福建省莆田市名校2025届高一下数学期末调研模拟试题含解析

福建省莆田市名校2025届高一下数学期末调研模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设函数，则是()A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数2．在△中，角，，所对的边分别为，，，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．关于的不等式对一切实数都成立，则的取值范围是()A． B． C． D．4．数列，，，，，，的一个通项公式为（）A． B．C． D．5．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度6．若函数（）有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．7．某个算法程序框图如图所示，如果最后输出的的值是25，那么图中空白处应填的是（）A． B． C． D．8．下列结论：①；②；③，；④，，其中正确结论的个数是（）．A．1 B．2 C．3 D．49．若，均为锐角，且，，则等于（）A． B． C． D．10．不等式的解集是()A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体的所有棱长和为_______.12．已知角α的终边与单位圆交于点．则___________.13．在平行四边形中，为与的交点，，若，则__________．14．设函数，则的值为__________．15．已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球的表面积_____．16．已知，为第二象限角，则________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．某企业用180万元购买一套新设备，该套设备预计平均每年能给企业带来100万元的收入，为了维护设备的正常运行，第一年需要各种维护费用10万元，且从第二年开始，每年比上一年所需的维护费用要增加10万元（1）求该设备给企业带来的总利润（万元）与使用年数的函数关系；（2）试计算这套设备使用多少年，可使年平均利润最大？年平均利润最大为多少万元？18．已知等差数列的前n项和为，且，．（1）求的通项公式；（2）若，且，，成等比数列，求k的值．19．已知首项为的等比数列不是递减数列，其前n项和为，且成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的最大项的值与最小项的值．20．已知数列的前n项和为（），且满足，（）．（1）求证是等差数列；（2）求数列的通项公式．21．的内角的对边分别为，.（1）求；（2）若，的面积为，求.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】函数，化简可得f（x）=–cos2x，∴f（x）是偶函数．最小正周期T==π，∴f（x）最小正周期为π的偶函数．故选D．2、C【解析】

由正弦定理分别检验问题的充分性和必要性，可得答案.【详解】解：充分性：在△中，由，可得,所以,故充分性成立；必要性：在△中，由及正弦定理，可得，可得,,故，必要性成立；故可得：在△中，角，，所对的边分别为，，，则“”是“”的充分必要条件，故选C.【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判断，相对不难，注意正弦定理的灵活运用.3、D【解析】

特值,利用排除法求解即可.【详解】因为当时，满足题意，所以可排除选项B、C、A，故选D【点睛】不等式恒成立问题有两个思路：求最值，说明恒成立参变分离，再求最值。4、C【解析】

首先注意到数列的奇数项为负，偶数项为正，其次数列各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，从而易求出其通项公式．【详解】∵数列{an}各项值为，，，，，，∴各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，∴|an|＝2n﹣1又∵数列的奇数项为负，偶数项为正，∴an＝（﹣1）n（2n﹣1）．故选：C．【点睛】本题给出数列的前几项，猜想数列的通项，挖掘其规律是关键．解题时应注意数列的奇数项为负，偶数项为正，否则会错．5、D【解析】试题分析：由题意，为得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，故选D.【考点】三角函数图象的平移【名师点睛】本题考查三角函数图象的平移，在函数的图象平移变换中要注意“”的影响，变换有两种顺序：一种的图象向左平移个单位得的图象，再把横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得的图象，另一种是把的图象横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得的图象，再向左平移个单位得的图象．6、A【解析】

函数（）有两个不同的零点等价于函数在均有一个解，再解不等式即可.【详解】解：因为，由函数（）有两个不同的零点，则函数在均有一个解，则，解得：，故选：A.【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，重点考查了分式不等式的解法，属中等题.7、B【解析】

分别依次写出每次循环所得答案，再与输出结果比较，得到答案.【详解】由程序框图可知，第一次循环后，，，；第二次循环后，，，；第三次循环后，，，；第四次循环后，，，；第五次循环后，，，此时，则图中空白处应填的是【点睛】本题主要考查循环结构由输出结果计算判断条件，难度不大.8、A【解析】

根据不等式性质，结合特殊值法即可判断各选项.【详解】对于①，若，满足，但不成立，所以A错误；对于②，若，满足，但不成立，所以B错误；对于③，，而，由不等式性质可得，所以③正确；对于④，若满足，但不成立，所以④错误；综上可知，正确的为③，有1个正确；故选：A.【点睛】本题考查了不等式性质应用，根据不等式关系比较大小，属于基础题.9、B【解析】

先利用两角和的余弦公式求出，通过条件可求得，进而可得.【详解】解：，因为，则，故，故选：B.【点睛】本题考查两角和的正切公式，注意角的范围的确定，是基础题.10、A【解析】

分解因式，即可求得.【详解】进行分解因式可得：，故不等式解集为：故选：A.【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，属基础知识题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

取半正多面体的截面正八边形，设半正多面体的棱长为，过分别作于，于，可知，，可求出半正多面体的棱长及所有棱长和.【详解】取半正多面体的截面正八边形，由正方体的棱长为1，可知，易知，设半正多面体的棱长为，过分别作于，于，则，，解得，故该半正多面体的所有棱长和为.【点睛】本题考查了空间几何体的结构，考查了空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.12、【解析】

直接利用三角函数的坐标定义求解.【详解】由题得.故答案为【点睛】本题主要考查三角函数的坐标定义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.13、【解析】

根据向量加法的三角形法则逐步将待求的向量表示为已知向量.【详解】由向量的加法法则得：所以，所以故填：【点睛】本题考查向量的线性运算，属于基础题.14、【解析】

根据反正切函数的值域，结合条件得出的值.【详解】，且，因此，，故答案为：.【点睛】本题考查反正切值的求解，解题时要结合反正切函数的值域以及特殊角的正切值来求解，考查计算能力，属于基础题.15、.【解析】

由题意推出球心O到四个顶点的距离相等，利用直角三角形BOE，求出球的半径，即可求出外接球的表面积．【详解】如图，∵正三棱锥A﹣BCD中，底面边长为，底面外接圆半径为侧棱长为2，BE=1,在三角形ABE中，根据勾股定理得到：高AE得到球心O到四个顶点的距离相等，O点在AE上，在直角三角形BOE中BO＝R，EOR，BE＝1，由BO2＝BE2+EO2，得R∴外接球的半径为，表面积为：故答案为．【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.16、【解析】

先求解,再求解,再利用降幂公式求解即可.【详解】由,又为第二象限角,故,且.又.故答案为：【点睛】本题主要考查了降幂公式的用法等,属于基础题型.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），（2）这套设备使用6年，可使年平均利润最大，最大利润为35万元【解析】

（1）运用等差数列前项和公式可以求出年的维护费，这样可以由题意可以求出该设备给企业带来的总利润（万元）与使用年数的函数关系；（2）利用基本不等式可以求出年平均利润最大值.【详解】解：（1）由题意知，年总收入为万元年维护总费用为万元.∴总利润，即，（2）年平均利润为∵，∴当且仅当，即时取“”∴答：这套设备使用6年，可使年平均利润最大，最大利润为35万元.【点睛】本题考查了应用数学知识解决生活实际问题的能力，考查了基本不等式的应用，考查了数学建模能力，考查了数学运算能力.18、（1）；（2）4.【解析】

（1）设等差数列的公差为d，根据等差数列的通项公式，列出方程组，即可求解．（2）由（1），求得，再根据，，成等比数列，得到关于的方程，即可求解．【详解】（1）设等差数列的公差为d，由题意可得：，解得．所以数列的通项公式为．（2）由知，因为，，成等比数列，所以，即，解得．【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n项和公式，列出方程准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．19、（1）；（2）最大项的值为,最小项的值为【解析】试题分析：(1)根据成等差数列,利用等比数列通项公式和前项和公式,展开.利用等比数列不是递减数列,可得值,进而求通项.(2)首先根据(1)得到,进而得到,但是等比数列的公比是负数,所以分两种情况:当的当n为奇数时，随n的增大而减小，所以;当n为偶数时，随n的增大而增大，所以，然后可判断最值.试题解析：（1）设的公比为q．由成等差数列，得.即，则.又不是递减数列且，所以.故.（2）由（1）利用等比数列的前项和公式，可得得当n为奇数时，随n的增大而减小，所以，故.当n为偶数时，随n的增大而增大，所以，故.综上，对于，总有，所以数列最大项的值为，最小值的值为.考点：等差中项,等比通项公式;数列增减性的讨论求最值.20、（1）证明见解析；（2）.【解析】

（1）当时，由代入，化简得出，由此可证明出数列是等差数列；（2）求出数列的通项公式，可得出，由可得出在时的表达式，再对是否满足进行检验，可得出数列的通项公式.【详解】（1）当时，，，即，，等式两边同时除以得，即，因此，数列是等差数列；（2）由（1）知，数