分式-第7讲联赛班教师版

分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等

于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的

值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据.在分式运算中，主要是通过约分和通分来化

简分式，从而对分式进行求值,除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准

确的解答.本讲主要介绍分式的化简与求值.

1.分式的概念:用A,8表示两个整式，A:3就可以表示成&的形式，如果3中含有字母，式子4就叫

BB

做分式（分式的分子，分母都是整式;分母中必须含有字母；分母的值不能为0;分式是两个整式相

除的商,分数线具有括号的作用）

对分式概念的理解：

（1）分式是两个整式相除的商式，其中分子是被除式，分母是除式，而分数线起到除号的作用；

⑵分式的分子可以含有，也可以不含有字母，但分式的分母必须含有字母；

分式的分母与分数的分母一样，绝对不能为零；

2.分式的基本性质：分式的分子、分母同时乘以或除以同一个不为零的数（或整式），分式的值不变，

上述性质可以用式子表示为

A=ACA=A^C

BBCBB+C

其中A,B,C是整式.

对于分式的基本性质的理解：

（1）基本性质中的A,8,C表示的都是整式，其中3不等于0是已知条件中的隐含条件，一般在解

题过程中不需要单独强调，而C不等于0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时,

必须强调C不等于0这个条件.

⑵分式的基本性质中强调分子与分母要“同时”乘以或除以“同一个”非零的数字或整式，避免

只乘分子或只乘分母的错误，也要避免只乘分子或分母中部分项的错误.

⑶分式的基本性质根本要求是“分式的值不变”，它的作用也恰在于此，所以如果题目的要求是

在不改变分式值的前提下，对分子进行计算或变形，则通常可以先尝试用分式的基本性质来解题.

⑷分式的基本性质是对分式进行通分和约分的主要依据.

3.分式的符号法则：分式的分子、分母、分式本身三个符号中有两个符号同时发生变化，分式的值不

变.

4.分式的四则运算法则：分式的四则运算是整式运算、因式分解、分式运算的综合运用，要对多项式

的因式分解，项的符号、系数、字母指数以及四则混合运算的顺序等熟练掌握，而换元法是进行

巧算的有效方法.

⑴分式加减法法则：分式加减法包括同分母分式相加减和异分母分式加减法，异分母分式要化为

同分母分式，分子合并同类项后，若分子、分母有公因式，要化简为最简分式或整式.

⑵分式乘法法则：---=—

bdbd

（3）分式除法法则：%+土=巴.4=/

bdbcbe

⑷分式的乘方:为正整数）

bn

说明：以上三个法则中a,b,c,d均为整式，且a,"c,d不为0.

定义：分子或分母中又含有分式的分式，叫繁分式

5.繁分式一化简产成分子除以分母的形式’利用除法法则化简

利用分式的基本性质化简

6.分式有意义的条件

表示两个整京相除的意义，根据除数不能为零的法则，或对照分数中分母不为零的要求可以得到:

分式有意义的条件是：分式的分母不为零.

一般地，若题目中明确给出“分式一匚”，则表示该分式是有意义的，即隐含着条件尤彳3；若目

x-3

中给出的是“式子一L”，则它不一定是分式，必须标注当X/3时，一L才是分式.

x—3x~3

7.分式的值为零的条件

分式值为零的条件是：分子为零，同时分母不为零.两个条件缺一不可，必须同时满足，分式值才

能为零.

8.为了讨论某些用分式表示数的性质，有时要将一个分式表示为：

⑴一个整式和一个分式的代数和（较简单，在此就不讲了）；

⑵若干个真分式的代数和（称为分式分成部分分式）.

把一个分式分为部分分式的一般步骤是：

⑴把一个分式化成一个整式与一个真分式的和；

⑵把真分式的分母分解因式；

⑶根据真分式的分母分解因式后的形式，引入待定系数来表示成为部分分式的形式；

⑷利用多项式恒等的性质和多项式恒等定理列出关于待定系数的方程或方程组；

⑸解方程或方程组，求待定系数的值；

（6）把待定系数的值代入所设的分式中，写出部分分式。

9.解决分式运算重在“活”字：

（1）活用运算法则，运算律；（2）活用分式与除法的关系；

（3）活用通分与约分的顺序；（4）活用裂项相消后通分

（5）活用换元法来化简.

【例1】下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？

22

X3__121233a-b143a+bmx+y

—,------,2y,------,x+y,—m+n,——--------，—%—yf---------,-------1

3x+1-ac77ia+b35nm+13

【解析】整式有：2y,x+2y,-m+rr,,-x--y,四或，三±匕.

37乃357r3

分式有：二,三，的心，”.

x+1-aca+bm+1

点评：根据分式的概念，分数线不是分式的本质特征，是否能叫分式，关键是分母中是否有

字母.同时，还应对照着回顾整式的概念：整式是单项式与多项式的统称。单项式是数字与

字母的乘积，而多项式是若干个单项式的和.

简单地说，分式与整式的主要区别，取决于对于一个分子和分母由整式构成的式子中，分母

上是否有字母，如果有，则是分式，如果没有，则是整式，别外，还应注意圆周率无，它是

数字，因此一之和即¥是整式而不是分式.

7171

【例2】(1)要使分式4有意义，求x的取值范围；

TH

W

⑵分式有意义,求x的取值范围；

x-2x-3

(3)已知分式并出1的值为0,求X的值.

闵-1

【解析]⑴」=>*0且xw±l,故％的取值范围为xwO且xw±l;

⑵f―2%—3w0n%w—1且;

f(x-8)(x+l)=0

⑶

【变式】当x为何值时,下列分式为0?

Y2-9

⑵

【解析】⑴当尤=」，^^-=0.

2x—2

22=0.

⑵当x=-2,忖-

x—3x+2

—=0.

⑶当x=—3,:-9

2x—5x—3

【变式】要使分式的值为0,只需()

x2-6x+9

A.x=±3B.x=3C.x=—3D.以上答案都不对

【解析】分式的值为0的条件是分子为0,分母不为0,

1x1—3=0,工|无|=3,[x=±3,

：.V1整理得I"解得I所以x=-3.

x2-6.r+9^0.[(X-3)2^0.I-3.

-|2

x2+^r--x--+3

11二____________XX

【例1】化简分式：XH-----

X1~1x2+^--2x--+3

XXX

【解析】原式中只出现了』和"•的形式，而且12+4=1%+工］-2,

因此可用换元法。

xxxvxJ

令二=〃，则

X

="2—("2_〃+1)

_X2-X+1

X

【变式】("希望杯"试题)若]+±=3,则一一=____________.

x犬+二+3

x

]]/+1+7[x+'B+3-11+7

【解析】解析：由》+L=3=/+3=7,故一—=<_S―£~>—

X厂.4.1”(■,1)一

口启r1_加/+/+]

【变式】⑴已知uH—=59贝!I-------2------

aa

■/+19f+1

⑵若炉+4%+1=0,贝!|

2d+19%2+2x

若二=7,则，

⑶

【解析】⑴本小题是一个简单题，也是这类题的一个最基本、最原始的模型!

121cc+121

ciH—=5aH——=23,-------------=aH——+1=24.

aaaa

⑵本题在例题的基础上，对已知条件稍作变形，待求式也稍作变形.

1

x7+4x+l=0nx+—=-4

x

4o无2_i—\—L1Q[xH—j+17

/+19%2+1_X十/十（舅_33_3

2X3+19X2+2X―Z7~~1、1.—Z7O-T1"

2lx+-I+192lx+-I+1in9

⑶本题在上个例题的已知条件上稍作变形，实质是一样的！

点评：倒数法是指利用已知条件中隐含的倒数关系，或者对已知条件、待求式作倒数变形，

以便快速、准确地求解问题的一种方法，对于本题而言，已知条件中存在（或隐含）倒数关系，

这类题目比较简单.

2

【例2]⑴已知病一3加+1=0,求分式m—的值.

m+m+1

3

⑵（第7届“希望杯”试题）如果/-3°+1=0,那么上的值是

a6+\

【解析】⑴机2-+1=0nm2+1=3mm-\——=3（

m

II_I

m4+m2+1>+J+lN+8

⑵由片—3a+I=0an—=36/2-\——=7,

aa

故工

【变式】若则寻[—一一

2

【解析】由％-3X+1=0=>*+工=3=尤2+1=7,

xX"

/+4+32

故原式=——5——

尤4+1+3

【例3】设^—=1,则6£3的值是（）

x-mx+1x-mx+1

A.1D.

B/-3m4——2-3m42—+1

x.乙x2-mx+111

【解析】由二]可知，---------=1=>%+一=根+lnx2+—=m2+2m—1.

x2—mx+1xxx

原式=_____i_____=__________________________=____________________________,

'、彳3+:“卜+[卜+[1](m+l)(m2+2m-2)-m33m2-2

【例4】若abc=1>求证：--------1-----------------1------------=1.

\+a+ab1+Z?+1+c+ca

【解析】解法1：因为abc=1,故QWO,bwO,cwO.

abc

1+a+ab1+Z?+Z?c1+c+ca

aabab

---------------H-......------------

1+a+Qbd+分bc1a4)

aababc

---------------H----------------------4-----------------------，

1+a+abdra电abc+ab+

\+a+ab

注意到必c=l,故上式=一-—+———+—-—------------=1.

1+a-\-ab1+a+ab1+a+ab\+a+ab

解法2：因为abc—1,故awO,bwO,cwO.

abc

贝ij----------------1-------------------1----------------

1+a+ab1+Z?+Z?c1+c+ca

abc+a+abl+b-\-beb1+c+ca

1bbe

=----------------1------------------1---------------------

l+b+bel+b+beb+bc+abc

\+b+bc1+Z?+Z?cl+b+be

\+b+be

------------=1.

l+b+be

解法3:由abc=1可得Q=,

be

\+a+ab\+b+bc1+c+ca

1

bebc

=---------------------1------------------1---------------------

1,1,1»l+b+be-,1

1H------1-------b1+c+c

bebebe

1bbel+b+be

=------------+------------+------------=-------------=1.

l+b+be\+b+bcl+b+bel+b+be

点评：使用各种各样的代入方法进行化简，题目赋予的信息要充分利用.三种解法的思想是一

样的，但是细微之处需要大家用心揣摩，尤其是“1”在其中的使用，更是值得细细品味.

当然，我们也可以通分后再代入计算，但是存在一个问题——过于烦琐，有兴趣的学生可以

尝试一下这种思路.

【变式】（2003年第1届“创新杯”数学邀请赛初中二年级第二试试题）

已知一--+—-—+—-—=1,求证:abc=l・

1+a+abl+b+be1+c+ca

bcraab+\

【解析】--------------1--------------=1---------------=-------------

X+b+bc\+c+ca\+a+ab1+a+ab

b+ab+ab2c+ac+abc,,

即-----------+-----------=ab+l,

l+b+be1+c+ca

,,b+ab+ab1(l+c+ca)+(abc-l)

故-----------+--------------------=ab+l,

l+b+be1+c+ca

b+ab+ab2abc-I

则H-+--1---=---u-h---+-1,

\+b+bc1+c+ca

,,b+ab+ab2abc—1

故----------+--------=a7b.

l+b+be1+c+ca

11

——I-1t+Z7?c------

等式两边同时除以ob,可得工------+——仁=1,

l+b+be1+c+ca

(\+b+bc)+{——bc\c———

进而-----------必一2+―Qb_=1,

l+b+be1+c+ca

[--bc]C--

贝也+乂_2+_®=1,

l+b+be1+c+ca

仕-be]c-[--be1

------c

ab

1+b+bc1+c+cal+b+be1+c+ca

故--bc\(l+c+ca^=

展开并化简，可得c-abc2=———c,

ab

即abc—a^b2c2=l—abc,从而(a8c-lf=。.

故abc=1.

点评：本题的证明过程非常复杂，其中有一个步骤很关键，就是拆分部分分式的时候，我们

从左边的式子里面提出两个1,从而让整个式子得到简化.

.八,也ab11a1+3b1

[例5]化简一;---石--------石----TH—\-----石--------5----TH—石----石-------------------7-----•

a+ab+Q。+Z?a-a^b+ab^-Z?a-ba+0a-b

【解析】按照分式混合运算法则进行化简：

ab11a2+3b2

----------------------------1-----------------------------1----------------------------------------

a3+a1b+ab1+/23tz3-c^b+ab2-Z?3a1-b2a2+b2a4-b4

ab11a1+3b2

=------------------------1--------------------------1-----------------------------------------------------------------------

22

(Q+b)(〃2+b2)+/)a2+b2(tz+Z?)(<7-Z?)^+Z?)

a^a-b)+b^+b)+(a1+b-b)一彳1+3片)

+.2)

片—ab+ab+b¥b—h+b2—a—3b.

(a+0)(〃+.2)

【变式】化简：f1,]-a)Q4_/_2

23

Ia—a+1a-1)"_i)_+〃2+])

2("m+])4z4++1

_1)(〃4+〃2+])a2+1

=2

m4-16m2+4m2-2m+4

【变式】化简:——x---------.(m+2)

m4+4m2+16m—8m—4m+4

(疗+4)(加+2)(m—2)(m-2)(/+2加+4)m2-2m+41

【解析】原式=

仇2+4丫-4/疗+4m2-4m+4m+2

(m2+4)(m+2)(m—2)(m—2)(m2+2m+4)疗一2根+41

(机2+2机+4)(加之—2机+4)m2+4(m—2)2根+2

=1

2

【变式】化简：

a+2ab+bab\ab)a?—Z?2+2ab

22

~a-b2a2b22

【解析】瘴式-1,2

(a+b)2ab(〃+b)I?-〃+2ab

~a2-b2

lab2a2-b2+2.ab22

(〃+/?『(Q+bJa?—b2+2ab(〃+Z?)2a2—b2+lab(q+bj

a2-(^b-c)2b2-(c-tz)2，一(〃一人丁

【例6】化简:

2122

(d5+c)—b(d;+Z?)—C(5+C)2―Q2

(a+b-c)(〃-b+c)(/?+C-Q)(〃+b-C)(^a-b+c)(b+c-a)

【解析】原式=

(Q+b+C)(Q-b+C)(Q+Z?+C)(Q+Z?-。)(〃+Z?+C)伍+C-Q)

a+b—cb+c—aa—b+c

-----------------1------------------1----------------

a+b+ca+b+ca+b+c

=1

b-aa4-a2b2-2b4

【变式】G998希望杯)化简

-b3r(a6-b6)-(a4+a2b2+b4)

【解析】按照分式混合运算法则进行化简：

44

(1b—aa—a2b之-2b

336224

—ab+b?a-b)_^+ab+Z?)

'[a.b](〃2_人2)(〃4+〃282+匕4)_(〃4+〃2j2+匕4)

22+22

a-ab+b(〃_/?)(/+"+/),(〃2_2b^a+/)

<J1+Q2》2+人)(〃2一/i)

ya1-ab+b2a2+ab+b2)(^a2-2b2^a2+Z?2^

2(/+匕2)(/+储匕2+矶°2_方2_1)

(a?-ab+b2^a2+ab+b2^(/-26,(/+/)

2(/_62T

a2-2b2-

b—cc—aa—b222

【例7】-----------1------------1--------------------

a2—ab—ac+beb1—ab—be+acc2—be—ac+aba—bb—cc-a

【解析】本题涉及因式分解的一些技巧:

b—cb-c

a2-ab-ac+be一b)(〃一c)

我们发现，a-b-(a-c)=c-bf

,,b-c11

故—-------------=-----+-----.

a—ab—ac+bea—bc—a

mec-ac-a11

同理，F-------------=7---w---?=---+---，

b—ab-be+ac(b—aj\b-c)b-ca—b

a—ba—b11

--------------------=----1---.

c1-be-ac+ab(C-Q)(C-Z7)c-ab-c

,,b-cc-aa-b222c

a—ab—ac+beb—ab—be+acc—be—ac+aba—bb—cc—a

点评：本题以及下面两道题目的基本模型都是巴心=1+工，三个题由浅入深,层层深入,

abab

对技巧的考查和要求越来越高.

2a—b—c2b—c—a2c—a—b

【例8】化简:~2----------12-----------17----------

a—ab—ac+beb—ab—be+acc—ac—be+ab

la—b—ca—b+a-c1111

【解析】--------=----1----=--------

a1—ab—ac+bea-ba-ca-bc-a

同理，,2b-c-a------匚2c—a—b11

b—ab—be+acb—ca—bc2-ac-bc+abc-ab-c

2a—b—c2b—c—a2c—a—b

-2--------112-----------17----------

a-ab—ac+bcb—ab—be+acc—ac—bc+ab

a2-beb1-acc2-ab

【变式】化简:

(〃+b)(〃+c)(0+c)(》+a)(c+〃)(c+b)

a2—bea2+ac-ac—be_ac

(〃+/?)(Q+C)++a+ba+c

…田b2-acbac2-abcb

同理,------------=-----------,-------------=-----

(b+c)(b+〃)b+cb+a(C+Q)(C+。)c+ac+b

a2-beb2-acc2-ab八

故________________।_________________।_______________=Q.

(Q+Z?)(Q+C)(Z?+C)(Z?+Q)(c+a)(c+b)

【例9】将，化为部分分式.

X2-9

【解析】VX2-9=(X-3)(X+3),

6AB

故设---H-----

7^9x+3x—3

AB_A(x-3)+B(x+3)(A+B)x+(-3A+3B)

x+3x-3(x+3)(x-3)(x+3)(x-3)

6(A++(-3A+33)

x2-9(x+3)(%-3)

比较两边分子对应项的系数，得

A+B=OA=-l

解之得

—3A+35=6B=1

611

~--=------1----

x—9x+3x—3

2x-l

【变式】化为部分分式.

2x-lAB

【解析】设------+-------

(x-l)(x-2)x—1x—2

通分后比较对应项的系数，得

A+B=2A=-l

解得:

2A+B=1B=3

2x-l-13

---------------1----

(x—1)(冗一2)x—1x—2

3%+4

【变式】将下列分式写成部分分式的和的形式:

/一x_2

【解析】因为；"+4=7__：：4所以我们假设其具有=/_+»_的形式.两边同时乘

x1-x-2(%-2)(%+1x-2X+1

(x-2)(x+l),得：

3%+4=4x^l{5=)4+Bxd.

比较同次赛的系数可得!"+'='

[A-2B=4.

3%+4101

解得A=—,B=――,从而

33x2—X-23(x-2)3(%+1)

【例10]将下列分式写成部分分式的和的形式：TA/25•

(X2+1)(X2+3)

【解析】因为一7一-V—；—=力一~「一〕，故可假设其具有「一+—；——的形式，则有:

X4+4X2+3(X2+1)(X2+3)X2+1X2+3

2x3-3x2+6x+l=(Ax+B)(x2+3)+(Cr+r))(x2+l)

=(A+C)x3+(B+D)x2+(3A+C)x+(3B+D).

A+C=2,A=2,

B+D=-3,8=2,

比较和X的系数，可得方程组•从而,

3A+C=6,C=0,

33+0=1D=-5

„,,2x3-3x2+6x+12x+25

因A——「=--------3——

(x+l)(x+3)x+1x+3

【变式】将下列分式写成部分分式的和的形式：一：

(x+l)(x-2)(x-l)

【解析】首先我们要仔细观察分母的结构，根据前面所提及的知识，此处可以设部分分式的和的形式

工4x3-13x2+3x+8ABCD

为------------------7-----1------1-----1------z-.

(x+l)(x—2)(x-l)-x+1x-2x—}(x-1)-

通分之后，两边的分子应该相等：

4X3-13X2+3X+8=

A(尤一2)(第一I，+B(x+l)(x—I)?+C(x+l)(x—2)(尤一1)+Z)(x+1)(尤一2).

令x=T,得到A=l;令x=2,得到3=—2;令x=l,得到。=一1;比较/的系数，得至I

C=4-A-B=5.于是：

4-—13d+3x+8_1_____2_51

(x+l)(x-2)(x-l)2x+1x—1x-1

点评：请注意，除非万不得已，要尽量避免将右边的式子全部展开之后再与左边的式子比较

系数，这种方法会占用大家不少时间，并且可能会造成错误.

【变式】将下列分式写成部分分式的和的形式："f.

(x2+l)(x-1)

【解析】观察分母的结构，我们可以设一+/：3尤2-1=2_+”+0+DX+E

优+1)«-1)xT*+1(x2+l)

通分之后比较分子，可得：

x4+x3Sx2411+(+9(x+兑1(1元+施%

令x=l,得到4A=4,即A=l;

令x=0,得到A—C—E=—l,即C+E=2;

令x=-l,得到2A+23—2C+。一E=l,即23-2C+O—E=—1;

令x=2,得到25A+10B+5C+2D+E=10,即103+5C+20+E=10;

令x=-2,得到25A+306—15C+6O-3E=19,即303-15C+6。-3E=-6;

由此解得3=0,C=l,£>=2,E=l.

X4+X3+3X2-1112x+l

从而-------7------=-----1--o----1-------T

C一1)X-1X+1,+])-

习题1.化简:i+三+1+2-呼-?

a+bb+cc+a(a+b)(6+c)(c+〃)

【解析】原式=(胃+”]+c-a(〃一b)(Z?-c)(c一

\a+bb+cJc+a(〃+b)(/?+c)(c+a)

+(c—

(a+b)(b+c)(Q+b)(b+C)(C+〃)

2b(a-c)2b(a-c)

+c)+/?)(/?+c)

=0

x3+12(尤2+1

习题2.化简:

+2x?+2x+1JC*—2/+2x—1x2-l

【解析】原式=

(x-l)(x2-x+1)

X—1x+12(%2+1)2(X2+1)-2(X2+1)

二------------1----------2----=0

x+1x-1X-1

11

习题3.若小-1]=-6(盯_2)2,且t/Z?>。，求---F,、/、的值.

xy(x+l)(y+1)+…+(%+2007)(y+2007)