19.3 第3课时 课题学习 选择方案 教学设计

人教版八下19.3课题学习选择方案（第3课时）教学设计教学内容解析教学流程图地位与作用一次函数是研究现实生活中变量之间的关系和变化规律的最简单的函数模型.通过课题学习活动，帮助学生学会综合应用一次函数的解析式、图象、表格等知识进行分析探究解决问题的最佳方案.在研究问题的过程中感受数学建模的思想方法，提高实践意识和综合应用数学知识的能力,感受一次函数的应用价值.概念解析一次函数的实际应用一般涉及：求一次函数解析式；选择最优方案或方案选取；利润最大或费用最少.求函数解析式：①文字型及表格型的应用题,一般都是根据题干中给出的数据及关系式来求一次函数解析式；②图象型的应用题,一般都是找图象上的两个点的坐标,根据待定系数法求一次函数解析式.选择最优方案或方案选取：当给定x值选取方案时,将x的值代入解析式，判断y值结果大小；给定y值选取方案时,将y的值代入解析式,判断x值结果大小；当x、y值均未给定时,若为两种方案的选取,分别求出y1<y<span="">2

,y1=y2

,y1>y2

,根据结果选取方案；若为三种方案的选取,可画出函数图象,求出交点坐标,利用图象性质解答.</y<>利润最大或费用最少：求最值的本质为求最优方案,

一般由图象、题干信息或不等式(组)解得自变量的取值范围,

然后①可将所有求得的方案的值计算出来,再进行比较；②利用一次函数的增减性确定最优方案及最值；若为分段函数,则应分类讨论,先计算出每个分段函数的最值，再进行比较.显然，第②种方法更简单快捷.思想方法把实际问题中的数量关系用一次函数来表示，建立一次函数模型；用不同的方法解决问题，比较和评价不同的解决方案，寻找解决问题的最佳方案；其中蕴含着模型思想、数形结合、化归、分类讨论等数学思想方法.知识类型本节课的主要教学内容是建立一次函数模型解决最优化问题，这是关于数学思想方法的知识.由知识类型决定，正确理解问题情境是基础，对于一个问题可以从多角度思考，借助于图象、表格、解析式等工具，发现和理清问题中变量之间的关系，建立一次函数模型；利用函数的图象或者性质求得函数问题的解，注意结合问题的实际意义检验模型的合理性.为了增强学生的建模能力，应选择更加贴近学生生活的问题情境，引导学生用函数分析解决它们.教学重点应用一次函数模型解决选择最优方案或方案选取问题.教学目标解析教学目标1.能结合一次函数的图象与解析式，利用一次函数的性质、一次函数与方程、不等式的关系，解决方案选择问题.进一步体会函数模型思想、数形结合思想等．2.能从不同角度思考问题，优化解决问题的方案．3.能对解决问题的过程进行反思，总结解决问题的方法．目标解析目标1达成的标志：学生经历将实际问题中的数量关系用一次函数表示的探索过程后，能归纳出确定一次函数解析式及自变量取值范围的方法；再利用一次函数的增减性和自变量的取值范围，求函数的最大（小）值，利用一次函数与方程、不等式的关系或者函数的图象，比较大小，得到实际问题的解，感受函数模型的应用价值.目标2达成的标志：在问题的探索中，能从不同角度感知问题中的数量关系，对实际问题中的数量关系进行有向多元表征，构建不同的模型，用不同的方法解决问题，并能比较评价各种解决方案，寻求解决问题的最佳策略，进一步体会数形结合、化归的数学思想.目标3达成的标志：在解决问题中能进行“现状-目标”差距评估，调整解题思路，在解决问题后，能对解决问题的思路、问题的类型及相关的解题策略进行反思总结，深化学生用一次函数数学模型解决实际问题的能力.教学问题诊断分析具备的基础七年级学生已经学习了利用二元一次方程（组）和一元一次不等式（组）解决实际问题，已经积累了将生活中错综复杂的问题抽象成方程或者不等式模型的直接经验和亲身体验.八年级学生基本上掌握了一次函数的概念、表示方法以及图象和性质，一次函数与方程、不等式的关系等基础知识，初步具备了数形结合和函数模型的意识．课题学习的前两个课时又通过两个问题的探究，使学生建立把实际问题的数量关系用一次函数来表示、运用一次函数的相关知识来解决问题的基本经验.与本课目标的差距分析本节课的认知程度较高，属于问题解决层次，需要通过高层次的数学学习活动发展数学感知、表征、抽象概括、推理计算等认知能力，发展发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，而这些教育价值的实现，必须以独立完整地经历相关的认知活动为前提.学生已经学会了用方程和不等式来解决生活中简单的实际问题，但是综合应用能力有待加强.要从复杂的实际问题中发现相关问题并提出问题，建立一次函数模型，用一次函数的相关知识解决问题还是存在一定困难．特别是当实际背景中所包含的变量及其对应关系较复杂时，学生分析起来会显得理不清头绪，易迷失解决问题的方向，甚至丧失信心.存在的问题由于学生利用数学模型解决实际问题的经验相对缺乏，因此，在学习解决问题时会遇到很大的困难.可能存在的问题是：①不会审题，难以从整体上把握数量关系；②不能用适当的方法表示问题中的数量关系，难以形成适当的数学模型；③不会进行系统的解题规划，而习惯于直接提取解题经验；④只满足于得到答案即可，缺少自我反思的习惯，不会从解题的方法、模型的建立、解题策略的异同点等方面去进行思考.应对策略教学中要从学生熟悉的问题情景出发，通过问题串和学生活动的设计，在学生独立思考的基础上，进行合作交流式的学习活动，强调学生的主动性，引导学生从不同角度感知问题中的数量关系，构建不同的模型，用不同的方法解决问题，在对比中选择最佳解题策略；在解决问题后，引导学生对解题的步骤、程序、方法进行总结提高，进一步感受建立数学模型的思想方法，提高综合应用知识的能力.教学难点分析解决问题的思路，建立函数模型.教学支持条件分析本课题学习的教学方式采用的是探究性学习.可以提前准备好学案，便于学生课堂使用.可借助Excel、GeoGebra等软件帮助分析问题背景中的数量关系，利用PPT展示课件，利用投屏展示不同学生的分析与解答过程.可在智慧教室中，可以利用平台，完成问题的解答，利用后台的测评系统，发现问题，及时反馈、评价.教学过程设计课前检测1.

据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.30元，普通车存车费是每辆一次0.20元．若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是（）A.

y=0.10x+800B.

y=0.10x+1200C.

y=-0.10x+800D.

y=-0.10x+1200补测题：某乡镇企业现在年产值是15万元，如果每增加100元投资，一年增加250元产值，那么总产值y(万元)与新增加的投资额x(万元)之间函数关系为（）A.

y=25x+15B.

y=2.5x+1.5C.

y=2.5x+15D.

y=25x+1.52.

从A地到B地打长途电话，通话时长不超过3min收费2.4元，超过3min每分钟加收1元.则通话费用y(单位：元)关于通话时间x(单位：min)的函数解析式为（）A.

y=2.4B.

y=2.4+xC.

y=2.4+（x-3）D.

y=2.4（x≤3），y=2.4+（x-3）（x＞3）补测题：某商场春节期间让利酬宾，对于一次购物中超过200元后的价格部分打7折.以x(单位：元)表示商品原价，y(单位：元)表示购物金额，就该商场的让利方式写出y关于x的函数解析式（）A.

y=0.7xB.

y=200+0.7（x-200）（x＞200）C.

y=x

（x≤200），y=200+0.7（x-200）（x＞200）D.

y=x

（x≤200），y=0.7（x-200）（x＞200）3.

一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A以毎分0.1元的价格按上网所用时间计费；方式B除收月基费20元外，再以毎分0.05元的价格按上网所用时间计费．若上网所用时间为x分，计费为y元，如图，是在同一直角坐标系中，分别描述两种计费方式的函数的图象．有下列结论：①图象甲描述的是方式A；②图象乙描述的是方式B；③当上网所用时间为500分时，选择方式方法B省钱．其中，正确结论的个数是（）A.

3B.

2C.

1D.

0补测题：某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国营出租车公司的一家签定月租车合同，设汽车每月行驶x千米，应付给个体车主的月费用是y1元，应付给出租车公司的月费是y2元，y1、y2分别与x之间的函数关系图象

(两条射线)如图所示，当每月行驶的路程等于________时，租两家的费用相同？设计意图：通过检测了解学生运用一次函数的图象、性质和与方程、不等式的关系来解决实际问题的基本能力.复习巩固（一）复习巩固，梳理思路前面我们已经学习了利用一次函数解决实际问题中的

“选择方案”问题，在解决这类问题时，其基本思路是什么？在解决实际问题中，确定函数解析式是解决问题的关键，确定函数解析式的方法有哪些呢？设计意图：让学生类比方程或者不等式解决实际问题的基本思路，反思问题解决的关键点和核心思想，引导学生概括利用一次函数解决实际问题的基本思路.思考：结合前面所学，利用一次函数解决实际问题一般涉及哪些问题呢？学生畅所欲言，然后进行归纳：1.求一次函数解析式；2.选择最优方案或方案选取；3.利润最大或费用最少.本节课结合实际问题，再次体会函数模型的建立，感受其应用价值.创设活动1创设活动2（二）联系实际，创设活动活动一：一个水龙头漏水，有人认为漏这一点水没有什么大不了，你也这样认为吗？为了估计一个水龙头一个月（30天）漏水量、一年（365天）漏水量，某人做了这样的实验：水龙头关闭不严会造成滴水，容器内盛水时w（L）与滴水时间t（h）的关系用可以显示水量的容器做如图1的试验，并根据试验数据绘制出如下表格．（1）建立直角坐标系，以横轴表示时间t，纵轴表示容器的盛水量w，描出上述实验所得数据为坐标的各点，观察它们的分布情况.（2）试写出w与t之间的函数关系式.（3）容器内原来有水多少升？在这种滴水状态下一天的漏水量是多少升？一个月（30

天）漏水量、一年（365

天）漏水量又是多少呢？

学生活动预设：学生独立完成，并思考以下问题：问题1：从图象上看，这个函数应该是什么函数？如何求出这个函数的解析式？问题2：如果不画图，从表格上观察，你能推测是什么函数吗？问题3：怎样检验得到的函数解析式是否符合实际意义？问题4：通过计算，发现了滴水之漏，你有哪些感想呢？设计意图：在不知道某一运动变化过程可以用什么类型函数刻画的情况下，引导学生利用表格或者图象，观察两个变量的部分对应值的变化规律，确定函数模型，再利用待定系数法确定函数解析式.通过问题的解决，增强学生的节水意识.师生互动设计：利用投屏，展示学生的解题过程，学生分享解题思路和感悟，其他学生进行评价，查缺补漏.解：（1）画图略.t=0时，w=0.3，即容器内原有水0.3升；（2）法一：观察图象近似于一次函数，设w与t之间的函数关系式为w=kt+b，将（1，0.7），（1.5，0.9）代入，得，解得，故w与t之间的函数关系式为w=0.4t+0.3；当t=0.5时，.当t=2时，.符合一次函数关系，w与t之间是一次函数关系，其关系式为w=0.4t+0.3法二：观察表格，利用任意两组对应量计算出每小时的滴水量都是0.4升，来判断应该为一次函数.（3）当t=0时，.容器内原来有水0.3升.由解析式可得，每小时滴水量为0.4升，一天的滴水量为：0.4×24=9.6（升），一个月（30

天）漏水量为：30×9.6=288（升），一年（365

天）漏水量为：365×9.6=3504（升）.答：在这种滴水状态下一天的滴水量是9.6升，一个月（30

天）漏水量为288升，一年（365

天）漏水量为3504升.归纳一：利用表格判断函数的方法：1.利用图象：画散点图→选择函数→求函数式（待定系数）→检验→得到结论.2.利用表格：计算变量的变化率→选择函数→求函数式（待定系数）→检验→得到结论.设计意图：对于表格型的实际问题,可以从数、形两个角度来分析，确定一次函数模型，在归纳中，学会函数模型建立的基本思路.创设活动2活动二：某商场筹集资金13.16万元，一次性购进空调、彩电共30台．根据市场需要，这些空调、彩电可以全部销售，全部销售后利润不少于1.56万元，其中空调、彩电的进价和售价见表格．设商场计划购进空调x台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元．(1)试写出y与x的函数关系式；(2)商场s有哪几种进货方案可供选择？(3)选择哪种进货方案，商场获利最大？最大利润是多少元？学生活动预设：独立完成，组内交流，代表展示，检测纠错，提炼方法.思考并回答下列问题：问题1：题中两个变量之间的数量关系是什么？你是怎样求出函数解析式的？问题2：怎样确定自变量的取值范围的？关键是抓住哪些信息？问题3：在众多的方案中，你是怎样选取方案，使商场获得的利润最大？设计意图：本题是一次函数解析式的性质、一元一次不等式组解实际问题、选择方案的运用，确定一次函数的解析式是解题的关键．要根据利润构成的要素分析、两个变量之间的数量关系分析，用式子表示函数关系式；再根据题中的不等关系，确定自变量的取值范围及进货方案；对于哪种方案利润最大，学生可以从多角度思考，在分析、比较中体会利用函数的增减性解决问题的便捷.达成目标1、2分析：（1）设商场计划购进空调x台，则计划购进彩电(30-x)台，由总利润等于销售后的空调的利润+彩电的利润就可以表示出y与x的关系式；（2）根据购物货款不超过13.16万元=131600元、总利润不少于1.56万元=15600元建立不等式组求出其解即可；（3）根据（1）一次函数的解析式和（2）自变量取值范围就可以求出结论．解：（1）由题意，得y=(6100-5400)x+(3900-3500)(30-x)=300x+12000；（2）由题意，得

解得：12≤x≤14；∵

x为整数，∴

x=12，13，14，∴

共有3种方案：方案1：购进空调12台，购进彩电18台，方案2：购进空调13台，购进彩电17台，方案3：购进空调14台，购进彩电16台；（3）∵

y=300x+12000，∴

k=300＞0，∴

y随x的增大而增大，∴

x=14时，y最大=16200元．∴

空调14台，彩电16台；商场获利最大，最大利润是16200元．对于第（3）问，有些学生还会把每种方案的利润分别求出来，再进行比较，选择利润的最大值，教师在肯定学生的做法的基础上，让学生比较两种方法的优劣，在反思中感受利用函数的增减性解决问题的便捷.归纳二：利润最大费用最少问题→找变量间的数量关系→确定函数解析式→确定自变量取值范围→利用增减性确定最值.设计意图：通过归纳，掌握解决此类问题的基本思路.创设活动3活动三：某文具商店销售功能相同的A、B两种品牌的计算器，购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需156元；购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元．（1）求这两种品牌计算器的单价；（2）学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A品牌计算器按原价的八折销售，B品牌计算器5个以上超出部分按原价的七折销售，设购买x个A品牌的计算器需要y1元，购买x个B品牌的计算器需要y2元，分别求出y1、y2关于x的函数关系式；（3）小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过5个，购买哪种品牌的计算器更合算？请说明理由．学生活动预设：结合下列问题，学生独立思考并完成，然后小组讨论，找出易错点，多角度探究解决问题的方法.问题1：第（1）问是利用哪个数学模型来解决问题的？问题2：第（2）问中B品牌计算器5个以上超出部分按原价的七折销售的含义是什么？在求出y2关于x的函数关系式时要注意什么问题呢？问题3：你是怎样比较y1、y2大小的方法的呢？设计意图：本题是二元一次方程组、一次函数关系式的确定、一次函数与方程、不等式的关系的运用；要理清问题中数量之间的关系和问题中变量之间的函数关系，建立方程模型和函数模型，B品牌的函数关系为分段函数,要注意分类讨论；比较y1、y2大小的方法很多，要注意引导学生比较评价.达成目标1.【分析】（1）设A、B两种品牌的计算器的单价分别为a元、b元，然后根据156元，122元列出二元一次方程组，求解即可；（2）A品牌，根据八折销售列出关系式即可，B品牌分不超过5个，按照原价销售和超过5个两种情况列出关系式整理即可；（3）先求出购买两种品牌计算器相同的情况，然后讨论求解．解：（1）设A、B两种品牌的计算器的单价分别为a元、b元，根据题意得，，解得：，答：A种品牌计算器30元/个，B种品牌计算器32元/个；（2）A品牌：y1=30x•0.8=24x；B品牌：①当0≤x≤5时，y2=3