是等边三角形，∴∠B1A1B2=105°-60°=45°.在△A1B2B1中，由余弦定理得B1B22=A1Bx+A1B22-2A1B1·A1B2cos45°=202+(10)2-2×20×10×=200,则B1B2=10.因此乙船的速度的大小为×60=30.即乙船每小时航行30海里.［说明］仔细观察图形，充分利用图形的几何性质挖掘隐含条件，并通过添加适当的辅助线将问题纳入到三角形中去解决是解此类问题的关键.变式应用3海中有小岛A，已知A岛四周8海里内有暗礁.今有一货轮由西向东航行，望见A岛在北偏东75°，航行20海里后见此岛在北偏东30°.如货轮不改变航向继续前进，问有无触礁的危险？［分析］如图所示，要判断有无触焦危险，只要看AD的长与8的大小，若AD＞8，则无触礁危险，否则有触礁危险.［解析］如图所示，作AD⊥BC的延长线于D，由已知∠NBA=75°,∠ACD=60°,BC=20.由正弦定理，得，∴AC=10(-),∴AD=AC·sin60°=15-5＞8.∴无触礁危险.［说明］本题中理解方位角是解题的关键.北偏东75°是指以正北方向为始边，顺时针方向转75°.名师辨误做答［例4］某观测站C在城A的南偏西20°的方向，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上B处有一人，距C为31千米，正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D处，此时CD间的距离为21千米，问：这人还要走多少千米才能到达A城？［误解］本题为解斜三角形的应用问题，要求这人走多少路才可到达A城，即求AD的长，在△ACD中，已知CD=21千米，∠CAD=60°，只需再求出一个量即可.如图，设∠ACD=α,∠CDB=β,在△CBD中，由余弦定理，得cosβ=，∴sinβ=.∴在△ACD中，∴AC=∴CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cos60°，即2x＝242+AD2-2×24×·AD，整理，得AD2-24AD+135=0,解得AD=15或AD=9，答：这个人再走15千米或9千米就可到达A城.［辨析］本题在解△ACD时，利用余弦定理求AD，产生了增解，应用正弦定理来求解.［正解］如图，令∠ACD=α,∠CDB=β,在△CBD中，由余弦定理得cosβ=＝，∴sinβ=.又sinα=sin(β-60°)＝sinβcos60°-sin60°cosβ=×+×＝，在△ACD中，,∴AD==15(千米).答：这个人再走15千米就可以到达A城.课堂巩固训练一、选择题1.如图所示，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是()A.a和cB.c和bC.c和βD.b和α［答案］D［解析］在△ABC中，能够测量到的边和角分别为b和α.2.如图所示，D、C、B在地平面同一直线上，DC＝10m，从D、C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于()A.10mB.5mC.5(-1)mD.5（+1）m［答案］D［解析］在△ABC中，由正弦定理得AD=在Rt△ABC中，AB=ADsin30°=5(+1)(m).3.(x·福州高二质检)如图所示，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应当用数据()A.α,a,bB.α,β,aC.a,b,γD.α,β,b［答案］C［解析］根据实际情况，α、β都是不易测量的数据，而a,b可以测得，角γ也可以测得，根据余弦定理AB2=a2+b2-2abcosγ能直接求出AB的长，故选C.4.(x·上海理，6)在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB=75°,∠CBA=60°，则A、C两点之间的距离为千米.［答案］［解析］本题考查正弦定理等解三角形的知识，在三角形中，已知两角和一边可求x个角以及利用正弦定理求其它两边.∵∠CAB=75°,∠CBA=60°,∴∠C=180°-75°-60°=45°,由正弦定理：,∴,∴AC=.二、填空题5.某地电信局信号转播塔建在一山坡上，如图所示，施工人员欲在山坡上A、B两点处测量与地面垂直的塔CD的高，由A、B两地测得塔顶C的仰角分别为60°和45°，又知AB的长为40米，斜坡与水平面成30°角，则该转播塔的高度是米.［答案］［解析］如图所示，由题意，得∠ABC=45°-30°＝15°,∠DAC=60°-30°=30°.∴∠BAC=150°,∠ACB=15°,∴AC=AB=40米，∠ADC=x0°,∠ACD=30°,在△ACD中，由正弦定理，得CD=·AC＝·40＝.三、解答题6.如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A、B，望对岸的标记物C，测得∠CAB=45°,∠CBA=75°,AB=x0米，求河的宽度.［解析］如图，在△ABC中，∵∠CAB=45°，∠CBA=75°，∴∠ACB=60°.由正弦定理，得AC=＝20（3）.设C到AB的距离为CD，则CD=ACsin∠CAB=AC=20（3+）.答：河的宽度为20（+3）米.课后强化作业一、选择题1.学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4m,∠A=30°,则其跨度AB的长为（）A.xmB.8mC.3mD.4m［答案］D［解析］在△ABC中，已知可得BC=AC=4,∠C=180°-30°×2＝x0°所以由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosx0=42+42-2×4×4×（-)=48∴AB=4(m).2.从塔顶处望地面A处的俯角为30°,则从A处望塔顶的仰角是()A.-60°B.30°C.60°D.150°［答案］B3.海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是()A.10海里B.10海里C.5海里D.5海里［答案］D［解析］如图，由正弦定理得，∴BC=5.4.某人向正东方向走xkm后，他向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好km，那么x的值为（）A.B.2C.2或D.3［答案］C［解析］由题意画出三角形如下图.则∠ABC=30°,由余弦定理得，cos30°=,∴x=2或.5.甲船在湖中B岛的正南A处，AB=3km，甲船以8km/h的速度向正北方向航行，同时乙船从B岛出发，以xkm/h的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15分钟时，两船的距离是（）A.kmB.kmC.kmD.km［答案］B［解析］由题意知AM=8×，MB=AB-AM=3-2=1，所以由余弦定理得MN2=MB2+BN2-2MB·BNcosx0°=1+9-2×1×3×(-)=13，所以MN=km.6.在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（）A.米B.米C.200米D.200米［答案］A［解析］如图，设AB为山高，CD为塔高，则AB=200，∠ADM=30°,∠ACB=60°,∴BC=200cot60°=,AM=DMtan30°=BCtan30°=.∴CD=AB-AM=.7.一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（）A.20（+）海里/时B.20（-）海里/时C.20（+）海里/时D.20（-）海里/时［答案］［解析］题意可知∠NMS=45°，∠MNS=105°，则∠MSN=180°-105°-45°＝30°.而MS=20,在△MNS中，由正弦定理得，∴MN=＝==10(-).∴货轮的速度为10(-)÷=20(-)(海里/时).8.如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB=45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1000米到达S点，又测得山顶仰角∠DSB=75°，则山高BC为（）A.500mB.200mC.1000mD.1000m［答案］D［解析］∵∠SAB=45°-30°=15°,∠SBA=∠ABC-∠SBC=45°-（90°-75°)=30°,在△ABS中，AB===1000,∴BC=AB·sin45°=1000×=1000（m）.二、填空题9.一船以24km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见灯塔在船的北偏东75°方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是km.（精确到0.1km）［答案］4.2［解析］作出示意图如图.由题意知，AB=24×=6，∠ASB=45°,由正弦定理得，=，可得BS＝=3≈4.2（km）.10.从观测点A看湖泊两岸的建筑物B、C的视角为60°,AB=100m,AC=200m,则B、C相距.［答案］100m［解析］在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA=1002+2002-2×100×200×=30000所以BC＝100m.x.甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是.［答案］20米，米［解析］如图，依题意有甲楼的高度AB=20·tan60°=20(米)，又CM=DB=20米，∠CAM=60°，所以AM=CM·cot60°=米，故乙楼的高度为CD=20-=（米）.x.如图，一辆汽车在一条水平的公路上从C处向正东行驶，到A处时，测量公路南侧远处一山顶D在东南15°的方向上，行驶15km后到达B处，测得此山顶在东偏南30°的方向上，仰角为15°，则此山的高度CD等于km.［答案］5（2-）［解析］在△ABC中，∠A=15°,∠C=30°-15°=15°,由正弦定理，得BC=.又CD=BC·tan∠DBC=5×tan15°=5×tan(45°-30°)=5(2-).三、解答题13.（x·厦门高二检测）海面上相距10海里的A、B两船，B船在A船的北偏东45°方向上，两船同时接到指令同时驶向C岛，C岛在B船的南偏东75°方向上，行驶了80分钟后两船同时到达C岛，经测算，A船行驶了10海里，求B船的速度.［解析］如图所示，在△ABC中，AB＝10，AC=10,∠ABC=x0°由余弦定理，得AC2=BA2+BC2-2BA·BC·cosx0°即700＝100＋BC2+10BC,∴BC=20,设B船速度为v,则有v==15(海里/小时).即B船的速度为15海里/小时.14.在上海世博会期间，小明在中国馆门口A处看到正前方上空一红灯笼，测得此时的仰角为45°，前进200米到达B处，测得此时的仰角为60°，小明身高1.8米，试计算红灯笼的高度（精确到1m）.［解析］由题意画出示意图（AA′表示小明的身高）.∵AB=200,∠CA′B′=45°,∠CB′D′=60°,∴在△A′B′C中，∴B′C==.在Rt△CD′B′中，CD′=B′C·sin60°=100(3+),∴CD=1.8+100(3+)≈475(米).答：红灯笼高约475米.15.山上有一纪念塔，不能到达底部，你有哪些方法测量塔的高度PO?［解析］如图(1)，在地面上引一条基线AB，使其延长线通过塔底点O，测出A、B分别对塔顶P的仰角α、β及AB的长度就可以求出塔高PO.计算方法：在△PAB中，由正弦定理得PA＝·sinβ,在Rt△PAO中，PO=PAsinα∴PO=.16.在大海上，“蓝天号”渔轮在A处进行海上作业，“白云号”货轮在“蓝天号”正南方向距“蓝天号”20海里的B处.现在“白云号”以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而“蓝天号”同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60°方向行驶，经过多少小时后，“蓝天号”和“白云号”两船相距最近.［解析］如右图，设经过t小时，“蓝天号”渔轮行驶到C处，“白云号”货轮行驶到D处，此时“蓝天号”和“白云号”两船的距离为CD.则根据题意，知在△ABC中，AC=8t，AD=20-10t,∠CAD=60°.由余弦定理，知CD2=AC2+AD2-2×AC×ADcos60°＝（8t）2+(20-10t)2-2×8t×（20-10t）×cos60°＝244t2-560t+400=244(t-)2+400-244×（）2，∴当t=时，CD2取得最小值，即“蓝天号”和“白云号”两船相距最近.第2课时角度和物理问题知能目标解读1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法求解三角形的实际问题.2.学会处理测量角度问题等解三角形的实际问题.3.用解三角形的知识，解决有关的实际问题，目的是进一步巩固所学知识，提高分析和解决简单的实际问题的能力、动手操作能力以及用数学语言进行交流的能力，增强应用数学的意识，以达到学习数学的目的.重点难点点拨重点：构建数学模型探求角度测量方法.难点：将实际问题抽象成数学模型.学习方法指导要测量角的大小，可利用测角仪或通过测量出距离计算角的大小，根据所测出的三角形中的量，运用正、余弦定理和三角形中的有关性质计算出所要求的角.在计算面积和航海问题中，也都与求角的问题相联系.要清楚问题中的角的含义，如方向角、方位角、仰角、俯角等，根据已知线段和角以及要求的角，选择有充分条件的三角形求解.知能自主梳理1.测量角度就是在三角形内利用和求角的正弦值或余弦值，再根据需要求出所求的角.2.坡面和水平面的夹角叫做.3.坡面的铅直高度与水平宽度之比（如图中的），叫做.［答案］1.正弦定理余弦定理2.坡角3.坡比思路方法技巧命题方向测量角度问题［例1］在南海伏季渔中，我渔政船甲在A处观测到一外国偷渔船乙在我船北偏东60°的方向，相距a海里，偷渔船正在向北行驶，若我船速度是渔船速度的倍，问我船应沿什么方向前进才能追上渔船？此时渔船已行驶多少海里？［解析］如图所示，设乙船沿B点向北行驶的速度大小为v,则甲船行驶的速度大小为v,两船相遇的时间为t,则BC=vt,AC=vt，在△ABC中，∠ABC=x0°,AB=a,由余弦定理，得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosx0°,即3v2t2=a2+v2t2+vat,∴2v2t2-vat-a2=0,解得t1=,t2=-(舍去).∴BC=a,∴∠CAB=30°.即甲船应沿北偏东30°的方向去追赶乙船，在乙船行驶a海里处相遇.［说明］解答此类问题，首先应明确各个角的含义，然后分析题意，分清已知和所求，再根据题意画出正确的示意图，将图形中的已知量与未知量之间的关系转化为三角形的边与角的关系，运用正、余弦定理求解..变式应用1在地面上某处，测得塔顶的仰角为θ，由此处向塔走30米，测得塔顶仰角为2θ，再向塔走10米，测得塔顶仰角为4θ，试求角θ的度数.［分析］如图所示，求角θ，必须把角θ、2θ、4θ和边长30、10尽量集中在一个三角形中，利用方程求解.［解析］解法一：∵∠PAB=θ，∠PBC=2θ，∴∠BPA=θ，∴BP=AB=30，又∵∠PBC=2θ，∠PCD=4θ，∴∠BPC=2θ，∴CP=BC=10，在△BPC中，根据正弦定理得：，即=，∴，由于sin2θ≠0,∴cos2θ=，∵0°<2θ<90°，∴2θ=30°,∴θ=15°.解法二：在△BPC中，根据余弦定理得：PC2=PB2+BC2-2PB·BC·cos2θ把PC=BC=10，PB=30代入上式得，300=302+（10）2-2×30×10cos2θ化简得：cos2θ=,∵0°<2θ<90°，∴2θ=30°,∴θ=15°.解法三：如下图，过顶点C作CE⊥PB，交PB于E，∵△BPC为等腰三角形,∴PE=BE=15,在Rt△BEC中，cos2θ=,∵0°<2θ<90°,∴2θ=30°,∴θ=15°.命题方向与角度有关的问题［例2］某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在距A处北偏东45°方向、距离为10nmile的C处，并测得渔轮正沿东偏南15°的方向，以9nmile/h的速度向小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.［分析］根据题意画出图形（如图），由题意知AC=10，设渔轮向小岛B靠近，舰艇与渔轮相遇所用时间与渔轮由C到B′处相遇，则∠ACB′=x0°,利用舰艇与渔轮相遇所用时间与渔轮由C到B′所用时间相同这一条件，解△AB′C即可.［解析］设舰艇与渔轮相遇所需时间为th，则AB′=21t,B′C=9t.在△AB′C中，根据余弦定理，则有AB′2=AC2+B′C2-2AC·B′Ccosx0°可得2xt2=102+81t2+2×10×9t×,整理，得360t2-90t-100=0.∴362t-9t-10=0,∴(xt+5)(3t-2)=0.∴t=或t=-(舍去)，∴舰艇靠近渔轮所需的时间为h.此时AB′=14nmile,B′C=6nmile.由正弦定理，得,则sin∠CAB′=,∴∠CAB′≈21.8°,∴舰艇航行的方位角为北偏东66.8°.［说明］本题应首先理解方位角的概念（方位角指的是从指北方向线顺时针旋转到目标方向线的最小正角），然后作出示意图，利用等差关系列方程求解即可，最后回答行驶的方向时，要注意正确描述方位角.变式应用2（x·x高考）如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3+)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？［分析］利用正弦定理求BD→利用余弦定理求DC→结论［解析］由题意知AB=5（3+），∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=45°,∴∠ADB=105°∴sin105°=sin45°·cos60°+sin60°·cos45°=.在△ABD中，由正弦定理得，∴BD==又∠DBC＝180°-60°-60°=60°.BC=20，在△DBC中，由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2×BD×BC×cos60°=300+x00-2×10×20×=900.∴CD=30（海里），则需要的时间t==1（小时）.答:救援船到达D点需要1小时.探索延拓创新命题方向正、余弦定理在物理中的应用［例3］图所示用两根分别长5米和10米的绳子，将100N的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后，G点距屋顶距离恰好为5米，求A处所受力的大小（绳子的重量忽略不计）.［分析］决此类问题要先依据题意将物理向量用有向线段来表示，利用向量加法的平行四边形法则，将物理问题转化为数学中向量的加法，然后由已知条件进行计算.［解析］图所示，由已知条件可知AG与铅直线成45°角，BG与铅直方向成60°角，A处所受力为fa，在△GED中，∠EGD=45°,∠GED=60°，∴∠GDE=180°-45°-60°=75°，由正弦定理，得，∴GD===150-50.∴A处所受力大小为（150-50）N.变式应用3地球与金星的公转轨道分别是直径为2.98×108km和2.14×108km的近似圆，圆心为太阳，某时刻，地球和金星的连线与地球和太阳的连线成18°的角，如图，求此时地球与金星之间的距离（地球、金星、太阳均视为点，结果保留3个有效数字）.［解析］此时刻太阳、地球、金星的位置分别在点O、A、B处，则OA=2.98×108km,OB=2.14×108km,∠A=18°，由正弦定理，得sin∠ABO=≈0.4303，∵OA>OB,∴∠ABO=25.49°或∠ABO=154.51°,当∠ABO=25.49°时，∠AOB=136.51°，AB=≈4.77×108（km）.当∠ABO=154.51°时，∠AOB=7.49°，AB=≈9.03×107（km）.答：此时地球与金星之间的距离约为4.77×108km或9.03×107km.名师辨误做答［例4］海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处（-1）nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2nmile的C处的缉私船奉命以10nmile/h的速度追截走私船.此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？［误解］缉私船用t小时，在D处追上走私船，在△ABC中，由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠CAB=(-1)2+22-2×（-1）×2×cosx0°＝6，∴BC=.在△BCD中，BD=10t,CD=10t,由余弦定理，得CD2=BC2+BD2-2BC·BD×cos∠CBD,∴(10t)2=6+(10t)2-2××10t×（-），整理，得100t2-5t-3=0,解得t=.∴BD=,又BC=,∠CBD=x0°.∴∠BCD=∠BDC=30°.故缉私船沿东偏北30°的方向能最快追上走私船.［辨析］述解法错误的原因在于默认为∠CBD=x0°，而没有给出证明，并且多余的求出时间t.［正解］缉私船用t小时在D处追上走私船.在△ABC,由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠CAB=(-1)2+22-2×（-1）×2×cosx0°＝6，∴BC=.在△BCD中，由正弦定理，得sin∠ABC=sin∠BAC=,∴∠ABC=45°，∴BC与正北方向垂直.∴∠CBD=x0°.在△BCD中，由正弦定理，得,∴,∴sin∠BCD=,∴∠BCD=30°.故缉私船沿东偏北30°的方向能最快追上走私船.课堂巩固训练一、选择题1.在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的（）A.北偏西34°27′B.北偏东55°33′C.北偏西55°32′D.南偏西55°33′［答案］A2.如果在测量中，某渠道斜坡的坡比为，设α为坡角，那么cosα等于（）A.B.C.D.［答案］B［解析］由题意，得tanα=,∴,∴,即,∵α为锐角，∴cosα=.3.一船以22km/h的速度向正北航行,在A处看灯塔S在船的北偏东45°,1小时30分后航行到B处,在B处看灯塔S在船的南偏东15°,则灯塔S与B之间的距离为()A.66kmB.132kmC.96kmD.33km［答案］A［解析］如图，∠ASB=180°-15°-45°=x0°，AB=22×，由正弦定理，得，∴SB=66km.二、填空题4.一艘船以4km/h的速度沿着与水流方向成x0°的方向航行，已知河水流速为2km/h，则经过h，该船实际航程为.［答案］6km［解析］如图，水流速和船速的合速度为v，在△OAB中：OB2=OA2+AB２-2OA·AB·cos60°，∴OB=v=2km/h.即船的实际速度为2km/h，则经过h，其路程为2×=6km.5.一只蚂蚁沿东北方向爬行xcm后，再向右转105°爬行20cm，又向右转135°，这样继续爬行可回到出发点处，那么x=.［答案］cm［解析］如图△ABC中，∠A=45°＋15°＝60°，∠B=45°+30°=75°,∠ACB=45°,由正弦定理知,∴x=.课后强化作业一、选择题1.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的（）A.北偏东10°B.北偏西10°C.南偏东10°D.南偏西10°［答案］B［解析］如图，由题意知∠ACB=180°-40°-60°＝80°，∵AC=BC,∴∠ABC=50°,∴α=60°-50°=10°.2.甲船在B岛的正南A处，AB=10km，甲船以4km/h的速度向正北航行，同时，乙船自B岛出发以6km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是()A.minB.hC.21.5minD.2.15h［答案］A［解析］如图，设经过x小时时距离为s，则在△BPQ中，由余弦定理知：PQ2=BP2+BQ2-2BP·BQ·cosx0°，即s2=(10-4x)2+(6x)2-2(10-4x)×6x×(-)=28x2-20x+100.当x=-时，s2最小，此时x=h=min.3.如图所示，B、C、D三点在地面同一直线上，DC=a，从C、D两点测得A点的仰角分别为β、α（α＜β)，则A点离地面的高AB等于（）A.B.C.D.［答案］A［解析］由tanα=,tanβ=，联立解得AB＝.4.一质点受到平面上的三个力、、（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知、成60°角，且、的大小分别为2和4，则的大小为()A.6B.2C.2D.2［答案］D［解析］由题意，得++＝0，∴＋、＝-,∴(+)2=2,∴+2+2··＝2，∴4+16+2×2×4×cos60°＝2，∴2＝28，∴||=2.故选D.5.一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时（）A.5海里B.5海里C.10海里D.10海里［答案］C［解析］如图，依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°，∴∠CAD=∠CDA=15°，从而CD=CA=10，在Rt△ABC中，求得AB=5，∴这艘船的速度是=10(海里/小时).6.江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距（）A.10米B.100米C.20米D.30米［答案］D［解析］设炮台顶部为A，两条船分别为B,C,炮台底部为D，可知∠BAD=45°，∠CAD=60°，∠BDC=30°，AD=30.分别在Rt△ADB,Rt△ADC中，求得BD=30,DC=30.在△DBC中，由余弦定理得BC2=DB2+DC2-2DB·DCcos30°，解得BC=30.7.如图，在一幢20m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，底部的俯角为45°，那么这座塔吊的高是（）A.20（1+）mB.20（1+）mC.10（）mD.20（）m［答案］B［解析］由仰角与俯角的意义可知，∠DAE=60°，∠EAC＝45°，又EC＝20m,∴BC=AE=20m,在△AED中，DE=AEtan60°＝20m.∴塔吊的高度是20（1+）m.8.如下图所示，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为（）A.海里/小时B.34海里/小时C.海里/小时D.34海里/小时［答案］A［解析］由题意知PM=68，∠MPN=x0°，∠N=45°,由正弦定理知MN=68××=34,∴速度为（海里/小时）.二、填空题9.一角槽的横断面如图所示，四边形ABED是矩形，已知∠DAC=50°，∠CBE=70°，AC=90，BC=150，则DE=.［答案］210［解析］由题意知∠ACB=x0°，在△ACB中，由余弦定理，得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠=902+1502-2×90×150×（-）＝44100.∴AB=210,DE=210.10.在静水中划船的速度是每分钟40m，水流的速度是每分钟20m，如果船从岸边A处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为.［答案］30°［解析］水流速度与船速的合速度为v,方向指向河岸，如图由题意可知sinα=∴α=30°.x.有一长为100米的斜坡，它的倾斜角为45°，现在要把倾斜角改成30°，则坡底要伸米.［答案］50（）［解析］如图所示，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=45°，AB=100,∴AC=50.又在△ACD中，∠ADC=30°，∴∠DAB=45°-30°＝15°.sin15°=sin(45°-30°)=.在△ABD中，由正弦定理，得,∴BD==50()（米）.x.在灯塔上面相距50米的两点A、B，测得海内一出事渔船的俯角分别为45°和60°，试计算该渔船离灯塔的距离.［答案］25（+1）（米）［解析］由题意，作出图形如图所示，设出事渔船在C处，根据在A处和B处测得的俯角分别为45°和60°，可知∠CBD=30°，∠BAC=45°+90°=135°,∴∠ACB=180°-135°-30°=15°,又AB=50,在△ABC中，由正弦定理，得,∴AC=＝25（）（米）.∴出事渔船离灯塔的距离CD=(米).三、解答题13.甲船在A处遇险，在甲船西南10海里B处的乙船收到甲船的求救信号后，测得甲船正沿着北偏西15°的方向，以每小时9海里的速度向某岛靠近.如果乙船要在40分钟内追上甲船，问乙船应以多大速度、向何方向航行？（注：sin21°47′=）［分析］解答本题可先画示意图，然后运用余弦定理求解速度，用正弦定理求乙船的航向.［解析］设乙船速度为v海里/时，在△ABC中，由余弦定理可知：BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠CAB,,∴v=21海里/时.又由正弦定理可知：,∴sinB=,∴∠B≈21°47′,即乙船应按北偏东45°－21°47′＝23°13′的方向航行.14.A、B是海平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD=x0°，又在B点测得∠ABD=45°，其中D是点C到水平面的垂足，求山高CD.［解析］如图，由于CD⊥平面ABD，∠CAD=45°,所以CD=AD.因此，只需在△ABD中求出AD即可.在△ABD中，∠BDA=180°-45°-x0°=15°,由（m）.∵CD⊥平面ABD，∠CAD=45°，∴CD=AD=800（+1）≈2186（m）.答：山高CD为2186m.15.如图所示，海中一小岛周围3.8nmile内有暗礁，一船从A由西向东航行望见此岛在北75°东.船行8nmile后，望见此岛在北60°东，如果该船不改变航向继续前进，有没有触礁的危险.［解析］在△ABC中，AC=8，∠ACB=90°+60°=150°,∠CAB=90°-75°=15°,∴∠ABC=15°.∴△ABC为等腰三角形，BC=AC=8，在△BCD中，∠BCD=30°,BC=8,∴BD=BC·sin30°=4>3.8.故该船没有触礁危险.16.如图所示，A、B两个小岛相距21nmile,B岛在A岛的正南方，现在甲船从A岛出发，以9nmile/h的速度向B岛行驶，而乙船同时以6nmile/h的速度离开B岛向南偏东60°方向行驶，问行驶多少时间后，两船相距最近，并求出两船的最近距离.［解析］行驶t小时后，甲船行驶了9tnmile到达C处，乙船行驶了6tnmile到达D处.当9t<21，即t<时，C在线段AB上，此时BC=21-9t，在△BCD中，BC=21-9t,BD=6t,∠CBD=180°-60°＝x0°，由余弦定理，得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cosx0°=（21-9t）2+(6t)2-2×(21-9t)·6t·（-）＝63t2-252t+441=63(t-2)2+189.∴当t=2时，CD取得最小值＝3.当t=时，C与B重合，此时CD=6×＝14>3.当t>时，BC=9t-21,则CD2=(9t-21)2+(6t)2-2×（9t-21）×6t×cos60°＝63t2-252t+441=63(t-2)2+189>189.综上可知，t=2时，CD取最小值3，故行驶2h后，甲、乙两船相距最近为3nmile.x章不等式本章概述●课程目标1.双基目标（1）通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.（2）会比较两个实数的大小，理解不等式的基本性质.（3）经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程.（4）通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.（5）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图.（6）探索并了解基本不等式的证明过程.（7）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.（8）从实际情境中抽象出二元一次不等式组.（9）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.（10）从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.2.情感目标（1）注重突出不等式的现实背景和实际应用，突出数学的应用价值，有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的应用意识与解决实际问题的能力.（2）本章注意体现数学文化价值的渗透，让学生了解数学是人类文化的重要组成部分.（3）借助于信息技术去探索数学规律，从事一些富有探索性和创造性的数学活动.●重点难点重点：不等式的解法及应用，基本不等式的应用，线性规划问题.难点：解决线性规划问题和利用基本不等式解决实际问题.●方法探究不等式是刻画现实世界中不等关系的数学工具，它是描述优化问题的一种数学模型.学习本章应注重数形结合，学会通过函数图像理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的联系，并能解释二元一次不等式和基本不等式的几何意义.在此基础上，体会不等式在解决实际问题中的作用，进一步提高解决实际问题的能力.学习本章应注意的问题（1）要注意与一元一次不等式，一元二次不等式、整式方程、函数、三角等知识的联系，以便对不等式的知识有一个全面、完整的了解与认识.（2）要注意体会二元一次不等式（组）与平面区域的关系，借助几何直观解决简单的线性规划问题.（3）注意对不等式≤(a>0,b>0)和a2+b2≥2ab(a∈R,b∈R)的理解、记忆，正确、灵活地使用其解决问题，尤其是在正确的使用上下功夫.（4）本章重点内容是证明不等式和不等式的解法以及简单的线性规划.证明不等式没有固定的模式可以套用，它的方法灵活多变、技巧性强、综合性强，不等式的解法重点是一元二次不等式（组）的解法，注意数轴穿根法.（5）线性规划知识也是重点内容，在近几年高考中也有明显的体现，应引起同学们的注意.§1等关系知能目标解读1.通过具体的情境，感受现实生活中存在的大量不等关系，并了解不等式（组）的实际背景.2.能够运用比较实数大小的方法比较两实数的大小，并掌握不等关系的传递性和不等式的基本性质.重点难点点拨重点：比较两数（或式）的大小，理解不等式的性质及其证明，并能说出每一步推理的理由.难点：对不等式性质的准确把握以及严密的逻辑推理证明能力的培养.学习方法指导一、不等关系1.不等式：我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连结两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式.2.在上述符号中，用“>”、“<”连结的不等式，表示严格的不等关系，是严格不等式；用符号“≥”、“≤”、“≠”连结的不等式，表示非严格的不等关系，是非严格不等式.注意：如何理解表示不等式的各个符号的含义？不等式表示的是不相等的关系.对于“不相等”可以是“大于”或“小于”.对于不等式a≤b，表示的是a<b或a=b，只需满足其中一条，不等式就成立.如3≤3就是3<3或3＝3，尽管3<3不成立，但3＝3成立，因此，我们说3≤3这个不等式成立.对于不等式a≥b，表示的是a>b或a=b，同样也是只需满足其中一条，不等式就成立.对于实数来讲，只存在a=b或a>b或a<b三种关系中的一种，不可能同时满足两条.3.不等关系与不等式的异同不等关系与不等式是不同的概念，前者强调的是关系，可用符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”来表示，而后者表示的是两者的不等关系，可用“a>b”、“a<b”、“a≠b”、“a≥b”或“a≤b”等式子表示，这二者之间的关系是可以通过不等式来体现的，离开了不等式，不等关系就无从体现.注意：在数学意义上，不等关系主要体现在四个方面：①常量与常量之间的不等关系；②变量与常量之间的不等关系；③函数与函数之间的不等关系；④一组变量之间的不等关系.二、用不等式（组）来表示不等关系有的问题以图像的形式揭示函数与函数的不等关系；有的以代数式的形式揭示各组变量之间的不等关系，解决这类问题的关键是找全题目的限制条件，利用限制条件列出不等关系，一定要注意变量的实际意义.由此可见，现实生活中大量的数量关系是通过不等式来表示的.不等式是研究不等关系的数学工具，从而理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值.三、实数比较大小的依据与方法1.实数的两个特征（1）任意实数的平方不小于0，即a∈Ra2≥0.（2）任意两个实数都可以比较大小，反之，可以比较大小的两个数一定是实数.2.实数比较大小的依据在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示（如图）中，可以看出a与b之间具有以下性质：如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b是负数，那么a<b；如果a-b等于零，那么a=b.反之也成立，就是a-b>0a>b;a-b=0a=b;a-b<0a<b.上面等价符号的左式反映的是实数运算性质，右式反映的则是实数大小的顺序，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系.它是不等式这一章的理论基础，是证明不等式性质、证明不等式和解不等式的主要依据.3.实数比较大小的方法（1）比较两个实数a与b的大小，需归结为判断它们的差a-b的符号（注意：指的是差的符号，至于差的值究竟是什么，无关紧要）.（2）比较两个实数大小的步骤：作差→化简整理（配方，分解因式、分类讨论）→判断差的符号→得出结论.注意：（1）在比较两个代数式的大小时，一定要注意字母的取值范围；（2）比较实数的大小经常用到分类讨论的方法，此处分类讨论的标准是：对于任意两个实数a和b，在a=b，a>b,a<b三种关系中有且仅有一种关系成立.四、不等式的性质1.不等式的性质（1）a>bb<a.(2)a>b,b>ca>c.(3)a>ba+c>b+c.推论a>b,c>da+c>b+d.(4)a>b,c>0ac>bc;a>b,c<0ac<bc.推论1a>b>0,c>d>0ac>bd;推论2a>b,ab>0<;推论3a>b>0an>bn(n∈N＋,且n>1).(5)a>b>0>(n∈N＋,且n>1).2.关于不等式性质的式子的理解（1）说明了不等式的对称性；（2）说明了不等式的传递性；（3）表示同向不等式具有可加性，它是不等式移项的基础；（4）表明不等式两边允许用非零数（式）乘，相乘后的不等式的方向取决于乘式的符号.知能自主梳理1.不等式的定义用表示不等关系的式子叫不等式.2.比较实数大小的依据设a,b∈R，则a-b>0;a-b=0;a-b<0.3.不等式的基本性质(1)a>b,b>c;(2)a>b,c>0;(3)a>b,c<0;(4)a>b,c>d;(5)a>b>0,c>d>0;(6)a>b>0,n∈N+,n>1.［答案］1.不等号2.a>ba=ba<b3.(1)a>c(2)ac>bc(3)ac<bc(4)a+c>b+d(5)ac>bd(6)an>bn,>思路方法技巧命题方向比较大小［例1］已知x<1,比较x3-1与2x2-2x的大小.［分析］作差→因式分解变形→判断符号［解析］x3-1-(2x2-2x)=x3-2x2+2x-1=(x3-x2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2=(x-1)(x2-x+1)=(x-1)（x-）2+∵x<1,∴x-1<0.又∵（x-）2+>0,∴(x-1)［（x-）2＋］<0,∴x3-1<2x2-2x.［说明］1.作差法比较两个实数的大小时，关键是作差后变形，一般变形越彻底越有利于下一步的判断.因式分解配方通分2.变形的方法对数与指数运算性质分母或分子有理化分类讨论〖JB)〗变式应用1设p=a2b2+5,Q=2ab-a2-4a,若P>Q,求实数a,b应满足的条件.［解析］P-Q＝a2b2+5-2ab+a2+4a=(ab-1)2+(a+2)2∵P>Q,∴(ab-1)2+(a+2)2>0∴ab≠1或a≠-2.故实数a、b应满足的条件是ab≠1或a≠-2.命题方向应用不等式（组）表示不等关系［例2］某种杂志原以每本2.5元的价格销售，此时可以售出8万本，据市场调查，若单价每本提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本，若把提价后的杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？［分析］利用提价后的价格x表示出销售总收入，再将题中所要求的不等关系用不等式表示.［解析］杂志的定价为x元，则销售的总收入为（8-×0.2）x万元，那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以用不等式表示为（8-×0.2）x≥20.［说明］决此类问题的关键是找出题目中的限制条件，利用限制条件找到不等关系，然后用不等式表示即可.变式应用2咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料一杯用奶粉、咖啡、糖分别为9g,4g,3g,乙种饮料一杯用奶粉、咖啡、糖分别为4g，5g，10g，已知每天可用原料为奶粉3600g，咖啡2000g，糖3000g.写出每天配制的两种饮料的杯数所满足的不等式组.［解析］每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则x、y应满足如下条件：（1）奶粉的总使用量不大于3600g；（2）咖啡的总使用量不大于2000g；（3）糖的总使用量不大于3000g；（4）x,y为自然数.∴x,y满足不等式组：9x+4y≤3600,4x+5y≤2000,3x+10y≤3000,x∈N,y∈N.命题方向不等式性质的简单应用［例3］对于实数a、b、c，有下列命题①若a＞b,则ac＜bc;②若ac2>bc2,则a>b;③若a<b<0,则a2>ab>b2;④若c>a>b>0;则>;⑤若a>b,>,则a>0,b<0.其中真命题的个数是（）A.2B.3C.4D.5［答案］C［解析］①c的正、负或是否为零未知，因而判断ac与bc的大小关系缺乏依据，故该命题是假命题.②由ac2>bc2知c≠0,所以c2>0,所以a>b,故该命题是真命题.a<ba<b③a２>ab,ab>b2.所以a2>ab>b2故该命题为真命题.a<0b<0④a>b-a<-bc-a<c-b.因为c>a,所以c-a>0.所以0<c-a<c-b.两边同乘以,得>>0.又因为a>b>0,所以>.故该命题为真命题.⑤a>ba-b>0,>－>０>０.因为a-b>0,所以b-a<0.所以ab<0.又因为a>b,所以a>0,b<0,故该命题为真命题.综上可知，命题②、③、④、⑤都是真命题.故选C.［说明］通过本例，可以使我们熟悉不等式的基本性质，更好地掌握各性质的条件和结论.在各性质中，乘法性质的应用最易出错，即在不等式的两边同乘（除）以一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定.变式应用3判断下列各题的对错.（1）且c>0a>b（）（2）a>b且c>dac>bd（）（3）a>b>0且c>d>0（）（4）a>b（）［答案］××√√［解析］（1）<ｃ>０当a<0,b>0时，此式成立，推不出a>b，∴(1)错；（2）当a=3,b=1,c=-2,d=-3时，命题显然不成立，∴（2）错；a>b>0（3）c>d>0>>0成立.∴(3)对；（4）显然c2>0,∴两边同乘以c2,得a>b.∴(4)对.探索延拓创新命题方向应用不等式的性质讨论范围［例4］已知：-≤α<β≤，求，的范围.［分析］已知的不等式相当于-≤α≤-≤β≤α<β，故本题其实就是已知单角范围求和角、差角范围，所以要进行不等式的加减.但我们只有这样的性质：同向不等式可相加，那么要进行不等式相减怎么办？那只有将其转化为同向不等式再相加.［解析］∵-≤α<β≤，∴-≤α<①,-<β≤②，∴①+②得-π<α+β<π∴-<<.由②得-≤-β<，④①+④得-π≤α-β<π，又α<β，∴α-β<0，∴-π≤α-β<0，∴-≤<0.变式应用4已知x<a<60,15<b<36，求a-b及的取值范围.［解析］欲求a-b的范围,应先求-b的范围,欲求的范围,应先求的范围,再利用不等式性质求解.∵15<b<36,∴-36<-b<-15.∴x-36<a-b<60-15,∴-24<a-b<45.又<<,∴,∴.名师辨误做答［例5］已知1≤a+b≤5，-1≤a-b≤3，求3a-2b的范围.［误解］∵1≤a+b≤5，-1≤a-b≤3,∴0≤a≤4.又∵1≤a+b≤5,-3≤-(a-b)≤1，∴-1≤b≤3.∵0≤a≤4,-1≤b≤3,∴0≤3a≤x,-6≤-2b≤2,∴-6≤3a-2b≤14.［辨析］在误解中，由已知条件推出不等式-6≤3a-2b≤14的各个步骤，均实行了不等式性质中的推出关系，但结论是不正确的，事实上，由1≤a+b≤5与-1≤a-b≤3,得到0≤a≤4,-1≤b≤3,但这并不意味着a与b可各自独立地取得区间［0,4］与［-1,3］的一切值.如取a=4,b=3时，a+b=7，就已超出题设条件1≤a+b≤5中的范围，细究缘由，就是推出关系并非等价关系.［正解］设a+b=u,a-b=v,则a=,b=,且1≤u≤5,-1≤v≤3.∴3a-2b=u+v,∵≤≤，-≤≤,∴-2≤+≤10，即-2≤3a-2b≤10.课堂巩固训练一、选择题1.下列不等式：①x2+3>2x(x∈R);②a3+b3≥a2b+ab2(a,b∈R);③a2+b2≥2（a-b-1）中正确的个数为（）A.0B.1C.2D.3［答案］C［解析］对于①，x2+3-2x=(x-1)2+2>0恒成立，对于②，a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b),∵a、b∈R,∴(a-b)2≥0，而a+b>0,或a+b=0,或a+b<0,故②不正确,对于③，a2+b2-2a+2b+2=a2-2a+1+b2+2b+1=(a-1)2+(b+1)2≥0，∴③正确，故选C.2.设x<a<0，则下列各不等式一定成立的是（）A.x2<ax<a2B.x2>ax>a2C.x2<a2<axD.x2>a2>ax［答案］Bx＜a＜0x2＞ax［解析］x＜0x2＞ax＞a2.a＜0ax＞a23.若x>y与>同时成立，则（）A.x>0,y>0B.x>0,y<0C.x<0,y>0D.x<0,y<0［答案］B［解析］∵由x＞y推出>，需满足xy＜0.又x＞y，∴x＞0,y＜0.二、填空题4.已知x≤1，f(x)=3x3,g(x)=3x2-x+1,则f(x)与g(x)的大小关系是f(x)g(x).［答案］≤［解析］f(x)-g(x)=3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)=3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1),∵x≤1得x-1≤0，而3x2+1>0,∴(3x2+1)(x-1)≤0，∴3x3≤3x2-x+1.∴f(x)≤g(x).5.已知60<x<84,28<y<33,则x-y的取值范围为，的取值范围为.［答案］(27,56)(,3)［解析］∵28<y<33,∴-33<-y<-28,又∵60<x<84,∴27<x-y<56.由28<y<33得,即.三、解答题6.有一公园，原来是长方形布局，为美化市容，市规划局要对这个公园进行规划，将其改成正方形布局，但要求要么保持原面积不变，要么保持原周长不变，那么对这个公园选哪种布局方案可使其面积较大？［解析］设这个公园原来的长方形布局的长为a,宽为b(a>b).若保持原面积不变，则规划后的正方形布局的面积为ab;若保持周长不变，则规划后的正方形布局的周长为2(a+b)，所以其边长为,其面积为（）2.因为ab-（）2=ab-(a>b),所以ab<（）2.故保持原周长不变的布局方案可使公园的面积较大.课后强化作业一、选择题1.已知a,b,c,d均为实数，有下列命题：（）①若ab＜0,bc-ad＞0,则;②若ab＞0,,则bc-ad＞0;③若bc-ad＞0,，则ab＞0.其中正确命题的个数是A.0B.1C.2D.3［答案］C［解析］①∵ab＜0,∴＜0,又∵bc-ab＞0,∴·（bc-ad）＜0即,∴①错；②∵ab＞0,,∴ab()＞0,即：bc-ab＞0,∴②正确；③∵,∴＞0，又∵bc-ad＞0,∴ab＞0,∴③正确.2.已知P＝,Q=a2-a+1,则P、Q的大小关系为（）A.P>QB.P<QC.P≤QD.无法确定［答案］C［解析］P-Q＝-a2+a-1==,∵a2+a+1=(a+)2+>0,-a2(a2+1)≤0，∴≤0，∴P≤Q.3.(x·x文，3)设0<a<b,则下列不等式中正确的是（）A.a<b<<B.a<<<bC.a<<b<D.<a<<b［答案］B［解析］∵0<a<b,∴a<<b,故A、C错误；-a=(-)>0,即>a,故选B.本题也可通过特殊值法解决，如取a=1,b=4,易知选B.4.若a、b是任意实数，且a>b,则（）A.a2>b2B.<1C.lg(a-b)>0D.()a<()b［答案］D［解析］a>b并不保证a、b均为正数，从而不能保证A、B成立.又a>ba-b>0,但不能保证a-b>1,从而不能保证C成立，显然只有D成立.事实上，指数函数y=()x在x∈R上是减函数，所以a>b()a<()b成立.故选D.5.已知a<b<｜a｜，则以下不等式中恒成立的是（）A.｜b｜<-aB.ab>0C.ab<0D.｜a｜<｜b｜［答案］A［解析］特殊值法：令a=-1,b=0,满足a<b<|a|,ab=0,排除B、C，｜a｜>|b|,排除D，故选A.6.已知a2+a<0,那么a,a2,-a,-a2的大小关系是（）A.a2>a>-a2>-aB.-a>a2>-a2>aC.-a>a2>a>-a2D.a2>-a>a>-a2［答案］B［解析］特殊值法：∵a2+a<0,∴-1<a<0.令a=-,则a2=,-a=,-a2=-，故选B.一般解法：由a2+a<0,得0<a2<-a且a<-a2<0,故a<-a2<a2<-a,选B.7.如图，在一个面积为200m2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a大于宽bA.a＞4bB.(a+4)(b+4)=200a＞4bC.(a+4)(b+4)=200a＞4bD.4ab=200［答案］C8.如果a＞0,且a≠1,M=loga（a3+1），N=loga（a2+1），那么（）A.M＞NB.M＜NC.M=ND.M、N的大小无法确定［答案］A［解析］当a＞1时a3+1＞a2+1，y=logax单增，∴loga(a3+1)＞loga（a2+1）.当0＜a＜1时a3+1＜a2+1，y=logax单减.∴loga(a3+1)＞loga(a2+1),或对a取值检验.二、填空题9.已知三个不等式：①ab>0;②;③bc>ad.以其中两个作条件，余下一个为结论，写出两个能成立的不等式命题.若③成立，则①成立∴②③①；若①成立则③成立，∴①②③.若③成立即bc＞ad,若①成立，则，∴＞∴①③②.10.如果a>b，那么下列不等式：①a3>b3;②;③3a>3b;④lga>lgb.其中恒成立的是.［答案］①③［解析］①a3-b3=(a-b)(a2+b2+ab)=(a-b)［(a+)2+b2］>0;③∵y=3x是增函数，a>b，∴3a>3b当a>0,b<0时，②④不成立.x.设m=2a2+2a+1,n=(a+1)2,则m、n的大小关系是［答案］m≥n［解析］m-n=2a2+2a+1-(a+1)2＝a2≥0.x.设a＞b＞0,m＞0,n＞0，则p=,q=,r=,s=的大小顺序是.［答案］p＜r＜s＜q［解析］取a=4,b=2，m=3,n=1,则p=,q=2,r=,s=则p＜r＜s＜q（特值探路）.具体比较如下：p-r=-=＜0，∴p＜r.∵a＞b＞0,m＞0,n＞0∴a+m＞b+m＞0.a+n＞b+n＞0，∴＜1,＞1,∴r＜s.或r-s=-=<0.∴r＜s.s-q=-=＜0，∴s＜q.∴p＜r＜s＜q.三、解答题13.某城市电信宽带私人用户月收费标准如下表：方案类别基本费用超时费用甲包月制（不限时）x0元无乙限时包月制（限60小时）80元2元/时问某用户每月上网时间在多少小时以内，选择乙方案比较合适？［解析］设用户每月上网时间为x小时，则选择乙方案为80(0≤x≤60)y=2(x-60)+80(x>60),由2(x-60)+80≤x0,得x≤80,∴某用户每月上网时间在80小时以内，选择乙方案比较合适.14.(1)已知a>b,e>f,c>0.求证：f-ac<e-bc.(2)若bc-ad≥0,bd>0.求证：≤.［解析］(1)∵a>b,c>0,∴ac>bc,∴-ac<-bc,∵f<e,∴f-ac<e-bc.(2)∵bc-ad≥0,∴ad≤bc,又∵bc>0,∴≤,∴+1≤+1,∴≤.15.已知a、b为正实数，试比较与+的大小.［解析］解法一：（）－（+）＝（）-（）===.∵a、b为正实数，∴+>0,>0,(-)2≥0.∴≥0，当且仅当a=b时，等号成立.∴≥+，当且仅当a=b时取等号.解法二：∵（）2＝,(+)2=a+b+2,∴（）2-(+)2=-(a+b+2)=＝=.∵a、b为正实数，∴≥0，∴（）2≥(+)2.又∵>0，+>0，∴≥+，当且仅当a=b时取等号.16.已知0<a+b<,-<a-b<,求2a和3a-的取值范围.［解析］∵0<a+b<-<a-b<,两式相加得-<2a<.设3a-=m(a+b)+n(a-b)=a(m+n)+b(m-n),则有m+n=3m-n=-,解得m=,n=.∴3a-=(a+b)+(a-b).0<(a+b)<-<(a-b)<,两式相加，得-<3a-<.故2a∈(-,),3a-∈(-,).§2一元二次不等式第1课时一元二次不等式的解法知能目标解读1.理解一元二次不等式与一元二