5.3 诱导公式（第2课时）导学案-高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）（解析版）VIP

第第页5.3诱导公式（第2课时）导学案【学习目标】1.了解公式五和公式六的推导方法．2．能够准确记忆公式五和公式六．(重点、易混点)3．灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明．(难点)【自主学习】终边关系图示公式作用公式五角π2-α与角α的终边关于直线y= sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝.将π4～π2的角的三角函数转化为0～公式六角π2+α与角-α关于直线y=x对称，角-α与角α关于 略sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝【答案】cosαsinαcosα-【当堂达标基础练】【答案】【解析】【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查运算求解能力，求解时注意奇变偶不变，符号看象限这一口诀的应用5.证明【点睛】本题考查诱导公式的证明，考查逻辑推理能力和运算，求解能力，求解时注意利用诱导公式2-4进行证明诱导公式5和66.化简【当堂达标提升练】一、单选题1．若sin(3π＋α)＝－eq\f(1,2)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,2)－α))等于()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)【答案】A【解析】∵sin(3π＋α)＝－sinα＝－eq\f(1,2)，∴sinα＝eq\f(1,2).∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,2)－α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝－sinα＝－eq\f(1,2).2．已知sin10°＝k，则cos620°的值为()A．k B．－kC．±k D．不确定【答案】B【解析】cos620°＝cos(360°＋260°)＝cos260°＝cos(270°－10°)＝－sin10°＝－k.3．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(1,3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))等于()A．－eq\f(1,3) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2\r(2),3) D．－eq\f(2\r(2),3)【答案】A【解析】coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)＋\f(π,2)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝－eq\f(1,3).故选A.4．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是()A．－eq\f(2a,3) B．－eq\f(3a,2)C.eq\f(2a,3) D.eq\f(3a,2)【答案】B【解析】由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，得－sinα－sinα＝－a，即sinα＝eq\f(a,2)，cos(270°－α)＋2sin(360°－α)＝－sinα－2sinα＝－3sinα＝－eq\f(3,2)a.5．化简：eq\f(sinθ－5πcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)－θ))cos8π－θ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(3π,2)))sin－θ－4π)＝()A．－sinθ B．sinθC．cosθ D．－cosθ【答案】A【解析】原式＝eq\f(sinθ－πcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))cosθ,cosθsin－θ)＝eq\f(－sinθ－sinθcosθ,cosθ－sinθ)＝－sinθ.二、多选题6．下列结论中，正确的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根据诱导公式逐项分析即得.【详解】对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.故选：AD.7．已知角满足，则的取值可能为（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】分为奇数、为偶数两种情况讨论，利用诱导公式化简所求代数式，即可得解.【详解】因为，则且，当为奇数时，原式；当为偶数时，原式.故原式的取值可能为、.故选：AC.8．在平面直角坐标系中，角的始边为的正半轴，终边经过点，则下列式子正确的是（

）A． B．C． D．若为钝角，则【答案】CD【分析】根据终边上的点求出三角函数值进行计算，诱导公式，余弦函数在第二象限单调递减即可解决.【详解】解：因为角终边经过点，则对于：，故错误；对于：，故错误；对于：，故正确；对于：因为当，单调递减，而，即，所以，故正确.故选：CD.三、填空题9．化简sin(π＋α)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))cos(π＋α)＝________.【答案】－1【解析】原式＝(－sinα)·sinα＋cosα·(－cosα)＝－sin2α－cos2α＝－1.10．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋φ))＝eq\f(\r(3),2)，且|φ|＜eq\f(π,2)，则tanφ＝________.【答案】－eq\r(3)【解析】coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋φ))＝－sinφ＝eq\f(\r(3),2)，sinφ＝－eq\f(\r(3),2)，又∵|φ|＜eq\f(π,2)，∴cosφ＝eq\f(1,2)，故tanφ＝－eq\r(3).11．已知α是第四象限角，且cos(5°＋α)＝eq\f(4,5)，则cos(α－85°)＝________.【答案】－eq\f(3,5)【解析】因为α是第四象限角，且cos(5°＋α)＝eq\f(4,5)＞0，所以5°＋α是第四象限角，所以sin(5°＋α)＝－eq\r(1－cos25°＋α)＝－eq\f(3,5)，所以cos(α－85°)＝cos(5°＋α－90°)＝sin(5°＋α)＝－eq\f(3,5).四、解答题12．已知角α的终边经过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5))).(1)求sinα的值；(2)求eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))tanα－π,sinα＋πcos3π－α)的值．[解](1)因为点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5)))，所以|OP|＝1，sinα＝－eq\f(3,5).(2)eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))tanα－π,sinα＋πcos3π－α)＝eq\f(cosαtanα,－sinα－cosα)＝eq\f(1,cosα)，由三角函数定义知cosα＝eq\f(4,5)，故所求式子的值为eq\f(5,4).13．求证：eq\f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(3π,2)))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,2)))－1,1－2sin2θ)＝eq\f(tan9π＋θ＋1,tanπ＋θ－1).[证明]左边＝eq\f(－2cosθ·sinθ－1,sin2θ＋cos2θ－2sin2θ)＝eq\f(－sinθ＋cosθ2,cosθ＋sinθcosθ－sinθ)＝eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)，右边＝eq\f(tan8π＋π＋θ＋1,tanπ＋θ－1)＝eq\f(tanπ＋θ＋1,tanπ＋θ－1)＝eq\f(tanθ＋1,tanθ－1)＝eq\f(\f(sinθ,cosθ)＋1,\f(sinθ,cosθ)－1)＝eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)，所以等式成立．【当堂达标素养练】一、单选题1．若f(cosx)＝cos2x，则f(sin15°)的值为()A．－eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2) D.eq\f(1,2)【答案】A【解析】因为f(sin15°)＝f(cos75°)＝cos150°＝－eq\f(\r(3),2).2．计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝()A．89B．90C.eq\f(89,2)D．45【答案】C【解析】原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝44＋eq\f(1,2)＝eq\f(89,2).二、多选题3．在平面直角坐标系中，点，，，则下列说法正确的是（

）A．线段与的长均为1 B．线段的长为1C．当时，点，关于轴对称 D．当时，点，关于轴对称【答案】ACD【分析】对于A，直接代入公式计算即可；对于B，由结合勾股定理即可求得的长；对于C，将代入坐标即可；对于D，将代入坐标即可.【详解】由勾股定理可得，同理可得，故A正确；由题意得，由勾股定理得，故B错误；当时，即，即，点，关于轴对称，故C正确；当时，，即，即，故点，关于轴对称，故D正确.故选:ACD.4．已知函数，则（

）A． B．C．， D．，【答案】AD【分析】根据函数的解析式逐项检验函数是否满足相应的性质，必要时可利用反例.【详解】对于A，，故A正确.对于B，，故，故B错误.对于C，，故，故C错误.对于D，当k为奇数时，；当k为偶数时，，所以.故D正确.故选：AD.5．定义：角与都是任意角，若满足，则称与“广义互余”.已知，则下列角中，可能与角“广义互余”的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】由条件结合诱导公式化简可得，根据“广义互余”的定义结合诱导公式同角关系判断各选项的对错.【详解】∵，∴，若，则，所以，故A符合条件；，故B不符合条件；，即，又，∴，故C符合条件；，即，又，∴，故D不符合条件.故选：AC.6．在平面直角坐标系xOy中，点，，，则下列说法正确的是（

）A．线段与的长均为1 B．线段的长为1C．当时，点，关于y轴对称 D．当时，点，关于x轴对称【答案】ACD【分析】根据点坐标及两点距离公式、同角三角函数关系求得，且，结合各项描述、诱导公式、特殊角函数值判断它们的正误.【详解】由勾股定理得，同理得，故A正确；由题意得，由A及勾股定理得，故B错误；当时，，即，，即，点，关于y轴对称，故C正确；当时，，即，，即，故点，关于x轴对称，故D正确.故选：ACD三、填空题7．已知eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝2，则sin(θ－5π)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－θ))＝________.【答案】eq\f(3,10)【解析】∵eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝2,sinθ＝3cosθ，∴tanθ＝3.sin(θ－5π)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－θ))＝sinθcosθ＝eq\f(sinθcosθ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tanθ,tan2θ＋1)＝eq\f(3,10).8．已知锐角α终边上一点P的坐标是(2sin2，－2cos2)，则α等于________．【答案】2－eq\f(π,2)【解析】cosα＝eq\f(2sin2,\r(2sin22＋－2cos22))＝sin2，∵α为锐角，∴α＝2－eq\f(π,2).四、解答题9．已知f(α)＝eq\f(tanπ－αcos2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),cos－α－π).(1)化简f(α)；(2)若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝－eq\f(3,5)，且α是第二象限角，求tanα.[解](1)f(α)＝eq\f(tanπ－αcos2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),cos－α－π)＝eq\f(－tanα·cosα·cosα,－cosα)＝sinα.(2)由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝－eq\f(3,5)，得cosα＝－eq\f(3,5)，又α是第二象限角，所以sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(4,5)，则tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(4,3).10．已知为第三象限角，且．(1)化简；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据诱导公式化简即可；（2）利用三角函数平方关系，结合角的象限，计算即可.（1）（2）∵，∴又为第三象限角，∴11．已知角满足(1)若角是第三象限角，求的值;(2)若，求的值.【答案】(1)；(2)答案见解析.【分析】（1）根据同角三角函数关系，求得，即可求得结果；（2）利用诱导公式化简，根据（1）中所求，即可求得结果.【详解】（1）由题意和同角三角函数基本关系式，有，消去得，解得或因为角是第三象限角，所以，，（2），当角是第一象限角时，，当角是第三象限角时，，12．已知．(1)求的值；(2)若为第四象限角，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用已知条件化简求出的值，然后利用诱导公式及弦化切，将代入计算即可；（2）利用及，根据在第四象限角求解即可.【详解】（1）由题意得，.（2）由，得，代入，得，因为为第四象限角，所以，，故．13．已知α是第三象限角，且.(1)化简；(2)若，求；(3)若，求.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据诱导公式化简求解.（2）利用同角三角函数的基本关系以及余弦在各象限的符号进行求解.（3）利用诱导公式进行大角化小角，负角化正角，再利用特殊角的余弦值进行求解.（1）根据诱导公式有：（2）因为，α是第三象限角，所以所以（3）因为，所以.14．已知，为第