《预测与决策教程 第2版》 思考与练习题及答案 第12章 动态决策分析、第13章 决策方法选择与评价

第12章动态决策分析习题解答（参考答案）1.(1)定义状态i表示有i张牌还没有翻，而且梅花A还没有出现；决策是猜“是梅花A”与“不是梅花A”。则有最优方程(2)递推求解以上方程可得V(i)=1/i,i=1,2,3,…,52.因此，最优策略是每当还剩i张牌时，猜是“梅花A”，与“不是梅花A”，都是最优的。(3)此时的最优方程是递推求解以上方程仍可得V(i)=1/i,i=52-n+1,52-n+2,…,52.因此，最优策略是每当还剩i张牌时，猜是“梅花A”，与“不是梅花A”，都是最优的。(4)如果是猜梅花牌（不仅仅是梅花A），我们考虑只猜一次，则由于共有13张梅花牌，有最优方程递推求解以上方程可得V(i)=13/i,i=13,14,…,52.因此，最优策略是每当还剩i张牌时，猜是“梅花”。2.解：阶段显然定义为天，即每天都需要进行决策。状态定义为系统处于好的概率，于是状态集为S={P|P∈[0,1]}；决策有两个：检测与不检测，分别用Y、N表示，于是决策集A={Y,N}与状态无关；报酬函数如下r(P,Y)=I+(1-P)(C+R),r(P,N)=(1-P)C;转移函数为T(P,Y)=1-γ,T(P,N)=P(1-γ).记Vn(P)表示还剩n天时的最优值函数，β∈(0,1)为折扣因子。于是，使期望折扣总费用达到最小的有限阶段最优方程为由此可得而当且仅当，或者等价地（显然，我们应该有R>C）。因此，2天的最优策略是：当剩下1天时不检测；当还剩下2天时，检测仅当处于好状态的概率时。3.周期n时的状态为可用资金S；决策是(I,J)，其中I表示在固定利率项目上的投资额，J表示在风险项目上的投资额，它们满足条件；此时一个周期的效用是r(S,I,J)=u(S-I-J),而下周期初时的状态为rI+ZJ,其中Z是分布函数为F的随机变量。记Vn(S)表示还剩n阶段剩余资金为S时所能获得的最大期望效用，则它满足最优方程其中EZ表示关于随机变量Z取数学期望。4.(1)定义ξn为在第n个州获得的选举人票数，则它是个随机变量，在投入资金d的条件下其概率为：P{ξn=sn}=pn(d),P{ξn=0}=1-pn(d)。再定义表示在将资金总数D用于州n=t,...,50时至少获得K张选举人票的最大概率。则我们有边界条件为V50(K,D)=p50(d)若K≤s50,V50(K,D)=0否则。通过对以上最优方程的逆向求解，即可得到奥巴马的最优策略。(2)当目标函数是使得获得的选举人票数的期望值达到最大时，令Vt(D)表示将资金总数D用于州n=t,...,50时所能获得的最大期望选举人票数。则它满足如下的最优方程边界条件为V51(D)=0。通过对以上最优方程的逆向求解，即可得到奥爸妈的最优策略。5.这是一个最优停止问题。记Vt(R)表示在第t轮时已获得资金数为R时所能获取的最终的最大资金额，则最优方程为边界条件是V5(R)=R。递推求解如下：因此，最优策略是一直参加。第13章决策方法选择与评价思考与练习（参考答案）1．确定模糊隶属度或隶属函数的常用方法有哪些？(1)统计法一般可采用等级比重法和频率法确定隶属度，即rij表示从因素ui着眼，被评价对象能被评为vj的隶属度，即第i个因素ui，在第j个评语vj上的频率分布，一般将其归一化处理，这样R矩阵本身就没有量纲。采用等级比重法时，一是评价者不能太少，这样才能使等级比重趋于隶属度；二是评价者对被评价事物相当了解，特别是技术性的问题。对于客观和定量指标，可以采用频率法，先划分指标值在不同等级的变化区间，然后以指标值的历史资料在各等级变化区间出现的频率作为对各等级模糊子集的隶属度。这种方法简单、方便，但是指标值的等级区间划分会影响评价结果。(2)专家经验法专家经验法是根据专家的实际经验给出模糊信息的处理算式或相应权系数值来确定隶属函数的一种方法。在许多情况下,经常是初步确定粗略的隶属函数,然后再通过“学习”和实践检验逐步修改和完善,而实际效果正是检验和调整隶属函数的依据。(3)二元对比排序法：二元对比排序法是一种较实用的确定隶属度函数的方法。它通过对多个事物之间的两两对比来确定某种特征下的顺序,由此来决定这些事物对该特征的隶属函数的大小。二元对比排序法根据对比测度不同,可分为相对比较法、对比平均法、优先关系定序法和相似优先对比法等。2．什么是模糊关系？它与普通关系有什么区别？通常事物之间的关系是“不清晰”的，而用于描述这种事物之间关联程度的量定义为事物之间的模糊关系，这种关系程度通过隶属度来表示。集合X到集合Y的一个“二元模糊关系”R是给定论域中的模糊集合，并可记为：。模糊关系R的隶属函数R（x，y）是到实数区间[0,1]的一个映射。特别的，当Y=X时，称R为“论域X中的模糊关系”。模糊关系与普通关系的区别是，普通关系表示了事物之间的肯定关系，而模糊关系表达了客观事物之间的一种不明确、不确定的关系，它是普通关系的拓展。3．某企业随着业务发展需要进行融资。可选融资方式为：股权融资、债权融资和内部融资三种。融资效率可分为｛高，低｝两个等级。融资考虑的主要因素为｛融资资金成本，融资资金规模，融资主体自由度｝，其权重集A=(0.50，0.30，0.20)。假设三种融资方案的评价结果如表13.6：表13.6融资方式的隶属度因素股权融资效率债权融资效率内部融资效率隶属度高低高低高低融资资金成本0.20.80.70.30.80.2融资资金规模0.60.40.40.60.30.7融资主体自由度0.70.30.30.70.90.1设融资效率（高，低）的量化向量为：，试采用合成算法进行方案评价。（1）若采用最大隶属度原则，应采用哪种融资方案？（2）若采用加权平均原则，应采用哪种融资方案？解：（1）各种融资方式的单因素评价矩阵为：采用合成算法对三种融资的效率分别进行模糊评价，得：对于股权融资来说，根据最大隶属度原则，效率低的隶属度（58%）大于效率高的隶属度（42%），所以股权融资的效率是低的。同理，债券融资和内部融资的效率是高的，而这效率高的隶属度分别为53%和67%，并且67%＞53%，则若采用最大隶属度原则，应采用内部融资方案。（2）若加权平均原则进行单值评价，：0.602＞0.518＞0.452，所有若采用加权平均原则进行单值评价，应采用内部融资方案。4.试述阿罗不可能定理的思想。阿罗不可能性定理是指，如果众多的社会成员具有不同的偏好，而社会又有多种备选方案，那么在民主的制度下不可能得到令所有的人都满意的结果，即：阿罗认为，无论个人还是群体偏好都应该满足以下公理：公理1（连通性）：个人或者群体对于方案集当中的任意两个方案A和B的偏好，不是就是，或者二者同时成立。公理2（传递性）：对任意的备选方案A、B、C，如果且，那么必然有。阿罗还认为个人偏好和群体偏好之间的关系应满足以下五个条件:条件1（完全域）：社会福利函数包含每一个可能的偏好断面，每个偏好断面都会影响群偏好关系。也就是说，个人的偏好集结为群偏好关系时，没有理由排除其中任何个人的偏好。此外，要求群决策至少有三个备选方案和两个决策成员。条件2（无关方案的独立性）：令H为方案集G的一个子集，如果每个人对方案集G的偏好作了修改，但这种修改并未改变每个人对H中的每一个方案的偏好，那么，个人偏好修改前群对H中的方案的偏好应该与个人偏好修改后的群偏好相同。也就是说，备选方案的群排序仅仅取决于这些备选方案的偏好断面，而不依赖于个人对其他方案的偏好。条件3（群偏好和个人偏好的正的联系）：设对于一个特殊的偏好断面，群认为方案A优于方案B。如果将偏好断面作如下修改：除方案A以外，每个人把其余方案作两两比较，其偏好不变；每个人把A和其余方案作两两比较，或者其余偏好不变，或者更偏好A。那么，群的偏好关系仍然认为A优于B。条件4（Pareto原则）：对于每对方案A和B，在集结个人偏好为群偏好时，总有某些人认为A优于B时，才能使群认为A优于B。条件5(非独裁性)：在群中没有人有这样的权力，对于任何一对方案A和B，当他认为A优于B，群就认为A优于B，而不管其他决策的偏好如何。由此，阿罗提出了“不可能定理”。定理：没有一个社会福利函数能够同时满足以上两条公理和五个条件。5．论述群效用函数加法模型和乘法模型的适用条件。（1）加法模型的适用条件：条件1：个人效用函数和群效用函数均应满足冯·诺伊曼一摩根斯坦公理体系，即方案集A上的二元关系是完备的、传递的、独立的和连续的。条件2：如果群中每个决策成员认为某两个方案是无差异的，则决策群也应认为这两个方案是无差异的。条件3：个人效用函数的效用值是独立可加的。如果群决策满足上述三个条件，则存在相应加性群效用函数。（2）乘法模型的适用条件：条件1：个人效用函数和群效用函数均应满足冯·诺伊曼一摩根斯坦公理体系，即方案集A上的二元关系是完备的、传递的、独立的和连续的。条件2：如果群中所有的成员除第i个人以外对所有可能的方案都认为无差异，则群效用函数是第i个人个人