小学奥数平面几何五种面积模型

小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）

目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙

漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型），掌握五大面积模型的各种变形

知识点拨

一、等积模型

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

如右图S]:5。=a:6

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图/山；

反之，如果4A8=S谶8，则可知直线A3平行于CD.

④等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平

行四边形）；

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相

等，面积比等于它们的高之比.

二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.

共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.

如图在△ABC中，分别是AB,AC上的点如图⑴（或。在S4的延长线上，E在

AC上），

则SAABC：SAADE=（ABxAC）:（ADxAE）

图⑴图⑵

三、蝶形定理

任意四边形中的比例关系（“蝶形定理”）：

①耳：S2=S4：S3或者S|X邑=邑X'②AO：OC=（I+S2）:（S4+S3）

蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造

模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；

另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系.

梯形中比例关系（“梯形蝶形定理”）:

①S1:$3=a2:b2

22

②St:S3:S2:S4=a:b:ab:ab;

③S的对应份数为（a+4.

四、相似模型

（一）金字塔模型（二）沙漏模型

AD_AEDEAF

耘一就一拓一而

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变,

不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如

下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似

比；

⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；

⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半.

相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工

具.

在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形.

五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）

在三角形ABC中，AD,BE,CF相交于同一点O,那么葭的：S"8=台。：.

上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为AA5O和AACO的

形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题

目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之

中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.

典型例题

【例1】如图，正方形力夕切的边长为6,AE=,CF=2.长方形环纺的面积

为.

【解析】连接应；DF,则长方形次物的面积是三角形龙F面积的二倍.

三角形断的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，

S*=6X6-1.5X6+2-2X6+2-4.5X4+2=16.5,所以长方形EFGH

面积为33.

【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形的长BG为10厘

米，那么长方形的宽为几厘米

【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等（长方

形和正方形可以看作特殊的平行四边形）.三角形面积等于与它等底

等高的平行四边形面积的一半.

证明：连接AG.（我们通过AABG把这两个长方形和正方形联系在一

起）.

二•在正方形ABCD中，S3G=；xABxAB边上的高，

二•S“BG皿（三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积

的一半）

同理，S&ABG=SEFGB•

J正方形ABCD与长方形EFGB面积相等.长方形的宽

=8x8+10=（厘米）.

【例2】长方形ABCD的面积为36cE、F、G为各边中点，H为?1D边上任

意一点，问阴影部分面积是多少

【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接明、HC,如下图：

1

可得：S.小白人s-J.5

u^DHG~2ADHC而

^ABCD=S^HB+S\CHB+^CHD=36

即S^HB+S独HF+^\DHG~5^\AHB+\CHB+\CHD)=]X36=18;

而S怔HB+S2HF+S如HG=S阴影+S亚BF

2空BF=-xBExBF=-x(-xAB)x(-xBC)=-x36=4.5.

22228

所以阴影部分的面积是：S阴影=18-S.BF=18-4.5=13.5

解法二：特殊点法.找"的特殊点，把“点与。点重合，

那么图形就可变成右图：

这样阴影部分的面积就是ADEF的面积，根据鸟头定理，则有:

S阴影=SABCD~S&AED~SABEF~SACFD=36--X-X36--X-X-X36--X-X36=13.5.

【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点尸，将正方形的一组对边

二等分，另一组对边三等分，分别与尸点连接，求阴影部分面积.

【解析】（法1）特殊点法.由于尸是正方形内部任意一点，可采用特殊点法,

假设尸点与A点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴

影三角形的面积分别占正方形面积的工和L所以阴影部分的面积为

46

62义（；+：）=15平方厘米.

（法2）连接PA>PC.

由于AMD与AP3c的面积之和等于正方形ABCD面积的一半，所以上、

下两个阴影三角形的面积之和等于正方形抽⑦面积的L同理可知

4

左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的L所以阴

6

影部分的面积为62x（；+》=15平方厘米.

【例3】如图所示，长方形内的阴影部分的面积之和为70,AB=8,

AD=\5,四边形瓦GO的面积为.

【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形£FGO的

面积之和，以及三角形AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形EFGO

的面积.

由于长方形ABCD的面积为15x8=120,所以三角形BOC的面积为

120<-=3,所以三角形AOE和DOG的面积之和为120x3一70=20;

44

又三角形AGE、DOG和四边形EEGO的面积之和为120xg_；|=30,所以

四边形EFG9的面积为30-20=10.

另解：从整体上来看，四边形EFGO的面积=三角形AFC面积+三角形

①明面积-白色部分的面积，而三角形AFC面积+三角形跳©面积为长

方形面积的一半，即60,白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部

分的面积，即120-70=50,所以四边形的面积为60-50=10.

【巩固】如图，长方形ABCD的面积是36,E是4）的三等分点，AE=2ED,则

阴影部分的面积为.

【解析】如图，连接OE.

根据蝶形定理，ON:ND=SACOE：SQE=：SMDE=1：1，所以

S^OEN=万，AOED；

OM:MA=SmOE-SgAE=5S^BDE-^ABAE=1：4,所以\OEM=^\OEA•

又S△阳)=4X78矩形A3CZ)=3,Sboa=2SbOED=6,所以阴影部分面积为:

3x-+6x-=2.7.

25

【例4】已知ABC为等边三角形，面积为400,D、E、尸分别为三边的中点,

已知甲、乙、丙面积和为143,求阴影五边形的面积.（丙是三角形

HBC）

【解析】因为。、E、厂分别为三边的中点，所以DE、DF、EF是三角形的

中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN和三

角形4WC的面积都等于三角形相C的一半，即为200.

根据图形的容斥关系，有S^BC-5丙=S^ABN+^AAMC-^AMHN，

即4。。—S丙=200+200—所以5丙二SAMHN・

又S阴影+S/UOF=S甲+S乙+SAMHN，所以

S阴影=S甲+s乙+S丙一S"=143—3400=43.

［例5］如图，已知CD=59DE=7，EF=15,FG=6,线段AB将图形分成两部

分，左边部分面积是38,右边部分面积是65,那么三角形的的面

积是.

【解析】连接AF,BD.

根据题意可知，CF=5+7+15=27;DG=7+15+6=28;

==

所以，S岫EF~27S\CBF，S.EC=S“BF'MEG^ADG'^AAED^AADG'

2115712

S

于是：—MDG+5ACBF=65；瓦之的+的•SACBF=38;

可得3AAl)G=40.故二角形4X?的面积是40.

【例6】如图在AABC中，D,召分别是AB,AC上的点，且AD:AB^2:5,AE\AC=4:1,

$△3=16平方厘米，求AABC的面积•

【解析】连接BE,S△曲:％ME=AD:AB=2:5=(2X4):(5X4),

SAABE：S△.=AE：AC=4:7=(4X5):(7X5)，所以以人正右«品(24)x(7,设

S-DE=8份，则S-"=35份，/g=16平方厘米，所以1份是2平方厘米,

35份就是70平方厘米，AABC的面积是70平方厘米.由此我们得到一

个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角

或互补角)两夹边的乘积之比.

【巩固】如图，三角形/IBC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角

形ADE的面积等于1,那么三角形ABC的面积是多少

【解析】连接3E.

EC=3AE

••=3SARF

FMDCADC

又•:AB=5AD

•♦S-5AB后+5=S+15，••—15S=15.

【巩固】如图，三角形/勿被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，BD=DC=4,

BE=39AE=69乙部分面积是甲部分面积的几倍

【解析】连接AD.

•；BE=3,AE=6

••AB=3BE，-3SBDE

又•:BD=DC=4,

••.o，,•BDE，S乙=5s甲•

【例7］如图在△/IBC中，。在R4的延长线上，E在AC上，且钻:的＞=5:2,

AE:EC=3:2,S^ADE=12平方厘米，求AABC的面积.

【解析】连接3E,543：%域=4。：^8=2：5=(2*3):(5><3)

S^E■-=AE:AC=3:(3+2)=(3x5):[(3+2)x5]，

所以人朝⑶2）［:泻63］2=）6,设入3=6份，则入树=25份，

S△3=12平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，AABC

的面积是50平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共

角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比

【例8］如图，平行四边形MCD,BE=AB9CF=2CB,GD=3DC,HA=4AD9平

行四边形ABCD的面积是2,求平行四边形ABC。与四边形印G”的面

积比.

【解析】连接AC、BD.根据共角定理

・•・在AABC和ABFE中，Z/WC与后互补,

•S4eABBClxl1

<•-----A-B--

S/\FBEBEBF1x33

又SAABC=1，所以5工FBE=3•

同理可得S△皿=8，S△由=15,S△回=8.

=

所以SEFGH=^/\AEH+S/\CFG+^/\DHG+^ABEF+ABCD8+8+15+3+2=36.

所以以业21

SEFGH3618

【例9】如图所示的四边形的面积等于多少

【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接

求面积.

我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：

把三角形绕顶点O逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三

角形OAB将旋转到三角形OCD的位置.这样，通过旋转后所得到的新

图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形

的面积.

因此，原来四边形的面积为12x12=144.（也可以用勾股定理）

【例10］如图所示,△ABC中，ZABC^9Q°,AB=3,BC=5,以AC为一边向A/RC

外作正方形ACDE,中心为O,求AOBC的面积.

【解析】如图，将AOAB沿着O点顺时针旋转90。，到达AOCF的位置.

由于ZABC=90。，ZAOC=90°,所以NO4B+NOCB=180。.ffi］ZOCF=ZOAB,

所以NOCF+NOCB=180。，那么3、C、尸三点在一条直线上.

由于03=0/，ZBOF=ZAOC=90°,所以AB。歹是等腰直角三角形，且斜边

斯为5+3=8,所以它的面积为8?」=16.

4

根据面积比例模型，A03。的面积为16、9=10.

8

【例11］如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形AB石，

ZAEB=9009AC>BD交于O・已知AE、BE的长分别为3cm、5cm9求

三角形OBE的面积.

【解析】如图，连接DE,以A点为中心，将A4DE顺时针旋转90。到A4B尸的位置.

ZEAF=ZEAB+ZBAF=ZEAB+ZDAE=90°,而也是90。，所以四边

形井BE是直角梯形，且AF=AE=3,

所以梯形AF3E的面积为：

（3+5）x3x1=12（cm2）.

又因为A43E是直角三角形，根据勾股定理，AB2=AE2+BE2=32+52=34,

所以%3。=（他2=17（城）.

2

那么S.DE=5AA3。—（S”即+^\ADE）~^\ABD~AFBE=17-12=5（Cm）,

所以SAOBE=5SABDE=2.5（cm2）.

【例12】如下图，六边形ABCD跖中，AB=ED,AF=CD,BC=EF,且有钻平行

于ED,AF平行于CD,3c平行于EF,对角线即垂直于3D,已知㈤=24

厘米，3£>=18厘米，请问六边形ABCDEb的面积是多少平方厘米

【解析】如图，我们将ABCD平移使得CD与AF重合,将ADEF平移使得ED与重

合，这样M、比都重合到图中的AG了.这样就组成了一个长方形

BGFD,它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形8G尸。的面积为

24x18=432平方厘米，所以六边形ASCD跖的面积为432平方厘米.

【例13】如图，三角形ABC的面积是1,E是AC的中点，点。在BC上，且

BD:DC=1:2,AD与BE交于点F.则四边形小EC的面积等于.

【解析】方法一：连接b,根据燕尾定理，a爷=14=竿=1,

^AACF℃,^/\CBF

设5^BDF=1份，贝DCF=2份，ABF=3份，S/\AEF—EFC~3份，

如图所标

方法二：连接小，由题目条件可得至

SAADE=^AADC=4XT5'AABC=T»所以尊=,

2233FESAADE1

1_j_j__j_j_j__J_

“DEF=耳*>DEB=X3X%BEC=X3X2X^AABC=五，

而5ACDE=|X|X5AABC=1•所以则四边形DFEC的面积等于：.

【巩固】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC=2DE,b是OG的中点.阴

影部分的面积是多少平方厘米

【解析】设S*F=1份，则根据燕尾定理其他面积如图所示S阴影=\s椀8=《

平方厘米.

【例14】四边形MCD的对角线AC与加交于点O（如图所示）.如果三角形

的面积等于三角形BCD的面积的］且AO=2,DO=3,那么CO的长度

是。。的长度的倍.

【解析】在本题中，四边形ASCD为任意四边形，对于这种"不良四边形”，无

外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解

决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形.看到题目中给出条件

sABD.S亦万1:2,这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法.又

观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得

到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个"不良四边

形”，于是可以作垂直BD于"，CG垂直BD于G,面积比转化为高

之比.再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出

结果.请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从

而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题.

角军法:AG>:OC=SMBD:SASDC=1:3,/.OC=236=,..GO.现

解法二：作于"，CG_L3£）于G.

SAAB。=5e0，AH--CG,；•SAAOD=77s0c，

AB333A0

.1..

..AO=-CO,..OC=2x3=6,..OC:OD=6:3=2:1.

3

【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面

积已知，

求：⑴三角形BGC的面积；⑵AG:GC=

【解析】⑴根据蝶形定理，5BGCxl=2x3,那么8惭=6；

⑵根据蝶形定理，AG:GC=(l+2):(3+6)=l:3.

【例15］如图，平行四边形ABCD的对角线交于。点，△CEF、AOEF、/\ODF、

△BOE的面积依次是2、4、4和6.求：⑴求△OCF的面积；⑵求△GCE

的面积.

【解析】⑴根据题意可知，ABCD的面积为2+4+4+6=16,那么△5CO和ACDO的

面积都是16+2=8,所以△OCF的面积为8-4=4;

⑵由于ABCO的面积为8,ABOE的面积为6,所以△3£的面积为

8-6=2,

根据蝶形定理，EG予9°滥=0烤F：，所以

S^GCESAGCF=EG:FG=1:2,

那么S'GCE=Jf2S^CEF=］*2=4.

【例16】如图，长方形ABC。中，BE:EC=2:3,DF:FC=1:2,三角形DFG的面积

为2平方厘米，求长方形ABCD的面积.

【解析】连接？IE,FE.

因为B:居,DF-.FC=1:2,所以

311

SDEF=1*3XJ)S长方形的“=而§长方形ABCD•

因为SAED~5S长方形，AG:GP=g：3=5：l，所以SRQ=5SGDF=1。平方

厘米，所以sAFD=12平方厘米.因为sAFD~TS长方形A5C。'所以长方形

6

ABCD的面积是72平方厘米.

【例17］如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点.求图中

阴影部分的面积.

【解析】因为M是AD边上的中点，所以蜀/:8C=1:2,根据梯形蝶形定理可以知

道

?

^AAMG-S^ABG-S^MCG:^ABCG~：（1X2）：（1X2）：2=1：2：2：4,设SAAG"1份，则

SAMCD=1+2=3份，所以正方形的面积为1+2+2+4+3=12份，

S阴影=2+2=份，所以S阴影：S正方形=1:3,所以,阴影=1平方厘米•

【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是8C边的中点，AE与比）相交于尸点，

三角形3E尸的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是

平方厘米.

【解析】连接GE,根据题意可知BE:AD=1:2,根据蝶形定理得

S梯形=（1+于=（平方厘米），（平方厘米），那么

SABCD=12（平方厘米）.

【例18］已知MCD是平行四边形，BC:CE=3:2,三角形。叫的面积为6平方厘

米.则阴影部分的面积是平方厘米.

【解析】连接AC.

由于ABCD是平行四边形，BC:CE=3:2,所以CE:AD=2:3,

22

根据梯形蝶形定理，5^^AOC:SDO£:SAOD=2:2x3:2x3:3=4:6:6:9,所

以sA"=6（平方厘米），SA“=9（平方厘米），又

S.B=$弥古》（平方厘米），阴影部分面积为6+15=21（平方厘

米）.

【巩固】右图中ABCD是梯形，血即是平行四边形，已知三角形面积如图所

示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是平方厘米.

【分析】连接AE.由于AD与是平行的，所以AECD也是梯形，那么

S^OCD=S•

根据蝶形定理,SAOCD*SAOAE=SAOCEx&0Ao=4x9=36,故=36,

所以“。8=6（平方厘米）.

【巩固】右图中ASCD是梯形，血即是平行四边形，已知三角形面积如图所

示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是平方厘米.

【解析】连接AE.由于？1D与BC是平行的，所以ASCD也是梯形，那么

S^OCD=SAOAE•

XX

根据蝶形定理，S^OCDS&OAE=SAOCES40Ao=2义8=16,故S=16,

所以4。8=4（平方厘米）.

另解：在平行四边形ABED中，S9E=gs3,=gx（16+8）=12（平方厘米），

所以S.°E=SMDE-SMOD=12-8=4（平方厘米），

根据蝶形定理，阴影部分的面积为8x2+4=4（平方厘米）.

【例19］如图，长方形ABCD被CE、火分成四块，已知其中3块的面积分别

为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形aBC的面积为

平方厘米.

【解析】连接DE、CF.四边形EDCF为梯形，所以SA£OD=SFOC,又根据蝶形定理，

=f

^AEOD,^AFOC^AEOF'^ACOD所以，SACOD=2x8=16，所以

%s=4（平方厘米），Sg,=4+8=12（平方厘米）.那么长方形ABCQ的面

积为12x2=24平方厘米，四边形OFBC的面积为24-5-2-8=9（平方厘

米）.

【例20］如图,AABC是等腰直角二角形，Z7E尸G是正方形，线段AB与CD相交

于K点.已知正方形DEFG的面积48,AK:KB^l:3,则ABXD的面积是

多少

【解析】由于DEFG是正方形，所以ZM与平行，那么四边形拉阳。是梯形.在

梯形ADBC中，MDK和AACK的面积是相等的.而祐:砧=1:3,所以AACK

的面积是AABC面积的--=L那么MDK的面积也是AABC面积的L

1+344

由于AzWC是等腰直角三角形，如果过A作宽的垂线，〃为垂足，那么

M是3c的中点，而且=可见AABM和AACM的面积都等于正方

形DEEG面积的一半，所以AABC的面积与正方形。跖6的面积相等，为

48.

那么ASDK的面积为48x」=12.

4

【例21】下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、尸、G、H分别是

AB,BC,CD,D4的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分

的面积之比是最简分数竺，那么，(m+n)的值等于.

n

【解析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观

察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部

分的面积，再求阴影部分的面积.

如下图所示，在左图中连接EG.设AG与DE的交点为

左图中AEGD为长方形，可知AAMD的面积为长方形AEGD面积的，，所

4

以三角形AMD的面积为I2x-x-=-.又左图中四个空白三角形的面积是

248

相等的，所以左图中阴影部分的面积为1-=L

82

如上图所示，在右图中连接AC、EF.设■、EC的交点为N.

可知EF〃AC且AC=2EF.那么三角形麻尸的面积为三角形ABC面积的

L所以三角形巫尸的面积为FX'LL梯形AEEC的面积为工」=。.

4248288

在梯形AEFC中，由于EGAC=1:2,根据梯形蝶形定理，其四部分的面

积比为：12:1X2:1X2:22=1:2:2:4,所以三角形EFN的面积为

，—1—=L那么四边形出WF的面积为工+工」.而右图中四个空

81+2+2+4248246

白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为1-

63

那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为工工=3:2,

23

即生=3,

n2

为口么m+n=3+2=5.

【例22]如图，AABC中，DE,FG,BC互相平行，AD=DF=FB,

贝!)^/\ADE-S四边形DEGF'S四边形FGCB=•

【解析】设S△皿=1份，根据面积比等于相似比的平方,

所以S“E：S%G=隹(2：A>=1:4,S△皿：S“c=旬2：回2=1:9,

因此以AFG=4份，S4ABC=9份,

进而有S四边形。EG尸=3份，S四边形FGB=5份，所以ADE

【巩固】如图，。石平行4C,且攵＞=2,AB=5,AE=4,求AC的长.

【解析】由金字塔模型得AD:AB=AE:AC=DE:3c=2:5，所以AC=4+2x5=10

【巩固】如图，AABC中，DE9FG,MN,PQ,BC互相平行,

AD=DF=FM=MP=PB9贝!I

'△AOE-S四边形QEG歹,S四边形FGMI1,S四边形MAQP,四边形尸=

【解析】设^/\ADE=1份，^AADE：SAAFG=：AF2=1：4,因此S^AFG=4份，进而有

S四边形DEG尸=3份，同理有S四边形FGNM=5份，S四边形MN0P=7份,S四边形p2cB=9

份.

所以有

‘△ADE'S四边形DEGF•S四边形FGMW,S四边形MNQP,S四边形PQCB-1•3.5.7.9

【例23］如图，已知正方形ABCD的边长为4,尸是3c边的中点，E是DC边上

的点，且DE:EC=1:3,AF与BE相交于点G，求SAASG

【解析】方法一：连接AE,延长AF,DC两条线交于点构造出两个沙漏，

所以有AB:CM=M:FC=1:1,因此CM=4,根据题意有CE=3,再根据另

一个沙漏有G:B=G=E,所以

4432

‘△ABG=4+7S4ABE=J^X(4X44-2)=—.

方法二：连接A,E,分别求S3F=4X2=2,

S“EF=4X4-4x1+2-3x2+2-4=7,根据蝶形定理

4432

5

AA:必Sk浦£G所以=鼠15s=行X(4*4+2)=五・

【例24］如图所示，已知平行四边形ABCD的面积是1,E、尸是钻、AD的中

点，BF交EC于M,求ABMG的面积.

【解析】解法一:由题意可得，E、尸是他、AD的中点，得EF//BD,而

FD:BC=FHH€l:：,

EB:CD=BG:GD=1:2所以CH:CF=GH:EF=2:3,

并得G、"是四的三等分点，所以BG=GH,所以

BG:EF^BM:MF=2:3,所以BAf=|族，SmFD=5^AABD=5XQSABCD=］；

又因为=•S'ABMG=3X5XS^fd=3XJX4=30,

解法二:延长CE交ZM于/,如右图，

可得，AI:BC^AE:EB^1:1,从而可以确定M的点的位置，

BM:MF=BC.IF=2:3,BM=-BF,8G=，£>(鸟头定理)，

53

可得S,G义飞S^DF=-X-X~5'ABCD=~

【例25］如图，ABCD为正方形，且MN=2cm,请问四边

形尸QRS的面积为多少

【解析】（法1）由由。,有霁嗔，所以。2成又器噌,所以

MQ=QC=-MC,^VXPQ=-MC--MC=-MC,所以与咿占%〃的工，

22366

1r\

=xx2

所以SSPQR~l(l+l+2)=—(cm).

63

(法2)如图，连结AE,贝1」5心防=白4乂4=8(cn?),

而殁二空，所以理=殁二2S^=—S^E=2x8=电(cm2).

ABEFEFEFABR

而小=%s=；x3x4x；=3（cm2）,因为尊=警,

所以=则5AM=3（cn?）,阴影部分面积等于

【例26］如右图，三角形MC中，BD:DC=4:9,CE:EA=4:3,求AF:FB.

［解析】根据燕尾定理得S^AOB:Swc=皿。=4：9=12:27

S^AOB-Swoe=：CE=3:4=12:16

（都有AAOB的面积要统一，所以找最小公倍数）

所以S&A℃:S^BOC=Z1A6=AF-.FB

【点评】本题关键是把AAOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我

们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达

到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！

【巩固】如右图，三角形ABC中，BD:DC=3:4,AE:CE=5:6,求AF:FB.

【解析】根据燕尾定理得S&AOB:SAAOC=BD:CD=3:4=15:20

SAAOB：S^BOC~：CE=5:6=15:18

（都有AAOB的面积要统一，所以找最小公倍数）

所以S&AOC:S&BOC=20:18=10:9=AF:EB

【巩固】如右图，三角形ABC中，BD:DC=2;3,EA:CE=5:4,^AF:FB.

I解析】根据燕尾定理得SAAOB:SAAOC=BD-.CD=2-.3=10A5

SAAOB:SABOC=AE:CE=5:4=10:8

（都有AAO3的面积要统一，所以找最小公倍数）

所以S&AOC:SABOC=15:8=AF:FB

【点评】本题关键是把AAOS的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我

们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达

到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！

【例27］如右图，三角形ABC中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:2f且二角形ABC的

面积是1,则三角形ME的面积为,三角形AG后的面积为

，三角形Gm的面积为.

【分析】连接AH、BI.CG.

2

由于CE:AE=3:2,所以AE=—5AC,故心CXTIDC=,一5/*><.

5

根据燕尾定理，S^CG：S幡BG=CD:BD=2:3,SgcG：SwG=CE:EA=3:2,所以

49

SAACG-S/V1BG-SABCG=4：6：9，则5

MCG1919

可口么5AAGE=15AAGC=-|X^=^

9

同样分析可得Sg则E:G=EH-S=*

19MCG

EG:EB=S^CG:S^CB=4A9，所以£GGH日的:5,同样分析可得

AGGi4DL0:,

5

X

所以S烟E=而5凶的-=-?S^GHItIE-X-

1919519

【巩固】如右图，三角形ABC中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:2,且三角形GHZ

的面积是1,求三角形的面积.

【解析】连接BG,s^AGC=6份

根据燕尾定理，5AAGC:SABGC=AF:FB=3:2=6:4

s△丽：S△AGC=BD:DC=3:2=9:6

得S*=4（份），5加=9（份）,则黑.=19（份），因此沁=」,

、AABC1”

同理连接力/、纺得迎也=色，%=所以叁jl9-6-6-6=」

S&ABC19SAABC19SAABC1919

三角形胸的面积是1,所以三角形力回的面积是19

【巩固】如图，AABC中山）=204,CE=2EB,AF^2FC,那么AABC的面积是阴

影三角形面积的倍.

【分析】如图，连接

根据燕尾定理，SMia:SMa=BD:AD=2:l,5ABa:SMB/=CF:AF=l:2,

2c=—S

所以，5AAe/：5ABe/：S诩=1:2:4，那么，5AB°^^ABC—70AABC

1+2+4

同理可知MCG和AABH的面积也都等于面积的2,所以阴影三角

7

形的面积等于AA5c面积的1-2x3=L所以AABC的面积是阴影三角形面

77

积的7倍.

【巩固】如图在△MC中，匹EAFB1*△G/〃的面积的宿

~EC^~FA~2,"△A2C的面积削怛

【解析】连接BG,设S.C=1份，根据燕尾定理

S^AGC:SABGC=A_F:FB=2:1,SAAgG:SAAGC=BD:DC=2:1,何S^AGC=2（份）,

%,=4（份），则/.=7（份），因此冷弓同理连接//、/得

3△ABC7

♦△ABH_2SABIC_2以S^GHl_7-2-2-2_1

S/XABC7S£ABC7S^ABC77

【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置

上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很

多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们

有对称法作辅助线.

【例28】如图，三角形ABC的面积是1,BD=DE=EC,CF=FG=GA,三角形ABC

被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少

【解析】设BG与交于点P,龙与熊交于点Q,BF与皿交于点M,BF与AE

交于点儿连接6P,CQ,CM,CN.

根据燕尾定理，CBF（j1.,,S/\ARP*^/\AC1PHl1•

S.BP=1（份），则2.C=1+2+2=5（份），所以％的=（

同理可得,SB。=\S.N=!■，而S^BG=：,所以S3。=,-；=（，

121

S4Aop

3721

1239

同理，S^BPM=S^BDM:,所以金边形PQMN二

23570

_139_5_115_11115

白四边形MNED=3-35-70=42，3四边形NFCE=2-21-42=6，〉四边形GFNQ

321642

【巩固】如图，AABC的面积为1,点、D、石是3C边的三等分点，点八G是AC

边的三等分点，那么四边形水出的面积是多少

【解析】连接CK、CI、CJ.

根据燕尾定理，S"：S；=CD:BD=1:2,S阿K：SMBK=AG:CG=1:2,

所以SAACK：S^K：^ACBK-1-2:4?那么S=--—―=—，S=-seK=五,

MCK_LI乙I/MGKJ2Vl4_L

类似分析可得心

又也«：人如=4/9尸=2:1,S⑻J»J=BD:CD=2:1,可得^^=卜

那么，S'。灯」」=”.

CGK142184

根据对称性，可知四边形CE切的面积也为？，那么四边形JK出周围的

84

图形的面积之和为X2++SMBE=。2+2M所以四边形JK田

o4133/U

的面积为1-生=2.