上海市重点名校2017-2018学年高二下学期期末联考数学试题

上海市重点名校2017-2018学年高二下学期期末联考数学试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在复平面上，复数出对应的点在()

1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】

直接把给出的复数写出代数形式，得到对应的点的坐标，则答案可求.

【详解】

由题意，复数手=l+[i,

22

所以复数11对应的点的坐标为(1,二)位于第一象限，故选A.

22

【点睛】

本题主要考查了复数的代数表示，以及复数的几何意义的应用，其中解答中熟记复数的代数形式和复数的

表示是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

2.设复数z满足(l+i)z=3+i,贝！J|z|=()

A.72B.2c.272D.非

【答案】D

【解析】

分析：先根据复数除法得z,再根据复数的模求结果.

详解：因为(l+z)z=3+i,所以z=*=Q(3+i)(l—i)=2—i,

因此同=好,

选D.

点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如

(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,(a,b,c.dGR).其次要熟悉复数相关基本概念，如复数

。+初(。/£火)的实部为4、虚部为人、模为Jq2+匕2、对应点为(a,6)、共朝为a-瓦.

3.已知函数/(x)=xlnx,则/(x)在％=e处的切线方程为()

A.x-y=0B.x-y-l=0c.2x-y-e=0D.(e+l)x-ey-e=0

【答案】C

【解析】

分析：求导得到/(九)在尤=6处的切线斜率，利用点斜式可得/(X)在尤=6处的切线方程.

详解：已知函数/(x)=xlnx,则/'(x)=l+lnx,则/'(e)=l+lne=2,即/(x)在光=e处的切线斜

率为2,又/(e)=elne=e,则/(%)在龙=0处的切线方程为y-e=2(x-e),即2x—y—e=0.

故选C.

点睛：本题考查函数在一点处的切线方程的求法，属基础题.

4.若复数z满足z(l+i)=4—2z"为虚数单位)，则彳=()

A.1+31B.1—3,C.—1—3zD.-l+3z

【答案】A

【解析】

【分析】

根据复数的除法运算可求得z；根据共朝复数的定义可得到结果.

【详解】

4-2/_(4-20(1-0_2-6f^

由题意得:1+z-(l+z)(l-z)-2-—1,-.z=l+3z

本题正确选项：A

【点睛】

本题考查共辗复数的求解，关键是能够利用复数的除法运算求得Z,属于基础题.

5.已知点p是曲线(&为参数，n<8<万)上一^点，点。(-1n”则|PQ的取值氾围

{%=3+cos0,

y=3+sind.

是

ABCD

-[xlO,vl3+1]-[vl3-l,v113+1]-[4,6]-[3VI,6]

【答案】D

【解析】

【分析】

将曲线匚的参数方程化为普通方程，可知曲线匚是圆卜_3)2+(y_3)2=]的上半圆，再利用数形结合思

想求出IPQ的最大值和最小值。

【详解】

曲跳表示半圆3尸+()，-3)2-"4)，卬=«3+1)2+(3-0)、5,

所以|PQ|<|CQ|+1=6。

取』(2,3)，|AQ|=V(2+1)2+(3-0)3=3、％结合图象可得|PQ|>|AQ|=3、2故选：Do

【点睛】

本题考查参数方程与普通方程之间的转化，同时也考查了点与圆的位置关系，在处理点与圆的位置关系的

问题时，充分利用数形结合的思想，能简化计算，考查计算能力与分析问题的能力，属于中等题。

6.已知同="仰=2,Ka1(a-b),则向量〃在人方向上的投影为()

A.1B.72C.D.当

【答案】C

【解析】

【分析】

【详解】

分析：由推导出b)=〃—=0,双而cos@b)=与,由此能求出向量a在向量

匕方向上的投影.

详解：同="网=2,且a_L(a—Z?),

a-^a-b^=a2-a-b=3—6><2><cos(a,b)=0,

cos(a,Z?)=，

二向量a在向量匕方向上的投影为同cos(a,》=逐义与=3,故选C.

点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一

是a-Z?=HMcos。，二是。2=石%2+乂%，主要应用以下几个方面：(1)求向量的夹角，cos6，=p^|

a-b

(此时a/?往往用坐标形式求解)；(2)求投影，〃在b上的投影是不；(3)。)向量垂直则〃/=()；⑷

求向量ma+/力的模(平方后需求。为).

7.执行如图所示的程序框图，当输出S的值为-6时，则输入的So=()

/内出s/

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【解析】

【详解】

分析：根据循环结构的特征，依次算出每个循环单元的值，同时判定是否要继续返回循环体，即可求得S

的值.

详解：，=l,S=So

S=S。—2,7=2

'

5=S0-2-4,z=3

S=5,0-2-4-8,z=4

因为当i<4不成立时，输出S,且输出S=-6

所以-6=S0-2-4-8

所以S0=8

所以选B

点睛：本题考查了循环结构在程序框图中的应用，按照要求逐步运算即可，属于简单题.

’2工-1%>-1

8.已知函数小)=］小；2口“1，则”一3)=<)

71

A.——B.--C.1D.7

82

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，由函数的解析式可得/(—3)=/(—1)=/(1).,又由/•⑴=21—1=1即得到答案。

【详解】

由函数的解析式可得/(—3)=/(—1)=/(1).，又由/■⑴=21—1=1,则/(-3)=1.

【点睛】

本题考查了分段函数，解答的关键是运用函数的周期性把/(-3)转化有具体解析式的范围内。

b

9.若直线y=a%+>与曲线/(x)=lnx—1相切，则一的最小值为()

a

121

A.---B.-C.-eD.--

eee

【答案】C

【解析】

b

分析：由直线与曲线相切，可以表示出a,b的值，然后用导数求出一的最小值

a

详解：由题意可得，设切点坐标为(％，/叫)-1)

f(x)=lwc-l,f'[x)=—,则a=L

Xxo

axQ+b-lnx(i-1

:,b=lnxQ—2

b

则一=%/几%—2%o,g(x)=xlnx-2x

a

=/nx+l-2=/nx-l=0,x=e

XG(O,e)时,g[x)<0,g(x)递减

xe[e,+co)时，g,(x)>0,g(x)递增

，g(XL=g(e)=e—2e=—e

b

；•一的最小值为一e

a

故选C

点睛：本题主要考查了运用导数的几何意义来求相切情况，在解答多元问题时，要将其转化为单元问题,

本题在求解中转化为关于变量七的最值，利用导数即可求出最小值。

10.用反证法证明”\/jceR,2x>0”时，应假设()

%

A.3x0eR,2^<0B.3x0eR,2'<0

x0

C.VxeR,2<0D.3x0eR,!">0

【答案】A

【解析】

【分析】

根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即可得出正确选项.

【详解】

根据反证法的步骤，假设是对原命题的否定，p（X0）成立的否定是使得P（X0）不成立，即用反证法证明

“VxCR,2X>O”,应假设为mxoCR,2M<0

故选：A.

【点睛】

本题考查反证法的概念，全称命题的否定，注意“改量词否结论”

11.某班有50人，从中选10人均分2组（即每组5人），一组打扫教室，一组打扫操场，那么不同的选

派法有（）

A.C-CfoB.C.尺D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据先分组，后分配的原则得到结果.

【详解】

由题意，先分组，可得G-C1，再一组打扫教室，一组打扫操场，可得不同的选派法有

2

故选A.

【点睛】

不同元素的分配问题，往往是先分组再分配.在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组;

③部分均匀分组.注意各种分组类型中，不同分组方法的求解.

12.已知AA5C的边AB,AC的长分别为20,18,ABAC=120°，则AABC的角平分线AD的长为（）

A.圆用B.型C,>出不

19191919

【答案】C

【解析】

【分析】

910

利用角平分线定理以及平面向量的线性运算法则可得=右AB+右AC,两边平方，利用平面向量数

1919

量积的运算法则，化简即可得结果.

【详解】

C

工

AB

如图，因为AD是AA3C的角平分线，

叱,、，BDAB2010

Bn以===，

DCAC189

所以AZ>=A3+B£)=+

^AB+1-9(vAC-AB>\^—19AB+—19AC,

910

即A£>=3AB+、AC.

1919

两边平方得A£)2=J卜1x2()2+100x182+2x10x9x18x20x(—g]=(町)，

所以A£>=|叫=需，故选C.

【点睛】

本题主要考查平面向量的线性运算法则，以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题.向量数量积的运

算主要掌握两点：一是数量积的基本公式。为=|。|网cos。；二是向量的平方等于向量模的平方

二、填空题：本题共4小题

13.从长度分别为1、2、3、4的四条线段中，任取三条的不同取法共有几种，在这些取法中，以取出的三条

线段为边可组成的三角形的个数为相，则一等于.

n

【答案】T

4

【解析】

【分析】

分别求出他，”即可.

【详解】

从4条长度不同的线段中任取3条，共有4种取法，即〃=4,可组成三角形的只有一种(2,3,4),因此机=1,

•m_1

••一•

n4

故答案为：—.

4

【点睛】

本题考查事件的概念，求事件的个数.解题时可用列举法列出任取3条线段的所有可能以及满足组成三角

形的个数，从而得〃，m.列举法是我们常用的方法.能组成三角形的判定关键是两个较小的线段长之和

大于最长的线段长度.

14.已知台是单位向量.若卜+26-a],则向量夹角的取值范围是.

71

【答案】0,-

【解析】

【分析】

设向量0、6的夹角为。，在不等式，+〃力-，两边平方，利用数量积的运算律和定义求出cos。的

取值范围，于此可求出。的取值范围.

【详解】

设向量〃、6的夹角为。，

Q»叫2力斗两边平方得？+2荽+3?_4荽+泰，

Q；、Z?都是单位向量，则有2+2cose25-4cos。,得cose^g,

jrJT

^<e<7i,:.0<0<~,因此，向量a、z，的夹角的取值范围是O,J,

71

故答案为0,-.

【点睛】

本题考查平面数量积的运算，考查平面向量夹角的取值范围，在涉及平面向量模有关的计算时，常将等式

或不等式进行平方，结合数量积的定义和运算律来进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.

15.在等比数列｛。“｝中，已知a2a5=2%，且%与2al的等差中项为1，则S5=

【答案】31

【解析】

【分析】

根据a2a5=2%，求出4=2,又应与2%的等差中项为:，得到%=:，所以可以求出

q=~,q=16,即可求出&

【详解】

依题意，数列｛。“｝是等比数列，％%=2a3，即威d=勿1/，所以/=2，又％与物的等差中项为|,

所以2+2%—2x—,即%=[,

所以八所以qj所以七十16,

故答案为：31

【点睛】

本题考查等比中项、等比数列的通项公式以及求和公式，需熟记公式。

16.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点8与椭圆的两个焦点耳、鸟组成的三角

形的周长为4+2代，且/月5月=不，则椭圆的方程为.

22

【答案】土+y2=l或匕+/=1

4-4

【解析】

【分析】

先假设椭圆的焦点在x轴上，通过直角三角形△803推出a,c的关系，利用周长得到第二个关系，求

出a,c然后求出b,求出椭圆的方程，最后考虑焦点在》轴上的椭圆也成立，从而得到问题的答案.

【详解】

设椭圆的焦点在x轴上，长轴长为2a,焦距为2c,如图所示，

则在AgC归中，由/鸟3。=工得：c=4,

一32

所以△的周长为板=

F2BFX2a+2c=2a+4+2JL

a=29c—^3，

,,.b2=1;

丫2

故所求椭圆的标准方程为土+/=].

2

当椭圆的焦点落在》轴上，同理可得方程为：二十-=1・

4

22

故答案为：土+丁=1或乙+/=1

4-4

【点睛】

本题考查椭圆标准方程的求法，要求先定位、再定量，考查运算求解能力，求解的关键是求出“，b的值,

易错点是没有判断焦点位置.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

x2y2

17.已知P,。是双曲线E：（、b为常数）上的两个不同点，。是坐标原

/一记=1a,6>a>0

点，且O尸，OQ,

（1）若AOPQ是等腰三角形，且它的重心是双曲线的右顶点，求双曲线E的渐近线方程;

（2）求AOPQ面积的最小值.

【答案】y=±^-；(2)

(1)X3T

'5b--a2

【解析】

【分析】

⑴根据三角形重心的性质与'OPQ是等腰三角形可求得P,Q的坐标，再代入双曲线方程求解即可.

⑵将双曲线E：「-与=i用极坐标表达，可直接设pg,d）,Q3，。+g），再利用

ab2

SXOPQ，代入求得关于9的表达式再求最值即可・

【详解】

⑴当AOP。是等腰三角形,且它的重心是双曲线的右顶点时,可知P,Q在双曲线的右支上,

TTf）4-W+n3

且ZPOx=ZQOx=—.设P（n,n）,。（九,一”）,则由重心性质有---------=a,n=~a,

432

在。/33、左内曲妞fy213/13/〃g,3百

故pq。,不。）在双曲线一z—=1上，故（2）\2），可得一二—，即———•

22cry—/~4=1a5a5

ab

故双曲线E的渐近线方程为y=±^HX.

5

（2）由双曲线E:g-4=1,转换为极坐标则有（PC°se）_（psin。）=],化简得

aba2b2

2_1_a2b°

「cos20sin2062cos26-/sin?6,设。(夕1，，)，。(夕2,'+力则有

"2

2,22ON

2abp?~~55

Pi—75TTi2.2,，仔cCa.兀、2、兀、bsin0—acos0

Z?2cos2。一〃2sm2。bcos+sin(6^+—)

abab

故夕1=-/，=,0='/=

y/b2cos20-a2sin20y］b2sin23-a2cos26^

_1_1abab

222

故AOPQ2Plp22J"cos'。—6sil?。\!bsin0-acos0

a2b2、a2b2

------N-----------------------------------------------------

2y/b2cos26»-a2sin2•^b1sin26»-«2cos26-b2cos20-a2sin20+b2sin20-a2cos26

=-；J，当且仅当b2cos20-a2sin20=b2sin20-a2cos20，

b-a

22222

即［b一a?)(cos夕一sin?夕)=0，即cos0-sin6=0,tan8=1时等号成立.

故\OPQ面积的最小值为平方.

b2-a2

【点睛】

本题主要考查了圆锥曲线中面积的最值问题，因为题中有OP±OQ,故在求AOPQ面积的最小值时,可以

考虑用极坐标的方法做进行简化计算,属于难题.

18.已知函数f(x)=x2(x-1).

(1)求函数f(X)的单调区间；

(2)求f(x)在区间［-1,2］上的最大值和最小值.

【答案】⑴/(%)的递增区间为(一叱0)，4，+8),递减区间为(。彳).

⑵/(%)最大值二/(2)=4,/(%)最小值=/(-1)=-2.

【解析】

分析：(1)求导数后，由/'(">0可得增区间，由/'("<0可得减区间.⑵根据单调性求出函数的

极值和区间的端点值，比较后可得最大值和最小值.

详解：(1)v/(x)=x2(x-l)=x3-X2,

/.f(x)=3x2-2x.

2

由/'(x)=3%2—2x>。,解得x<0或x〉§；

2

由/'(%)=3九2—2xv0,解得0＜九＜§,

所以/(%)的递增区间为(―8,0),1,+：|,递减区间为

2

(2)由⑴知x=0是/(%)的极大值点，x=§是/(尤)的极小值点，

所以/(x)极大值=/(。)=。,/(X)极小值=/1)=一万,

又/(—1)=—2,/(2)=4,

所以/(%)最大值=/(2)=4,f(x)最小值二/(-1)=-2.

点睛：(1)求单调区间时，由/'(x)＞0可得增区间，由/'(x)＜0可得减区间，解题时注意导函数的符

号与单调性的关系.

(2)求函数在闭区间上的最值时，可先求出函数的极值和区间的端点值，通过比较后可得最大值和最小

值.

22

19.已知椭圆C：2r=1(a＞人＞0)的左焦点户(一2,0)左顶点A(T,O).

ab

(I)求椭圆C的方程；

(II)已知尸(2,3),Q(2,-3)是椭圆上的两点，A,8是椭圆上位于直线PQ两侧的动点.若

ZAPQ=NBPQ,试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由.

22

【答案】(1)匕+匕=1；(H)答案见解析.

1612

【解析】

分析：(I)根据条件依次求得。，c和人，从而可得方程；

(II)当NAPQ=NBPQ,则PA、PB的斜率之和为0,设直线PA的斜率为k,则PB的斜率为-k,PA的直

线方程为y-3=k(x-2),PB的直线方程为y-9=-k(x-2),由此利用韦达定理结合已知条件能求出AB的斜率

为定值;.

详解：(I)由题意可得，a=4,c=2由a2=〃+c2,得〃=42一2?=12

22

所以椭圆。的方程为L+2L=i.

1612

(H)当NAPQ=NBPQ时，AP,3尸的斜率之和为。，设直线PA的斜率为左，则直线尸3的斜率为

-k,设4(石,乂)8(%2，%)，PA的方程为丁一3=4(X-2).

y-3=k（x-2）

联立2消y得

—+—=1

（3+4左2）x?+8（3左一左2）》+4（4左2+9—12左）一48=0.

8k（2k-3）

所以2+石=

3+4左2

8k（2k+3）

3+4左2

-716左2—12—48左

所以为+%=3+4左2，王一赴

3+442

所以七^=9=皿包二竺=U

%2一%玉一%22

所以A3的斜率为定值!

点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，

通常利用a,dc,e的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方

程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解,

此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运

算求解能力、分析问题解决问题的能力等.

20.英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习3个英语单词：每周五对一周内所学单词随机抽取若干

个进行检测（一周所学的单词每个被抽到的可能性相同）

（1）英语老师随机抽了4个单词进行检测，求至少有3个是后两天学习过的单词的概率；

4

（2）某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为不，对前两天所学过的单词每个能默写对的概

3

率为二，若老师从后三天所学单词中各抽取一个进行检测，求该学生能默写对的单词的个数J的分布列和

期望.

311

【答案】（1）-；（2）y.

【解析】

【分析】

（I）根据古典概型概率公式求解，（II）先确定随机变量，再分别求对应概率，列表得分布列，最后根据

数学期望公式得结果.

【详解】

（I）设英语老师抽到的4个单词中，至少含有3个后两天学过的事件为A,则由题意可得

屐煤+c：3

P（A）=

11

（II）由题意可得€可取0,1,2,3,

2

则有P（J=0）=122

X-=-------

5125

P《=1)=C；x—小」,

555⑸5125

尸（一）"41356

x—x一义一=

555125

348

X-=-------

5125

所以J的分布列为:

00123

2195648

P

125125125125

故a=0x2+lxll+2x箜+3x网」.

1251251251255

【点睛】

求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：

第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；

第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、

互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值

时的概率；

第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的

概率是否正确；

第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求.

21.某学校高三年级有学生1000名，经调查研究，其中750名同学经常参加体育锻炼（称为A类同学）,

另外250名同学不经常参加体育锻炼（称为3类同学），现用分层抽样方法（按A类、B类分二层）从该

年级的学生中共抽查100名同学.

(1)测得该年级所抽查的100名同学身高(单位：厘米)频率分布直方图如图，按照统计学原理，根据

频率分布直方图计算这100名学生身高数据的平均数和中位数(单位精确到0.01)；

(2)如果以身高达到170c〃z作为达标的标准，对抽取的100名学生，得到列联表：

体育锻炼与身高达标2x2列联表

身高达标身高不达标合计

积极参加体育锻炼60

不积极参加体育锻炼10

合计100

①完成上表；

②请问有多大的把握认为体育锻炼与身高达标有关系？

n^ad-bc^

参考公式：K2=

(a+/?)(c+d)(a+c)(b+d)

参考数据：

2

P(K>k)0.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001

k0.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】⑴174,174.55；(2)①列联表见解析；②95%.

【解析】

【分析】

(1)根据频率分布直方图的平均数与中位数的公式即可求解;

(2)①根据频率分布直方图求出身高达标与不达标的比例，结合积极参加体育锻炼和不积极参加体育锻

炼的比例，完成表格；②根据公式计算出K?即可下结论.

【详解】

(1)平均数155x0.1+165x0.15+175x0.55+185x0.15+195x0.05=174,

前两组频率之和为0.25,前三组频率之和为0.8,所以中位数在第三组

中位数为170+赢x10=174.55.

(2)根据频率分布直方图可得身高不达标所占频率为0.25,达标所占频率为0.75,

所以身高不达标25人，达标75人，

根据分层抽样抽取的积极参加体育锻炼75人，不积极参加体育锻炼的25人,

所以表格为：

身高达标身高不达标合计

积极参加体育锻炼601575

不积极参加体育锻炼151025

合计7525100

假设体育锻炼与身高达标没有关系

犬」00x(60xl0—15xl5『

=4>3.841-

一75x25x75x25

所以有95%把握认为体育锻炼与身高达标有关系.

【点睛】

此题考查根据频率分布直方图求平均数和中位数，计算指定组的频率，完成列联表进行独立性检验，关键

在于数量掌握相关数据的求解方法，准确计算并下结论.

22.已知a,b,c分别为AA3C三个内角A,8,C的对边，c=0asinC-ccosA-

(I)求A；

(11)若4=2,AA5C的面积为G，求b,c.

【答案】(1)A=1(2)6=C=2

【解析】

【分析】

【详解】

(I)由c=JlasinC-ccosA及正弦定理得

^sinAsinC—cosAsinC=sinC

由于sinCwO,所以sin〔A—

TT

又0<A<»,故4=耳.

(n)AA3C的面积S=1■儿sinA=g，故。C=4,

而。2=)2+，一2Z?CCOSA故。2+52=8,解得b=c=2

上海市重点名校2018-2019学年高二下学期期末联考数学试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知空间不重合的三条直线/、m、〃及一个平面e,下列命题中的假奇理是（）.

A.若/〃2,贝!nB.若/a,〃tz,则/n

C.若/_Lm，m"，贝D.若/_La,na,贝！

【答案】B

【解析】

【分析】

根据线线、线面有关定理对选项逐一分析，由此确定是假命题的选项.

【详解】

对于A选项，根据平行公理可知，A选项正确.

对于B选项，两条直线平行与同一个平面，这两条直线可以相交、平行或异面，故B选项是假命题.

对于C选项，由于/_L/〃，mn,根据空间角的定义可知，lln,C选项正确.

对于D选项，由于〃//a,所以〃平行于平面a内一条直线。，而/La,所以所以/_L“，即D

选项正确.

故选：B.

【点睛】

本小题主要考查空间线线、线面有关命题真假性的判断，属于基础题.

2.设命题甲：关于x的不等式_?+2依+4>0对一切xeR恒成立，命题乙：对数函数y=log（”2a）大在

（0,+8）上递减，那么甲是乙的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

【详解】

试题分析：若x的不等式必+2依+4>0对一切xeR恒成立，则（2。>—4x4<0,解得-2<“<2；

3

y=log（4.2a）x在（0,+co）上递减，则0<4—2。<1，解得5<。<2,易知甲是乙的必要不充分条件，故

选B.

考点：1.充分条件与充要条件；2.二次函数与对数函数的性质.

dhc

3.已知a,b,c均为正实数，则丁，一的值（）

bca

A.都大于1B.都小于1

C.至多有一个不小于1D.至少有一个不小于1

【答案】D

【解析】

分析:对每一个选项逐一判断得解.

详解：对于选项A,如果a=l,b=2,则f=1<1,所以选项A是错误的.对于选项B,如果a=2,b=l,则

b2

77〃42

7=2>1,所以选项B是错误的.对于选项C,如果a=4,b=2,c=l,则7=彳=2〉1,—=丁=2〉1,所

bb2cl

nhc

以选项C是错误的.对于选项D,假设7<1,—<1,一<1,则

bca

-+-+-<3,-+-+->33-----=3,显然二者矛盾，所以假设不成立，所以选项D是正

bcabcaVbca

确的.故答案为：D.

点睛：（1）本题主要考查反证法，意在考查学生对该知识的掌握水平.（2）三个数。，仇。至少有一个不小于1

的否定是a<L><l,c<l.

22

4.已知。为坐标原点，耳,耳是双曲线C：5-3=1（«>0,b>0）的左、右焦点，双曲线。上

ab

一点尸满足助,时，且归耳卜归耳|=为2,则双曲线。的离心率为（）

A.下B.2C.73D.72

【答案】D

【解析】

设P为双曲线右支上一点，归耳|=m,|P与卜n,|FiF2|=2c,

由双曲线的定义可得m-n=2a,

点P满足四，时,可得m2+n2=4c2,

即有（m-n）2+2mn=4c2,

又mn=2a2,

可得4a2+4a2=4c2,

即有c=J5a,

则离心率e=J]

故选：D.

5.中国古代数学著作《算法统宗》巾有这样一个问题：”三百七十八里关，初行健步不为难日脚痛减一

半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有人走了378里路，第一天健步

行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”问此人第4天和第5

天共走了

A.60里B.48里C.36里D.24里

【答案】C

【解析】

【分析】

每天行走的里程数｛g｝是公比为；的等比数列，且前6和为378,故可求出数列的通项勺后可得知+%.

【详解】

设每天行走的里程数为｛%｝,则｛%｝是公比为;的等比数列，

“[I-/11

所以弓+%++3=':'=378,故一=192（里），所以%+%=192x*+192x梦=36（里）,

1--

2

选C.

【点睛】

本题为数学文化题，注意根据题设把实际问题合理地转化为数学模型，这类问题往往是基础题.

6.已知直线的参数方程为0为参数），贝心的倾斜角是

fx=t+1,

ly=t-1,

A.0。B.45。C.90。D.1350

【答案】B

【解析】

【分析】

将直线:的参数方程化为普通方程，得出该直线的斜率，即可得出该直线的倾斜角。

【详解】

直线的直角坐标方程为_2=0，斜率京=tana=:，所以a=45,•故选：B-

【点睛】

本题考查利用直线的参数方程求直线的倾斜角，参数方程化为普通方程是常用方法，而参数方程化为普通

方程有两种常见的消参方法：①加减消元法；②代入消元法；③平方消元法。

7.以A（L3）,8（-5,1）为端点的线段的垂直平分线方程是

A.3x-y+8=0B.3x+y+4=0c.3x-y+6=0D.3x+y+3=0

【答案】B

【解析】

【分析】

求出AB的中点坐标，求出AB的垂直平分线的斜率，然后求出垂直平分线方程.

【详解】

因为41,3),8(—5,1),

3-11

所以的中点坐标(-2,2),直线AB的斜率为=

1+53

所以的中垂线的斜率为：-3,

所以以A(l,3),5(—5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是y—2=—3(%+2),即3x+y+4=0.

故选：B

【点睛】

本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，直线方程的求法，考查计算能力.

展开式中的常数项为

A.-192B.-160C.64D.240

【答案】B

【解析】解：因为

,乙=墨(2五产(―1),(二)

6-rr