数学模型与数学建模简介

数学模型与数学建模简介数学模型与数学建模的概念1.数学建模竞赛的由来(1)美国大学生数学建模竞赛的由来：1985年在美国出现了一种叫做MCM的一年一度大大学生数学模型（1987年全称为MathematicalCompetitioninModeling,1988年改全称为MathematicalContestinModeling,其所写均为MCM）。这并不是偶然的。在1985年以前美国只有一种大学生数学竞赛（ThewilliamLowellPutnammathematialCompetition,简称Putman(普特南)数学竞赛），这是由美国数学协会（MAA--即MathematicalAssociationofAmerica的缩写）主持，于每年12月的第一个星期六分两试进行，每年一次。在国际上产生很大影响，现已成为国际性的大学生的一项著名赛事。该竞赛每年2月或3月进行。

（2）我国大学生数学建模竞赛我国自1989年首次参加美国大学生数学建模竞赛，历届均取得优异成绩。经过数年参加美国赛表明，中国大学生在数学建模方面是有竞争力和创新联想能力的。为使这一赛事更广泛地展开，1990年先由中国工业与应用数学学会后与国家教委联合主办全国大学生数学建模竞赛（简称CMCM），该项赛事每年9月进行。数模竞赛题的类型及出题的指导思想。

大部分的数模竞赛题都是源于生产实际或者科学研究的过程中，例如，95年的一道题是空中飞行管理的问题，98年A题“投资的收益与风险”，B题是“实情的巡视路线”，去年C题“资金的使用计划”，D题“公交车的调度”。关于“公交车的高度”这道题目正是我院所选定的题目，在这儿稍作详细一点的介绍，题目给出我国某路大城市的一条交通线路。它光有上，下行驶方向各14个站，从早上6时开始至晚上12时，每站，每小时上的人数的统计资料已绘出；每站之间的距离，公交车行驶速度也绘出。汽车偏差可载客100人，最大载承量为120人，要求在人流高峰期乘客候车时间不超过5分钟，客流低峰期候车时间不超过15分钟，客车空载率不低于50%。问1)此线路应当配备多少辆车：2)如何设计发车时间表？这样的问题与传统的数学竞赛一般偏重理论知识，它要考查的内容单一，数据简单明确，不允许用计算器完成。对此而言，数模竞赛题是一个“课题“，它是一个综合性的问题，数据庞大，需要用计算机来完成。其答案往往不是唯一的(数学模型是实际的模拟，是实际问题的近似表达，它的完成是在某种合理的假设下，因此其只能是较优的，不唯一的)呈报的成果是一编“论文”。

由此可见“数模竞赛”偏重于应用，它是以数学知识为引导计算机运用能力及文章的写作能力为辅的综合能力的竞赛。

全国大学生数模竞赛是如何进行的呢？

我国著名的大学每年通常参加二次数模竞赛，春节后有一次“全美数模竞赛”，其发起的单位是美国工业与应用数学学会，现在已经发展成一项国际性的竞赛活动，竞赛题在网上获得，论文的书写是全英文的比赛评奖直接在美国本土进行，第二项比赛就是“全国大学生数模竞赛”了，“全美数模竞赛”我院目前还不具备参赛条件，因此，下面仅介绍“全国数模比赛”的进行情况。竞赛的时间通常安排在9月份的下旬，例如上届就在9月21号(星期五)早上八时正开始，试题由指导教师在二十号下午去省高教厅取得，试题原则上由学生自己独立完成，在每间高等学院的通常做法是：指导教师针对学生的疑难作适当的解释，而比赛可供选择的题目有有二题，

凡是参加过数模竞赛的学生在完成答卷的时候都会油然产生一种莫名的成就感。为什么呢？同学们可以设身处地地想一想，在接受考题的那一刻到交付答卷时，其间每一分钟都那么新鲜,每一分钟都承受着一份责任!你要去探索一个你从未接触过的问题，你要通过思考、讨论去寻找解题的方法。你要分析、要计算、要努力得出更精确的答案。与此同时，你还要构思、要精炼文章的语句与文字，要让自己的文章令人赏心悦目，令人佼服。这72小时的经历，你克服了多少困难，做了多少工作，收获又是何其大呢？

参加数模竞赛通常需要哪些方面的知识呢？

“数模”全国赛是一种综合能力的比试。这里详细一些地进行介绍。

第一方面：数学知识的应用能力。按历年比赛的试题来看，又涉及的数学知识面十分地宽广，但归结起来大体上有以下几类：1)概率与数理统计2)统筹与线轴规划。3)、微分方程还有与计算机知识相交叉的知识：计算机模拟，上述的内容有些同学完全没有学过，也有些同学只学过一点概率与数理统计，微分方程的知识怎么办呢？两个字“自学”。

第二方面：计算机的运用能力，一般来说凡参加过数模竞赛的同学都能熟练地应用字处理软件“Word”，掌握电子表格“Excel”的使用；“Mathematical”、“Matlab”等软件的使用，最好还具备语言能力。这些知识大部分都是学生自己利用课余时间学习的。

第三方面：论文的写作能力，前面已经说过考卷的全文是论文式的，文章的书写有比较严格的格式。第四方面：查阅文献的能力，数学建模竞赛要查阅大量的文献资料。数学模型竞赛与通常的数学竞赛不同，它来自实际问题或有明确的实际背景。它的宗旨是培养大学生用数学方法解决实际问题的意识和能力，整个赛事是完成一篇包括问题的阐述分析，模型的假设和建立，计算结果及讨论的论文。通过训练和比赛，同学们不仅用数学方法解决实际问题的意识和能力有很大提高，而且在团结合作发挥集体力量攻关，以及撰写科技论文等方面将都会得到十分有益的锻炼。“全国大学生数学建模竞赛”是目前全国高校影响最大的课外科技活动。竞赛参赛者应根据题目要求，完成一篇包括模型的假设、建立和求解、计算机方法的设计和计算机实现、结果的分析和检验、模型的改进等方面的论文（即答卷）。竞赛题目一般来源于工程技术和管理科学等方面经过适当简化加工的实现问题，有较大的灵活性供参赛者发挥其创造性、结果的正确性和文字表述的清晰程度为主要标准。这项活动由于其特有的挑战性和开放性，特别符合当代大学生的行为特征，从而引起了当代大学生们的广泛兴趣。在数学建模培训和竞赛中，参赛学生在理论联系实际和实事求是的科学态度、获取新知识的能力、综合使用数学和计算机分析问题解决问题的能力、团队精神和挑战自我的精神等方面都有较大提高，受益匪浅。同时，这些竞赛代表了一种全新的教学理念,它培养学生通过研究的方式进行学习，有力地促进了高等院校的教学改革，尤其是相关课程的开设，将这些创新的教学理论渗透到整个教学体系之中，使更多的同学受益匪浅。2.数学建模教学有利于培养学生综合能力、培养学生的综合素质。知识和能力是构成一个人的素质的主要成份，知识是能力的基础，能力是对知识的运用和发展。由于数学建模是以解决实际问题和培养学生应用数学的能力为目的的，它的教学内容和方式是多种多样的。从教材来看，有的强调数学方法，有的强调实际问题，有的强调分析解决问题的过程；从教学方式来看，有的以讲为主，有的以练为主，有的在数学实验室中让学生探索，有的带领学生到企事业中去合作解决真正的实际问题。学生参加数学建模教学活动，不仅可以增长知识，培养各种能力，还可以促进学生综合素质的提高。

（1）.数学建模有利于培养学生洞察能力。许多提出的问题往往不是数学化的，这就是需要建模工作者善于从实际工作提供的原形中抓住其数学本质；

（2）.数学建模可培养数学语言翻译能力，即把经过一定抽象和简化的实际用数学的语言表达出来，形成数学模型，并对数学的方法和理论推导或计算得到的结果，能用大众化的语言表达出来，在此基础上提出解决某一问题的方案或建议；

（3）.数学建模有利于培养综合应用分析能力和联想能力。用已学到的数学思想和方法进行综合应用分析，并能学习一些新的知识；对于不少的实际问题，看起来完全不同，但在一定的简化层次下，它们的数学模型是相同的或相似的。这正是数学应用广泛性的体现，这就是培养学生有广泛的兴趣，多思考，勤奋踏实地工作，通过熟能生巧达到触类旁通的境界。数学建模有利于培养学生的创新能力。创新能力是指利用自己已有的知识和经验，在个性品质支持下，新颖而独特地提出问题、解决问题，并由此产生有价值的新思想、新方法、新成果。改变以教师为中心、以课堂为中心、以教材为中心的教学方式，逐渐向以学生为中心、以实践为中心、以培养学生分析和解决问题的能力为中心的学习方式过渡。数学建模竞赛的题目通常是由工程技术和管理科学中的实际问题简化加工而成的，没有事先设定的标准答案，留有充分的余地供参赛者发挥聪明才智和创造精神。一个实际问题往往很复杂，影响它的因素很多，因此,建立一个数学模型需要有较强的创造力和想象力。因此,开展数学建模教学活动是培养学生的创新能力的重要途径。数学建模有利于培养学生的自学能力。在大学，自学是学生学习的一种重要方式。教师先将事先设计好的问题提供给学生，启发、引导学生主动查阅文献资料和学习新的知识；让他们自己分析，对原问题提出必要的假设，并进行简化，寻求解决问题的线索，建立适当的数学模型，利用数学软件或编程解决问题，给出初步结论。学生完成后进行讨论，教师主要起引导、启发和辅导的作用。教学过程的重点是创造一个环境去诱发学生的学习欲望、培养他们的自学能力。3．数学模型简单地说：数学模型就是对实际问题的一种数学表述。

具体一点说：数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。

更确切地说：数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。（数学模型就是利用函数、方程等数学概念创立的能反映实际问题特征和数量关系的符号系统）建模案例1：生产计划的安排某工厂制造A、B两种产品，制造产品A每吨需用煤9t，电力4kW，3个工作日；制造产品B每吨需用煤5t，电力5kW，10个工作日。已知制造产品A和产品B每吨分别获利7万元和12万元，由于该厂条件限制，只有煤360t，电力200kW，300个工作日可以利用，问A、B两种产品各应生产多少吨才能获利最大？分析：设、分别表示A、B产品的计划生产数（单位为吨），表示利润（单位为万元）。则本问题可表示为：（LP）：这种生产任务的安排实际上就是一项决策，、称为决策变量，若把视为向量，就称为决策向量，满足约束条件的称为可行决策。为了判别决策的优劣，决策者必须选定一个指标，一般该指标为决策变量的函数，称为目标函数。它为一个线性规划模型，所谓线性规划问题就是指目标函数是诸决策变量的线性函数，给定的条件可用诸决策变量的线性等式或不等式表示的决策问题。数学建模数学建模是通过对实际问题进行抽象、简化，反复探索，构件一个能够刻划客观原形的本质特征的数学模型，并用来分析、研究和解决实际问题的一种创新活动过程。数学建模的几个过程:模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。用数学语言来描述问题。模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。（尽量用简单的数学工具）模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（估计）。模型分析：对所得的结果进行数学上的分析。模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设，在次重复建模过程。模型应用：应用方式因问题的性质和建模的目的而异建模准备建模假设构造模型否否模型检验是模型分析模型求解是模型应用数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程，数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。4．数学模型的分类（1）按模型的应用领域分类：生物数学模型，医学数学模型，地质数学模型，数量经济学模型，数学社会学模型等。（2）按是否考虑随机因素分类：确定性模型与随机性模型（3）按是否考虑模型的变化分类：静态模型与动态模型（4）按应用离散方法或连续方法分类：离散模型与连续模型（5）按建立模型的数学方法分类：几何模型，微分方程模型，图论模型，规划论模型，马氏链模型等。（6）按人们对是物发展过程的了解程度分类：白箱模型：指那些内部规律比较清楚的模型。如力学、热学、电学以及相关的工程技术问题。

灰箱模型：指那些内部规律尚不十分清楚，在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做的问题。如气象学、生态学经济学等领域的模型。

黑箱模型：指一些其内部规律还很少为人们所知的现象。如生命科学、社会科学等方面的问题。但由于因素众多、关系复杂，也可简化为灰箱模型来研究。二．数学建模方法（一）、机理分析法从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模型。

1.比例分析法--建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。

2.代数方法--求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法。

3.逻辑方法--是数学理论研究的重要方法，对社会学和经济学等领域的实际问题，在决策，对策等学科中得到广泛应用。

4.常微分方程--解决两个变量之间的变化规律，关键是建立"瞬时变化率"的表达式。

5.偏微分方程--解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律。

（二）、数据分析法从大量的观测数据利用统计方法建立数学模型。

1.回归分析法--用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,…,n，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。

2.时序分析法--处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。

3.回归分析法--用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,…,n，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。

4.时序分析法--处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。

（三）、仿真和其他方法

1.计算机仿真（模拟）--实质上是统计估计方法，等效于抽样试验。①离散系统仿真--有一组状态变量。②连续系统仿真--有解析表达式或系统结构图。

2.因子试验法--在系统上作局部试验，再根据试验结果进行不断分析修改，求得所需的模型结构。

3.人工现实法--基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标，并考虑到系统有关因素的可能变化，人为地组成一个系统。建模案例2：人口模型人口问题是当今世界上最关注的问题之一。一些发展中国家的人口出生率过高，越来越严重地威胁着人类的正常生活，有些发达国家的自然增长率趋近于零，甚至变为负数，造成劳动力短缺，也是不容忽视的问题。由于我国20世纪50~60年代人口政策方面的失误，不仅造成人口总数增长过快，而且年龄结构也不合理，使得对人口增长的严格控制会导致人口老化问题严重。因此在首先保证人口有限增长的前提下适当控制人口老化，把年龄结构调整到合适的水平，是一项长期而又艰巨的任务。因而自然会产生这样一个问题：人口增长的规律是什么？如何在数学上描述这一规律。Malthus模型1798年，英国神父Malthus在分析了一百多年人口统计资料之后，提出了Malthus模型。假设：（1）表示时刻的人口数，且连续可微。（2）人口的增长率是常数（增长率=出生率—死亡率）。（3）人口数量的变化是封闭的，即人口数量的增加与减少只取决于人口中个体的生育和死亡，且每一个体都具有相同的生育能力与死亡率。建模与求解：由假设，时刻到时刻人口的增量为于是得求解上微分方程得（*）模型评价：考虑二百多年来人口增长的实际情况，1961年世界人口总数为，在1961~1970年这段时间内，每年平均的人口自然增长率为2%，则（*）式可写为（**）根据1961~1970年间世界人口统计数据，发现这些数据与上式的计算结果相当符合。因为在这期间地球上人口大约每35年增加1倍，而上式算出每年增加1倍。事实上，可假设在内地球上的人口增加1倍，即当时，，当时，，故有，解出。但是，当人们用（*）式对1790年以来的美国人口进行检验，发现有很大差异。这里，取1790年为，由此定出，故有，对它进行计算并与实际人口进行比较，发现有较大的差异。利用（**）式对世界人口进行预测，也会得出惊异的结论：当年时，，这相当于地球上每平方米要容纳至少20人。显然，用这一模型进行预测的结果远高于实际人口增长，误差的原因是对增长率的估计过高，由此，可以对是常数的假设提出疑问。（二）阻滞增长模型如何对增长率进行修正呢？我们知道，地球上的资源是有限的，它只能提供一定数量的生命生存所需的条件。随着人口数量的增加，自然资源、环境条件等对人口再增长的限制作用将越来越显著。如果在人口较少时，可以把增长率看成常数，那么当人口增加到一定数量之后，就应当视为一个随着人口的增加而减小的量，即将增长率表示为人口的函数，且它是一个的减函数。假设：（1）设为的线性函数。（2）自然资源与环境条件所能容纳的最大人口数为，即当时，增长率。模型建立与求解：由假设可得，则有解上述方程得模型检验：由上计算可得（***）人口总数有如下规律：（1），即无论人口初值如何，人口总数以为极限。（2）当时，，这说明是单调增加的，又由（***）式知：当时，有为凹，当时，有为凸。（3）人口变化率在时取到最大值，即人口总数达到极限值一半以前是加速增长时期，经过这一点之后，增长速率会逐渐变小，最终到达零。与Malthus模型一样，代入一些实际数据验算，若取1790年为，，。可以看出，直到1930年，计算结果与实际数据都能较好的吻合，在1930年之后，计算与实际偏差较大，原因之一是60年代的实际人口已经突破了假设的极限人口，由此可知，本模型的缺点之一就是不容易确定。（三）模型推广可以从另一角度导出阻滞增长模型，在Malthus模型上增加一个竞争项，它的作用是使纯增长率减少。如果一个国家工业化程度较高，食品供应较充足，能够提供更多的人生存，此时b较小；反之b较大，故建立方程（#）其解为（##）由上方程得对以上三式分析，有（1），有，且。（2）当时，递增；当时，；当时，递减。（3）当时，为凹；当时，为凸。令（#）式右端为0，得，称它们是此微分方程的平衡解，由图6-8可知，故不论人口开始的数量为多少，经过相当长的时间后，人口总数将稳定在。如何确定，有学者以美国人口为例进行分析，考虑美国1790年、1850年及1910年的人口分别为，设为：，其中，由（##）式可得由此可得令，则可得，故有与（##）式近似的形式上简单的表达式由此可计算出，则（##）可进一步化为将上式的计算结果与实际情况对照，发现模型的计算结果与实际人口相当符合。利用上模型对世界人口的增长情况进行预测，据生态学家估计，人口为时，平均纯增长率为每年2%，可得为世界人口的极限值。根据报道，1987年的世界人口已达50亿，由模型的分析可知，从此，世界人口的增长已进入减速阶段。三.数学建模竞赛赛题题型结构形式有三个基本组成部分：

（一）、实际问题背景涉及面宽--有社会，经济，管理，生活，环境，自然现象，工程技术，现代科学中出现的新问题等。一般都有一个比较确切的现实问题。（二）、若干假设条件有如下几种情况：只有过程、规则等定性假设，无具体定量数据；给出若干实测或统计数据；给出若干参数或图形；蕴涵着某些机动、可发挥的补充假设条件，或参赛者可以根据自己收集或模拟产生数据。要求回答的问题往往有几个问题（一般不是唯一答案）:1.比较确定性的答案（基本答案）；2.更细致或更高层次的讨论结果（往往是讨论最优方案的提法和结果）。四．数学建模论文的写作数学建模论文基本内容和格式大致分三大部分：（一）、标题、摘要部分：

1．题目--写出较确切的题目（不能只写A题、B题）。

2．摘要--（300-500字），包括模型的主要特点、建模方法和主要结果。

3．内容较多时最好有个目录。

（二）、中心部分：

1．问题提出，问题分析。

2．模型建立：

①补充假设条件，明确概念，引进参数；

②模型形式（可有多个形式的模型）；

③模型求解；

④模型性质；

3．计算方法设计和计算机实现。

4．结果分析与检验。

5．讨论--模型的优缺点，改进方向，推广新思想。

6．参考文献--注意格式。

（三）、附录部分：

1．计算程序，框图。

2．各种求解演算过程，计算中间结果。

3．各种图形、表格建模案例3：最佳灾情巡视路线这里介绍1998年全国大学生数学模型竞赛B题中的两个问题.（一）.问题的提出今年夏天某县遭受水灾.为考察灾情、组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到全县各乡（镇）、村巡视.巡视路线指从县政府所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县政府所在地的路线.若分三组（路）巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的路线.假定巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2小时，在各村停留时间t=1小时，汽车行驶速度V=35公里/小时.要在24小时内完成巡视，至少应分几组；给出这种分组下最佳的巡视路线.乡镇、村的公路网示意图见图1图1(二).图论知识简介点的行遍性问题是图论和组合优化中分别称为Hamiton(哈密尔顿)问题和TSP（旅行商）问题。1．Hamiton(哈密尔顿)路（圈）：称经过图G=（V,E）中每一个顶点正好一次的路为Hamiton(哈密尔顿)路，简称H路；称经过图G=（V,E）中每一个顶点正好一次的圈为Hamiton(哈密尔顿)圈，简称H圈。2．旅行商问题：某旅行商要访问某地区的所有城镇后，回到出发点，问如何安排其旅行路线，使其总行程（或时间、费用）最少？其应用：流水线作业生产线的安排，数控机床的运行等3．定义：在加权图G=（V，E）中，权最小的Hamiton(哈密尔顿)圈，称为最佳H圈；经过每一个顶点至少一次的权最小的闭通路成为最佳推销员回路。一般说来，一个最佳H权并不一定是最佳推销员回路。4．定理1：若加权图G满足三角不等式，则最佳H圈也是最佳推销回路。定理2：在加权完备图G中最佳H圈问题是一个N-P完全问题。在一个有n个顶点的完备图中，有(n-1)!/2个不同的H圈。到目前，求N-P完全问题的最佳H圈，有以下近似算法：Chrisofides最小权匹配算法对角线完全算法二边逐次修正法TSP问题的分支定界法等。（三）模型假设1．假设公路不考虑等级差异，也不会因灾情出现公路不能通行的情况；2．汽车在路上的速度总是一定，不会出现抛锚等现象；3．当中，在每个乡镇、村的停留时间一定，不会出现特殊情况而延误时间；4．小组的汽车行驶速度完全一样；5．分组后，各小组只能走自己区内的路，不能走其他小组的路（公共路外），6．各小组不容许再分成若干组。（四）模型的建立与求解将公路网图中，每个乡（镇）或村看作图中的一个节点，各乡（镇）、村之间的公路看作图中对应节点间的边，各条公路的长度（或行驶时间）看作对应边上的权，所给公路网就转化为加权网络图，问题就转化为在给定的加权网络图中寻找从给定点O出发，行遍所有顶点至少一次再回到O点，使得总权（路程或时间）最小，此即最佳推销员回路问题.在加权图G中求最佳推销员回路问题是NP—完全问题，我们采用一种近似算法求出该问题的一个近似最优解，来代替最优解，算法如下：算法一求加权图G（V，E）的最佳推销员回路的近似算法：用图论软件包求出G中任意两个顶点间的最短路，构造出完备图，，；输入图的一个初始H圈；用对角线完全算法产生一个初始H圈；随机搜索出中若干个H圈，例如2000个；对第2、3、4步所得的每个H圈，用二边逐次修正法进行优化，得到近似最佳H圈；在第5步求出的所有H圈中，找出权最小的一个，此即要找的最佳H圈的近似解.由于二边逐次修正法的结果与初始圈有关，故本算法第2、3、4步分别用三种方法产生初始圈，以保证能得到较优的计算结果.问题一若分为三组巡视，设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线.此问题是多个推销员的最佳推销员回路问题.即在加权图G中求顶点集V的划分，将G分成n个生成子图，使得（1）顶点i=1，2，3……n（2）（3），其中为的导出子图中的最佳推销员回路，为的权，i，j=1，2，3……n（4）定义称为该分组的实际均衡度.为最大容许均衡度.显然，越小，说明分组的均衡性越好.取定一个后，与满足条件（3）的分组是一个均衡分组.条件（4）表示总巡视路线最短.此问题包含两方面：第一、对顶点分组；第二、在每组中求最佳推销员回路，即为单个推销员的最佳推销员问题.由于单个推销员的最佳推销员回路问题不存在多项式时间内的精确算法，故多个推销员的问题也不存在多项式时间内的精确算法.而图中节点数较多，为53个，我们只能去寻求一种较合理的划分准则，对图１1－9进行粗步划分后，求出各部分的近似最佳推销员回路的权，再进一步进行调整，使得各部分满足均衡性条件（3）.图2O点到任意点的最短路图（单位：公里）图2O点到任意点的最短路图（单位：公里）从O点出发去其它点，要使路程较小应尽量走O点到该点的最短路.故用图论软件包求出O点到其余顶点的最短路，这些最短路构成一棵O为树根的树，将从O点出发的树枝称为干枝，见图2，从图中可以看出，从O点出发到其它点共有6条干枝，它们的名称分别为①，②，③，④，⑤，⑥.根据实际工作的经验及上述分析，在分组时应遵从以下准则：准则一：尽量使同一干枝上及其分枝上的点分在同一组；准则二：应将相邻的干枝上的点分在同一组；准则三：尽量将长的干枝与短的干枝分在同一组.由上述分组准则，我们找到两种分组形式如下：分组一：（⑥，①），（②，③），（⑤，④）分组二：（①，②），（③，④），（⑤，⑥）显然分组一的方法极不均衡，故考虑分组二.对分组二中每组顶点的生成子图，用算法一求出近似最优解及相应的巡视路线.使用算法一时，在每个子图所构造的完备图中，取一个尽量包含图11-10中树上的边的H圈作为其第2步输入的初始圈.分组二的近似解见表1.表1（单位：公里）小组名称路线总路线长度路线的总长度=1\*ROMANIO-P-28-27-26-N-24-23-22-17-16-I-15-I-18-K-21-20-25-M-O191.1558.5=2\*ROMANIIO-2-5-6-L-19-J-11-G-13-14-H-12-F-10-F-9-E-7-E-8-4-D-3-C241.9=3\*ROMANIIIO-R-29-Q-30-32-31-33-35-34-A-B-1-O125.5因为该分组的均衡度=54.2%所以此分法的均衡性很差.为改善均衡性，将第Ⅱ组中的顶点C，2，3，D，4分给第Ⅲ组（顶点2为这两组的公共点），重新分组后的近似最优解见表2.表2（单位：公里）编号路线路线长度路线总长度=1\*ROMANIO—P—28—27—26—N—24—23—22—17—16—I—15—I—18—K—21—20—25—M—O191.1599.8=2\*ROMANIIO—2—5—6—7—E—8—E—9—F—10—F—12—H—14—13—G—11—J—19—L—6—5—2—O216.4=3\*ROMANIIIO—R—29—Q—30—32—31—33—35—34—A—1—B—C—3—D—4—D—3—2—O192.3因该分组的均衡度11.69%所以这种分法的均衡性较好.问题二当巡视人员在各乡（镇）、村的停留时间一定，汽车的行驶速度一定，要在24小时内完成巡视，至少要分几组及最佳的巡视路线.由于T=2小时，t=1小时，V=35公里/小时，需访问的乡镇共有17个，村共有35个.计算出在乡（镇）及村的总停留时间为172+35=69小时，要在24小时内完成巡回，若不考虑行走时间，有:(i为分的组数).得i最小为4，故至少要分4组.由于该网络的乡（镇）、村分布较为均匀，故有可能找出停留时间尽量均衡的分组，当分4组时各组停留时间大约为小时，则每组分配在路途上的时间大约为24-17.25=6.75小时.而前面讨论过，分三组时有个总路程599.8公里的巡视路线，分4组时的总路程不会比599.8公里大太多，不妨以599.8公里来计算.路上时间约为小时，若平均分配给4个组，每个组约需=4.25小时〈6.75小时，故分成4组是可能办到的.现在尝试将顶点分为4组.分组的原则：除遵从前面准则一、二、三外，还应遵从以下准则：准则四：尽量使各组的停留时间相等.用上述原则在图11-10上将图分为4组，同时计算各组的停留时间,然后用算法一算出各组的近似最佳推销员巡回，得出路线长度及行走时间，从而得出完成巡视的近似最佳时间.用算法一计算时，初始圈的输入与分三组时同样处理.这4组的近似最优解见表3.表3（路程单位：公里；时间单位：小时）组名路线路线总长度停留时间行走时间完成巡视的总时间=1\*ROMANIO—2—5—6—7—E—8—E—11—G—12—H—12—F—10—F—9—E—7—6—5—2—O195.8175.5922.59=2\*ROMANIIO—R—29—Q—30—Q—28—27—26—N—24—23—22—17—16—17—K—22—23—N—26—P—O199.2165.6921.69=3\*ROMANIIIO—M—25—20—21—K—18—I—15—14—13—J—19—L—6—M—O159.1184.5422.54=4\*ROMANIVO—R—A—33—31—32—35—34—B—1—C—3—D—4—D—3—2—O166184.7422.74上表中符号说明：加有底纹的表示前面经过并停留过，此次只经过不需停留；加框的表示此点只经过不停留.该分组实际均衡度=4.62%可以看出，表3分组的均衡度很好，且完全满足24小时完成巡视的要求.五．历年全国大学生数学建模竞赛题汇集：中国大学生建模竞赛题目汇集年份题号题名参考文献1992A施肥效果分析[1],1993年第3期B实验数据分析1993A非线性交调的频率设计[1],1994年第2期B足球队排名次1994A逢山开路[2],28-55.B锁具装箱1995A一个飞行管理问题[1],1996年第1期B天车与冶炼炉的作业调度[2],55-93.1996A最优捕鱼策略[1],1997年第1期B节水洗衣机[2],93-124.1997A零件的参数设计[1],1998年第1期B截断切割[2],124-162.1998A投资的收益与风险[1],1999年第1期B灾情巡视路线工科数学,2001年,17(1),71-771999A自动化车床管理[1],2000年第1期B钻井布局2000ADNA序列分类[1],2001年第1期B钢管订购和运输2001A血管的三维重建B公交车的调度2002A车灯线光源的优化设计B彩票中的数学2003ASARS传染病模型B矿石的运输问题2004A奥运会临时超市网点设计B电力市场的输电阻塞管理2005A长江水质的评价和预测BDVD在线租赁方案参考文献：[1]《数学的实践与认识》,（季刊）,中国数学会编辑出版.[2]中国大学生数学建模竞赛,李大潜主编（1998）.各种数学建模杂志及书籍

国际数学和计算机建模协会InternationalAssociationforMathematicalandComputerModellingHomePage应用数学建模

AppliedMathematicalModelling(Elsevier)应用数学和计算AppliedMathematicsandComputation欧洲应用数学杂志EuropeanJournalofAppliedMathematics(Cambridge)IMA应用数学杂志TheIMAJournalofAppliedMathematics(Oxford)SIMA的应用数学杂志SIAMJournalonAppliedMathematics数学建模和数值分析杂志JournalMathematicalModellingandNumericalAnalysis-Rairo数学建模和分析杂志Journalofmathematical

modellingandanalysis美国工业和应用数学会评论

SIAMReview

大学生数学和应用杂志

TheJournalofUndergraduteMathematicsandApplications高校应用数学学报数学的实践与认识

书

籍《数学模型》,姜启源著，高等教育出版社。《数模教育与国际数模竞赛》，叶其孝主编，工科数学杂志。《数学建模竞赛辅导教材》一、二、三，叶其孝主编，湖南教育出版社。《数学建模竞赛教材》李尚志主编，江苏教育出版社。《微分方程模型》《政治及其有关模型》《离散和系统模型》《生命科学模型》

W.F.lucas主编，国防教育出版社。《数学模型计算机应用》，H.P.Williams著，国防工业出版社《数学建模与实验》，南京地区工科院校数建模讨论班,河海大学出版社.《数学模型基础》,

王树禾著,中国科大出版社.《数学建模精品案例》,朱道元著,东南大学出版社.《数学模型与数学建模》,刘来福,曾文艺著,北京师范大学出版社.《数学建模入门》,徐全智,杨晋浩,电子科大出版社.《数学模型》,杨启帆,边馥萍,浙江大学出版社.全国大学生数学建模竞赛资料

(单价含邮费，前一单价为10本以上、后一单价为10本以下的单价)*1.2003年全国大学生数学建模竞赛优秀论文集(《工程数学学报》2003年7期)

5元/本，10元/本

2.2002年全国大学生数学建模竞赛优秀论文集(《工程数学学报》2003年5期)

5元/本，10元/本

3.2001年全国大学生数学建模竞赛优秀论文集(《工程数学学报》2002年5期)8.5元/本，10元/本

4.《全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编(1992-2000)》

5.《中国大学生数学建模竞赛》第二版（李大潜主编）

*6.《2003年美国大学生数学建模竞赛（MCM、ICM）优秀论文集》

7.《2002年美国大学生数学建模竞赛(MCM)优秀论文集》

(资料7包括2001、2002年交叉学科建模竞赛(ICM)优秀论文集)

8.《大学生数学建模竞赛辅导教材（一）》（叶其孝主编）

9.《大学生数学建模竞赛辅导教材（二）》（叶其孝主编）

10.《大学生数学建模竞赛辅导教材（三）》（叶其孝主编）11.《大学生数学建模竞赛辅导教材（四）》（叶其孝主编）2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛论文格式规范所有竞赛题目均可以从以下网址之一下载：本科组参赛队从A、B题中任选一题，专科组参赛队从C、D题中任选一题。论文（答卷）用白色A4纸，上下左右各留出2.5厘米的页边距。论文第一页为保证书，内容如下：保证书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则,我们完全明白在竞赛开始后不能以任何方式与队外的任何人（包括指导教师）讨论竞赛题的求解问题,抄袭别人的成果也是违反竞赛规则的,如被发现将会受到严肃处置。我们也知道如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料)必须按照规定的参考文献的表述方式在正文和参考文献中明确列出。为了确保竞赛的公正、公平性,我们保证严格遵守竞赛规则。 参赛报名号（由各赛区统一指定编号）：参赛队员(签名)指导教师(签名)（若为指导组，请指导组负责教师签名）各赛区组委会可对论文第一页增加其他要求，此时参赛队可在论文第一页中按照要求增加其他内容。论文第二页为赛区评阅标注用页，用于赛区评阅前后对论文进行编号。内容为：赛区评阅编号：全国统一编号：论文题目和摘要写在第三页上，从第四页开始是论文正文。论文从第三页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。论文不能有页眉，论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。论文题目用3号黑体字、一级标题用4号黑体字，并居中。论文中其他汉字一律采用小4号宋体字，行距用单倍行距。提请大家注意：摘要在整篇论文评阅中占有重要权重，请认真书写摘要。引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料)必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为：[编号]作者，书名，出版地：出版社，出版年。参考文献中期刊杂志论文的表述方式为：[编号]作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。参考文献中网上资源的表述方式为：[编号]作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。 2001年全国大学生数学建模竞赛题目答卷用A4纸，论文题目和摘要写在第一页上，不能有其他任何标志。从今年起，将提高摘要在整篇论文评阅中所占的权重。全部题目（包括数据）可以从以下网址下载：/mcm网易教育频道A题血管的三维重建断面可用于了解生物组织、器官等的形态。例如，将样本染色后切成厚约1m的切片，在显微镜下观察该横断面的组织形态结构。如果用切片机连续不断地将样本切成数十、成百的平行切片，可依次逐片观察。根据拍照并采样得到的平行切片数字图象，运用计算机可重建组织、器官等准确的三维形态。假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是由球心沿着某一曲线（称为中轴线）的球滚动包络而成。例如圆柱就是这样一种管道，其中轴线为直线，由半径固定的球滚动包络形成。现有某管道的相继100张平行切片图象，记录了管道与切片的交。图象文件名依次为0.bmp、1.bmp、…、99.bmp，格式均为BMP，宽、高均为512个象素（pixel）。为简化起见，假设：管道中轴线与每张切片有且只有一个交点；球半径固定；切片间距以及图象象素的尺寸均为1。取坐标系的Z轴垂直于切片，第1张切片为平面Z=0，第100张切片为平面Z=99。Z=z切片图象中象素的坐标依它们在文件中出现的前后次序为（-256，-256，z），（-256，-255，z），…（-256，255，z），（-255，-256，z），（-255，-255，z），…（-255，255，z），……（255，-256，z），（255，-255，z），…（255，255，z）。试计算管道的中轴线与半径，给出具体的算法，并绘制中轴线在XY、YZ、ZX平面的投影图。第2页是100张平行切片图象中的6张，全部图象请从网上下载。关于BMP图象格式可参考：1.《VisualC++数字图象处理》第12页2.3.1节。何斌等编著，人民邮电出版社，2001年4月。2.http://www.dcs.ed.ac.uk/home/mxr/gfx/2d/BMP.txtB题公交车调度公共交通是城市交通的重要组成部分，作好公交车的调度对于完善城市交通环境、改进市民出行状况、提高公交公司的经济和社会效益，都具有重要意义。下面考虑一条公交线路上公交车的调度问题，其数据来自我国一座特大城市某条公交线路的客流调查和运营资料。该条公交线路上行方向共14站，下行方向共13站，第3-4页给出的是典型的一个工作日两个运行方向各站上下车的乘客数量统计。公交公司配给该线路同一型号的大客车，每辆标准载客100人，据统计客车在该线路上运行的平均速度为20公里/小时。运营调度要求，乘客候车时间一般不要超过10分钟，早高峰时一般不要超过5分钟，车辆满载率不应超过120%，一般也不要低于50%。试根据这些资料和要求，为该线路设计一个便于操作的全天（工作日）的公交车调度方案，包括两个起点站的发车时刻表；一共需要多少辆车；这个方案以怎样的程度照顾到了乘客和公交公司双方的利益；等等。如何将这个调度问题抽象成一个明确、完整的数学模型，指出求解模型的方法；根据实际问题的要求，如果要设计更好的调度方案，应如何采集运营数据。Z=1Z=1Z=0Z=99Z=98Z=49Z=50

某路公交汽车各时组每站上下车人数统计表上行方向：A13开往A0站名A13A12A11A10A9A8A7A6A5A4A3A2A1A0站间距(公里)1.60.510.732.041.262.2911.20.411.030.535:00-6:00上3716052437690488385264545110下08913204845813218242585576:00-7:00上1990376333256589594315622510176308307680下0991051642395885428004072083002889216157:00-8:00上3626634528447948868523958904259465454990下0205227272461105810971793801469560636187114598:00-9:00上2064322305235477549271486439157275234600下010612316930063462197144024533940811327599:00-10:00上118620516614728130417232426778143162360下0817512018140741155125013618723377448310:00-11:00上92315112010821521411921220175123112260下052558113629928044217810515316753238511:00-12:00上95718115713325426413525326074138117300下054588413132129142019611915915353434012:00-13:00上87314114010821520412923222165103112260下046497111126325638916411113414848833313:00-14:00上779141103841861851032111736610897230下03941701032211972971378511311638426314:00-15:00上6251041088216218090185170497585200下036394778189176339139809712038323915:00-16:00上635124988215218080185150498585200下0363957882091963391298010711035322916:00-17:00上1493299240199396404210428390120208197490下0808513519445044173133515725525180055717:00-18:00上2011379311230497479296586508140250259610下0110118171257694573957390253293378122879318:00-19:00上69112410789167165108201194539382220下04548801082372313901508913112542833619:00-20:00上3506455469185508889274847110下0222334631161081968348646620413920:00-21:00上304504336727540776022383790下01617243880841435934464716011721:00-22:22上209373226535529475216282760下0141421337863125623040411289222:00-23:00上193325535513210下03358181727127993221某路公交汽车各时组每站上下车人数统计表下行方向：A0开往A13站名A0A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13站间距(公里)1.5610.441.20.972.291.320.7310.51.625:00-6:00上22342443331100下02116775342396:00-7:00上795143167841511881091371304553160下070404018420519514793109751082717:00-8:00上2328380427224420455272343331126138450下02941561577107808495453744442653739588:00-9:00上2706374492224404532333345354120153460下026615814975682785652936742823737611679:00-10:00上15562042741252353081622031987699270下01571008041051149833619927613621955610:00-11:00上902147183821552061201501435059180下010359592463463201911471859615443811:00-12:00上847130132671271501081041074148150下09448481992382561751221436812834612:00-13:00上70690118661051449295883440120下0704040174215205127103119659826113:00-14:00上7709712659102133971021043643130下0754343166210209136901276011530914:00-15:00上839133156691301651011181204249150下08448482192382461551121537811834615:00-16:00上1110170189791691941411521665464190下0110736325330734121513616710214442516:00-17:00上183726033014630540422927725395122340下01759610645961754940126630416226978417:00-18:00上3020474587248468649388432452157205560下03301931947379341016606416494278448124918:00-19:00上1966350399204328471289335342122132400下0223129150635787690505304423246320101019:00-20:00上939130165881381871241431474856170下011359592663062902011471558615439820:00-21:00上6401071266911215387102943643130下075434318623021914690127709531921:00-22:22上636110128561051448295983440120下07341421902431921321071236710129022:00-23:00上2944351244658354142151750下0352020871089269476033491362002高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（A题、B题）A题、B题任选一题。答卷用白色A4纸，第一页为空白页（用于赛区或全国组委会对论文进行编号）。论文题目和摘要写在第二页上，从第三页开始是论文正文。论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。提请大家注意：从去年起，提高了摘要在整篇论文评阅中所占的权重。全部题目可以从以下网址之一下载：A题车灯线光源的优化设计安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方,其开口半径36毫米，深度21.6毫米。经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。该设计规范在简化后可描述如下。在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直，用以测试车灯的反射光。在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A点的同侧取B点和C点，使AC=2AB=2.6米。要求C点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位），B点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。请解决下列问题：（1）在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。（2）对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。（3）讨论该设计规范的合理性。B题彩票中的数学近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。“传统型”采用“10选6+1”方案：先从6组0~9号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然后从0~4号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。投注者从0~9十个号码中任选6个基本号码（可重复），从0~4中选一个特别号码，构成一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码“abcdef+g”为例说明中奖等级，如表一（X表示未选中的号码）。表一中奖等级10选6+1（6+1/10）基本号码特别号码说明一等奖abcdefg选7中（6+1）二等奖abcdef选7中（6）三等奖abcdeXXbcdef选7中（5）四等奖abcdXXXbcdeXXXcdef选7中（4）五等奖abcXXXXbcdXXXXcdeXXXXdef选7中（3）六等奖abXXXXXbcXXXXXcdXXXXXdeXXXXXef选7中（2）“乐透型”有多种不同的形式，比如“33选7”的方案：先从01~33个号码球中一个一个地摇出7个基本号，再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。投注者从01~33个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。又如“36选6+1”的方案，先从01~36个号码球中一个一个地摇出6个基本号，再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。从01~36个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。这两种方案的中奖等级如表二。表二中奖等级33选7（7/33）36选6+1（6+1/36）基本号码特别号码说明基本号码特别号码说明一等奖●●●●●●●选7中（7）●●●●●●★选7中（6+1）二等奖●●●●●●○★选7中（6+1）●●●●●●选7中（6）三等奖●●●●●●○选7中（6）●●●●●○★选7中（5+1）四等奖●●●●●○○★选7中（5+1）●●●●●○选7中（5）五等奖●●●●●○○选7中（5）●●●●○○★选7中（4+1）六等奖●●●●○○○★选7中（4+1）●●●●○○选7中（4）七等奖●●●●○○○选7中（4）●●●○○○★选7中（3+1）注：●为选中的基本号码；★为选中的特别号码；○为未选中的号码。以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的50%，投注者单注金额为2元，单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如表三，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖数额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元，各高项奖额的计算方法为：[(当期销售总额×总奖金比例)-低项奖总额]×单项奖比例（1）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。（2）设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议。（3）给报纸写一篇短文，供彩民参考。表三序号奖项方案一等奖比例二等奖比例三等奖比例四等奖金额五等奖金额六等奖金额七等奖金额备注16+1/1050%20%30%50按序26+1/1060%20%20%300205按序36+1/1065%15%20%300205按序46+1/1070%15%15%300205按序57/2960%20%20%30030566+1/2960%25%15%20020577/3065%15%20%5005015587/3070%10%20%2005010597/3075%10%15%20030105107/3160%15%25%500502010117/3175%10%15%320305127/3265%15%20%5005010137/3270%10%20%5005010147/3275%10%15%5005010157/3370%10%20%600606167/3375%10%15%50050105177/3465%15%20%500306187/3468%12%20%50050102197/3570%15%15%300505207/3570%10%20%500100305217/3575%10%15%1000100505227/3580%10%10%20050205237/35100%20002042无特别号246+1/3675%10%15%500100105256+1/3680%10%10%50010010267/3670%10%20%50050105277/3770%15%15%150010050286/4082%10%8%200101295/6060%20%20%300302003高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读

“对论文格式的统一要求”）B题露天矿生产的车辆安排钢铁工业是国家工业的基础之一，铁矿是钢铁工业的主要原料基地。许多现代化铁矿是露天开采的，它的生产主要是由电动铲车（以下简称电铲）装车、电动轮自卸卡车（以下简称卡车）运输来完成。提高这些大型设备的利用率是增加露天矿经济效益的首要任务。露天矿里有若干个爆破生成的石料堆，每堆称为一个铲位，每个铲位已预先根据铁含量将石料分成矿石和岩石。一般来说，平均铁含量不低于25%的为矿石，否则为岩石。每个铲位的矿石、岩石数量，以及矿石的平均铁含量（称为品位）都是已知的。每个铲位至多能安置一台电铲，电铲的平均装车时间为5分钟。卸货地点（以下简称卸点）有卸矿石的矿石漏、2个铁路倒装场（以下简称倒装场）和卸岩石的岩石漏、岩场等，每个卸点都有各自的产量要求。从保护国家资源的角度及矿山的经济效益考虑，应该尽量把矿石按矿石卸点需要的铁含量（假设要求都为29.5%1%，称为品位限制）搭配起来送到卸点，搭配的量在一个班次（8小时）内满足品位限制即可。从长远看，卸点可以移动，但一个班次内不变。卡车的平均卸车时间为3分钟。所用卡车载重量为154吨，平均时速28。卡车的耗油量很大，每个班次每台车消耗近1吨柴油。发动机点火时需要消耗相当多的电瓶能量，故一个班次中只在开始工作时点火一次。卡车在等待时所耗费的能量也是相当可观的，原则上在安排时不应发生卡车等待的情况。电铲和卸点都不能同时为两辆及两辆以上卡车服务。卡车每次都是满载运输。每个铲位到每个卸点的道路都是专用的宽60的双向车道，不会出现堵车现象，每段道路的里程都是已知的。一个班次的生产计划应该包含以下内容：出动几台电铲，分别在哪些铲位上；出动几辆卡车，分别在哪些路线上各运输多少次（因为随机因素影响，装卸时间与运输时间都不精确，所以排时计划无效，只求出各条路线上的卡车数及安排即可）。一个合格的计划要在卡车不等待条件下满足产量和质量（品位）要求，而一个好的计划还应该考虑下面两条原则之一：1.总运量（吨公里）最小，同时出动最少的卡车，从而运输成本最小；2.利用现有车辆运输，获得最大的产量（岩石产量优先；在产量相同的情况下，取总运量最小的解）。请你就两条原则分别建立数学模型，并给出一个班次生产计划的快速算法。针对下面的实例，给出具体的生产计划、相应的总运量及岩石和矿石产量。某露天矿有铲位10个，卸点5个，现有铲车7台，卡车20辆。各卸点一个班次的产量要求：矿石漏1.2万吨、倒装场Ⅰ1.3万吨、倒装场Ⅱ1.3万吨、岩石漏1.9万吨、岩场1.3万吨。铲位和卸点位置的二维示意图如下，各铲位和各卸点之间的距离（公里）如下表：铲位1铲位2铲位3铲位4铲位5铲位6铲位7铲位8铲位9铲位10矿石漏5.202.952.742.461.900.641.27倒装场Ⅰ1.900.991.901.131.272.251.482.043.093.51岩场5.895.615.614.563.513.652.462.461.060.57岩石漏0.641.761.271.832.742.604.213.725.056.10倒装场Ⅱ4.423.863.710.781.621.270.50各铲位矿石、岩石数量(万吨)和矿石的平均铁含量如下表：铲位1铲位2铲位3铲位4铲位5铲位6铲位7铲位8铲位9铲位10矿石量0．951．051．001．051．101．251．051．301．351．25岩石量1．251．101．351．051．151．351．051．151．351．25铁含量30%28%29%32%31%33%32%31%33%31%2004高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

A题奥运会临时超市网点设计

感谢：北京市市政管理委员会北京市城市规划委员会

提供场馆规划图

2008年北京奥运会的建设工作已经进入全面设计和实施阶段。奥运会期间，在比赛主场馆的周边地区需要建设由小型商亭构建的临时商业网点，称为迷你超市（MiniSupermarket,以下记做MS）网，以满足观众、游客、工作人员等在奥运会期间的购物需求，主要经营食品、奥运纪念品、旅游用品、文体用品和小日用品等。在比赛主场馆周边地区设置的这种MS，在地点、大小类型和总量方面有三个基本要求：满足奥运会期间的购物需求、分布基本均衡和商业上赢利。

图1给出了比赛主场馆的规划图。作为真实地图的简化，在图2中仅保留了与本问题有关的地区及相关部分：道路（白色为人行道）、公交车站、地铁站、出租车站、私车停车场、餐饮部门等,其中标有A1-A10、B1-B6、C1-C4的黄色区域是规定的设计MS网点的20个商区。

为了得到人流量的规律，一个可供选择的方法，是在已经建设好的某运动场（图3）通过对预演的运动会的问卷调查，了解观众（购物主体）的出行和用餐的需求方式和购物欲望。假设我们在某运动场举办了三次运动会，并通过对观众的问卷调查采集了相关数据，在附录中给出。

请你按以下步骤对图2的20个商区设计MS网点：

1．根据附录中给出的问卷调查数据，找出观众在出行、用餐和购物等方面所反映的规律。

2．假定奥运会期间（指某一天）每位观众平均出行两次，一次为进出场馆，一次为餐饮，并且出行均采取最短路径。依据1的结果，测算图2中20个商区的人流量分布（用百分比表示）。

3．如果有两种大小不同规模的MS类型供选择，给出图2中20个商区内MS网点的设计方案（即每个商区内不同类型MS的个数），以满足上述三个基本要求。

4．阐明你的方法的科学性，并说明你的结果是贴近实际的。

说明

1．商业上用“商圈”来描述商店的覆盖范围。影响商店选址的主要因素是商圈内的人流量及购物欲望。

2．为简化起见，假定国家体育场（鸟巢）容量为10万人，国家体育馆容量为6万人，国家游泳中心（水立方）容量为4万人。三个场馆的每个看台容量均为1万人，出口对准一个商区，各商区面积相同。

附录

对观众发放的问卷调查，收回率为33%，三次共收回10000多份。具体数据请在access数据库中索取，其中年龄分4档：1）20岁以下，2）20—30岁，3）30—50岁，4）50岁以上；出行方式分4种：出租、公交、地铁、私车；餐饮方式分3种：中餐、西餐、商场(餐饮)；消费额（非餐饮）分6档：1）0—100，2）100—200，3）200—300，4）300—400，5）400—500，6）500以上（元）。

图1（A：国家体育场（鸟巢），B:国家体育馆，C:国家游泳中心（水立方））

图2

图3

B题电力市场的输电阻塞管理

我国电力系统的市场化改革正在积极、稳步地进行。2003年3月国家电力监管委员会成立，2003年6月该委员会发文列出了组建东北区域电力市场和进行华东区域电力市场试点的时间表，标志着电力市场化改革已经进入实质性阶段。可以预计，随着我国用电紧张的缓解，电力市场化将进入新一轮的发展，这给有关产业和研究部门带来了可预期的机遇和挑战。

电力从生产到使用的四大环节——发电、输电、配电和用电是瞬间完成的。我国电力市场初期是发电侧电力市场，采取交易与调度一体化的模式。电网公司在组织交易、调度和配送时，必须遵循电网“安全第一”的原则，同时要制订一个电力市场交易规则，按照购电费用最小的经济目标来运作。市场交易-调度中心根据负荷预报和交易规则制订满足电网安全运行的调度计划――各发电机组的出力（发电功率）分配方案；在执行调度计划的过程中，还需实时调度承担AGC（自