第16讲 对数函数及其性质 2024-2025年新高一暑假自学课（教师版）

第16讲对数函数及其性质1.理解对数函数的概念，会求简单对数函数的定义域；2.初步掌握对数函数的图象与性质；3.能够利用对数函数单调性比较大小，能够解简单的对数型不等式；4.了解反函数的概念及其它们的图像特点.1对数函数(1)对数函数的概念函数y=logax(a>0,a≠1)叫做对数函数，其中x(2)图像与性质图像a>10<a<1定义域(0,值域R过定点(1,0)奇偶性非奇非偶单调性在(0,+∞在(0,+∞α变化对图像的影响在第一象限内，α越大图象越靠低；在第四象限内，α越大图象越靠高．3对数型函数模型形如y=k·logax(k∈R，且k≠0；4反函数指数函数y=ax(a它们的图象关于直线y=【题型一】对数函数的概念相关知识点讲解函数y=logax(a>0,a≠1)叫做对数函数，其中x解释函数y=logax中系数为1，底数是不为1【例】判断下列函数是否为对数函数:(1)y=log2x+1(2)y=log解(1)不是，对数式后加了2；(2)不是，真数不是x；(3)不是，系数不为1；(4)是.【典题1】对数函数的图像过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为(

)A．y＝log5x B．y＝log15x C．y＝log13x【答案】A【分析】设对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)，将点代入即可求解.【详解】设函数解析式为y＝logax(a>0，且a≠1)．由于对数函数的图像过点M(125，3)，所以3＝loga125，得a＝5.所以对数函数的解析式为y＝log5x.故选：A.变式练习1.已知函数①y=4x；②y=logx2；③y=−log3x；④y=log0.2xA．①②③ B．③④⑤C．③④ D．②④⑥【答案】C【分析】依据对数函数的定义即可判断.【详解】根据对数函数的定义，只有符合y=logax其中x是自变量，a是常数，易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；③中y=−log3x=log1⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数.故选：C.2.已知对数函数y=f(x)的图象过点(e,1)，则fe3=A．-3 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】设f(x)=log【详解】设f(x)=logax，因为函数图象过点(e,1)，所以f(e)=所以f(x)=lnx，故选：D．【题型二】对数型函数的定义域相关知识点讲解对数函数y=logax(a>0,a≠1)【典题1】函数fx=2x+1A．x|x≥−12 C．x|x≥−12且x≠2 【答案】D【分析】根据已知列出不等式组，求解即可得出答案.【详解】要使fx有意义，则应有2x+1≥0解得x>1且x≠2.故选：D.变式练习1.函数y=log2(x+2)+A．−2,3 B．−2,3C．−2,3 D．−2,3【答案】C【分析】利用函数的定义域的求法求解.【详解】由题可得，x+2>03−x≥0，解得−2<x≤3故选:C.【题型三】对数型函数的图象辨识相关知识点讲解图像a>10<a<1定义域(0,值域R过定点(1,0)【例1】画出函数y=log2解y=log2x：定义域是(0,+∞)，值域是Ry=log12x：定义域是(0,+∞)，值域是y=log2x与【典题1】若函数fx=logax+b的大致图象如图，其中a,bA． B．C． D．【答案】B【分析】由函数f(x)=loga(x+b)的图象可推得，0<a<1，且0<b<1，可得函数g(x)=【详解】由函数f(x)=loga(x+b)再由图象的平移变换知，f(x)=loga(x+b)的图象由f(x)=故函数g(x)=ax+b故选：B.变式练习1.当a>1时，在同一平面直角坐标系中，函数y=a−x与y=logA．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】由对数函数指数函数单调性以及它们各自所过的定点即可得解.【详解】当a>1时，函数y=a−x=故可排除BCD，且函数y=a−x=1a故选：A.2.在同一平面直角坐标系中，函数y＝1ax，y＝loga(x＋12)(aA．

B．

C．

D．

【答案】D【解析】略3.已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数，其中a>0,a≠1)A．a>1,c>1 B．a>1,0<c<1C．0<a<1,c>1 D．0<a<1,0<c<1【答案】D【分析】根据函数图象可根据函数的单调性以及经过的点求解.【详解】由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，所以0<a<1；因为图象与y轴的交点在y轴上方，所以y=loga0+c故选：D【题型四】对数函数的图象与性质相关知识点讲解图像与性质图像a>10<a<1定义域(0,值域R过定点(1,0)奇偶性非奇非偶单调性在(0,+∞在(0,+∞α变化对图像的影响在第一象限内，α越大图象越靠低；在第四象限内，α越大图象越靠高．【典题1】已知函数f(x)=lg|x－1|，下列命题中所有正确的序号是．(1)函数f(x)的定义域和值域均为R；(2)函数f(x)在(－∞,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增；(3)函数f(x)的图象关于y轴对称；(4)函数f(x+1)为偶函数；(5)若f(a)>0则a<0或a>2．【答案】A【详解】∵函数f(x)=lg|x－1|由函数y=lg|x－1|函数f(x)=lg|由于函数f(x)由于函数f(x+1)=由f(a)>0，则有lg∴a－1>1或∴a<0或故答案为(2)(4)(5)．变式练习1.下列函数中，既是偶函数又在0,+∞上单调递增的函数(

A．y=lnx B．y=x12 【答案】A【分析】根据函数奇偶性的定义及基本函数的单调性逐项判定即可.【详解】因为y=lnx的定义域为又符合f(−x)=ln当x∈0,+∞时，函数因为函数y=x12不关于原点对称，故不具有奇偶性，故B错误；因为y=−x2+1且满足f(−x)=−(−x)故函数为偶函数，又函数为开口向下，对称轴为x=0的二次函数，故函数在0,+∞因为函数y=−2x的定义域为且满足f(−x)=−2故选：A.2.有关函数fxA．在0，+∞上单调递增 B．偶函数C．f1e=f【答案】C【分析】根据函数fx【详解】fx=lnx的函数图像，是由y=lnx图像，保留x轴上方的图像，x轴下方的图像关于x对称变换到上方所得，如下图所示.由图可知，fx在0,1上递减，在1,+∞上递增，故A选项错误；而0<1e故选C.3.已知函数fx=x2+A．是奇函数，且在0,+∞上是减函数 B．是奇函数，且在0,+C．是偶函数，且在0,+∞上是减函数 D．是偶函数，且在0,+【答案】D【分析】首先判断函数的奇偶性，再结合对数函数的性质说明函数在0,+∞【详解】函数fx=x且f−x=−x2+当x>0时fx=x2+lnx所以fx在0,+故选：D4.已知函数f(x)=lgx2−4x−5在(a,+∞A．[5,+∞) B．[2,+∞) C．【答案】A【分析】根据对数型复合函数的单调性得到不等式组，解得即可.【详解】由于f(x)=lgx2而y=lgx在(0,+∞)上单调递增，函数所以a2−4a−5≥0a≥2故a的取值范围是[5,+∞故选：A．【题型五】对数函数的应用角度1比较大小【典题1】已知a=log53,b=A．a<b<c B．a<c<bC．b<c<a D．c<a<b【答案】A【分析】由log35>log34>1【详解】由题得a=log53=而log35>log34>1所以a<b<c.故选：A.变式练习1.记a=30.2,b=A．a>b>c B．b>c>aC．c>b>a D．b>a>c【答案】D【分析】对于a,b可化成同指的两个指数再利用幂函数单调性比较大小，对于c和a,b的大小关系利用中间值法即可.【详解】因为b=0.3−0.2=103又103>3，所以所以b>a>1，又对数函数y=log0.2x在0,+故b>a>1>c.故选：D.2.(2023·福建福州·模拟预测)已知a=log52,b=A．c>b>a B．c>a>b C．a>b>c D．b>c>a【答案】B【分析】判断出0<a<1，b<0，c>1，即可求解.【详解】∵∵b=log2a<∵c=12b>1故选：B.3.(2024·安徽阜阳·一模)设a=log23,b=log8A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．c<b<a【答案】D【分析】根据题意，由对数的运算化简，再由对数函数的单调性即可得到结果.【详解】a=logb=logc=lg∵0<log故选：D．角度2最值问题【典题1】若函数y=ax(a>0，且a≠1)在区间0,3上的最大值和最小值的和为98，则函数y=logA．−2 B．−1 C．1 D．2【答案】B【分析】由指数函数的性质有a0+a3=【详解】由题设，a0+a所以y=log12x在故选：B变式练习1.若函数fx=4+log2x在区间1,aA．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】首先判断函数的单调性，再根据指数与对数的关系计算可得.【详解】解：因为函数fx=4+log2x在定义域0,+所以fa=4+log2a=6故选：B2.函数fx=lgx+x的定义域为A．−910,11 B．910,11 【答案】A【分析】根据题意先判断函数单调性，结合单调性求最值和值域.【详解】因为函数fx=lg且y=lgx,y=x在110,10内单调递增，可知可知fx在110,10内的最小值为f所以值域为−9故选：A.3.已知函数f(x)=2x−a,x<4,log2x,x≥4,若A．(−∞,4] C．(−∞,−2) 【答案】D【分析】根据函数的单调性可知，若函数存在最小值，则最小值是f4=2，则根据指数函数的性质，列式求实数【详解】∵函数f(x)=∴当x<4时，f(x)=2x−a的范围是(−a,16−a)；当x≥4时，f(x)=由题意f(x)存在最小值，则−a≥2，解得a≤−2.故选：D．角度3对数型函数综合问题【典题1】(2024·辽宁·三模)已知集合A=x∣lnx−2≤0,B=A．2,3 B．2,7 C．−1,7 D．−1,+【答案】B【分析】根据对数式有意义、对数函数的单调性以及指数函数值域的解法，结合并集的定义即可求解.【详解】要使函数y=ln(x−2)有意义，则x−2>0，解得显然函数y=ln(x−2)在区间上(2,+∞所以A={x|ln(x−2)≤0}，只需0<x−2≤1另函数y=2x−1则3=2所以B={x|3<x≤7}，所以A∪B={x|2<x≤3}∪{x|3<x≤7}={x|2<x≤7}.故选：B.【典题2】已知x>0,y>0，且x−y>lnyxA．x<y B．x+1y<y+1x 【答案】D【分析】根据条件，得到x+lnx>y+lny，构造函数【详解】依题意，因为x−y>lnyx设函数y=x+lnx(x>0)，易知函数fx在0,+又因为x>0,y>0，所以1y>1又因为x>y，取x=2，y=1，则因为x>y，所以−x<−y，所以2−x故选：D.【典题3】已知函数f(x)=log(1)若x∈22,1(2)若fx1=fx2【答案】(1)2,15(2)0,+∞【分析】(1)令t=log2x(2)换元法，设log2x1=t【详解】(1)当x∈[22,1]，令t=则y=t2−3t+2所以ymin=02−3×0+2=2，y(2)设log2x1=t1，log2则g(t)=t2−3t+2=n的两根为t1，Δ=9−4(2−n)>0，n>−1所以t1+t2=3，t所以t1t2即实数n的取值范围为0,+∞变式练习1.已知函数fx=log2x+1A．−∞,1 B．−1,1 C．0,1 【答案】B【分析】先求出fx的定义域，然后分析fx的单调性，再根据【详解】fx=log因为y=log2x+1所以fx=log又因为f1=log所以不等式解集为x∈−1,1故选：B.2.已知函数fx=lgx+1，若A．a−1b−1>1 C．a−1b−1<1【答案】C【分析】作出函数fx=lgx+1的图象结合fa【详解】作出函数fx由题意可知，−lga+1=所以即lga+1所以a+1b+1=1，即ab+a+b=0，即a−1b−1故选：C3.已知2a+lna=lnA．a−b<1 B．a+b>1C．a2>b−1【答案】D【分析】由题设可得2+2a+lna=2(1−b)+ln(1−b)且a>0，b<1，构造【详解】由题设2+2a+lna=2(1−b)+ln(1−b)，且令f(x)=2x+lnx，且在所以f(1−b)−f(a)=2>0，即f(1−b)>f(a)，故1−b>a⇒a+b<1，B错，D对；若b<−1时，−b>1，则1−b>2，存在a∈(0,2]使1−b>a成立，此时a−b>1，A错.若a2>(b−1)故选：D4.若不等式x2−loga(x+1)<2x−1在x∈A．1681，1 C．1，8116 【答案】C【分析】把不等式变形为x−12<loga(x+1)【详解】x2−loga(x+1)<2x−1变形为：x若0<a<1，此时fx=loga(x+1)在x∈12当a>1时，画出两个函数的图像，

要想满足x−12<loga(x+1)在x∈解得：a≤324，综上：实数a故选：C5.已知函数f(x)=ln1−x1+x，则不等式f(x)+f(1−3x)≥0A．[12,+∞) B．(13,【答案】D【解析】根据题意可得函数fx的奇偶性以及单调性，据此原不等式转化为fx≥f【详解】根据题意，函数fx则有1−x1+x>0，解可得即函数的定义域为−1,1，关于原点对称，又由f−x即函数fx设t=1−x1+x，则t=1−x1+x=而y=lnt在0,+∞上为增函数，故fx=lnf⇒fx解可得：12≤x<2故选:D．6.已知函数fx(1)求函数fx(2)判断证明函数fx(3)解不等式：f2x−1【答案】(1)−1,1(2)fx(3)x∈【分析】(1)根据对数函数的定义域求解即可；(2)根据f−x(3)根据f12=ln3【详解】(1)由题意，1+x>01−x>0，解得−1<x<1，故函数fx(2)fx满足f且定义域−1,1关于原点对称，故fx(3)因为f12=故f2x−1+ln3>0即又y=ln1+x为增函数，y=ln故f2x−1>f−12【题型四】反函数相关知识点讲解指数函数y=ax(a它们的图象关于直线y=比如y=2x与【典题1】若x1满足2x=5－x，x2满足x+A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【详解】由题意x1+2x1=5①，x2故x1和x2是直线y=5－x和曲线再根据函数y=2x和函数y故曲线y=2x和曲线y即点x1,5−x1和点即x1+x故选：D．变式练习1.已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+log2A．x1>x2>【答案】D【详解】由f(x即y=2x，y=log2x，故选：D．2.已知函数fx=ex与函数gx的图像关于y=x对称，若gA．4,+∞ B．4,+∞ C．5,+∞ D．5,+∞【答案】D【分析】首先根据反函数的性质求出gx的解析式，依题意可得ab=1且0<a<1<b【详解】解：因为函数fx=ex与函数故gx与fx=若ga=gba<b，则所以a+4b=a+4a又对勾函数fx=x+4x即a+4b>5故选：D【A组基础题】1.函数f(x)=logA．(−∞,1) C．(0,1) D．(−【答案】B【分析】由对数函数的真数取值范围和分式型函数分母不为零求得即可.【详解】由题意可知1−x>0x≠0，解得x<1且x≠0故选：B2.(2024·广东深圳·二模)已知a>0，且a≠1，则函数y=logax+A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限【答案】D【分析】由函数y=logax+【详解】当x=0时，y=log则当0<a<1时，函数图象过二、三、四象限；则当a>1时，函数图象过一、三、四象限；所以函数y=log故选：D3.已知a=log30.2,b=A．a<b<c B．c<a<bC．a<c<b D．b<c<a【答案】C【分析】根据给定条件，利用指数、对数函数性质，结合媒介数比较大小.【详解】依题意，a=log所以a<c<b.故选：C4.(2024·江西南昌·二模)已知fx=−x2A．(−∞,2) B．(−∞,3) C．【答案】B【分析】分别在x<0,x≥0条件下化简不等式求其解可得结论.【详解】当x<0时，不等式f(x)<2可化为−x所以x2+2x+2>0，可得当x≥0时，不等式f(x)<2可化为log2所以x+1<4，且x+1>0，所以0≤x<3，所以不等式f(x)<2的解集是(−∞故选：B.5.若函数fx=logax2−2ax−A．12 B．13 C．16【答案】C【分析】令gx=x2−2ax−a2+112，则【详解】令gx=x故当x=a时，gx在R上取得最小值为−2又因为函数fx=log所以0<a<1且loga(−2a2+故选：C.6.若函数f(x)=log3(x2−ax+3a)在区间【答案】(−【分析】由复合函数的单调性计算即可得.【详解】令u=g(x)=x2−ax+3a∵函数fx在区间[1,+∞)上单调递增，y=∴g(x)在[1,+∞)上单调递增，且∴a2≤1且g(1)>0，即a≤2且1−a+3a>0，解得即实数a的取值范围为(−1故答案为：(−17.(2021·江西九江·一模)已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的连续单调函数，若f[f(x)−lnx]−1=0，则不等式f(x)⩾2的解集为【答案】[e,+∞)【分析】根据函数的单调性知，f(t)=1的自变量有且只有一个，从而可以设f(x)=lnx+t，代入f(t)=1，从而解得【详解】解：∵f(x)是定义在(0,+∞)上的连续单调函数，∴存在唯一t，使得f(t)=1，故令f(x)−lnx=t，f(x)=lnx+t，∴f(t)=lnt+t=1，∴f(x)=ln故f(x)⩾2的解集为[e故答案为：[8.已知函数f(x)=log(1)求f(x)的定义域；(2)求f(x)的单调区间；(3)求不等式f(x+1)≤f(2x)的解集．【答案】(1)−2,2；(2)递减区间是−2,0，递增区间是0,2；(3)(−1,−1【分析】(1)利用对数函数的定义列出不等式，求解即得.(2)利用二次函数、对数函数单调性，结合复合函数单调性求出单调区间.(3)判断函数的奇偶性，借助奇偶性、单调性脱去法则求解不等式.【详解】(1)函数f(x)=log12(4−x所以f(x)的定义域为−2,2.(2)函数y=4−x2在−2,0上单调递增，在0,2上单调递减，函数y=log所以f(x)的递减区间是−2,0，递增区间是0,2.(3)由f(−x)=log12由(2)知，f(x)在0,2上单调递增，则f(x+1)≤f(2x)⇔f(|x+1|)≤f(|2x|)，因此|x+1|≤|2x|<2，即(x+1)2≤4x所以原不等式的解集是(−1,−19.已知函数fx(1)求函数fx(2)判断函数fx(3)对∀x1∈3,+【答案】(1)1,+(2)函数fx(3)−【分析】(1)根据函数gx(2)根据函数fx(3)根据题意，转化为f(x)max≤g(x)min，根据函数f法一：转化为∀x∈1,2,a≤x+7x，令法二：分a2≥2，a2【详解】(1)解：由函数fx=log解得x>1，所以函数fx的定义域为1,+(2)解：因为fx的定义域为1,+所以函数fx(3)解：由“对∀x1∈可得f(x)当x≥3时，由fx在3,+∞根据题意得，对∀x∈法一：可转化为∀x∈1,2令ℎx=x+7x，由ℎx实数a的取值范围为−∞法二：设函数gx①当a2≥2，即a≥4时，gx可得g(x)min=g2=10−2a≥−1②当a2≤1，即a≤2时，gx可得g(x)min=g1=7−a≥−1③当1<a2<2，即2<a<4时，g可得gxmin=(a综上，实数a的取值范围为−∞【B组提高题】1.已知函数f(x)=x+lnx与g(x)=ex+x的零点分别为aA．a+b<0 B．0<a<C．ab+b>a+1 D．e【答案】D【分析】根据零点的定义得出关于a、b的式子，再利用指数函数y=ex与【详解】根据题意，f(a)=a+lna=0，所以lna=−ag(b)=eb+b=0，所以e对比e−a=a和eb=−b可知，结合所以b=−a，故a+b=0，故选项A错误；因为y=x,y=ln易知f(x)=x+lnx在若0<a<1e，则与a是f(x)的零点矛盾，故选