第12讲 幂函数 2024-2025年新高一暑假自学课（学生版）

第12讲幂函数1.理解幂函数的概念；2.会画常见幂函数的图象，并理解它们的图象变化规律和性质；3.能解决与幂函数有关的复合函数问题.1幂函数的定义一般地，形如y=xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，注(1)注意幂函数中xα的系数是1，底数是变量x，指数α2正数的分数指数幂的意义(1)正数的正分数指数幂的意义，规定：am巧记“子内母外”(根号内的m作分子，根号外的n作为分母)(2)正数的负分数指数幂的意义：a−(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.3幂函数图像及其性质(1)幂函数y=x,y=x(2)幂函数y=x,y=xy=xy=y=y=y=图象X|X|K]定义域RRR[0,+∞)x≠0值域R[0,+∞)R[0,+∞)x≠0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数单调性在R上递增在(−∞,0]上递减在(0,+∞)上递增在R上递增在0,+∞上递增在(−∞,0)上递减在(0,+∞)上递减特殊点(1,1),(0(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1(3)性质①所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象都过点(1,1)；②α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在[0,+∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数变化快，图象下凹；当0<α<1时，幂函数变化慢，图象上凸.③α<0时，幂函数的图象在(0,+∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．

【题型一】幂函数的概念相关知识点讲解一般地，形如y=xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，注(1)注意幂函数中xα的系数是1，底数是变量x，指数α【典题1】下列函数中幂函数的是(

)A．y=3x B．y=x2+2 C．y=【典题2】若幂函数y=fx的图象经过点2,2，则A．2 B．2 C．4 D．1变式练习1.(多选)下列哪些函数是幂函数(

)A．y=2x B．y=x−2 C．2.已知fx=k2+2k+2A．3 B．23 C．6 D．3.若函数fx是幂函数，且满足f8⋅f12【题型二】幂函数的定义域相关知识点讲解正数的分数指数幂的意义(1)正数的正分数指数幂的意义，规定：am巧记“子内母外”(根号内的m作分子，根号外的n作为分母)(2)正数的负分数指数幂的意义：a−(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.【典题1】下列函数中定义域为R的是(

)A．y=x12B．y=x54变式练习1.函数fx=xA．−∞,+∞C．0,+∞ D．2.给出5个幂函数：①y=x−2；②y=x45；③y=x14；④y=A．①② B．②③ C．②④ D．③④【题型三】幂函数的图象的判断相关知识点讲解幂函数y=x,y=x【典题1】已知函数fx=x−2,x<0,A．

B．

C．

D．

变式练习1.(2024·四川南充·二模)已知函数fx的图象如图所示，则fx的解析式可能是(A．y=x12 B．y=x−12.幂函数y=x2，y=x−1，y=x

A．C1，C2，C3，C4 B．C1，C．C3，C2，C1，C4 D．C1，3.已知幂函数y=xp3(p∈Z)的图象关于A．p为奇数，且p>0 B．p为奇数，且p<0 C．p为偶数，且p>0 D．p为偶数，且p<0【题型四】幂函数的性质相关知识点讲解1幂函数y=x,y=xy=xy=y=y=y=图象X|X|K]定义域RRR[0,+∞)x≠0值域R[0,+∞)R[0,+∞)x≠0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数单调性在R上递增在(−∞,0]上递减在(0,+∞)上递增在R上递增在0,+∞上递增在(−∞,0)上递减在(0,+∞)上递减特殊点(1,1),(0(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,12性质①所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象都过点(1,1)；②α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在[0,+∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数变化快，图象下凹；当0<α<1时，幂函数变化慢，图象上凸.Egy=x12图象上凸，y=③α<0时，幂函数的图象在(0,+∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．Egy=x【典题1】已知幂函数y=f(x)的图象过点2,24，则下列关于f(x)说法正确的是(A．奇函数 B．偶函数C．在(0,+∞)单调递减 【典题2】已知幂函数fx=xm2+2m−3m∈Z是偶函数，且A．−2 B．−1 C．0 D．3变式练习1.下列函数中，既是奇函数，又是在区间0,+∞上单调递减的函数为(

A．y=x−2 C．y=x2 2.已知幂函数f(x)的图象经过点2,14，则f(x)(A．为偶函数且在区间(0,+∞)上单调递增B．为偶函数且在区间C．为奇函数且在区间(0,+∞)上单调递增D．为奇函数且在区间3.已知函数fx=xA．α=−2时，fx是偶函数 B．α=12时，C．fx的图象恒过定点0,0和1,1 D．0<α<1时，f4.幂函数y=xa2−2a−3是奇函数，且在0，+∞是减函数，则整数A．0 B．0或2 C．2 D．0或1或25.(多选)关于幂函数fx=xA．当a=2024时，fx在−∞,0是单调递减B．当a=2023时，fC．当a=20232024时，fx是偶函数D．当a=6.(多选)已知幂函数f(x)的图像经过点8,4，则下列命题正确的有(

)A．函数f(x)为增函数B．函数f(x)为偶函数C．若x>1，则fx>1D．若0<7.已知幂函数f(x)=(m(1)求函数f(x)的解析式；(2)若f(2x−3)<f(1−x)，求x的取值范围；(3)若g(x)=x2−ax+1，对任意x1∈−1,2，都存在唯一【题型五】幂函数的应用【典题1】已知a=243A．a<b<c B．c<b<a C．b<c<a D．c<a<b变式练习1.已知a<b<0，那么()A．a2<b2 B．a<b 2.已知a=252425，b=A．a<b<c B．b<c<a C．c<a<b D．b<a<c3.已知f(x)为奇函数，当0≤x≤2时，f(x)=2x−x2，当x>2时，f(x)=x−3A．−f−26>fC．−f−26>f【A组基础题】1.下列函数定义域为R的是()A．y=x−12 B．y=x−12.下列函数在0,+∞递减，且图像关于y轴对称的是(

A．y=x13C．y=x3 3.若幂函数y=xa,y=xb在同一坐标系中的部分图象如图所示，则aA．a>1>b B．b>1>a C．0>a>b D．0>b>a4.已知幂函数fx=xA．定义域为{x|x≠0} B．值域为RC．偶函数 D．减函数5.(多选)已知幂函数y=fx，恒过点2,14A．y=fx的定义域是0,+B．y=fxC．y=fx在定义域上单调递增D．y=fx6.写出一个定义域为0,+∞，且单调递增的幂函数：fx7.已知幂函数y=xp2−2p−3(p∈N∗)的图象关于y轴对称，且在(0,+∞)上是减函数，实数a8.已知幂函数y=fx的图象过点4,(1)求此函数的解析式．(2)根据单调性的定义，证明函数fx在0,+(3)判断函数fx9.已知函数fx(1)求m的值，并确定fx(2)令g(x)=f(x)−2x+1，求y=g(x)在x∈【B组提高题】1.已知函数fx=2a2−7a+4xa是幂函数.