上海初三数学自招教学案3：整除性

整除性

知识梳理：

整除性：

1、设。力是给定的整数，若存在整数c,使得。=儿，则称》整除。，记作目。，并称》是。的一

个约数（因子），称。是6的一个倍数，如果不存在上述c,则称b不能整除。，记作6/。。

整除有以下常用性质：

（.1）若61c且c|a,则6|a。

（2）若且b|c,则对于任意的整数〃,v有（a“±cv）。

（3）若6|a,则或者a=0,或者同2例，因此若6|a且a|6,则。=±》。

（4）（带余除法）设a,＞为整数，b＞0,则存在整数q和r,使得a=的+r,其中0Wr＜6,并且q和r

由上述条件唯一确定。

2、数的整除性特征：

（1）被2（或5）整除的数的特征是末位数字能被2（或5）整除。

（2）被4（或25）整除的数的特征是末两位数字能被4（或25）整除。

（3）被8（或125）整除的数的特征是末三位数字能被8（或125）整除。

（4）被3（或9）整除的数的特征是数码之和能被3（或9）整除。

（5）被11整除的数的特征是奇位上的数码之和与偶位上的数码之和的差事11的倍数。

3、正整数分为三类：（1）1；（2）质数（素数）：一个大于1的正整数，如果它的正因数只有1和它本身，

则称为质（素）数（3）如果一个自然数包含有大于1而小于其本身的因子，则称这个自然数为合数。

（1）整数。除1以外的最小正因数q是一个质数，如果。是合数，则qW而。

⑵若p是质数，4为任一整数，则必有p|a或（a,p）=l。

（3）p是质数，若川的2…耳，则p能整除。心2…。〃中的某一个。

（4）（算术基本定理）任何一个大于1的正整数。，能唯一地表示成质因数的乘积（不计较因数的排列顺

序），即

a=P。'P%,•,「网，i='，2，・•,，k

12k

其中P,为质（素）数（P1＜P2＜一＜Pk），上式叫做整数〃的标准分解式。

4、设〃力不全为零，同时整除。力的整数称为它们的公约数，将其中最大一个称为，力的最大公约数，用

符号m力）表示。当色力）=i,称。与b互质。同时为〃力倍数的数称为它们的公倍数，其中最小的一个称

为〃力的最小公倍数，记作。力］。

（1）若,则加1（。,6）。

（2）若机＞0,贝！J（根。，加Z?）=根（。力）。

Z7h

（3）若（〃力）=d,则（一_）=1。

dd

（4）若（a,rri）=l,（b,rri）=1,则（血ni）=1o

（5）a,b互质,若则

（6）设Z?|ac,若（Z?,c）=l,则

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例题精讲：

例1：若/+100能被“+10整除，求正整数”的最大值。

例2：设72］词况，求a,b的值。

例3：已知整数a力,c满足1<。<6<c,且-1）（6。-1）（。。一1）能被abc整除。求a,b,c»

例4：设是正整数，x<y且尤+y=667,它们的最小公倍数是最大公约数的120倍，求尤,y。

例5：设力是正整数，/+4"是质数，求no

同步练习：

b

练习1：已知％=上,〃）为互质的正整数（即是正整数，且它们的最大公约数为1）,且，W8,

a

^2-1<x<73-1,求所有满足条件的工。

22

练习2：已知a,Z?,c,d均为质数，且满足10<c<d<20,又C-Q也是质数且是奇数，d-c=cc'b{a+Z?）,

求ab（c+d）的值。

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练习3：设[r,s]表示正整数r和s的最小公倍数，求有序三元正整数组（。力,c）的个数，其中

\a,b\=1000,[/?,c]=2000,[c,a]=2000。

练习4：试求出所有满足下列条件的正整数a,b,c,d：

(1)i<a<b<c<d•,

(2)(a-l)(Z?-l)(c-l)(J-l)abcd-1.

练习5：已知一个七位自然数62盯427是99的倍数，试求950尤+24y+8的值。

参考答案

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例1:答案：890

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解析：由

n3+100=(n+10)(n2-10n+100)-900

知，若川+100被〃+10整除，贝I900也应被〃+10整除。

因此，n最大值是890.

注：若g(〃)|/(〃)J(〃)的次数高于g(〃)的次数，可以先将/(〃)变形为:

f(n)=g(n)q(n)+r(n)(r(n)的次数小于g(n)的次数)，

将问题转化为g(n)\厂(〃)。

例2：答案：a=3,b=2

解析：72=8x9,且(8,9)=1,所以只需讨论8、9都整除好环的情况。

若8|花廊，则8|标，由除法可得b=2；

若9|0679b,贝！J9|(a+6+7+9+2),得〃=3。

注：仅当(〃力)=1时，才能由得到〃|〃力|

〃。例3：答案：a=2,b=3,c=5

解析：(ab-V)(bc-l)(c〃-1)=a252c2_+b+c)+ab+be+ca-1

而4262c2一々儿(〃+b+c)能被abc整除，所以aZ?+Z?c+ca—1也能被整除。

令ab+be+ca-1=kabc。因故Z为正整数，且上=J+1+,

cababc

因为a22力N3,c24,所以L<LL<L1<I=所以

c4b3a2

11113

左z<一+—+—=—

43212

所以2«a<3,a=2。

_ia

由b(c-2)=2c-l,b==2+，得c-2=l,3,c=3,5。

c-2c-2

因为c>4,所以c=5力=3。

注(1)左==2也可以这样得至！J：因为所以ab<ac<bc。^ab+bc+ca-l=kabc,则

kabc<3bc-1<3bc,所以ka<3°

(2)求瓦c也可以用部分分解的方法。因为2b+2c-bc-1=0,所以3—2)(c—2)=3/一2=l,c—2=3,

得c=5,b=3o

例4：答案：％=115,y=552或x=232,y=435

解析：设(x,y)=d,x=加=,其中(加,〃)=1,且加〈几，于是[%,y]=/n〃d。所以

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md+nd=667

%=115,丁=552或1=232,丁=435‘120

Id

(加+〃)d=23x29(l)

mn=23X3X5(2)

由根<〃及式（2）可得:

]m=\=2暝=3[#=4fm6\m=^

[120[n=60[n=40[n=30[n=24[n=20[n=15[n=12

由式(1)可知只能取《加=5」"=8；

,=24'[〃=15

从而4=23或29,故无=115,>=552或无=232,y=435

例5：答案：77=1

解析：若"为偶数，则4+4”是4的倍数，不是质数，。

若"为奇数，设"=2上+1,%20,则

4,,4

71+4=(2^+1)+4X2*

=[(2)t+l)2+2x2M+2x(2k+1)x2^][(2^+l)2+2x22A-2x(2k+1)x2k]

为了使小+4”是质数，必须有

(2k+1)2+2x22i-2x(2k+1)x2k=1

整理得

[(2^+1)-2A]2+2M=1

所以k=Q,n=1o

维f1处安1233455

练习•口木：2'羽¥今7~8——

7/?

解析：因为x=2M力为互质的正整数，且«<8,所以0T<—<6—1，即

aa

（也-l）a<b<（出-l）ao

当〃=1时，（应1）x1,这样的正整数匕是不存在。

当〃=2时，陋一'）义2<b<0—1）义2,故0=1,止匕时x=）o

2

2

当〃=3时，（点-1）X3<Z?<（3"-1）x3,故Z?=2,此时x三。

3

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当a=4时，x/2-l)x4<Z><(^-l)x4,与。互质的正整数6是不存在。

3

(当a=5时，点一1)x5x5，故Z?=3，止匕时x三。

(当〃=6时，72-l)x6<Z?<(/3-l)x6,与〃互质的正整数。是不存在。

345

(-1)X7<Z?<(^-1)X7,故6=3,4,5,此时光三__。

7巧7

当a=7时，(虎

当〃=8时，(血一l)x8<Z?<(g—1)x8,故”=5，止匕时x三。

8

所以，满足条件的所有分数为「1123_3425_5_

，，，，，，

2357778

练习2：答案：180

解析：因为a力,c,d均为质数，且满足10<c<d<20,所以只能c,d只能为11、13>17或19,

且c#19o

又c-a也是质数且是奇数，所以a=2o

分别取c=11,13,17,则c-"9,11,15,只有c=13符合要求。把

2122

c=13,a-2带入d—c=cc'b(a+b),得</—13=8Z>(2+£>)0

若d=17,则加+26-15=0,解得6=3或。=一5(舍去)。

若d=19,则无+2。-24=0,解得6=4或6=-6(舍去)。

所以a=2,b=3,c=13,d=11,ab{c+d)=180。

练习3：答案：又70个。

解析：a,b,c都是形如2'"口5"的数，设a=2呵5"',b=25,c=2"甘。

由\a,b\-1000=23D53,知max。”,m)—3,max(n,")=3，

1212

同理max。%，加3)=4,max(n2,%)=3;maxQ%,m3)=4,max(n1,n3)=3。

由此，知加3应是4,犯，加2中必有一是3,另一个可以使0、1、2、或3之任一种，因此犯，”的取法有7

种。

又，％,物,％中必有两个是3,另一个是0、1、2、或3.因此〃%,必取法又10种。

故〃,〃6=1,2,3)不同取法共有7xl0=70种，即三元组共有70个。

练习4：答案：(3,5,17,255),(2,4,10,80).

abed-1

解析：令k=且左为正整数。

(a-l)(Z7-l)(c-l)(t/-l)

abed

4,瓦C,1都是奇数或都是偶数，且1<左<

a—1b—1c—1d

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若aNn,贝!]〃<n(n>1)。

a-1n-1

46g1

若a=2,贝帕,c,d都是偶数，b24,c26,dN8,Z<2•一•一・二<4。

35735

由左二------abcd-1----------->2得2/^1>2(6—1)(。一1)3—1)+1，得2<女<4,即左=3,则有3|〃0cd—1,

(41-1)(/?-l)(c-l)(rf-l)

从而3/|abedo

810142240

若〃。4,贝帕28«210,d214,,从而2〈左=—<3,矛盾，所以8=4。

7913819

由3'1*3匕-1)3-1)=80/-1,即(。一9)(2-9)=71为素数，所以〃=2力=4,c=10,d=80。

3579315

若4=3,贝帕,c,d都是奇数，Z?>5,c>7,t/>9,1<fc<c<3,所以左=2。