2.4.3-函数的单调性

一、函数单调性与导数的关系函数的单调性二、利用导数求函数的单调区间§2-4.3xyo复习函数单调性定义xyo观察与思考1结论：利用单调性的定义判断函数单调性太困难解：讨论函数的单调性。观察与思考2问题：函数的单调性与导数的符号有什么关系？观察结果：

函数单调增加时导数大于零f

(x)>0

函数单调减少时导数小于零f

(x)<0定理2.8

设函数

y=f(x)在区间

(a,b)

内可导，(1)若当

x

(a,b)时，f

(x)>0，则

f(x)在(a,b)内单调递增；(2)若当

x

(a,b)时，f

(x)<0，则

f(x)在(a,b)内单调递减.一、单调性的判别法证设x1，x2为(a,b)内的任意两点，且

x1<x2，则由拉格朗日中值定理有(1)若当f

(x)>0，则f

(x)>0，于是因为

x2–

x1>0，所以f(x2)–

f(x1)>0，即当

x2>x1时，有f(x2)>f(x1)，可知f(x)

在

(a,b)内递增.(2)对于

f

(x)<0的情形,其证法与(1)的类似.其中x

().例1

判定函数y

x

sinx

在[0

2p]上的单调性

因为在(0,2p)内

y

1

cosx>0

所以函数y

x

sin

x在[0

2p]上的单调增加

解

练习1注意1:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．注意2：若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.讨论函数的单调性.

y-2O2-4-224xy=x3注意3如果在区间(a,b)内f

(x)

0(或f

(x)

0)，但等号只在个别点处成立，那么f(x)在(a,b)内仍旧是单调增加(或单调减少)的。例2．确定函数y

x3的单调性。所以函数y

x3在区间(

,

)内是单调增加的。且仅当x

0时，y

0，因为y

3x2

0，解：二、单调区间求法问题:函数的单调区间如何划分?可能是分界点:导数等于零的点不可导点。O确定某个函数的单调区间的一般步骤是：(1)确定函数的定义域；(2)求出使f

(x)=0和f

(x)不存在的点，并以这些点为分界点,将定义域分为若干个子区间；(3)确定

f

(x)在各个子区间内的符号，从而判定出f(x)的单调性.(列表格判断)解

(1)该函数的定义区间为(,)；它们将定义区间分为三个子区间：(,-2)，(-2,1)，(1,

)；所以(,-2)和(1,

)是

f(x)的递增区间，[-2,

1]是f(x)的递减区间.

-

x(,-2)(-2,1)

(1,)

f

(x)f(x)例4：讨论函数的单调性.

解:定义域为R,

10000注:驻点不一定就是单调分界点!单调增加区间为解

(1)该函数的定义区间为(

，)；.325)1(32)()2(313231xxxxxxf’-=+-=

-例

5此外，显然x=0

为f(x)的不可导点，分定义区间为三个子区间(,0)，列表表示f(x)的单调性：x(

,0)f(x)－

f(x)内单调减少。练习2求函数f(x)=x3-3x的单调区间．解

(1)该函数的定义区间为(,)；(2)

f

(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)，令f

(x)=0，得

x=-1，x=1，它们将定义区间分为三个子区间：(,-1)，(-1,1)，(1,

)；列表讨论：x(,-1)(-1,1)(1,)f

(x)

-

f(x)其中箭头，分别分表示函数在指定区间递增和递减.-2-112-2-112Oxyy=x3-3x所以(,-1)和(1,

)是

f(x)的递增区间，

[-1,

1]是f(x)的递减区间.解定义域为单调增加区间为x1200f(x)单调减少区间为（1，2）练习3.31292)(23的单调区间确定函数-+-=xxxxf解单调减少区间为练