天津市滨海区2023年九年级上学期《数学》期中试题和参考答案

天津市滨海新区2023年九年级上学期《数学》期中试题和参考答案一、选择题本大题共12小题，共36分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项。1.下列图形中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【详解】、是中心对称图形，故此选项正确；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、不是中心对称图形，故此选项错误；故选：．2.一元二次方程x（x＋2）＝0的解为（）A.x＝0 B.x＝﹣2C.x1＝0，x2＝2 D.x1＝0，x2＝﹣2【答案】D【详解】∵x（x+2）=0，∴x=0或x+2=0，∴x1=0，x2=-2，故选：D．3.用配方法解方程，变形后的结果正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【详解】∵，∴，即，故选：B．4.把抛物线向右平移5个单位，则平移后所得抛物线的表达式为（）A. B.C. D.【答案】D【详解】因为抛物线向右平移5个单位，所以平移后所得抛物线的表达式为，故选D．5.二次函数的图象的顶点坐标是（）A. B. C. D.【答案】C【详解】二次函数的图象的顶点坐标是，故选：C．6.二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是()．A. B.C. D.【答案】C【详解】观察二次函数的图象得：，∴，，∴一次函数的图象经过第一、三、四象限．故选：C7.如图，已知BC是的直径，过点B的弦BD平行于半径OA，若∠B的度数是60°，则的度数是（）A. B.C.30° D.20°【答案】C【详解】∵，∠B=60°，∴∠AOB=∠B=60°，∵∠AOB=2∠C，∴∠C=30°．故选：C8.如图，是的直径，弦于点E，若，则弦的长是（）A. B.C.6 D.8【答案】C【详解】连接，∵是的直径，弦，∴，∵，∴，∴∴．故选：C．9.如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=130°，则∠BOD的大小是（）A.50° B.100°C.110° D.120°【答案】B【详解】∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=130°，∴∠BAD=180°-∠BCD=50°，∴∠BOD=2∠BAD=100°．故选B．10.如图，在中，将绕点顺时针旋转得到，且于点，则的度数为（）A. B.C. D.【答案】B【详解】由旋转的性质可知：，，，，．，故选：B．11.如图，边长为1的正方形绕点A逆时针旋转得到正方形，连接，则的长是（）1 B. C. D.【答案】B【详解】如图所示，连接、∵四边形是四边形逆时针旋转∴，∴是等边三角形∴在中，∴故选：B．12.如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①；②；③当时，随的增大而增大；④一元二次方程的两根分别为，；⑤若为方程的两个根，则且，其中正确的结论有（）个．A.2 B.3C.4 D.5【答案】A【详解】由函数图象可得，，，，则，故①正确；，得，时，，，，，故②正确；由图象可知，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故③错误；抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，该抛物线与轴的另一个交点的坐标为，的两个根为，，两个根为，，一元二次方程的两根分别为，，故④正确；该函数与轴的两个交点为，，该函数的解析式可以为，当时，当对应的的值一个小于，一个大于2，若，为方程的两个根，则且，故⑤正确；故选：C．二、填空题本大题共6小题，共18分。13.在直角坐标系中，点A（－7，1）关于原点对称的点的坐标是_______．【答案】（7，-1）【详解】点（-7，1）关于原点对称的点是（7，-1）．故答案为：（7，-1）．14.若方程是关于的一元二次方程，则满足的条件是______．【答案】【详解】关于的方程是一元二次方程，，解得．故答案是：．15.已知二次函数（为常数）的图象与轴有两个交点，其中一个交点为，则另一个交点是______．【答案】【详解】将代入函数可得，，解得，即，当时，，解得：，，∴另一个交点为故答案为：．16.已知点在抛物线上，则的大小关系是_____（用“<”连接）．【答案】【详解】分别将代入，得：，，，∴．故答案为：．17.如图，等腰内接于，已知，，是的直径，如果，则_____________．【答案】2【详解】∵∴，∵四边形内接于，∴∵是的直径，∴∴∴，由圆周角定理得，∴故答案为：2．18.如图，在中，，，．将绕点按逆时针方向旋转后得，直线DA、BE相交于点F．取BC的中点G，连接GF，则GF长的最大值为____________cm．【答案】4【详解】取的中点，连接、，如图：是由绕点旋转得到，，，，设，则，在四边形中，，在中，，，，，中，，是中位线，，而，当、、在一条直线上时，最大，最大值为，故答案为：4．三、解答题本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤。19.解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1），（2），【小问1详解】解：二次项系数化为一得，，移项得，，两边同时加即，两边开平方可得，解得：，；【小问2详解】解：移项得，．两边同时加，即，两边开平方可得，解得：，20.已知二次函数．（1）该二次函数图象的对称轴为直线_________，顶点坐标为_________；（2）请在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象，并根据图象直接写出当时，的取值范围．【答案】（1）；（2）图见解析；的取值范围是【小问1详解】解：∵，∴顶点坐标为，∴该二次函数图象的对称轴为；故答案为：；【小问2详解】解：∵当时，，∴该二次函数图象与轴的交点为，∵当，则，解得：，，∴该二次函数图象与轴的交点为，，∴二次函数的图象如下图所示：当时，的取值范围为：．21.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过点A作AB⊥OP，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与PA的延长线交于点D．（1）求证：PB为⊙O的切线；（2）若OB=3，OD=5，求OP的长．【答案】（1）见解析；（2）3【详解】（1）证明：连接OA，∵AB⊥OP，OB=OA，∴∠BOP=∠AOP，∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP=90°，在△OBP与△OAP中，∴△OBP≌△OAP（SAS），∴∠OBP=∠OAP=90°．∴OB⊥PB．∴PB是⊙O的切线；（2）∵OD=5，OA=OB=3，∴在Rt△AOD中，AD==4，∵PA、PB为⊙O的切线，∴PA=PB，在Rt△DBP中，PD2=PB2+BD2，即（PB+4）2=PB2+82，解得，PB=6，在Rt△OBP中，OP==3．22.在中，，将绕点C顺时针旋转，得，D，E分别是点B，A的对应点．记旋转角为．（1）如图①，连接AD，若，，，求AD的长；（2）如图②，连接BD，若，求证：．【答案】（1）10；（2）见解析（2）由（1）知，，由旋转的性质得，则是等边三角形，得到，则，．【详解】（1）由旋转的性质可得，，∵，∴．∵是旋转得到的，∴在中，根据勾股定理得．（2）由（1）知，，由旋转的性质得，∴是等边三角形．∴．又，∴．∴．23.一种工艺品的进价为元，标价元出售，每天可售出件，根据销售统计，一件工艺品每降价元出售，则每天可多售出件．设该工艺品每件降价元，请回答下列问题：（1）用含的代数式表示：①降价后每售一件该工艺品获得利润______元；②降价后平均每天售出______件该工艺品．（2）每天获得利润为元，求每天获得的利润与降价元之间的函数关系式？要使每天获得的利润最大，每件需降价多少元？最大利润为多少元？【答案】（1）①；②（2）每天获得的利润与降价元之间的函数关系式为：，要使每天获得的利润最大，每件需降价元，最大利润为元【小问1详解】该工艺品每件降价元，降价后每售一件该工艺品获得利润为元；降价后平均每天售出件工艺品，故答案为：；．【小问2详解】由题意得：，，当时，每天获得的利润最大，最大利润为元．每天获得利润与降价元之间的函数关系式为：，要使每天获得的利润最大，每件需降价元，最大利润为元．24.如图，将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，使点恰好落到线段上的点处，连接，连接交于点．（1）求证：平分；（2）取的中点，连接，求证：；（3）若，求的长．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）的长为【小问1详解】证明：将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，使点恰好落到线段上的点处，，，，，，平分；【小问2详解】证明：过点作于，如图：平分，，，，，，，，≌，，即点是中点，点是中点，是的中位线，∴；【小问3详解】解：过点作于，过作于，如图：，，，，，，，，在中，，的长为．25.如图，关于x的二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且过点．（1）求b的值及该二次函数图象的对称轴；（2）连接，求的面积；（3）在上方抛物线上有一动点M，请直接写出的面积取到最大值时，点M的坐标．【答案】（1），二次函数对