七年级数学下册 5.1 相交线（十大题型）（解析版）

七年级下册数学《第五章相交线与平行线》5.1相交线知识点一知识点一邻补角、对顶角的概念及其性质★1、邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．如图中∠1和∠2，∠1和∠3都互为邻补角.★2、邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．互为邻补角是互为补角的特殊情况.如上图：∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°.【注意】（1）邻补角是成对出现的，单独的一个角或两个以上的角不能称为邻补角.（2）（3）互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定是邻补角.★3、对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．如图中∠1与∠3互为对顶角，∠2与∠4互为对顶角.【注意】对顶角是成对出现的，指两个角之间的关系，一个角的对顶角只有一个.★4、对顶角的性质：对顶角相等．如图，因为直线AB与CD相交于O点，所以∠1=∠3，∠2=∠4.【注意】两个角互为对顶角，它们一定相等，但相等的两个角不一定互为对顶角.知识点二知识点二垂线的概念、画法及其性质★1、垂线的概念：垂线：当两条直线相交所成的四个角中有一个角为90°时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.【注意】两条直线互相垂直是它们相交的一种特殊情况.★2、垂直的表示方法：如图，①若AB⊥CD，则∠BOC=∠AOC=∠AOD=∠BOD=90°；②若∠BOC=90°，则AB⊥CD.★3、垂线的画法一落：让三角板的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合；二移：沿直线移动三角板，使其另一直角边经过所给的点；三画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线．★4、垂线的性质在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．【注意】①不能忽略“在同一平面内”这个条件，因为如果不在同一平面内，那么过一点有无数条直线与已知直线垂直.②“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”，“过一点”的点在直线上或直线外都可以．知识点三知识点三垂线段与点到直线的距离★1、垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．★2、垂线段的性质：连接直线外一点与这条直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短．【注意】正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．★3、点到直线的距离：（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．如图，线段AD的长度是点A到直线l的距离.知识点四知识点四同位角、内错角、同旁内角★1、同位角两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．★2、内错角两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．★3、同旁内角两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．★4、同位角、内错角、同旁内角的特征【注意】三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．题型一邻补角的识别和性质题型一邻补角的识别和性质【例题1】（2023春•路北区期中）下面四个图形中，∠1与∠2是邻补角的是（）A． B． C． D．【分析】根据邻补角的定义作答即可．【解答】解：由题意知，C中∠1与∠2是邻补角，故选：C．【点评】本题考查了邻补角的定义．解题的关键在于熟练掌握两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．解题技巧提炼1、邻补角的识别方法：互为邻补角的两个角必须满足以下条件：①有一条公共边；②另一条边互为反向延长线.二者缺一不可.2、邻补角的性质：邻补角互补.【变式1-1】邻补角是（）A.和为180°的两个角；B.有公共顶点且互补的两个角；C.有一条公共边且相等的两个角；D.有公共顶点且有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角.【分析】根据邻补角的概念进行解答；【解答】解:只有一条公共边，它们的另一边互为延长线，具有这种的关系的两个角，互为邻补角，故选：B.【点评】此题主要考查了邻补角的定义，正确记忆邻补角定义中的重要条件是关键．【变式1-2】（2022春•重庆月考）下面四个图形中，∠1与∠2是邻补角的是（）A． B． C． D．【分析】根据邻补角的定义，结合具体的图形进行判断即可．【解答】解：根据邻补角的定义可知，图中的∠1与∠2是邻补角，故选：C．【点评】本题考查邻补角，理解邻补角的定义是正确解答的关键．【变式1-3】（2022秋•兰西县期末）如图，图中邻补角有几对（）A．4对 B．5对 C．6对 D．8对【分析】根据邻补角的概念判断即可．【解答】解：∠1与∠2是邻补角，∠1与∠4是邻补角，∠3与∠2是邻补角，∠3与∠4是邻补角，∠5与∠6是邻补角，∠5与∠8是邻补角，∠6与∠7是邻补角，∠7与∠8是邻补角共8对，故选：D．【点评】本题考查的是邻补角的概念，只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．【变式1-4】（2023春•东洲区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，若∠1＝45°，则∠2的度数为（）A．45° B．55° C．125° D．135°【分析】根据邻补角互补可得∠2＝135°．【解答】解：∵∠1＝45°，∠2与∠1是邻补角，∴∠2＝180°﹣45°＝135°．故选：D．【点评】此题考查了邻补角，解题的关键是掌握邻补角互补，即和为180°．【变式1-5】（2023秋•肇庆期末）如图，直线AB、CD交于点O，OE平分∠BOC，若∠1＝50°，则∠BOE等于（）A．65° B．60° C．50° D．45°【分析】根据邻补角求出∠BOC的度数，再根据角平分线求出∠BOE的度数．【解答】解：∠BOC＝180°﹣50°＝130°，∠BOE＝130°÷2＝65°，故选：A．【点评】本题考查了邻补角和角平分线，解题的关键是根据互为补角的两个角和为180度，先求出∠BOC的度数．【变式1-6】（2022春•交城县期中）如图，直线AB，CD相交于点O，并且∠AOD＝3∠AOC，则∠AOD的度数为．【分析】根据邻补角的定义解决此题．【解答】解：∵∠AOD＝3∠AOC，∴∠AOC+∠AOD＝4∠AOC＝180°．∴∠AOC＝45°．∴∠AOD＝3∠AOC＝135°．故答案为：135°．【点评】本题主要考查邻补角，熟练掌握邻补角的定义是解决本题的关键．题型二对顶角的识别和性质题型二对顶角的识别和性质【例题2】（2023秋•罗山县期末）如所示各图中，∠1与∠2是对顶角的是（）A． B． C． D．【分析】根据对顶角的定义判断即可．【解答】解：A、∠1与∠2没有公共顶点，不是对顶角，故此选项不符合题意；B、∠1与∠2符合对顶角的定义，是对顶角，故此选项符合题意；C、∠1与∠2不是由两条直线相交构成的角，不是对顶角，故此选项不符合题意；D、∠1与∠2不是由两条直线相交构成的角，不是对顶角，故此选项不符合题意；故选：B．【点评】此题考查了对顶角，熟记对顶角的定义是解题的关键．对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．解题技巧提炼1、对顶角的识别方法：两个角互为对顶角必须满足两个条件：①两个角有一个公共顶点；②一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线.二者缺一不可.2、对顶角的性质：对顶角相等.【变式2-1】下列说法正确的是()A.有公共顶点的两个角是对顶角；B.有公共顶点并且相等的两个角是对顶角；C.两条直线相交所得的四个角中的任意两个角，不是邻补角，就是对顶角；D.相等的两个角一定是对顶角.【分析】根据对顶角和邻补角定义,对顶角:有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角；邻补角:只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，进行逐一判断即可.【解答】解:A.有公共顶点的两个角不一定是对顶角，故A选项错误；B.有公共顶点并且相等的两个角不一定是对顶角，故B选项错误；C.两条直线相交所得的四个角中的任意两个角不是邻补角，就是对顶角，故C选项正确；D.相等的两个角不一定是对顶角.故选:C.【点评】本题考查了对顶角的定义，熟记概念，准确识图求出各角的度数是解题的关键．【变式2-2】（2023春•扎赉特旗期末）下列四个图中，∠1与∠2是对顶角的是（）A． B． C． D．【分析】根据对顶角的定义直接判定即可．【解答】解：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，则互为对顶角，根据定义，C正确，故选：C．【点评】本题考查对顶角的应用，熟练掌握对顶角的意义是解题关键．【变式2-3】（2022秋•南岗区校级期中）如图直线AB、CD交于点O，OE为射线，那么（）A．∠AOC和∠BOE是对顶角 B．∠COE和∠AOD是对顶角 C．∠BOC和∠AOD是对顶角 D．∠AOE和∠DOE是对顶角【分析】根据对顶角的定义可解此题．【解答】解：∵OE⊥AB于点O，∴∠AOE＝90°，∵OC平分∠AOE，∴∠AOC＝∠COE，∵∠BOD与∠AOC是对顶角且相等，故选：C．【点评】本题考查了对顶角的定义，熟记概念，准确识图求出各角的度数是解题的关键．【变式2-4】（2022秋•婺城区期末）如图，直线AB与直线CD相交于点O，若∠AOC增大40°，则∠BOD（）A．减少40° B．增大40° C．不变 D．增大0°【分析】根据对顶角的定义和性质求解即可．【解答】解：由图得，∠AOC＝∠BOD，∴若∠AOC增大40°，则∠BOD增大40°．故选：B．【点评】本题考查了对顶角的定义和性质，掌握对顶角的定义和性质是解题的关键．【变式2-5】（2023秋•宿城区期末）泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的．论证“对顶角相等”使用的依据是（）A．同角的余角相等 B．同角的补角相等 C．等角的余角相等 D．等角的补角相等【分析】由补角的性质：同角的补角相等，即可判断．【解答】解：论证“对顶角相等”使用的依据是：同角的补角相等．故选：B．【点评】本题考查对顶角，邻补角，补角的性质，关键是掌握：补角的性质．【变式2-6】（2023春•海珠区校级期中）直线AB，CD相交于点O，若∠AOC+∠BOD＝60°，则∠AOC＝（）A．150° B．120° C．60° D．30°【分析】画出简图，由对顶角相等可得∠AOC＝∠BOD，从而可求解．【解答】解：如图，由图可得∠AOC＝∠BOD，∵∠AOC+∠BOD＝60°，∴∠AOC+∠AOC＝60°，即∠AOC＝30°．故选：D．【点评】本题主要考查对顶角，解题的关键是掌握对顶角的性质：对顶角相等．题型三有关邻补角、对顶角的综合应用题型三有关邻补角、对顶角的综合应用【例题3】（2021秋•桃江县期末）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOE是直角．（1）直接写出∠DOE的补角；（2）直接写出∠DOE的余角；（3）若OF平分∠AOC，且∠COF＝20°，求∠DOE的度数．【分析】（1）根据互补的定义确定∠DOE的补角；（2）根据互余的定义确定∠DOE的余角；（3）运用平角的定义和角平分线的定义得∠DOE的度数．【解答】解：（1）∠DOE的补角是：∠EOC．（2）∠DOE的余角是：∠DOB，∠AOC．（3）因为OF平分∠AOC，所以∠AOC＝2∠COF＝40°，又因为∠AOE＝90°，所以∠DOE＝180°﹣（∠AOE+∠AOC）＝180°﹣（90°+40°）＝50°．【点评】本题考查了角平分线、补角、余角的定义以及角的计算，属于基础题型，比较简单．解题技巧提炼准确识别图形，理清图中各角度之间的关系是解题的关键，再综合角平分线的定义、对顶角的性质及邻补角的定义求解.【变式3-1】（2022秋•洛阳期末）如图，直线AE与CD相交于点B，∠ABC＝60°，∠FBE＝95°，则∠CBF的度数是（）A．35° B．85° C．145° D．155°【分析】根据邻补角的定义求出∠ABF即可．【解答】解：∵∠FBE+∠ABF＝180°，∠FBE＝95°，∴∠ABF＝180°﹣95°＝85°，∴∠CBF＝∠ABC+∠ABF＝60°+85°＝145°，故选：C．【点评】本题考查邻补角、对顶角，掌握邻补角的定义是正确解答的前提．【变式3-2】（2023•灞桥区校级模拟）如图是一把剪刀，若∠AOB+∠COD＝60°，则∠AOC的度数为（）A．40° B．130° C．120° D．150°【分析】由对顶角的性质得到∠AOB＝30°，由邻补角的性质得到∠AOC＝180°﹣30°＝150°．【解答】解：∵∠AOB＝∠COD，∠AOB+∠COD＝60°，∴∠AOB＝30°，∴∠AOC＝180°﹣∠AOB＝150°．故选：D．【点评】本题考查对顶角，邻补角，关键是掌握对顶角的性质，邻补角的性质．【变式3-3】（2023秋•渝中区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝2∠DOE，若∠BOE＝30°，则∠AOC的度数为（）A．25° B．30° C．40° D．45°【分析】设∠DOB＝x°，根据已知条件列出关于x的方程式，求得x的值，再根据对顶角相等即可求得．【解答】解：设∠DOB＝x°，则∠DOE＝x+30°，∵∠AOD＝2∠DOE，∴∠AOD＝2x°+60°，∵∠AOB＝∠AOD+∠DOB＝2x+60°+x°＝180°，∴x＝40°，∴∠DOB＝40°，∴∠AOC＝40°．故选：C．【点评】本题主要考查对顶角的性质和邻补角的定义，解决本题的关键是根据题意建立关于∠DOB的方程式．【变式3-4】（2023秋•无锡期末）如图，已知直线AB、CD相交于点O，∠COE＝90°．（1）若∠BOE＝54°，求∠AOC的度数；（2）若∠BOE：∠BOC＝2：5，求∠AOE的度数．【分析】（1）先根据余角的定义求得∠BOD的度数，再根据对顶角的性质可求∠AOC的度数；（2）设∠BOE＝2x，∠BOC＝5x，表示出∠BOC的度数进而求得x，求出∠BOE的度数，利用邻补角的性质求得∠AOE的度数．【解答】解：（1）∵∠COE＝90°，∴∠DOE＝90°，∵∠BOE＝54°，∴∠BOD＝∠DOE﹣∠BOE＝90°﹣54°＝36°，∴∠AOC＝∠BOD＝36°；（2）设∠BOE＝2x，∠BOC＝5x，则∠COE＝3x，∵∠COE＝90°，∴3x＝90°，解得x＝30°，∴∠BOE＝2×30°＝60°，∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝180°﹣60°＝120°．【点评】此题考查了对顶角、邻补角，熟练掌握平角等于180度，直角等于90度，对顶角相等是解答本题的关键．【变式3-5】（2023秋•甘州区校级期末）如图，直线AB和CD相交于O，OA平分∠EOC．（1）若∠EOC＝80°，求∠BOD的度数；（2）若∠EOC：∠EOD＝1：2，求∠BOD的度数．【分析】（1）先根据已知条件和角平分线的性质，求出∠AOC，再根据对顶角相等，求出∠BOD即可；（2）先根据已知条件，求出∠EOC+∠EOD＝180°，然后设∠EOC＝x°，∠EOD＝2x°，求出x，从而求出∠EOC，最后根据角平分线的性质，求出∠AOC，再由对顶角相等，求出∠BOD即可．【解答】解：（1）∵∠EOC＝80°，OA平分∠EOC，∴∠AOC=1∵∠AOC与∠BOD是对顶角，∴∠BOD＝∠AOC＝40°；（2）∵直线AB和CD相交于O，∴∠EOC+∠EOD＝180°，设∠EOC＝x°，则∠EOD＝2x°，∴x+2x＝180，解得：x＝60，∴∠EOC＝60°，∵OA平分∠EOC，∴∠AOC=1∴∠BOD＝∠AOC＝30°．【点评】本题主要考查了对顶角、邻补角和角平分线的性质，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的和差倍分关系．【变式2-6】（2023秋•清原县期末）如图，直线AB，CD相交于点O，ON把∠AOD分成两个角，且∠AON：∠NOD＝2：3．∠BOC＝75°．（1）求∠AON的度数．（2）若OM平分∠BON，那么OB是∠COM的平分线吗？试说明理由．【分析】（1）设∠AON＝2x，∠NOD＝3x，根据角的倍数关系可得答案；（2）先计算∠BOM的度数，判断∠BOM、∠BOC是否相等，即可说明理由．【解答】解：（1）∵∠AON：∠NOD＝2：3，设∠AON＝2x，∠NOD＝3x，∴∠AOD＝5x，∵∠BOC＝75°，∴∠AOD＝5x＝75°，∴x＝15°，∴∠AON＝30°；（2）OB是∠COM的平分线，理由如下：∵∠AON＝30°，∴∠BON＝180°﹣∠AON＝150°，∵OM平分∠BON，∴∠BOM＝75°，∴∠BOM＝∠BOC，∴OB是∠COM的角平分线．【点评】本题考查的是对顶角、邻补角的概念和性质、角平分线的定义，掌握对顶角相等、邻补角之和等于180°是解题的关键．题型四垂直的定义题型四垂直的定义【例题4】（2023秋•澄海区期末）如图，AB与CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，若∠COE＝44°，则∠AOD＝（）A．44° B．46° C．134° D．136°【分析】先求解∠AOC＝46°，再结合平角的含义可得答案．【解答】解：∵OE⊥AB，∠COE＝44°，∴∠AOC＝90°﹣44°＝46°，∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣46°＝134°；故选：C．【点评】本题考查的是角的和差运算，垂直的定义，解题的关键是掌握相关运算．解题技巧提炼垂线：当两条直线相交所成的四个角中有一个角为90°时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.【变式4-1】（2022春•景县月考）如图，直线AB，CD相交于点O，下列条件：①∠AOD＝90°；②∠AOC＝∠BOC；③∠AOC＝∠BOD，其中能说明AB⊥CD的有（）A．① B．①或② C．①或③ D．①或②或③【分析】根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可．【解答】解：①∠AOD＝90°，可以得出AB⊥CD；②∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝∠BOC，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，可以得出AB⊥CD；③∠AOC＝∠BOD，不能得到AB⊥CD；故能说明AB⊥CD的有①②．故选：B．【点评】此题主要考查了垂直定义，关键是通过条件计算出其中一个角为90°．【变式4-2】在如图所示的条件中，可以判断两条直线互相垂直的是（）①两直线相交所成的四个直角都是直角；②两直线相交，对顶角互补；③两直线相交所成的四个角都相等.A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【分析】根据垂线的定义，可得答案．【解答】解：①两直线相交所成的四个角都是直角；②两条直线相交，对顶角互补；③两直线相交所成的四个角都相等.故选：D．【点评】本题主要考查了垂线，余角和补角，对顶角、邻补角，熟练掌握了垂线，余角和补角，对顶角、邻补角的定义进行求解是解决本题的关键．【变式4-3】（2023秋•封开县期末）如图，AO⊥OB，若∠AOC＝50°，则∠BOC的度数是（）A．20° B．30° C．40° D．50°【分析】根据OA⊥OB，可知∠BOC和∠AOC互余，即可求出∠BOC的度数．【解答】解：∵AO⊥OB，∴∠AOB＝90°．又∵∠AOC＝50°，∴∠BOC＝90°﹣∠AOC＝40°．故选：C．【点评】本题考查了垂线，余角的知识．要注意领会由垂直得直角这一要点．【变式4-4】如图，直线a，b相交于点O，OE⊥a于点O，OF⊥b于点O，若∠1=40°，则下列结论正确的是（）A．∠2=∠3=50°B．∠2=∠3=40°C．∠2=40°，∠3=50°D．∠2=50°，3=40°【分析】直接利用垂直定义以及结合互余的定义得出答案．【解答】解：如图所示：∵∠1=40°，OE⊥a，∴∠3=90°－∠1=90°－40°=50°，又∵OF⊥b，∴∠2=90°－∠3=90°－50°=40°．故选：C．【点评】此题主要考查了垂直的定义以及互余的定义，正确的把握相关定义是解题关键．【变式4-5】（2023秋•鼓楼区校级期末）如图，从点A出发的四条射线AB，AC，AD，AE满足AB⊥AC，AD⊥AE，则下列结论一定正确的是（）A．∠CAE＝∠BAD＝45° B．∠CAD+∠EAB＝180° C．∠CAD﹣∠EAB＝90° D．∠CAE+∠BAD＝90°【分析】根据互为余角、互为补角的定义逐项进行判断即可．【解答】解：如图，延长DA到F，∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAC＝∠DAE＝90°，即∠CAE+∠BAE＝∠BAE+∠BAD＝90°，∴∠CAE＝∠BAD，同理∠CAF＝∠BAE，∵∠CAD+∠CAF＝180°，∴∠CAD+∠BAE＝180°，故选：B．【点评】本题考查互为余角、互为补角，理解互为余角、互为补角的定义是正确解答的关键．【变式4-6】（2023春•礼泉县期中）如图，是一副三角板的摆放图，已知OA⊥OB，OC⊥OD，若∠AOC＝35°，则∠BOD的度数是°．【分析】根据题意可得：∠AOB＝∠COD＝90°，然后利用等式的性质进行计算，即可解答．【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOB﹣∠AOD＝∠COD﹣∠AOD，∴∠DOB＝∠AOC＝35°，故答案为：35．【点评】本题考查了垂线，余角和补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．题型五垂线的画法及性质题型五垂线的画法及性质【例题5】（2023春•裕华区期中）如图，在直线l外任取一点Q，过点Q画直线l的垂线，可画出的垂线有（）A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条【分析】根据在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可选出答案．【解答】解：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．故选：B．【点评】本题考查了垂线的性质，在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”“过一点”的点在直线上或直线外都可以．解题技巧提炼1、垂线的画法：用三角尺画（1）落：让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合.（2）移：沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点.（3）画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线.2、垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.【变式5-1】（2022春•南沙区期末）过点P向线段AB所在的直线画垂线，正确的画法是（）A． B． C． D．【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线的作法判断即可．【解答】解：A选项，没有过点P，过该选项不符合题意；B选项，过点P作AB的垂线，垂线是直线，故该选项符合题意；C选项，PO为垂线段，不是直线，故该选项不符合题意；D选项，PA没有垂直于AB，故该选项不符合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了垂线的画法，同学们应熟练掌握垂线画法，此知识考查较多．【变式5-2】（2023秋•鼓楼区校级期末）下列各图中，过直线l外点P画l的垂线CD，三角板操作正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据垂线的作法，用直角三角板的一条直角边与l重合，另一条直角边过点P后沿直角边画直线即可．【解答】解：根据分析可得D的画法正确，故选：D．【点评】此题主要考查了垂线的画法，同学们应熟练掌握垂线画法，此知识考查较多．【变式5-3】（2022春•南海区校级月考）平面内，过一点，有几条直线和已知直线垂直？（）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条【分析】根据平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直，即可判断．【解答】解：平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直，故选：B．【点评】本题考查了垂线，直线、射线、线段，熟练掌握平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直是解题的关键．【变式5-4】（2023春•南城县校级月考）已知点P在直线l上，过点P画直线l的垂线，可以画出多少条（）A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条【分析】在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，据此即可得到答案．【解答】解：∵在同一平面时，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，∴过点P画直线l的垂线，画1条．故选：A．【点评】本题主要考查垂线，掌握在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是解题的关键．【变式5-5】（2023春•屏南县期中）过点P向线段AB所在直线引垂线，正确的画法是（）A． B． C． D．【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线的作法判断即可．【解答】解：A选项，没有垂直，故该选项不符合题意；B选项，没有过点P，故该选项不符合题意；C选项，过点P作AB的垂线，垂线是直线，故该选项符合题意；D选项，PO为垂线段，不是直线，故该选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了垂线，掌握当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直是解题的关键．【变式5-6】（2023春•朝阳区期末）如图，过点P作线段AB的垂线，垂足在（）A．线段AB上 B．线段AB的延长线上 C．线段AB的反向延长线上 D．直线AB外【分析】过点P作线段AB的垂线，垂足在线段AB的延长线上．【解答】解：如图，过点P作线段AB的垂线，垂足在线段AB的延长线上．故选：B．【点评】本题考查了垂线，熟练掌握垂线的作法是关键．题型六有关垂线的综合应用题型六有关垂线的综合应用【例题6】（2022春•天府新区月考）如图，点O在直线BD上，已知∠1＝20°，OC⊥OA，则∠DOC的度数为（）A．20° B．70° C．110° D．90°【分析】利用∠1与∠BOC互余求出∠BOC，利用∠DOC与∠BOC互补求出∠DOC．【解答】解：∵OC⊥OA，∠1＝20°，∴∠BOC＝90°﹣∠1＝90°﹣20°＝70°，∴∠DOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣70°＝110°，故选：C．【点评】本题考查垂直的定义，得出∠1与∠BOC互余，∠DOC与∠BOC互补是解题的关键．解题技巧提炼结合垂直的条件确定已知角和未知角之间的关系，再结合角平分线、对顶角、邻补角等定义计算.【变式6-1】（2023•宛城区校级三模）如图，直线AB、CD相交于点O．OE⊥AB，∠DOB＝65°，则∠EOC的大小为（）A．145° B．105° C．165° D．155°【分析】根据对顶角的定义得∠AOC的度数，然后由垂直的概念及角的和差可得答案．【解答】解：∵∠DOB＝65°，∴∠AOC＝65°，∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°，∴∠EOC＝∠AOE+∠AOC＝65°+90°＝155°．故选：D．【点评】此题考查的是垂线的概念，掌握其概念是解决此题的关键．【变式6-2】（2022春•云阳县校级月考）如图，直线AB、EF相交于点O，CD⊥AB于点O，∠EOD＝128°，则∠BOF的度数为．【分析】由平角的定义可知∠EOD+∠EOC＝180°，从而可求得∠EOC的度数，根据对顶角相等得∠DOF＝∠EOC＝52°，然后由垂线的定义可知∠DOB＝90°，从而求得∠BOF的度数．【解答】解：∵∠EOD+∠EOC＝180°，∴∠EOC＝180°﹣128°＝52°，∴∠DOF＝∠EOC＝52°，∵CD⊥AB，∴∠DOB＝90°，∴∠BOF＝90°﹣52°＝38°，故答案为：38°．【点评】本题主要考查的是邻补角的性质、对顶角的性质和垂线的定义，求得∠DOF的度数是解题的关键．【变式6-3】（2023春•抚宁区期末）已知，∠AOB＝25°，OC⊥OA，OD⊥OB，则∠COD等于（）A．25° B．115° C．155° D．25°或155°【分析】分类讨论：如图1、2所示．根据图中相关角与角间的和差关系进行求解即可．【解答】解：∵OC⊥OA，OD⊥OB，∴∠AOC＝90°，∠BOD＝90°．如图1，∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝90°﹣25°＝65°，则∠COD＝∠AOD+∠AOC＝65°+90°＝155°；如图2，∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝90°﹣25°＝65°，∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝90°﹣65°＝25°．综上所述，∠COD等于155°或25°．故选：D．【点评】本题考查了垂线的定义．要注意领会由垂直得直角这一要点．【变式6-4】（2022春•元宝区校级期末）在同一平面内，若∠A与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的3倍少20°，则∠A的度数为（）A．10° B．50° C．10°或130° D．10°或50°【分析】因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，可设∠B是x度，利用方程即可解决问题．【解答】解：设∠B是x度，根据题意，得①两个角相等时，如图1：∠B＝∠A＝x，x＝3x﹣20，解得x＝10，故∠A＝10°，②两个角互补时，如图2：x+3x﹣20＝180，所以x＝50，3×50°﹣20°＝130°故∠A的度数为：10°或130°．故选：C．【点评】此题主要考查了垂线，本题需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．【变式6-5】（2022秋•梁河县期末）如图，已知直线AB、CD相交于点O，射线OD平分∠BOF，OE⊥CD于点O，∠AOC＝35°．（1）求∠EOF的度数；（2）试判断射线OE是否平分∠AOF，并说明理由．【分析】（1）利用对顶角相等，角平分线的定义，垂线的性质求解即可．（2）OE平分∠AOF．分别求出∠AOE，∠EOF即可判断．【解答】解：（1）∵OD平分∠BOF，∴∠BOD＝∠DOF，∵∠BOD＝∠AOC＝35°，∴∠DOF＝35°，∵EO⊥CD，∴∠EOD＝90°，∴∠EOF＝90°﹣∠DOF＝55°．（2）OE平分∠AOF．理由如下：∵∠AOB＝180°，∠EOD＝90°，∴∠AOE+∠BOD＝90°，∵∠BOD＝35°，∴∠AOE＝55°，∵∠EOF＝55°，∴∠AOE＝∠EOF，∴OE平分∠AOF．【点评】本题考查垂线，角平分线的定义，对顶角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式6-6】（2023秋•苏州期末）如图，两直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，如果∠AOC：∠AOD＝7：11．（1）求∠COE；（2）如果∠COF＝125°，OE与OF有怎样的位置关系？为什么？【分析】（1）根据平角的定义，角平分线的定义以及角的和差关系进行计算即可；（2）根据角平分线的定义，平角的定义以及角的和差关系求出∠EOF的度数，再根据垂直的定义进行解答即可．【解答】解：（1）∵∠AOC：∠AOD＝7：11．∠AOC+∠AOD＝180°，∴∠AOC＝180°×77+11=70°，∠∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠DOE=12∠∵∠AOC＝∠BOD＝70°，∠AOD＝∠BOC＝110°，∴∠BOE＝35°，∴∠COE＝∠BOC+∠BOE＝145°；（2）OE⊥OF，理由：∵∠COF＝125°，∴∠DOF＝180°﹣125°＝55°，又∵∠DOE＝35°，∴∠EOF＝∠DOF+∠DOE＝90°，∴OE⊥OF．【点评】本题考查邻补角，角平分线的定义以及垂直的定义，掌握邻补角、角平分线、垂直的定义是正确解答的关键．题型七垂线段最短的实际应用题型七垂线段最短的实际应用【例题7】（2023春•围场县期末）过点A画线段BC所在直线的垂线段，其中正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据垂线段的定义解决此题．【解答】解：根据垂线段的定义，仅D选项符合要求．故选：D．【点评】本题主要考查过直线外一点作已知直线的垂线段，熟练掌握过直线外一点作已知直线的垂线段的作法是解决本题的关键．解题技巧提炼抽象成利用“垂线段最短”和“两点之间，线段最短”求解的模型，再借助垂线段的性质和线段的性质求解.【变式7-1】（2023秋•射洪市期末）如图，在河边的A处，有一个牧童在放牛，牛吃饱后要到河边饮水，牧童把牛牵到河边沿AB的路径走才能走最少的路，其依据是（）A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线【分析】根据垂线段最短判断．【解答】解：在河边的A处，有一个牧童在放牛，牛吃饱后要到河边饮水，牧童把牛牵到河边沿AB的路径走才能走最少的路，其依据是垂线段最短．故选：B．【点评】本题考查了垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．【变式7-2】（2023秋•绿园区期末）如图，某同学在体育课上跳远后留下的脚印，在图中画出了他的跳远距离，能正确解释这一现象的数学知识是（）A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【分析】根据垂线段最短进行判断即可．【解答】解：由题意得，解释这一现象的数学知识是“垂线段最短”，故选：C．【点评】本题考查垂线段最短，理解垂线段最短的意义是正确解答的关键．【变式7-3】如图，直线AB表示某天然气的主管道，现在要从主管道引一条分管道到某村庄P，则沿图中线段修建可使用料最省，理由是.【分析】根据垂线段的性质进行证明即可.【解答】解：PD最短，理由：直线外一点到直线上所有的线段中，垂线段最短。故答案为：PD，垂线段最短.【点评】本题考查的是垂线段的性质，熟知垂线段最短是解答此题的关键．【变式7-4】如图，点P，点Q分别代表两个村庄，直线l代表两个村庄中间的一条公路．根据居民出行的需要，计划在公路l上的某处设置一个公交站．（1）若考虑到村庄P居住的老年人较多，计划建一个离村庄P最近的车站，请在公路l上画出车站的位置（用点M表示），依据是；（2）若考虑到修路的费用问题，希望车站的位置到村庄P和村庄Q的距离之和最小，请在公路l上画出车站的位置（用点N表示），依据是．【分析】（1）直接利用点到直线的距离的定义得出答案；（2）利用线段的性质得出答案．【解答】解：（1）如图，点M即为所示．依据是直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短（2）如图，点N即为所示．依据是两点之间线段最短；故答案为：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短；两点之间线段最短．【点评】此题主要考查了应用设计与作图，正确理解线段的性质是解题关键．【变式7-5】（2023秋•金华期末）如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；（2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据．【分析】（1）由两点之间线段最短可知，连接AD、BC交于H，则H为蓄水池位置；（2）根据垂线段最短可知，要做一个垂直EF的线段．【解答】解：（1）∵两点之间线段最短，∴连接AD，BC交于H，则H为蓄水池位置，它到四个村庄距离之和最小．（2）过H作HG⊥EF，垂足为G．“过直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短”是把河水引入蓄水池H中开渠最短的根据．【变式7-6】（2023秋•缙云县期末）已知点直线BC及直线外一点A（如图），按要求完成下列问题：（1）画出射线CA，线段AB．过C点画CD⊥AB，垂足为点D；（2）比较线段CD和线段CA的大小，并说明理由；（3）在以上的图中，互余的角为，互补的角为．（各写出一对即可）【分析】（1）根据垂线的定义，线段，射线的定义作图即可；（2）根据垂线段最短即可求解；（3）由互余、互补的定义解题即可．【解答】解：（1）如图：（2）∵CD⊥AD，∴CA＞CD；（3）∵∠DAC+∠DCA＝90°，∴∠DAC与∠DCA互余，∵∠ADC+∠BDC＝90°+90°＝180°，∴∠ADC与∠BDC互补，故答案为：∠DAC、∠DCA；∠ADC、∠BDC．【点评】本题考查垂线段最短，两个角的互余、互补，熟练掌握垂线段最短，两个角的互余、互补的定义，会作图线段、射线、垂线段是解题的关键．题型八点到直线的距离题型八点到直线的距离【例题8】（2022春•逊克县期末）如图，线段AB外有一点P过点P作PE⊥AB垂足为E，连接PA、PB，PA＝8cm，PB＝6cm，PE＝4.5cm，若M是线段AB上任意一点，则P到M的最短距离为（）A．8cm B．6cm C．4.5cm D．无法确定【分析】根据垂线段最短得出即可．【解答】解：根据垂线段最短，则P到M的最短距离为不小于4.5cm，故选：C．【点评】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段最短的知识点是解此题的关键．解题技巧提炼分析图形特征，结合已知条件利用点到直线的距离的定义:直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离得出答案.【变式8-1】（2023秋•浦口区校级期末）如图，PB⊥AC，PA⊥PC，垂足分别为B、P．下列说法中错误的是（）A．线段PB的长是点P到AC的距离 B．PA、PB、PC三条线段，PB最短 C．线段AC的长是点A到PC的距离 D．线段PC的长是点C到直线PA的距离【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，垂线段最短，由此即可判断．【解答】解：A、线段PB的长是点P到AC的距离，正确，故A不符合题意；B、由垂线段最短得到，PB＜PC，PB＜PA，因此PB最短，故B不符合题意；C、线段AP的长是点A到PC的距离，故C符合题意；D、线段PC的长是点C到直线PA的距离，正确，故D不符合题意．故选：C．【点评】本题考查垂线段最短，点到直线的距离，关键是掌握点到直线距离的定义，垂线段最短．【变式8-2】（2023秋•南关区期末）如图，点A，D在直线m上，点B，C在直线n上，AB⊥n，AC⊥m，BD⊥m，点A到直线BD的距离是（）A．线段AD的长度 B．线段BC的长度 C．线段AB的长度 D．线段BD的长度【分析】根据点到直线的距离可得结论．【解答】解：∵BD⊥m，∴点A到直线BD的距离是线段AD的长度．故选：A．【点评】本题主要考查点到直线的距离，解答的关键是明确点到直线的距离的定义．【变式8-3】（2023秋•玄武区期末）如图，AC⊥BC，垂足为C，AC＝6，BC＝8，AB＝10．P是线段AB上一点，连接PC，PC的长不可能是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】作CH⊥AB于H，由三角形面积公式得到△ABC的面积=12AC•BC=12AB•CH，而AC＝6，BC＝8，AB＝10，即可求出CH＝4.8，又【解答】解：作CH⊥AB于H，∵AC⊥BC，∴△ABC的面积=12AC•BC=12∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，∴CH＝4.8，∵PC≥CH＝4.8，∴PC的长不可能4．故选：A．【点评】本题考查垂线段最短，关键是由垂线段最短得到PC≥CH．【变式8-4】（2023秋•西山区校级期末）P为直线m外一点，A，B，C为直线m上三点，PA＝5，PB＝4，PC＝3，则点P到直线m的距离（）A．不大于3 B．等于3 C．小于3 D．不小于3【分析】根据垂线段最短和点到直线的距离的定义得出即可．【解答】解：根据垂线段最短得出点P到直线m的距离是不大于3，故选：A．【点评】本题考查了点到直线的距离的定义，熟记点到直线的距离的定义是解题的关键．【变式8-5】（2023春•新宾县期中）如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则点C到直线AB的距离等于（）A．125 B．135 C．6013【分析】根据等积法求出点C到直线AB的距离即可．【解答】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴S△ABC∴CD=AC×BC即点C到直线AB的距离为6013，故C故选：C．【点评】本题主要考查了三角形面积计算，点到直线的距离，解题的关键是根据等积法求出CD=60【变式8-6】（2022春•平桥区校级月考）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，AB＝5cm．（1）点B到AC的距离是cm；点A到BC的距是cm．（2）画出表示点C到AB的距离的线段，并求这个距离．【分析】（1）根据点到直线的距离的定义求．（2）先画垂线段，再计算距离．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，∴点B到AC的距离是线段BC的长度，点A到BC的距是线段AC的长度．故答案为：4，3．（2）如图：作CD⊥AB于点D，则线段CD的长度就是点C到AB的距离．∵S△ABC=12BC•AC=12∴CD=BC⋅ACAB=【点评】本题考查点到直线的距离，找到点到直线的距离是求解本题的关键．题型九同位角、内错角、同旁内角的识别题型九同位角、内错角、同旁内角的识别【例题9】（2022春•丛台区校级期末）同学们可仿照图用双手表示“三线八角”图形（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．下面三幅图依次表示（）A．同位角、同旁内角、内错角B．同位角、内错角、同旁内角C．同位角、对顶角、同旁内角D．同位角、内错角、对顶角【解答】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．故选：B．【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角，并能区别它们．解题技巧提炼本题运用了定义法，识别同位角、内错角、同旁内角，其关键是看两个角所涉及的直线是否只有三条，并且有没有一条边在同一直线（截线）上，如果没有，就不是；如果有，再根据角的位置特征判断.【变式9-1】（2023秋•衡山县期末）下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（）A．②③ B．①②③ C．③④ D．①②④【分析】利用同位角定义进行解答即可．【解答】解：图①②④中，∠1和∠2是同位角，故选：D．【点评】此题主要考查了同位角，关键是掌握同位角的边构成“F”形．【变式9-2】（2023春•富阳区期中）下列四个图形中，∠1与∠2互为内错角的是（）A． B． C． D．【分析】根据内错角的定义逐一判断即可．【解答】解：A．∠1与∠2不是内错角，不符合题意，选项错误；B．∠1与∠2不是内错角，不符合题意，选项错误；C．∠1与∠2是内错角，符合题意，选项正确；D．∠1与∠2不是内错角，不符合题意，选项错误，故选：C．【点评】本题考查了内错角，能根据内错角的定义正确判断是解题关键．【变式9-3】（2023秋•东坡区期末）如图，在△ABC中与∠A构成同旁内角的角有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可得到答案．【解答】解：在△ABC中与∠A构成同旁内角的角有∠ADE，∠ADF，∠AED，∠C，∠B，共5个．故选：A．【点评】本题考查同旁内角，关键是掌握同旁内角的定义．【变式9-4】（2023春•嘉定区期末）如图，以下说法正确的是（）A．∠GFB和∠HCD是同位角 B．∠GFB和∠FCH是同位角 C．∠AFC和∠HCD是内错角 D．∠GFC和∠FCD是同旁内角【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的意义，逐一判断即可解答．【解答】解：A、∠GFB和∠HCD不是同位角，不是内错角，也不是同旁内角，故A不符合题意；B、∠GEF和∠FCH是同位角，故B不符合题意；C、∠AFC和∠FCD是内错角，故C不符合题意；D、∠GFC和∠FCD是同旁内角，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了同位角，内错角，同旁内角，熟练掌握同位角，内错角，同旁内角的意义是解题的关键．【变式9-5】（2021春•渠县期末）如图，下列结论：①∠2与∠3是内错角；②∠1与∠A是同位角；③∠A与∠B是同旁内角；④∠B与∠ACB不是同旁内角，其中正确的是．（只填序号）【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的意义，结合图形逐个判断即可．【解答】解：如图：∠2与∠3是直线AB、直线BC，被直线CD所截的一对内错角，因此①正确；∠1与∠A是直线CD、直线AC，被直线AB所截的一对同位角，因此②正确；∠A与∠B是直线AC、直线BC，被直线AB所截的一对同旁内角，因此③正确；∠B与∠ACB是直线AB、直线AC，被直线BC所截的一对同旁内角，因此④不正确．故答案为：①②③．【点评】本题考查同位角、内错角、同旁内角的意义，理清哪两条直线被第三条直线所截，形成的角进行判断是关键．【变式9-6】（2022春•赵县月考）如图所示，直线AB与BC被直线AD所截得的内错角是；直线DE与AC被直线AD所截得的内错角是；图中∠4的内错角是．【分析】根据内错角的定义找出即可．【解答】解：直线AB与BC被直线AD所截得的内错角是∠1和∠3，直线DE与AC被直线AD所截得的内错角是∠2和∠4，图中∠4的内错角是∠2和∠BED，故答案为：∠1和∠3，∠2和∠4，∠2和∠BED．【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义等知识点，能正确识图是解此题的关键．题型十同位角、内错角、同旁内角的综合题型十同位角、内错角、同旁内角的综合【例题10】如图所示，a，b两条直线交于一点，生成∠9，探索∠9与其它角的位置关系．（1）直线b，c被直线a所截，∠9与∠4是．（2）∠9与∠5是直线被直线所截形成的．（3）∠9还与哪些角成内错角？（4）图中共有几对同旁内角？【分析】（1）根据同位角的定义求解；（2）根据内错角的定义求解；（3）根据内错角的定义求解；（4）根据同旁内角的定义求解．【解答】解：（1）直线b，c被直线a所截，∠9与∠4是同位角，故答案为：同位角；（2）∠9与∠5是直线a，c被直线b所截形成的内错角，故答案为：a，c，b，内错角；（3）∠9还与∠2成内错角．（4）图中共有∠9和∠1，∠9和∠6，∠1和∠6，∠4和∠7，∠10和∠5，∠12和∠2六对同旁内角．【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角．解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．解题技巧提炼在“三线八角”图形中,由两角判断截线和被截线的方法是看角的两条边:共线的一边所在的直线为截线,另两边所在的直线为被截线.【变式10-1】如图所示，BF、DE相交于点A，BG交BF于点B，交AC于点C．（1）指出ED、BC被BF所截的同位角，内错角，同旁内角；（2）指出ED、BC被AC所截的内错角，同旁内角；（3）指出FB、BC被AC所截的内错角，同旁内角．【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．进行解答．【解答】解：（1）同位角：∠FAE和∠B；内错角：∠B和∠DAB；同旁内角：∠EAB和∠B；内错角：∠EAC和∠BCA，∠DAC和∠ACG；同旁内角：∠EAC和∠ACG，∠DAC和∠BCA；（3）内错角：∠BAC和∠ACG，∠FAC和∠BCA；同旁内角：∠BAC和∠BCA，∠FAC和∠ACG．【点评】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形．【变式10-2】角．（1）画出示意图，标出∠1，∠2，∠3；（2）若∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，求∠1，∠2，∠3的度数．【分析】（1）根据内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；同旁内角：两条直线被第三条直线所截