湖南省湘西2024年数学高一下期末联考模拟试题含解析

湖南省湘西2024年数学高一下期末联考模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知等比数列满足,,则（）A． B． C． D．2．在中秋的促销活动中，某商场对9月14日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知12时到14时的销售额为万元，则10时到11时的销售额为（）A．万元 B．万元 C．万元 D．万元3．三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，⊥底面，且，则此三棱锥外接球的半径为（）A． B． C． D．4．“”是“直线：与直线：垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．函数在上零点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．56．用辗转相除法，计算56和264的最大公约数是()．A．7 B．8 C．9 D．67．祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅首先提出来的.祖暅原理的内容是：“幂势既同，则积不容异”，“势”即是高，“幂”是面积.意思是，如果夹在两平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知，两个平行平面间有三个几何体，分别是三棱锥、四棱锥、圆锥（高度都是h），其中：三棱锥的体积为V，四棱锥的底面是边长为a的正方形，圆锥的底面半径为r，现用平行于这两个平面的平面去截三个几何体，如果得到的三个截面面积总相等，那么，下面关系式正确的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，8．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A．B．C．D．9．数列{an}的通项公式an＝，若{an}前n项和为24，则n为()．A．25 B．576 C．624 D．62510．下列不等式中正确的是()A．若，，则B．若，则C．若，则D．若，则二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若八个学生参加合唱比赛的得分为87，88，90，91，92，93，93，94，则这组数据的方差是______12．已知数列的前n项和，则___________．13．已知方程的两根分别为、、且，且__________．14．已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为__________．15．程的解为______.16．已知，则______．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“等比源数列”。（1）在无穷数列中，，，求数列的通项公式；（2）在（1）的结论下，试判断数列是否为“等比源数列”，并证明你的结论；（3）已知无穷数列为等差数列，且，（），求证：数列为“等比源数列”.18．已知，函数，.（1）若在上单调递增，求正数的最大值；（2）若函数在内恰有一个零点，求的取值范围.19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a＝7，b＝8，．（1）求边AB的长；（2）求△ABC的面积．20．已知数列{}的首项.(1)求证：数列为等比数列；(2)记，若，求最大正整数.21．已知函数，且.（1）求的值；（2）若在上有且只有一个零点，，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】试题分析：由题意可得,所以,故,选C.考点：本题主要考查等比数列性质及基本运算.2、C【解析】分析：先根据12时到14时的销售额为万元求出总的销售额，再求10时到11时的销售额.详解：设总的销售额为x,则.10时到11时的销售额的频率为1-0.1-0.4-0.25-0.1=0.15.所以10时到11时的销售额为.故答案为C.点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图求概率、频数和总数，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2)在频率分布直方图中，所有小矩形的面积和为1，频率=.3、D【解析】

过的中心M作直线,则上任意点到的距离相等，过线段中点作平面，则面上的点到的距离相等，平面与的交点即为球心O，半径，故选D.考点：求解三棱锥外接球问题.点评：此题的关键是找到球心的位置（球心到4个顶点距离相等）.4、A【解析】试题分析：由题意得，直线与直线垂直，则，解得或，所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件，故选A．考点：两条直线的位置关系及充分不必要条件的判定．5、D【解析】

在同一直角坐标系下，分别作出与的图象，结合函数图象即可求解.【详解】解：由题意知：函数在上零点个数，等价于与的图象在同一直角坐标系下交点的个数，作图如下：由图可知：函数在上有个零点.故选：D【点睛】本题考查函数的零点的知识，考查数形结合思想，属于中档题.6、B【解析】

根据辗转相除法计算最大公约数.【详解】因为所以最大公约数是8，选B.【点睛】本题考查辗转相除法，考查基本求解能力.7、D【解析】

由祖暅原理可知：三个几何体的体积相等，根据椎体体积公式即可求解.【详解】由祖暅原理可知：三个几何体的体积相等，则，解得，由，解得，所以.故选：D【点睛】本题考查了椎体的体积公式，需熟记公式，属于基础题.8、A【解析】根据已知的三视图想象出空间几何体，然后由几何体的组成和有关几何体体积公式进行计算．由几何体的三视图可知几何体为一个组合体，即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是.9、C【解析】an＝＝－()，前n项和Sn＝－[(1－)＋(－)]＋…＋()]＝－1＝24，故n＝624.故选C.10、D【解析】

根据不等式的性质逐一判断即可得解.【详解】解：对于选项A，若，，不妨取，则，即A错误；对于选项B，若，当时，则，即B错误；对于选项C，若，不妨取，则，即C错误；对于选项D，若，则，即，，即D正确，故选：D.【点睛】本题考查了不等式的性质，属基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、1.1【解析】

先求出这组数据的平均数，由此能求出这组数据的方差．【详解】八个学生参加合唱比赛的得分为87，88，90，91，92，93，93，94，则这组数据的平均数为：（87+88+90+91+92+93+93+94）＝91，∴这组数据的方差为：S2[（87﹣91）2+（88﹣91）2+（90﹣91）2+（91﹣91）2+（92﹣91）2+（93﹣91）2+（93﹣91）2+（94﹣91）2]＝1.1．故答案为1.1．【点睛】本题考查方差的求法，考查平均数、方差的性质等基础知识，考查了推理能力与计算能力，是基础题．12、17【解析】

根据所给的通项公式，代入求得，并由代入求得.即可求得的值.【详解】数列的前n项和，则，而，，所以，则，故答案为：.【点睛】本题考查了数列前n项和通项公式的应用，递推法求数列的项，属于基础题.13、【解析】

由韦达定理和两角和的正切公式可得，进一步缩小角的范围可得，进而可求．【详解】方程两根、，，，，又，，，，，，，结合，，故答案为．【点睛】本题考查两角和与差的正切函数，涉及韦达定理，属中档题．14、8π【解析】分析：作出示意图，根据条件分别求出圆锥的母线，高，底面圆半径的长，代入公式计算即可.详解：如下图所示，又，解得，所以，所以该圆锥的体积为.点睛：此题为填空题的压轴题，实际上并不难，关键在于根据题意作出相应图形，利用平面几何知识求解相应线段长，代入圆锥体积公式即可.15、【解析】

设，即求二次方程的正实数根，即可解决问题.【详解】设,即转化为求方程的正实数根由得或(舍)所以，则故答案为：【点睛】本题考查指数型二次方程，考查换元法，属于基础题.16、【解析】

由题意得出，然后在分式的分子和分母中同时除以，然后利用常见的数列极限可计算出所求极限值.【详解】由题意得出.故答案为：.【点睛】本题考查数列极限的计算，熟悉一些常见数列极限是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）不是，证明见解析；（3）证明见解析.【解析】

（1）由，可得出，则数列为等比数列，然后利用等比数列的通项公式可间接求出；（2）假设数列为“等比源数列”，则此数列中存在三项成等比数列，可得出，展开后得出，然后利用数的奇偶性即可得出结论；（3）设等差数列的公差为，假设存在三项使得，展开得出，从而可得知，当，时，原命题成立.【详解】（1），得，即，且.所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，因此，；（2）数列不是“等比源数列”，下面用反证法来证明.假设数列是“等比源数列”，则存在三项、、，设.由于数列为单调递增的正项数列，则，所以.得，化简得，等式两边同时除以得，，且、、，则，，，，则为偶数，为奇数，等式不成立.因此，数列中不存在任何三项，按一定的顺序排列构成“等比源数列”；（3）不妨设等差数列的公差.当时，等差数列为非零常数列，此时，数列为“等比源数列”；当时，，则且，数列中必有一项，为了使得数列为“等比源数列”，只需数列中存在第项、第项使得，且有，即，，当时，即当，时，等式成立，所以，数列中存在、、成等比数列，因此，等差数列是“等比源数列”.【点睛】本题考查数列新定义“等比源数列”的应用，同时也考查了利用待定系数法求数列的通项，也考查“等比源数列”的证明，考查计算能力与推理能力，属于难题.18、（1）（2）【解析】

（1）求出的单调递增区间，令，得，可知区间，即可求出正数的最大值；（2）令，当时，，可将问题转化为在的零点问题，分类讨论即可求出答案.【详解】解：（1）由，得，.因为在上单调递增，令，得时单调递增，所以解得，可得正数的最大值为.（2），设，当时，.它的图形如图所示.又，则，，令，则函数在内恰有一个零点，可知在内最多一个零点.①当0为的零点时，显然不成立；②当为的零点时，由，得，把代入中，得，解得，，不符合题意.③当零点在区间时，若，得，此时零点为1，即，由的图象可知不符合题意；若，即，设的两根分别为，，由，且抛物线的对称轴为，则两根同时为正，要使在内恰有一个零点，则一个根在内，另一个根在内，所以解得.综上，的取值范围为.【点睛】本题考查了三角函数的单调性的应用，考查了函数的零点，考查了分类讨论的数学思想，考查了学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.19、(1)AB的长为1．(2)6．【解析】

（1）利用余弦定理解方程，解方程求得的长.（2）根据的值，求得的值，由三角形面积公式，求得三角形的面积.【详解】（1）∵a＝7，b＝8，．∴由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得：64＝49+c2﹣2，可得：c2+2c﹣15＝0，∴解得：c＝1，或﹣5（舍去），可得：AB的长为1．（2）∵，B∈（0，π），∴sinB，又a＝7，c＝1，∴S△ABCacsinB6．【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查同角三角函数的基本关系式，考查运算求解能力，属于基础题.20、（1）详见解析；（2）99.【解析】

（1）利用数列递推公式取倒数，变形可得，从而可证数列为等比数列；（2）确定数列的通项，利用等比数列的求和公式求和，即可求最大的正整数．【详解】解（1）∵，∴，∵，∴∴