第15讲 对数及其运算 2024-2025年新高一暑假自学课（学生版）

第15讲对数及其运算1.了解对数的概念，会进行指数式与对数式的互化，会求简单的对数值；2.掌握积、商、幂的对数运算性质，并能正确利用对数运算的性质进行对数运算；3.掌握换底公式及其推论；4.掌握常用对数、自然对数的概念与记法.1对数的概念(1)概念一般地，如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a(a底数，N真数，log(2)两个重要对数常用对数以10为底的对数，log10N自然对数以无理数e为底的对数的对数，logeN(3)对数式与指数式的互化x=lo对数式指数式如43=64⇔log(4)结论①负数和零没有对数②lo特别地，lg10=1，lg1=0，lne=12对数的运算性质如果a>0，a≠1，M>0，N>0,有①loga(MN)=log③logaMn=nlo3换底公式(1)公式log(2)推论①logab=1logb

【题型一】对数式与指数式的互换相关知识点讲解1对数的概念一般地，如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a(a底数，N真数，log解释对数logaN中对底数a的限制与指数函数y=2两个重要对数常用对数以10为底的对数，log10N自然对数以无理数e为底的对数的对数，logeN3对数式与指数式的互化x=lo对数式指数式如43=64⇔log4结论①负数和零没有对数②lo特别地，lg10=1，lg1=0，lne=1解释∵ax=N>0，∴loga由对数式与指数式的互化得a1=a⇒loga【典题1】指数式与对数式互化.(1)3a=27(2)lg0.001=−3【典题2】已知函数fx=log3x+1,x>1x,0<x≤1A．8 B．7 C．2 D．0.5变式练习1.已知logx8=2，则x=(

A．2 B．22 C．3 2.已知f2x=x，则f3=A．8 B．9 C．log23 3.若log3x−2=2y−3=1，则A．2 B．3 C．5 D．8【题型二】对数的运算性质相关知识点讲解如果a>0，a≠1，M>0，N>0,有①loga(MN)=log③logaMn=nlo(每条等式均可证明)比较对数的运算法则与指数的运算法则的联系指数对数aloaloalog特别注意：logaMN≠lo【例】证明log【典题1】(多选)下列等式成立的是()A．lg2+lg5−C．lg14−2lg7变式练习1.化简下列各式：(1)4lg2+3lg2.log222A．4 B．92 C．5 D．3.(2024·山东聊城·二模)已知函数fx为R上的偶函数，且当x>0时，fx=log4A．−23 B．−13 C．4.已知lg2≈0.3010,lg3≈0.4771，则logA．1.79 B．1.81 C．1.87 D．1.895.已知实数x，y满足log2x+log2y+1A．32 B．2 C．72−【题型三】换底公式的运用条件求值问题相关知识点讲解(1)公式log(2)公式推导设logcblog∴b=ax，∴x=log(3)推论①logab=1logb证明①loga②loga③loga【典题1】已知lg⁡2=a,lg⁡3=b，则logA．a+baB．a+bbC．a【典题2】已知a=log3⁡5，b=log4⁡5A．12 B．112 C．7 D．变式练习1.log23⋅logA．2 B．1 C．−1 D．02.log225×logA．8 B．6 C．4 D．23.已知a=lg⁡2，b=lg⁡3，用a,b表示A．2a+2b1−a B．1−a2a+b C．2−2aa+b【题型四】条件求值问题【典题1】设a，b，c都是正数，且3a=4A．a+2b=c B．ac+bc=2ab C．1a+1【典题2】已知2m=6n=10，则3，m⋅nA．m⋅n<m+n<3 B．m⋅n<3<m+nC．3<m+n<m⋅n D．3<m⋅n<m+n变式练习1.(2024·辽宁丹东·一模)若2a=3，3b=5，5c=4A．−2 B．12 C．222.(2024·陕西西安·模拟预测)设a，b，c都是正数，且4a=6bA．1a+1b=1c B．3.设log23=3p,log35=q，则lgA．p2+q2 B．153p+2q4.已知a，b，c∈R，3a=2，4b=5，5A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．a<c<b5.设x、y∈R，a>1，b>1，若ax=by=2，a2+b=4A．1 B．2 C．3 D．46.(多选)若log3x=log5y=A．x>y>z B．3x>5y>7zC．3x<5y<7z D．x<y<z7.(多选)已知c>0，且2a=3bA．a>b>c B．ac<C．1a+1b>【题型五】实际问题中的对数运算【典题1】(2024·贵州遵义·一模)近年来，中国成为外来物种入侵最严重的国家之一，物种入侵对中国生物多样性、农牧业生产等构成巨大威胁．某地的一种外来动物数量快速增长，不加控制情况下总数量每经过7个月就增长1倍．假设不加控制，则该动物数量由入侵的100只增长到1亿只大约需要(lg2≈0.3010)(

A．8年 B．10年 C．12年 D．20年变式练习1.(2024·安徽·模拟预测)科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频率较高，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出定律：在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为Pbn=logbn+1n，如裴波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若n=4kA．11 B．15 C．19 D．21【A组基础题】1.12lg2+lgA．12 B．1 C．lg5 2.(2024·青海·模拟预测)若a=log35，5b=6，则A．1 B．－1 C．2 D．－23.已知b>0，log5b=a，lgb=c，5d=10A．d=ac B．a=cd C．c=ab D．d=a+c4.若实数a、b、c满足25a=403b=A．1a+2C．1a+15.(多选)(2024·贵州贵阳·一模)已知2x=3y=6，则实数A．x−1y−1=1B．x+y>4 C．1x6.已知ex=2，则x=7.已知3m=5n=k且18