人教版九年级上册数学：《二次函数》教学学案

22.1.1二次函数

i.理解、掌握二次函数的概念和一般形式.

2.会利用二次函数的概念解决问题.

3.列二次函数表达式解决实际问题.

一、情境导入

已知长方形窗户的周长为6米，窗户面积为y(米与，窗户宽为x(米)，你能写出y与x

之间的函数关系式吗？它是什么函数呢？

二、合作探究

探究点一：二次函数的有关概念

［类型一］二次函数的识别

@D下列函数哪些是二次函数？

My—2—x(2)y~x^_।：

(3)y=2x(l+4x);(4)y=f-(l+x)2.

解析：(1)是二次函数：(2)三匕是分式而不是整式，不符合二次函数的定义式，故y

］不是二次函数;(3)把y=2x(l+4x)化简为7=8/+2入，显然是二次函数；(4)片=/

一(1+x)，化简后变为y=-2%—1,它不是二次函数而是一个一次函数.

解:二次函数有⑴和(3).

方法总结:判定一个函数是否是二次函数常有三个标准:①所表示的函数关系式为整式;

②所表示的函数关系式有唯一的自变量；③所含自变量的关系式最高次数为2,且函数关系

式中二次项系数不等于o.

［类型二］确定二次函数中待定字母的取值

n如果函数尸(4+2)x*2—2是y关于x的二次函数，则4的值为多少？

解析：紧扣二次函数的定义求解.注意易错点为忽视才+2W0的条件.

"2=2,k=+2,

解：根据题意知解得

A+2W0,k#—2,

方法总结：紧扣定义中的两个特征：①a#0；②自变量最高次数为2的二次三项式aV

+bx-\-c.

【类型三】求函数值

回E1当x=-3时，函数y=2—3x—1的值为_.

解析：把片=一3直接代入函数的表达式得y=2-3X(一3)一(一3尸=2+9-9=2.即函

数的值为2.

方法总结：求函数值实际上就是求代数式的值.用所给的自变量的值替换函数关系式中

的自变量，然后计算，注意运算顺序不要改变.

［类型四］确定自变量的取值

画EJ当x=时，函数y=f+5x—5的函数值为1.

解析：令y—l,即f+5x—5=1,解这个一元二次方程得小=-6,及=1.即x=-6

或1.

方法总结：求二次函数自变量的值实际上就是解一元二次方程.直接转化为关于自变量

的一元二次方程，通过解方程确定自变量的取值.

探究点二：列二次函数的解析式

一个正方形的边长是12cm,若从中挖去一个长为2xcm,宽为(x+l)cm的小长方

形.剩余部分的面积为/

(1)写出y与x之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数？

(2)当x的值为2或4时，相应的剩余部分面积是多少？

解析：几何图形的面积一般需要画图分析，相关线段必须先用X的代数式表示出来.如

图所示.

解：⑴尸12?—2x(x+l),即y=-2f—2x+144,是x的二次函数.

(2)当x=2或4时，相应的y的值分别为132cm2或104cm2.

方法总结：二次函数是刻画现实世界变量之间关系的一种常见的数学模型.许多实际问

题的解决，可以通过分析题目中变量之间的关系，建立二次函数模型.

陶@某商品的进价为每件40元.当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需

降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件.在确保盈利的前提下，解

答下列问题：若设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系

式，并求出自变量x的取值范围.

解析：根据题意可知：实际商品的利润为(60—*一40),每星期售出商品的数量为(300

+20x),则每星期售出商品的利润为y=(60-X-40)(300+20^),化简，注意要求出自变

量x的取值范围.

解：由题意，得：y=(60-^-40)(300+20x)=(20-^)(300+20x)=-20Y+100x+

6000,自变量x的取值范围为0</20.

方法总结：销售利润=单位商品利润X销售数量；商品利润=售价一进价.

三、板书设计

教学过程中，强调判断一个函数为二次函数的三个条件，可对比己学过的一次函数，进一步

巩固函数的有关知识.

22.1.1二次函数

教学目标：

(1)能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

(2)注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯

占先!,占、

能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

教学过程：

一、试一试

1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm,先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的

长，进而得出矩形的面积ym?.试将计算结果填写在下表的空格中，

AB长123456789

x(m)

BC长(m)12

面积y(m2)48

2.x的值是否可以任意取?有限定范围吗？

3.我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定，y是x的函数，试写出这

个函数的关系式，

对于1.,可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观

察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题

的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm,BC的长

为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。

对于2,可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形成共识，x的值不可以任

意取，有限定范围，其范围是0<x<10。

对于3,教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出

y=x(20-2x)(0<x<10)就是所求的函数关系式.

二、提出问题

某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件.该店想通过

降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其

销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？

在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答：

1.商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系？

困润=(售价一进价)X销售量]

2.如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元？

[10—8=2(元)，(10-8)X100=200(元)]

3.若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品?

[(10-8-x)；(100+100x)1

4.x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围，

[x的值不能任意取，其范围是0WxW2]

5.若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。

[y=(10-8-x)(100+100x)(0WxW2)]

将函数关系式y=x(20-2x)(0<xV10=化为：

y=-2x2+20x(0<x<10)..........................................(1)

将函数关系式y=(10—8—x)(100+100x)(0WxW2)化为：

y=-100x2+100x+20D(0WxW2).............................(2)

三、观察；概括

1.教师引导学生观察函数关系式(1)和(2),提出以下问题让学生思考回答；

(1)函数关系式(1)和(2)的自变量各有几个？

(各有1个)

(2)多项式-2x2+20和-100x2+100x+200分别是几次多项式？

(分别是二次多项式)

(3)函数关系式(1)和(2)有什么共同特点？

(都是用自变量的二次多项式来表示的)

(4)本章导图中的问题以及P1页的问题2有什么共同特点？

让学生讨论、交流，发表意见，归结为：自变量x为何值时，函数y取得最大值。

2.二次函数定义：形如y=ax?+bx+c(a、b、、c是常数，aWO)的函数叫做x的二次函数,

a叫做二