5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象导学案-高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）（解析版）

第第页5.4.1正弦函数、余弦函数的图象导学案【学习目标】1.了解由单位圆和正、余弦函数定义画正弦函数、余弦函数图象的步骤，掌握“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象的方法．(重点)2．正、余弦函数图象的简单应用．(难点)3．正、余弦函数图象的区别与联系．(易混点)【自主学习】一．正弦函数的图象正弦函数的图象叫做，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．五点法：在函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，在确定图象形状时起关键作用．描出这五个点，函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了．因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图．【答案】正弦曲线(0,0)(π，0)(2π，0)二．余弦函数图象1.变换法将正弦函数的图象向左平移eq\f(π,2)个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示．余弦函数y＝cosx，x∈R的图象叫做余弦曲线．它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线．2.五点法：y＝cosx，x∈[－π，π]的五个关键点为：，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，，用光滑曲线连接这五个点可得到x∈[－π，π]的简图．【答案】(－π，－1)(0,1)(π，－1)【当堂达标基础练】1画出下列函数的简图(1)y＝1＋sinx，x∈[0,2π]；(2)y＝－cosx，x∈[0,2π]．【解析】(1)按五个关键点列表：描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图1)．(2)按五个关键点列表：描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图2)．2.在同一坐标系画出下列函数的图象.通过观察两条曲线，说说它们的异同：3.用五点法分别画出下列函数在[-,]的图象：(1)y=-sinx；(2)y=2-cosx，x[0,2].解：(1)1)列表得：2)描出各点；3)用平滑的曲线将以上各点连接起来连线.解：(2)1)列表得：2)描出各点；3)用平滑的曲线将以上各点连接起来连线.4.想一想，函数y=|sinx|与y=sinx图象间的关系，并进行验证。【答案】ABC【当堂达标提升练】一、单选题1．用“五点法”作函数y＝2sinx－1的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是()A．0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π B．0，eq\f(π,4)，eq\f(π,2)，eq\f(3π,4)，πC．0，π，2π，3π，4π D．0，eq\f(π,6)，eq\f(π,3)，eq\f(π,2)，eq\f(2π,3)【答案】A【解析】依据“五点法”作图规则可知选A.2．若点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，－m))在函数y＝sinx的图象上，则m等于()A．0B．1C．－1D．2【答案】C【解析】当x＝eq\f(π,2)时，y＝sineq\f(π,2)＝1，故－m＝1，m＝－1.3．已知f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))，g(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))，则f(x)的图象()A．与g(x)的图象相同B．与g(x)的图象关于y轴对称C．向左平移eq\f(π,2)个单位，得g(x)的图象D．向右平移eq\f(π,2)个单位，得g(x)的图象【答案】D【解析】f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))，g(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝sinx，f(x)图象向右平移eq\f(π,2)个单位得到g(x)图象．4．将余弦函数y＝cosx的图象向右至少平移m个单位，可以得到函数y＝－sinx的图象，则m＝()A.eq\f(π,2) B．πC.eq\f(3π,2) D.eq\f(3π,4)【答案】C【解析】根据诱导公式得，y＝－sinx＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－x))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3π,2)))，故欲得到y＝－sinx的图象，需将y＝cosx的图象向右至少平移eq\f(3π,2)个单位长度．5．函数y＝cosx＋|cosx|，x∈[0,2π]的大致图象为()【答案】D【解析】由题意得y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2cosx，0≤x≤\f(π,2)或\f(3,2)π≤x≤2π，,0，\f(π,2)＜x＜\f(3,2)π.))显然只有D合适．二、填空题6．用“五点法”作函数y＝1－cosx，x∈[0,2π]的图象时，应取的五个关键点分别是______________．【答案】(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，1))，(2π，0)【解析】x依次取0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π得五个关键点(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，1))，(2π，0)．7．函数y＝cosx＋4，x∈[0,2π]的图象与直线y＝4的交点的坐标为________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，4))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，4))【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝cosx＋4，,y＝4))得cosx＝0，当x∈[0,2π]时，x＝eq\f(π,2)或eq\f(3π,2)，∴交点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，4))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，4)).8．函数y＝lg(eq\r(2)－2cosx)的定义域是________．【答案】eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋2kπ＜x＜\f(7π,4)＋2kπ，k∈Z))))【解析】由eq\r(2)－2cosx＞0得cosx＜eq\f(\r(2),2)，作出y＝cosx的图象和直线y＝eq\f(\r(2),2)，由图象可知cosx＜eq\f(\r(2),2)的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋2kπ＜x＜\f(7π,4)＋2kπ，k∈Z)))).]三、解答题9．用“五点法”作下列函数的简图．(1)y＝2sinx(x∈[0,2π])；(2)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5π,2))))).[解](1)列表如下：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2π2sinx020－20描点连线如图：(2)列表如下：xeq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πeq\f(5π,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))010－10描点连线如图：10．若函数y＝2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形(如图)，求这个封闭图形的面积．[解]观察图可知：图形S1与S2，S3与S4都是两个对称图形，有S1＝S2，S3＝S4.因此函数y＝2cosx的图象与直线y＝2所围成的图形面积，可以等价转化为求矩形OABC的面积．∵|OA|＝2，|OC|＝2π，∴S矩形OABC＝2×2π＝4π，∴所求封闭图形的面积为4π.11．用“五点法”作下列函数在长度一个周期的闭区间上的简图：(1)；(2)；(3).【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3)答案见解析【分析】（1）的周期为，取内的五点，列表描点可画出简图；（2）的周期为，取内的五点，求出对应的的值，列表描点即可；（3）的周期为，取内的五点，求出对应的的值，列表描点即可画出简图.(1)解：函数，列表如下；x0sinx010-10y000在上的图象如图所示：(2)函数，列表如下；x0x0y010-10在上的图象如图所示：(3)函数，列表如下；x0x0y020-20在上的图象如图所示：12．用五点法作出下列函数在上的图像.(1);(2).【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】(1)取分别为，求出对应的，然后描点,用平滑的曲线连接即可.(2)取分别为，求出对应的，然后描点,用平滑的曲线连接即可.【详解】解:(1)找五个关键点列表:x0010010121描点,作图如图所示.(2)找五个关键点列表:x0000100描点,作图如图所示.13．用五点法作函数的简图．【答案】见解析.【分析】分别取等于0，，，，，求出对应的的值，描点连线得出函数在的简图，再将在上的图像向左右拓展，得在上的图像.【详解】的周期，列表、描点，画出在一个周期内的图像.0200211把在上的图像向左右拓展，得在上的图像，如图所示.【当堂达标素养练】一、单选题1．如图所示，函数y＝cosx·|tanx|0≤x＜eq\f(3π,2)且x≠eq\f(π,2)的图象是()【答案】C【解析】当0≤x＜eq\f(π,2)时，y＝cosx·|tanx|＝sinx；当eq\f(π,2)＜x≤π时，y＝cosx·|tanx|＝－sinx；当π＜x＜eq\f(3π,2)时，y＝cosx·|tanx|＝sinx，故其图象为C.2．方程sinx＝eq\f(x,10)的根的个数是()A．7B．8C．9D．10【答案】A【解析】在同一坐标系内画出y＝eq\f(x,10)和y＝sinx的图象如图所示：根据图象可知方程有7个根．二、多选题3．若函数，的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则（

）A．当时， B．C． D．所围图形的面积为【答案】AC【分析】作出函数图象，利用图象逐个分析判断即可.【详解】作出函数，的图象，函数，的图象与直线y＝2围成的平面图形为如图所示的阴影部分．由图可知，当时，，故A正确；，故B错误；，故C正确；利用图象的对称性，知该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积，因为OA＝2，，所以，故D错误．故选：AC．4．关于函数，的图象与直线（为常数）的交点情况，下列说法正确的是（

）A．当或时，有0个交点 B．当或时，有1个交点C．当时，有2个交点 D．当时，有2个交点【答案】AB【分析】作出函数函数，的图象，数形结合，一一判断每个选项，可得答案.【详解】根据函数的解析式作出函数的图象如图所示,对于选项A，当或时，有0个交点，故A正确；对于选项B，当或时，有1个交点，故B正确；对于选项C，当时，只有1个交点，故C错误；对于选项D，当时，只有1个交点，故D错误．故选:AB．三、填空题5．在(0,2π)内，使sinx>cosx成立的x的取值范围是______．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4)))【解析】在同一坐标系中画出y＝sinx，x∈(0,2π)与y＝coseq\x(x)，eq\x(x)∈(0,2π)的图象如图所示，由图象可观察出当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4)))时，sinx>cosx．6．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs