第17讲 函数的零点与方程的解 2024-2025年新高一暑假自学课（学生版）

第17讲函数的零点与方程的解1.了解函数的零点、方程的解与函数图象与x轴交点三者之间的关系；2.结合具体连续函数及图象的特点；3.会借助函数零点存在性定理判定函数的零点所在的大致区间；4.能借助函数单调性及图象判断零点个数.1函数的零点(1)函数零点的概念对于函数y=f(x)，使f(x)=0的实数x叫做函数的零点.(2)方程根与函数零点的关系方程fx=0⇔函数y=fx有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点，且交点横坐标为x0拓展方程f(x)=g(x)有实数根x0⇔函数y=f(x)与函数y=g(x)有交点，且交点横坐标为(3)求函数零点方法①(代数法)求方程f(x)=0的实数根.②(几何法)利用函数的图象，根据函数的性质判断零点是否存在或找出零点位置.2函数零点存在定理如果函数y=f(x)在[a,b]上的图象是连续不断的，且f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在(a,b)至少有一个零点c，即存在c∈(a,b)，使得fc=0，这个c也就是方程【题型一】求函数零点相关知识点讲解1函数零点的概念对于函数y=f(x)，使f(x)=0的实数x叫做函数的零点.注零点是个数，不是个点.Eg：函数fx=x−1的零点是2方程根与函数零点的关系方程fx=0⇔函数y=fx有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点，且交点横坐标为x0如方程2x−4=0的实数根是函数fx=2x−4函数fx=2x−43求函数零点方法①(代数法)求方程f(x)=0的实数根.②(几何法)利用函数的图象，根据函数的性质判断零点是否存在或找出零点位置.【典题1】函数fx=x2+A．0 B．1 C．2 D．3变式练习1.函数y=x2A．−1,3 B．−3,1 C．−1,−3 D．1,32.函数fx=1−lgA．log38 B．2 C．log33.(多选)下列函数不存在零点的是(

)．A．fx=2x+4 C．fx=log【题型二】判断函数零点(方程解)个数相关知识点讲解方程f(x)=g(x)有实数根x0⇔函数y=f(x)与函数y=g(x)有交点，且交点横坐标为【例】研究方程x2解方程x2−2x=0的实数根⇔如图较容易得到，方程x2−2x=0【典题1】(2024·广东湛江·二模)已知函数fx=2x−1A．当gx有2个零点时，fx只有1个零点B．当gxC．当fx有2个零点时，gx有2个零点D．当fx变式练习1.方程logax=x−2(0<a<1)的实数解的个数是(A．0 B．1 C．2 D．32.函数fx=eA．1 B．2 C．3 D．43.函数fx=xA．0 B．1 C．2 D．3【题型三】判断函数零点所在区间相关知识点讲解函数零点存在定理如果函数y=f(x)在[a,b]上的图象是连续不断的，且f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在(a,b)至少有一个零点c，即存在c∈(a,b)，使得fc=0，这个c也就是方程【典题1】(多选)下列区间内，函数fx=9lgx−xA．0,1 B．2,3 C．3,4 D．4,5变式练习1.函数f(x)=2x+x−4A．(−1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)2.函数f(x)=4x+A．1,2 B．2,3 C．3,4 D．4,5【题型四】根据函数零点求参数【典题1】已知函数fx=x2+2x−3,x≤1−x+1,x>1，若函数变式练习1.已知函数fx=x+mx−2,x∈A．−∞,0 B．−∞,1 C．2.若函数fx=lnx,x>0−3.已知函数f(x)=log(1)若f(x)在[2a−1,+∞)上为增函数，求(2)若函数g(x)=f(x)+1−log2(x+4)在(【题型五】探究零点间的关系【典题1】(2024·新疆乌鲁木齐·二模)设x>0，函数y=x2+x−7,y=2xA．a<b<c B．b<a<c C．a<c<b D．c<a<b【典题2】已知函数f(x)=2x−2,x≤3−x+9,x>3，若存在实数x1，x2，x3，变式练习1.(2024·贵州贵阳·模拟预测)设方程3x⋅log3x=1的两根为A．0<x1<1，xC．0<x1x2.(多选)已知函数f(x)=x+1,x≤2x2−4x+1,x>2，若存在x1<A．3 B．3 C．5 D．6【A组基础题】1.函数y=x−22xA．2 B．2,0 C．-2 D．2或-12.关于函数f(x)=3x+A．f(x)只有一个零点，且这个零点在区间(1,2B．f(x)有两个零点，且其中一个零点在区间(1,2C．f(x)只有一个零点，且这个零点在区间(2,3D．f(x)有两个零点，且其中一个零点在区间(2,33.已知方程ex+x=0与x+lnx=0的根分别为x1A．x1+xC．lnx2=4.(多选)(2024·广东深圳·模拟预测)(多选)已知函数fx=kx−k,x≤1log3A．当k>0时，有2个零点 B．当k<0时，至少有2个零点C．当k>0时，有1个零点 D．当k<0时，可能有4个零点5.若函数fx=x2−ax+b6.已知方程lgx=−2x+5的根在区间(k，k+1)(k∈Z)上，则7.已知函数fx=x(1)当a=0时，用单调性定义证明：fx在区间−(2)若fx在区间0,4内有2个零点，