第18讲 用二分法求方程的近似解 2024-2025年新高一暑假自学课（学生版）

第18讲用二分法求方程的近似解1.了解二分法的原理及其适用条件；2.掌握二分法的实施步骤；3.体会二分法中蕴含的逐步逼近思想和程序化思想.1二分法的概念对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.解释求fx=x2−x−22用二分法求方程近似解的步骤(1)确定区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0，给定精确度ε；(2)求区间(a,b)的中点c;(3)计算f(c)，(i)若f(c)=0,则c就是函数的零点；(ii)若f(a)f(c)<0，则令b=c(此时零点x(iii)若f(c)f(b)<0，则令a=c(此时零点x0(4)判断是否达到精确度ε：即若|a−b|<ε，则得到零点近似值为a(或b)；否则重复(2)~(4)Eg：求fx=x3+解析易得fx=x而f0=−3<0，f2=9>0，即fx取区间0,2的中点1，而f1=−1<0，故零点x0取区间1,2的中点1.5，而f1.5=698>0，故而1.5已经达到了精确度0.1，故x0若精确度要求是0.01，则继续取区间1,1.5的中点1.25往下计算.解释(1)使用二分法的前提是函数在所选定的区间[a,b(2)所选的区间[a,b]的范围尽量小，且(3)利用二分法时，满足精确度便可停止计算.【题型一】判断二分法的适用条件【典题1】下列函数中，不能用二分法求零点的是()A．fx=2x C．fx=x+1变式练习1.下列函数图象中，不能用二分法求零点的是(

)A．B．C． D．2.下列方程中，不能用二分法求近似解的为(

)A．log2x+x=0 B．ex+x=0 C．【题型二】二分法的求解步骤【典题1】若函数f(x)=xf(1)=−2f(1.5)=0.625f(1.25)≈−0.984f(1.375)≈−0.260f(1.4375)≈0.162f(1.40625)≈−0.054那么方程x3+x2−2x−2=0A．1.25 B．1.39 C．1.41 D．1.5变式练习1.(2023·广东梅州·二模)用二分法求方程log4x−1A．0,1 B．1,2 C．2,3 D．3,42.设f(x)=2x+x−8，用二分法求方程2x+x−8=0A．1,2或2,3都可以B．2,3C．1,2 D．不能确定3.若函数y=f(x)的一个正零点用二分法计算，零点附近函数值的参考数据如下：f(1)=−2，f(1.25)=−0.984，f(1.375)=−0.260，f(1.40625)=−0.054，f(1.4375)=0.162，f(1.6)=0.625，那么方程f(x)=0的一个近似根(精确度0.1)为(

)A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.54.已知函数f(x)在(10,12)内有一个零点，要使零点的近似值的精确度为0.001，若只从二等分区间的角度来考虑，则对区间(10,12)至少需要二等分(

)A．8次 B．9次 C．10次 D．11次5.(多选)某同学利用二分法求函数fxffffff则函数fx=lnA．2.49 B．2.52 C．2.55 D．2.586.(多选)教材中用二分法求方程2x+3x−7=0的近似解时，设函数x1.251.3751.406251.4221.43751.5f−0.87−0.26ℎ−0.050.020.33分析表中数据，则下列说法正确的是：(

)A．ℎ>0B．方程2xC．若精确度到0.1，则近似解可取为1.375D．若精确度为0.01，则近似解可取为1.4375【题型三】用二分法求函数零点近似值【典题1】用二分法求方程2−x=x+2在区间变式练习1.设函数g(x)=−6x3−13x2−12x−3．则2.判断方程x3−x−1=0在区间3.求曲线y=lnx和直线【题型四】二分法的思想应用【典题1】现有12个小球，从外观上看完全相同，除了1个小球质量不合标准外，其余的小球质量均相同．用一架天平，限称三次，把这个“坏球”找出来，并说明此球是偏轻还是偏重．如何称？变式练习1.在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段地查找，困难很大．每查一个点要爬一次电线杆子，10km长，大约有2.如图，有一块边长为30cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为xcm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，如果要做成一个容积是1200cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长是多少厘米(精确到0.1【A组基础题】1.下列方程中不能用二分法求近似解的为(

)A．lnx+x=0 B．C．x3−3x+1=0 2.用二分法求方程lg⁡x=3−x的近似解，可以取的一个区间是()A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)3.若函数fxff(2.5)=0.3340ff(2.375)=0.1624f(2.3125)=0.0756f(2.28125)=0.0319那么方程log3x+xA．2.1 B．2.2 C．2.3 D．2.44.(多选)在用“二分法”求函数fx零点的近似值时，若第一次所取区间为−2,4，则第二次所取区间可能是(

)A．−2,−1 B．−2,1 C．2,4 D．1,45.已知方程lgx+x−2=0的根在区间1,3上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应取为6.在用二分法求方程x2=3的正实数跟的近似解(精确度0.001)时，若我们选取初始区间是1,7,1,8，为达到精确度要求至少需要计算的次数是7.用二分法求方程2x8.某企业现有资产4.2亿，计划平均每年增长8%，问要使资产达到109.已知函数f(x)=(1)证明方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解；(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)=0(x∈[0，2])的实数