17.1 第4课时 勾股定理 教学设计

人教版八下17.1.4勾股定理（第4课时）教学设计教学内容解析教学流程图地位与作用勾股定理指出了直角三角形三边之间的数量关系，搭建起了几何图形与数量关系之间的桥梁，是平面几何最重要的定理之一，在实际生活与数学学科中都有着广泛的应用.本节课应用勾股定理证明直角三角形全等的“HL”判定法以及在数轴上表示无理数，进一步感受勾股定理在数学中的重要作用.概念解析应用勾股定理证明“HL”判定法，是根据斜边和一组直角边对应相等的条件，由勾股定理可得另一组直角边也对应相等，从而转化为“SSS”判定法；在数轴上表示无理数，是根据勾股定理构造直角三角形，得出长度为无理数的线段，进而将其表示在数轴上．思想方法“HL”判定法的证明体现了转化的数学思想，勾股定理是转化的桥梁；在数轴上表示无理数可以锻炼学生发现和提出问题的能力，培养学生的创新精神．知识类型应用勾股定理解决一些数学问题属于原理和规则性知识，使用勾股定理的前提是在直角三角形中，因此发现或构造直角三角形是解决问题的关键.教学重点运用勾股定理作出长度为无理数的线段．教学目标解析教学目标能构造直角三角形，并用勾股定理求线段长或进行一些证明．目标解析达成目标的标志是理解通过勾股定理可以将“斜边、直角边”判定定理转化为“边边边”的基本事实；能根据要表示的无理数，构造适当的直角三角形，一般是两条直角边为整数，使斜边长为该无理数，进而截取线段长表示在数轴上．教学问题诊断分析具备的基础学生已了解数轴上的点和实数是一一对应的，并且经历了探索勾股定理的全过程以及应用勾股定理解决一些简单的实际问题.与本课目标的差距分析本节课是应用勾股定理解决之前所学知识中的一些问题，是一种理性提升.存在的问题为了在数轴上表示无理数，需要构造适当的直角三角形，这对学生来讲是较高的思维要求.应对策略从学生已了解的问题入手，如将表示在数轴上作为铺垫性问题，再展开一般的讨论.教学难点用勾股定理作出长度为无理数的线段.教学支持条件分析在数轴上表示无理数时，学生动手操作，需要准备圆规进行线段的截取.证明“HL”判定定理时，准备三角板和圆规等作图工具方便画出图形进行证明，在作图时可借助几何画板等动态几何软件辅助作图.教学过程设计课前检测1.

已知一个直角三角形中，两条直角边的长度分别是2和3，求斜边的长度．2.

证明两个直角三角形全等的判定方法有哪些？3.

请在数轴上画出表示的点.设计意图：检测学生对之前所学与本课相关知识的掌握情况，为本节课的教学作铺垫.新课学习通过上节课的学习，我们已经感受到勾股定理在实际生活中有着广泛的应用．勾股定理作为数学中最重要的定理之一，在数学的很多分支中发挥着基础性的作用，我们结合之前所学的一些知识来感受一下．1.“斜边直角边”判定定理的证明问题1：在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？师生互动设计：教师引导学生画出图形，写出命题的已知、求证，然后学生独立完成证明．已知：如图，在Rt△ABC

和Rt△A’B’C’

中，∠C=∠C’

=90°，AB=A’B’

，AC=A’C’

．求证：△ABC≌△A’B’C’

．证明：在Rt△ABC

和Rt△A’B’C’

中，∠C=∠C’

=90°根据勾股定理得∵

AB=A’B’

，AC=A’C’

∴BC=

B’C’

．∴△ABC≌△A’B’C’（SSS）．设计意图：对“斜边直角边”判定定理，从画图感知上升到严谨证明，感受勾股定理在几何证明中的作用．2.在数轴上表示一些无理数问题2：我们知道数轴上有的点表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示的点吗？师生互动设计：学生小组合作，交流怎样入手解决问题．经过讨论可以发现，若能画出长为的线段，就能在数轴上画出表示的点．设计意图：学生合作讨论，获得解决问题的入手点，体验在合作中获得思路的乐趣．追问1：我们之前曾遇到类似的问题：在数轴上表示，是如何解决的？师生互动设计：学生回顾，边长是1的正方形对角线的长度为，因此在数轴上以单位长度为边长作出正方形，截取对角线的长度，再以原点为圆心作圆即可．教师总结：实际上，正方形可以简化为腰长是1的等腰直角三角形，其斜边的长度就是．设计意图：回顾之间接触的相对简单的问题，串起旧知与新问题的联系，为学生搭设思维的台阶．追问2：类似的，能表示为一个直角三角形斜边的长度吗？为了作图的方便，直角三角形的两条直角边最好是整数．请你试着在数轴上画出表示的点．师生互动设计：学生小组讨论，结合勾股定理可以发现，直角边的长为正整数2、3的直角三角形的斜边长为．学生动手操作，在数轴上作图，完成后小组交流，教师请学生展示作图结果以及归纳作图步骤：（1）在数轴上找出表示3的点A，则OA

=3（2）做直线垂直于OA，在上去点B，使AB

=2（3）以点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示的点.教师对结果进行引申：实际上，借助下面的“数学海螺图”，我们可以在数轴上作出表示的点．设计意图：通过勾股定理构造适当的直角三角形，其斜边长表示某个无理数，进而可以将其表示在数轴上．感受勾股定理在数学中应用的广泛性，培养学生发现和提出问题的能力．实际应用归纳总结3.勾股定理在一些几何问题中的应用【例题1】如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB

=∠ECD

=90°，D为AB边上一点．求证：AD2

+DB2

=DE2．师生互动设计：教师引导学生思考：从问题出发，要证明三条线段满足勾股定理中的数量关系．证明的关键是找到或构造与三条线段都有关系的直角三角形．之后学生合作学习，交流想法，发现△ADE是解决问题的关键，最后共同将问题解决．证明：∵∠ACB

=∠ECD，∴∠ACD

+∠BCD=∠ACD

+∠ACE

，∴∠BCD

=∠ACE．又

BC=AC，

DC=EC，∴

△ACE≌△BCD．∴∠B

=∠CAE=45°，

∠DAE

=∠CAE+∠BAC

=45°+45°=90°．∴AD2

+AE2

=DE2．∵AE=DB

，∴AD2

+DB2

=DE2．设计意图：勾股定理中三条线段的数量关系是几何中常见的数量关系，在一些几何综合题中发现或构造出相关线段所在的直角三角形是解决问题的关键，可以