北京市朝阳区2022届高三数学一模试卷

北京市朝阳区2022届高三数学一模试卷一、单选题1．已知集合A={x|2≤x<4}，集合B={x|x2−3x+2<0}A．∅ B．{x|1<x<2}C．{x|2≤x<4} D．{x|1<x<4}2．直线y=x+1被圆x2A．1 B．2 C．2 D．23．已知平面向量a，b满足|a|=2，|b|=1，且a与b的夹角为A．3 B．5 C．7 D．34．设m∈(0，1)，若a=lgm，A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a5．已知函数f(x)=2x−3，x≥0A．-2 B．12 C．1 6．已知a∈(0，+∞)，则“a>1”是“A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知三棱锥A−BCD，现有质点Q从A点出发沿棱移动，规定质点Q从一个顶点沿棱移动到另一个顶点为1次移动，则该质点经过3次移动后返回到A点的不同路径的种数为（）A．3 B．6 C．9 D．128．已知数列{an}，若存在一个正整数T使得对任意n∈N∗，都有a①a1=2，an+1=1−an(n∈N∗)；②b1=1，bn+1则上述数列中，8为其周期的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．49．如图1，北京2022年冬奥会比赛场地之一首钢滑雪大跳台与电力厂的冷却塔交相辉映，实现了它与老工业遗址的有效融合.如图2，冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.它的最小半径为16 m，上口半径为17 m，下口半径为28.5 m，高为70 m.在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3所示的平面直角坐标系，设|OA|=16，|DC|=17，|EB|=28.（参考数据：28.5216A．x216C．x21710．在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，VA，VB，VC两两垂直，VA=VB=VC=1（单位：dm），小明同学计划通过侧面VAC内任意一点P将木块锯开，使截面平行于直线VB和AC，则该截面面积（单位：dmA．14 B．24 C．34二、填空题11．计算i(1+i12．已知直线x=π3和x=5π6是曲线y=sin13．在平面直线坐标系xOy中，设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l：y=3(x−1)与抛物线C交于点A，且点A在x轴上方，过点A作抛物线C的切线与抛物线C的准线交于点P，与①△OFA的面积是3；②点H的坐标是(−3③在x轴上存在点Q使AQ⋅④以HF为直径的圆与y轴的负半轴交于点N，则AF=2其中所有正确结论的序号是.14．已知数列{an}是首项为3，公比为q的等比数列，Sn是其前n项的和，若a3a415．某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为π3的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出一块三角形绿地PQR，其中P在BC上，PQ⊥AB，垂足为Q，PR⊥AC，垂足为R，设∠PAB=α∈(0，π3)，则PQ=（用α表示）；当P三、解答题16．在△ABC中，asin（1）求A；（2）再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求△ABC的面积.条件①：b=2c；条件②：sinB=1010注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分.17．某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，（1）若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩（每组成绩用中间值代替）；（2）在样本中，从其成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人，用X表示其成绩在[90，100]中的人数，求（3）在（2）抽取的3人中，用Y表示其成绩在[80，90)的人数，试判断方差D(X)与18．如图1，在四边形ABCD中，AC⊥BD，AC∩BD=O，OD=OB=1，OC=2，E，F分别是AB，AD上的点，EF//BD，AC∩EF=H，AH=2，HO=1.将△AEF沿EF折起到△A1EF（1）求证：EF⊥平面A1（2）若平面A1EF⊥平面（i）求二面角D−A（ii）对线段A1F上任意一点N，求证：直线BN与平面19．已知f(x)=x−aex，（1）若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴重合，求（2）若函数f(x)在区间(1，+∞)上存在极值，求（3）设g(x)=f(2−x)，在（2）的条件下，试判断函数g(x)在区间(1，20．已知椭圆C：x2a2+y（1）求椭圆C的方程和离心率；（2）过点P(4，0)且与x轴不重合的直线l与椭圆C交于A，B两点，与直线x=1交于点Q，点M满足MP⊥x轴，MB//x轴，试求直线MA的斜率与直线21．对非空数集X，Y，定义X与Y的和集X+Y={x+y|x∈X，y∈Y}.对任意有限集A，记|A|为集合（1）若集合X={0，5，10}，Y={−2，（2）若集合X={x1，x2，⋯，xn}满足x1<（3）设集合X={x1，x2，⋯，xn}满足x1<x2<⋯<x

答案解析部分1．【答案】D2．【答案】B3．【答案】A4．【答案】C5．【答案】C6．【答案】A7．【答案】B8．【答案】B9．【答案】A10．【答案】B11．【答案】-1+i12．【答案】5π613．【答案】①③④14．【答案】−1315．【答案】60sinα米；16．【答案】（1）解：∵asin∴sinAsinC+∴sinA+cosA=0，即tan∴A=3π（2）解：选①②，由sinB=1010，A=∴cosB=31010，又sinC=∴△ABC不存在；选①③，b=2c，由余弦定理可得，a2=b∴c2=2，即∴△ABC的面积为S△ABC选②③，∵sinB=1010，a=∴b=asinB∴sinC=∴△ABC的面积为S△ABC17．【答案】（1）解：由直方图可得第二组的频率为1−0.∴全校学生的平均成绩为：45×0（2）解：由题可知成绩在80分及以上的学生共有50×(0.20+0.所以X可取0，1，2，3，则P(X=0)=C103P(X=2)=C101故X的分布列为：X0123P2445202E(X)=0×24（3）解：D(X)=D(Y).18．【答案】（1）证明：∵AC⊥BD，EF//BD，∴AC⊥EF，∴EF⊥A1H∴EF⊥平面A1（2）解：（i）由EF⊥A1H，EF⊥HC又平面A1EF⊥平面∴∠A1HC=90∘∴A1H⊥平面如图建立空间直角坐标系，则D(−1，∴DC=(1设平面DA1Cm⋅DC=0令y=2，则m=(−4又平面A1CH的一个法向量可取∴cos⟨∴二面角D−A1C−H（ii）由题设FN=λFA∴FN=λ(∴N(23λ−∴BN=(23λ−5由BN⋅m=(−4，2∴λ∈∅，∴直线BN与平面A119．【答案】（1）解：因为f'(x)=1−aex，所以曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y−(1−ae)=(1−ae)(x−1)，即因为曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与所以1−ae=0，解得a=1（2）解：由（1）得f'因为函数f(x)在区间(1，所以f'(x)=1−ae当a≤0时，f'(x)=1−aex在区间当a>0时，f'(x)=1−aex在区间(1，+∞)上单调递减，且当x趋近于故要使f'(x)=1−aex在区间(1综上，a∈(0，1e)，即（3）解：函数g(x)在区间(1，g(x)=f(2−x)=2−x−ae2−x，a∈(0，所以g'令y=−1+ae2−x，x>1，则所以函数g'(x)=−1+ae由于g'所以函数g'(x)=−1+ae所以函数g(x)在区间(1，20．【答案】（1）解：由题设有a2−b2=11a故离心率为e=1（2）解：由题设可得AB的斜率必存在且不为零，设AB：y=k(x−4)由y=k(x−4)故kMA=3×x由y=k(x−4)故Δ=144−144k2>0即−1<k<1又x1故k=−3×3221．【答案】（1）解：∵集合X={0，5，∴X+X={0，5，（2）解：∵x1∴集合X+X中至少包含2n−1个元素，所以|X+X|≥2n−1，又|X|=n，由题可知|X+X|<2n，又|X+X|为整数，∴|X+X|≤2n−1