人教A版高中数学必修第一册1.3集合的基本运算

1.3集合的基本运算

一、单选题

1.已知集合4={-1,0,1},B=则Au3=()

A.{-1,0,1,3}B.{-1,1}C.{-1,0,3}D.{1}

【答案】A

【解析】

直接由并集的概念求解即可.

A<JB={-1,0,1,31.

2.已知全集。={123,4},若4={1,4},则()

A.{2,4}B.{1,4}C.{2,3}D.{2,4}

【答案】C

【解析】

根据补集的概念即可求得答案.

由题意得全集。={1,2,3,4},若4={1,4},

则2A={2,3},

3.设集合A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},则(AIB)UC=()

A.{1,2,3}B.{1,2,4}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4)

【答案】D

【解析】

利用交集和补集的定义可求得结果.

由已知可得AnB={l,2},(AnB)UC={1,2,3,4}.

4.如图，已知全集"=1<,集合A={1,2,3,4,5},B={x|(x+l)(x-2)<0},则图中阴影部分

表示的集合的于集个数为()

A.3B.4C.7D.8

【答案】D

【解析】

先求得图中阴影部分表示的集合，再利用该集合中元素个数即可该集合的于集个数

B=|x|(x+l)(x-2)<0j=1x|-l<x<2},则;RB=|x|x<-1ngx>21

图中阴影部分表示的集合为

Ac03)={1,2,3,4,5}c{小<一1或x>2}={3,4,5}

集合{3,4,5}的子集有23=8(个)

则图中阴影部分表示的集合的子集个数为8

5.已知集合4={尤|。<尤<3},2=卜|14尤44},则人口3=()

A.{x|l<%<3}B.{x|0<x<4}C.{x[0<x<4}D.{x[l<x<3}

【答案】A

【解析】

根据集合的交集运算即可得答案.

因为A={x[0<x<3},B=(x11<x<4}

所以AcB=[x]lVx<3}

6.下列命题:

①若AcB=U,则A=3=U；

②若AIJB=0,则A=3=0；

③若AW0,则加U5=。；

④若ACW0,则A=3=0；

⑤若则X「豆=0；

⑥若Au3=U,则A=3=U.

其中不正确的命题为（)

A.没有B.④和⑥C.②和⑤D.①和③

【答案】B

【解析】

根据集合间运算的定义直接判断即可.

根据集合间的运算结果可直接判断①②③⑤正确；

④4口8=0，则集合A与8是两集合无公共元素，不一定为空集，故错误；

⑥ADB=U,集合A与8不一定都为U,故错误；

7.已知U为全集，集合M,N是。的子集.若MCN=N,则（）

A.(6iW)2(QUN)B.aMV)

C.(dUN)D.SUN)

【答案】C

【解析】

由M~lN=N,可得NUM,从而可进行判断

■:MCN=N,：.N^M,

QUN).

8.如图，U是全集，是U的子集，则阴影部分表示的集合是（）

(MAP)USC.(McP)c2SD.(MnP)u^S

【答案】C

【解析】

利用阴影部分所属的集合写出阴影部分所表示的集合.

解：由图知，阴影部分在集合加中，在集合尸中，但不在集合S中，

故阴影部分所表示的集合是（McP）c①S.

9.若集合A={1,3,x},B={l,x2}，且AUB={1,3,尤},则满足条件的实数x的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】

根据并运算结果，可得尤2=3或，=x,结合集合的性质，即可求得无，从而进行选择.

因为集合A={1,3,x},B={1,无2},且AU3={1,3,X},

故可得f=3或X?=尤，解得x=土有或元=0或x=l,

当x=l时，集合A,3不满足互异性，故舍去；

当x=土有或x=0时，满足题意.

故满足条件的X的个数有3个.

10.设5={尤,<一1或无>5},7={无,<尤<。+8},若SuT=R,则实数a应满足()

A.—3<。<—1B.——1

C.Q«—3ci—1D.a<—3ci>—1

【答案】A

【解析】

利用集合的并运算结果，借助数轴列不等式组即可求解.

fa<—1

如图，由数轴可得。V，解得-

a+8>5

a-15a+8x

11.已知A={(x,y)|y=x+1},8={(x,y)|y=x?},则A的子集个数为()

A.2B.3C.4D.8

【答案】C

【解析】

根据集合A和B表示的含义,联立方程化简，判断出交点个数，即为A口8的子集个数.

A={(无,y)|y=x+l},A表示函数y=x+i图象上的点集，

B={(%,y)|y=x2},8表示函数y=4图象上的点集，

AflB中的元素为>=》+1和、=尤2图象的交点，

fy=x+l

联立=d得至Ux2-x-l=。,A=l+4=5>0,所以有2个交点,

所以4口8的元素个数为2,其子集个数为2?=4个，

12.设集合S,T中至少两个元素，且S,T满足：①对任意尤,yeS,若xwy,则x+yeT,

②对任意尤,若xwy,则x-yeS,下列说法正确的是（）

A.若S有2个元素，则SUT有3个元素

B.若S有2个元素，则SUT有4个元素

C.存在3个元素的集合S,满足SUT有5个元素

D.存在3个元素的集合S,满足SUT有4个元素

【答案】A

【解析】

不妨设S={a,b},由②知集合S中的两个元素必为相反数，设5={a,-a},由①得OeT,由

于集合T中至少两个元素，得到至少还有另外一个元素〃蚱7,分集合T有2个元素和多于2

个元素分类讨论，即可求解.

若S有2个元素，不妨设5=伍力},

以为T中至少有两个元素，不妨设卜,耳屋T,

由②知,因此集合S中的两个元素必为相反数，故可设S={0,-°},

由①得OeT,由于集合T中至少两个元素，故至少还有另外一个元素〃好7,

当集合T有2个元素时，由②得：—meS,则加=±。,7={0,-。}或7={0,。}.

当集合T有多于2个元素时，不妨设7={0,九〃},

其中根,—m,—n,m—n,n—m^S,

由于加加。0,〃±0,所以m。一加，几w—九,

若m=一几，贝”及二一加，但此;时〃=也加_〃=_2〃，

即集合s中至少有m,n,m-n这三个元素，

若m小-n,则集合S中至少有"4n,m-n这三个元素，

这都与集合S中只有2个运算矛盾，

综上，SUT={。,。,-。},故A正确；

当集合S有3个元素，不妨设S={a,6,c},

其中。<b<c,贝lj{a+hb+c,c+a}qT,ffy^c-a,c-b,b-a,a-c,b-c,a-b^S,

集合S中至少两个不同正数，两个不同负数，即集合S中至少4个元素，与5={“1,。}矛盾，

排除C,D.

二、多选题

13.已知集合48均为R的子集，若=则（）

A.B.

C.AU3=RD.（胭5通）=尺

【答案】AD

【解析】

根据集合图逐一判断即可得到答案

根据图像可得Ac。玛故A正确；由于8。备4,故B错误；AU3UR，故C错误

0）^（㈤=%（AC3）=R

14.集合A={x|办一1=0},3={X|X2_3X+2=0},且=实数0的值为（）

A.0B.1C.1D.2

【答案】ABC

【解析】

由题设3={1,2}且AaB,讨论A是否为空集求对应的参数值即可.

由题设5={1,2},又人。5=6,故A=

当A=0时，a=0；

当Aw0时，1或2为办一1=0的角轧贝！Ja=l或。=；.

综上，a=0或a=l或。=Q.

15.已知M={犬|-Lv%v3},N={犬|2v%v4},则下列正确的是（）

A.AfDN={X|2<%<3}B.AfuN={x|-1vx〈4}

C,4以={%[%<—1或x>3}D.=或123}

【答案】ABD

【解析】

利用交集、并集及补集的定义运算即得.

VM={%|—1<x<3},N={x|2<x<4},

/.McN={x[2<x<3},Af<JN={X|-4<X<4}，4M=(x|x<-lsgx>3},

16.如图所示的阴影部分表示的集合是()

A.Mc(NcP)B.(Cu")c(NcP)

C.Pc[Cu(MuTV)]D.PCGMCGN)

【答案】CD

【解析】

把ABCD四个选项一一进行分析判断

A选项表示的是图1的部分，不合题意,

M/\N

图1

B选项表示的是图2的部分，不合题意

MN

CD选项表示的是题干中的阴影部分

17.已知全集/=R,集合4={尤卜2+2彳+。=()}#0,B=|x|Vx-2021<o|,则AIJ8中所

有元素的和可以是（）

A.-2B.2C.2020D.2019

【答案】ACD

【解析】

求得B={2021},再分别讨论A中有两个相等的实数根，A中有两个不相等的实数根且B三A,

A中有两个不相等的实数根%,三，且8不是A的子集，三种情况即可求解.

由题意可知:Jx-2021Vo且，r-202120,所以Jx-2021=0,

可得：x=2021,即3={2021},

（1）若A中有两个相等的实数根，则A=4-4a=0,可得。=1,

此时4=司/+2%+1=（）}={-1},可得438={_1,2021},

所有元素之和为2020；

（2）若A中有两个不相等的实数根，且3={2021}屋4,则4={-2023,2021},

则AU3=A={-2023,2021},由韦达定理可知，所有元素之和为-2；

（3）若A中有两个不相等的实数根布三，且8不是A的子集，

贝!）由韦达定理可知%=-2,所以4^|8={百,％2,2。21},

所有元素之和为2019.

所以AUB中所有元素的和可以是：2020或2019或-2.

18.已知口为给定的非空集合,集合7=伍,笃,…二},其中7；.CM,且ZU5U…U7；

=M,则称集合T是集合"的覆盖；如果除以上条件外，另有其中7=1,2,3,.,”，

j=l,2,3,：.,n,且2j,则称集合T是集合"的划分对于集合A={a,瓦c},下列命题错误的

是（）

A.集合S={{”,圻，{4c}}是集合A的覆盖

B.集合Q={[a],{a,b]，{兄c}}是集合A的划分

C.集合E={{a},的,{c}}不是集合A的划分

D.集合尸={⑷,他,。}}既不是集合A的覆盖，也不是集合A的划分

【答案】BC

【解析】

根据集合新定义以及集合的交、并运算，逐一判断即可.

对于A,集合5={伍,圻,{瓦c}}满足{a向UA,{瓦于UA,

且{a,6}Ug，c}=A,故集合S是集合A的覆盖，选项A正确；

对于B,集合Q={{a},{a,b},{a,c}}中,{以,于B{。，集W0,

不满足题目定义中“4n%=。”，

故集合Q={{a}，{a，6}，{，"}}不是集合A的划分，选项B错误；

对于C,集合E={⑷,⑸,{c}}是集合A的划分，

因为{a}=A,g}aA,{C}CA,

且{a}U{6}U{c}=A,{fl}n{Zj}=0,{6}n{c}=0,{a}n{c}=0,

满足定义中的所有要求，选项C错误；

对于D,集合尸={{a},{a,C}}中，{a}\J{a,c}TtA,{a}[}{a,c}^0,

故集合尸={{。}，{。©}既不是集合A的覆盖，也不是集合A的划分，选项D正确.

三、填空题

19.集合4="k<研，S={x|l<x<3},且AU（43）=R,则实数a的取值范围为.

【答案】（3,+oo）

【解析】

根据并集，补集的定义和运算法则进行计算.

解：•集合N={x|x<a},5={x|l<x<3},

/.震B={x\x<1或x>3},

因为AU低B）=R,

所以a>3,

故答案为：（3,+8）.

20.某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有75人听了数学讲座，68人听了历史

讲座，61人听了音乐讲座，17人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，

9人同时听了历史、音乐讲座，还有6人听了全部讲座，则听讲座人数为.

【答案】172

【解析】

画出韦恩图求解即可.

68+75+61-(17+12+9)+6

=204-38+6,

=172(人).

21.设集合A={x|—2<x<3},B={x[x>。},若Ac<B=0,则实数“的取值范围为

【答案】a<-2

【解析】

先求出则Ac4B=0,A=M—2<X<3},由分析即可求出“的取值范围.

={x|xVa},又因为Ac\8=0,A={x|-2<x<3},所以2.

故答案为：a<-2.

22.设整数集人=也,%4,%},B=^,a；,a^,且01cg</<%，若4八3={%,%},

满足%+%=。，AUB的所有元素之和为90,求。3+&=;

【答案】10

【解析】

根据4+4=0可得=a；,结合已知条件可得a2>0,然后分情况讨论，出>0和。2=。时,

利用集合元素的互异性和确定性即可求解.

由％+%=。可得％=一%，所以q=，

因为4门3={%,%},所以电20,

若%>0,因为％eZ,所以电21,

所以的《^，a3<a3>故aj史{的，%}

所以时,磷={%,四},

若的则。3=出2=（-q）4=短，可得/=。或生=1

a2=a3

与%＞出21矛盾，所以此时不成立，

若。2=。，则。4＞。3＞。2=0，所以％2＞。4，

所以aj史{%,%}，所以回©={%4}即{金。}={0,4}

显然。；=。3=/2，可得%=。或％=1,

因为。3=。与。3＞。2矛盾，所以。3=1,4=-1,

此时A={-1,0,1,%},3={1,0,5},所以438={-1,0,1,%,%2},

2

由题意知：a4+a4=90,即（%+10）（%-9）=0,解得%=9或%=-1。（舍）

综上所述：。3=1，4=9,所以/+g=1。，

故答案为：10.

四、解答题

23.已知集合A={-1,0,1},3={0,2},U={-1,0,1,2,3}.

⑴求AUB;

⑵求g（Ac2）.

【答案】（l）AUB={-l,0,l,2}

⑵用（4口3）={-1』,2,3}

【解析】

（1）根据并集的定义计算可得；

（2）根据交集、补集的定义计算可得；

（1）

解：因为A={T0/},8={0,2},

所以AUB={T,0,l,2}.

⑵

解：因为。={—1,0,1,2,3},A={-1,0,1},3={0,2},

所以4口8={0},

所以毛（A「3）={-U2,3}.

24.设集合U={x|xW4},A={x|-l<x<2),8={巾4%43}.求：

(i)Ans；

(2)(M)UB；

⑶(枷)c(㈤.

【答案】⑴{邓Vx<2}；

⑵{小<-1或1W4}；

(3)[x\x<-13<%<4}.

【解析】

(1)(2)(3)根据集合交并补计算方法计算即可.

(1)

AcB={x|14x42}；

(2)

•.&A={x[%«-1或2Vx<4},

A)uB={x|x<-11<x<4}；

(3)

vA={x|x<-12<x<4},SuB={x\x<1或3<x<4},

「.(您4)I(/)={x|xK_l或3<无<4}.

25.已知集合A={x|1«兄一1<4},B={x|-2<x<3},C={x|2a—I<x<2〃+1}.

(1)若CqA,求实数。的取值范围；

(2)若"nqic,求实数，的取值范围.

"3-

【答案】(1)。£,2

⑵卜母

【解析】

(1)根据子集之间的关系列出不等式即可求解.(2)将(AnB)uC转化成子集关系即可求解.

(1)

因为A={x|l«x—1<4},所以A={x|2Wx<5}.

a<2,

2Q+1«5,一

因为C=A,且C#0所以

2a-l>20a>-,

2

33

解得3工。42..56—,2

乙—乙.

⑵

因为AW32K3},(“8)“，所以3+1>3：

解得1<〃<：故〃的取值范围为11,胃.

(2)如图①，阴影部分表示集合"，求

(3)如图②，阴影部分表示集合N,求N.

【答案】⑴人口犬耳〈尤<2},AuB={x|-l<x<3},gB={x|无<一1或x>3}；

3

(2)M={.r|-l<x<-^2<x<3};

(3)M={x[x<-l或x>3}.

【解析】

(1)求解不等式组解得集合A,再根据集合的并运算和补运算即可求得结果；

(2)根据阴影部分可知M=5(AcB),根据已知集合求解即可；

(3)根据阴影部分可知M=⑦(AUB),根据已知集合求解即可.

(1)

13

A={x|2x—1<3,—x—2<x—3}={x|—<x<2},

A<JB={X\—1<X<3},={x|x<—1或x>3}.

⑵

,3

因为Ac3={x|54x<2}

3

根据题意可得M=a(Ac5)={xU<：或2<%W3}.

(3)

因为Au5={%|—1«%43},

根据题意可得〃=2(AU3)={犬1%<-1或尤〉3}.

27.已知集合4={彳|°一1三》三。+1},B=|<oj.

⑴若a=-3,求AIJ3;

(2)在①AnB=0,②6u(aA)=A,③=这三个条件中任选一个作为已知条件,

求实数。的取值范围.

【答案】(l)Au3={x|-4V尤V5}

(2)答案见解析

【解析】

(1)分别求出集合A和集合5,求并集即可；

(2)选①，根据集合A和集合B的位置在数轴上确定端点的关系，列出不等式组即可求解，

选②，先求出4A,再根据条件在数轴确定端点位置关系列出不等式组即可求解，

选③，得到AaB,根据数轴端点位置关系列出不等式组即可求解.

(1)

因为。=-3,所以A={x|TVxV-2},

又因为8={x|-3Vx<5},所以=

(2)

若选①4口3=0：则满足。一1>5或。+14—3,

所以。的取值范围为-4或。>6}.

若选②Bu(4A)=R：所以«A={x|无或无>。+1},

f6Z-1>—3

则满足…，所以。的取值范围为{创-2vaK4}.

a+l<5

若选③Au3=3：由题意得A^B,

a-1〉一3

贝1J满足

a+l<5

所以。的取值范围为SI-2va«4}

22

28.设A={x|Y一〃％+〃2-19=0},B={x|x-5x+6=0},C={x\x+2x-S=0}.

(1)若AC3=AD5,求实数a的值；

(2)若。豆(AcB)且AcC=0,求实数。的值；

(3)若AcB=AcCw0,实数。的值.

【答案】(1)a=5；(2)a=-2；(3)a=-3.

【解析】

试题分析：(1)从AC3=AD3,得A=B,从而知2,3是方程/-改+/-19=0的两个根，

由根与系数的关系得实数。的值；(2)从0M(AcB)且AcC=0,得3eA,进而得实数。

的值，但需检验；(3)从Ac3=AcCw0,确定2eA,进而得实数”的值，但也需检验.

试题解析：由题可得3={2,3},C={7,2}

(1)vAnB=AuB=>A=B.,.2,3是方程上-依+°2-19=0的两个根

2+3=a_

即{=>q=5.

12X3="7_19

(2)・10室(Ac5)且AcC=0,.•.SwA,

即9一3々+h2—=11=/一3〃-10=0=〃=5或［=一2,止匕时还需检验

当〃=5时，有人={2,3},则AcC={2}。0,.,.“=5(舍去)

当”=—2时，有4={-5,3},则0M(AcB)={3}且AcC=0,

/.a=一2符合题意,即a=-2.

(3)AcB=AcCw0,2eA,

即4—2a+勿2—19a-Xi5a8?或a=—3,

当a=5时，有4={2,3},则Ac5={2,3}wAcC