天津市北辰区2023年九年级上学期《数学》期中试题和参考答案

天津市北辰区2023年九年级上学期《数学》期中试卷与参考答案一、选择题本大题共12小题，每小题2分，共24分。1.下列各届冬奥会会徽的部分图案中，是中心对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】A【详解】选项A：是中心对称图形，故本选项符合题意；选项B：不是中心对称图形，故本选项不符合题意；选项C：不是中心对称图形，故本选项不符合题意；选项D：不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：A．2.下列方程属于一元二次方程的是（）A. B.C.x﹣3＝0 D.【答案】B【详解】A、方程中未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；B、只含有1个未知数，未知数的最高次数是2，故该选项符合题意；C、方程中未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；D、该方程不是整式方程，故该选项不符合题意；故选：B．3.将方程配方后，原方程可变形为（）A. B.C. D.【答案】A【详解】．故选A．4.方程的根的情况是（）A.没有实数根 B.只有一个实数根C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根【答案】D【详解】∵，∴方程有两个不相等的实数根．故选：D．5.将抛物线y＝x2向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的解析式为（）A.y=（x-1）2+2 B.y=（x+1）2-2C.y=（x-1）2-2 D.y=（x+1）2+2【答案】D【详解】∵抛物线y＝x2向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度,∴．故选D．6.如图所示，阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为y＝﹣（x﹣2）2+6，则水柱的最大高度是（）A.2 B.4C.6 D.2+【答案】C【详解】∵抛物线形水柱，其解析式为y＝﹣（x﹣2）2+6，∵a=-1＜0∴当x=2时，水柱的最大高度是：6．故选C．7.设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝x2﹣2x+c上的三点，y1，y2，y3的大小关系为（）A.y1＞y2＞y3 B.y1＞y3＞y2C.y3＞y2＞y1 D.y3＞y1＞y2【答案】B【详解】∵y＝x2﹣2x+c，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∵1﹣（﹣2）＞2﹣1＞1﹣1，∴y1＞y3＞y2．故选：B．8.如图，绕点O逆时针旋转到位置，已知，则等于（）A. B.C. D.【答案】B【详解】∵绕点O逆时针旋转到的位置，∴，∵，∴．故选：B9.如图，学校课外生物小组试验园地的形状是长40米、宽34米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为960平方米．则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（）A. B.C. D.【答案】A【详解】如图，把三条小路平移到边上，构造完整的种植区域是矩形，由题干可知，大的矩形长40米、宽34米，小路宽为米，所以种植区域的长为（）米，宽为（）米，根据矩形面积公式可得，（40﹣2x）（34﹣x）＝960．故选：A．10.抛物线与轴的交点坐标是（）A.（0，1） B.（1，0）C. D.【答案】A【详解】由与轴的交点可得，当时代入，解得，所以坐标是.本题的答案是：A11.点关于原点对称的点Q的坐标为（）A. B.C. D.【答案】C【详解】点关于原点对称的点Q的坐标为，故选：C．12.如图，已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，以下4个结论：①；②；③；④（的实数）．其中正确结论的有（）A.3个 B.4个C.2个 D.1个【答案】A【详解】∵抛物线开口向下，∴a＜0；∵抛物线的对称轴为直线x==1，∴b＞0；∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；当x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0，当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0，∴（a-b+c）（a+b+c）＜0∴∴所以②正确；当x=2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，所以③正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴x=1时，y有最大值a+b+c，∴a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），∴a+b＞m（am+b），所以④错误．故选：A．二、填空题本大题共6个小题，每小题3分，共18分。13.方程的一次项系数是______．【答案】-8【详解】方程的一次项是，其系数是．故答案是：．14.一元二次方程(x-4）(x+9)=0的较小的根为_______【答案】x=-9【详解】∵(x-4）(x+9)=0，∴x=4或x=-9，故答案为：-9．15.抛物线的对称轴是_____．【答案】直线【详解】∵，∴对称轴是直线，故答案为：直线．16.若二次函数的图象经过原点，则m＝__________．【答案】2【详解】根据二次函数图象过原点，把代入解析式，得，整理得，解得，∵，∴，∴．故答案为：2．17.如图，将绕点O逆时针旋转得到，若点B在上，则_____．【答案】80【详解】∵绕点O逆时针旋转得到，∴，，，∴∴，故答案为：．18.已知实数，满足等式，，则的值是______．【答案】【详解】∵实数，满足等式，，∴m，n是方程的两实数根，∴，，∴，故答案为：三、解答题本大题共7小题，19-24每题8分，25题10分，共58分。19.解方程：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【小问1详解】解：【小问2详解】解：20.在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为．画出关于原点O成中心对称的．【答案】见解析【详解】如图所示，即为所求．21.已知关于x的一元二次方程（m为常数）．（1）若是该方程的一个实数根，求m的值和该方程的另一个实数根；（2）若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．【答案】（1），该方程的另一个实数根为（2）【小问1详解】解：∵是该方程的一个实数根，∴，解得：，∴原方程为：，令方程的另一实数根为y，则有：，解得：；∴，该方程的另一个实数根为；【小问2详解】∵方程有两个不相等的实数根，∴，解得：．22.在中，，将绕点C顺时针旋转，得，D，E分别是点B，A的对应点．记旋转角为．（1）如图①，连接AD，若，，，求AD的长；（2）如图②，连接BD，若，求证：．【答案】（1）10；（2）见解析【详解】（1）由旋转的性质可得，，∵，∴．∵是旋转得到的，∴在中，根据勾股定理得．（2）由（1）知，，由旋转的性质得，∴是等边三角形．∴．又，∴．∴．23.某商品现在的售价是每件60元，每周可卖出300件．市场调查反映：若调整价格，每涨价1元，每周可少卖出10件．已知该商品的进价是每件40元．设该商品每件涨价x元（0≤x≤30）．（1）根据题意填写表：售价（元/件）每件利润（元）每周销量（件）每周利润（元）现在602030020×300＝6000涨价后60+x20+x（2）若计划每周的利润为6160元，该商品每件应涨价多少？【答案】（1）；（2）该商品每件应涨价2元或8元【小问1详解】解：依题意得：该商品每件涨价x元时，每件利润为元，每周销量为件，每周利润为元．故答案为：；．【小问2详解】依题意得：＝6160，整理得：，解得：．答：该商品每件应涨价2元或8元．24.如图，直线和抛物线都经过点．（1）求抛物线的解析式和顶点P的坐标；（2）直接回答，当x为何值时，不等式．【答案】（1）抛物线的解析式为，抛物线的顶点（2）当或时，【小问1详解】∵直线经过点．∴，解得，∴抛物线的解析式为，∵，∴抛物线的顶点；【小问2详解】由函数图像可知，当或时，抛物线在直线上方，∴当或时，．25.如图，抛物线交x轴于点A（1，0），交y轴交于点B，对称轴是直线x＝2．（1）求抛物线的解析式；（2）若在抛物线上存在一点D，使△ACD的面积为8，请求出点D的坐标．（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）D（5，8）或（﹣1，8）（3）存在，（2，1）【小问1详解】解：由题意得∶，解得，∴抛物线的解析式为；【小问2详解】解：令y=0，则，解得：，∴点C（0，3），∴AC=2，设D（m，n），∵△ACD的面积为8，∴0.5×2×|n|＝8，∴n＝±8，当n＝8时，，解得x＝5或﹣1，∴D（5，8）或（﹣1，8），当n＝﹣8时，，方程无解，综上所述，D（5，8）或（﹣1，8）；【小问3详解】解：连接BC与直线x＝2交于点P，∵点A与点C关于x＝2对称，∴AP=CP，∴△PAB的周长为PA