教师公开招聘考试中学数学（向量）模拟试卷7

教师公开招聘考试中学数学（向量）模拟试卷7一、选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)1、已知向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则下列说法错误的是()．A、a⊥b的充要条件是x1x2+y1y2=0B、a2=x12+y12C、a.0=0D、a//b的充要条件是x1y2—x2y1=0标准答案：C知识点解析：两个向量的数量积应为一个数而不是向量，任意非零向量与零向量的数量积均为0而不是零向量，故C项错误．2、有向量a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，则行列式表示的是()．A、a+bB、a—bC、a.bD、a×b标准答案：D知识点解析：由题=(y1z2—z1y2)i+(z1x2—x1z2)j+(x1y2—y1x2)k，即等于向量的向量积a×b．3、已知非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，两向量的夹角为θ，则下列说法错误的是()．A、｜b｜cosθ=∈R，称为向量a在b方向上的投影，投影的绝对值称为射影B、(a+b).(a—b)=(x12—x22)+(y12—y22)C、cosθ=D、(λa).b=λ(a.b)=a.(λb)(λ∈R)标准答案：A知识点解析：｜b｜cosθ=∈R，称为向量b在向量a方向上的投影，故A项错误；(a+b).(a—b)=a2—b2=｜a｜2—｜b｜2=(x12—x22)+(y12—y22)，B项正确；C、D项分别是向量的夹角公式和向量与实数相乘的结合律公式，均正确，因此本题选A．4、向量a=(m，2，1)，b=(2，—1，n)，已知a和b不平行，则()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：若a∥b，则，解得m=—4，n=．因此，当a和b不平行时，只需满足m≠—4或n≠即可．5、已知a=—2i+mj+3k，b=ni—2j—k是空间中的两个向量，则“a∥b”是“m=6，n=”的()．A、充分不必要条件B、充要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件标准答案：B知识点解析：当a∥b时，有，解得m=6，n=，所以“a∥b”是“m=6，n=”的充分条件；当m=6，n=时，a=—2i+6j+3k，b=—2j—k，则a=—3b，即a∥b，所以“a∥b”是“m=6，n=”的必要条件，因此本题选B．6、已知a=(1，—1，1)，b=(2，2，1)，则a在b上的投影为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：｜a｜cos即为a在b上的投影，将题干中的数代入，则有｜a｜cos=.7、已知空间内两直线l1：和l2：，若l1∥l2，则()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由题意知直线l1，l2的方向向量分别为s1=(m，2，—1)，s2=(4，3，—n)，因为l1∥l2，所以，解得．8、在平行四边形ABCD中，顶点A(3，2，0)，B(5，3，1)，C(0，—1，3)，则平行四边形ABCD的面积为()．A、3B、C、D、6标准答案：C知识点解析：由题干可知，，所以，cos∠BAC=，又因为∠BAC是平行四边形的内角，所以∠BAC∈(0，π)，sin∠BAC=.9、已知空间内两直线l1：和l2：，则“l1⊥l2”是“m=—n=—2”的()．A、充分不必要条件B、充要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件标准答案：C知识点解析：由题意可知直线l1，l2的方向向量分别为s1=(2，m，—1)，s2=(n，3，—2)．若l1⊥l2，则有s1.s2=(2，m，—1).(n，3，—2)=2n+3m+2=0，无法推出m=—n=—2；若m=—n=—2，则s1=(2，—2，—1)，s2=(2，3，—2)，即s1.s2=0，所以l1⊥l2．综上所述“l1⊥l2”是“m=—n=—2”的必要不充分条件．二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)10、已知点P1=(x1，y1)，P2=(x2，y2)，O为坐标原点，若点P(x，y)分有向线段所成的比例为λ，即=_______(用表示)，x=_______，y=_______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：根据线段定比分点的向量公式可知，即(x，y)=.11、若x，y∈R，i，j是平面直角坐标系内x，y轴正方向上的单位向量，若向量a=(x+1)i+yj，b=(x—1)i+yj，且｜a｜+｜b｜=4，则点N(x，y)的轨迹方程是_______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：依题意可知点N(x，y)到F1(—1，0)，F2(1，0)距离之和为4，根据椭圆的定义可知N的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，且c=1，2a=4，所以b2=3，因此N的轨迹方程为.12、已知向量a=2i+2j—k，则与其方向相同的单位向量a′=________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：13、在平面直角坐标系中，已知两点A(1，2)，B(3，—1)，O为坐标原点，若点C(x，y)满足，其中λ+μ=1，则点C的轨迹方程是________．FORMTEXT标准答案：3x+2y—7=0知识点解析：由题，根据三点共线定理可知，A，B，C三点共线．因此点C的轨迹是A，B所在的直线，故点C的轨迹方程是y—2=，即3x+2y—7=0．14、已知空间内两个平面α：x—my+2z=4，β：—x+y—2z=1，若α与β的二面角的正切值为，则m=_______．FORMTEXT标准答案：3或知识点解析：依题意可知，α，β的一个法向量分别是n1=(1，—m，2)，n2=(—1，1，—2)．设α，β的二面角为θ，因为θ∈[0，π]，tanθ=，所以cosθ=—cos＜n1，n2＞=，即cos＜n1，n2＞=，解得m=3或m=.15、已知｜a｜=1，｜b｜=2，｜a—b｜=，则a与b的夹角为_______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：｜a—b｜2=(a—b)2=a2—2a.b+b2=1—2a.b+4=3，所以a.b=—1，故cos＜a，b＞=，所以a与b的夹角为．16、若向量m，n的夹角为60°，｜m｜=2，｜n｜=，则(m+2n)(m—n)=_________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：(m+2n)(m—n)=m2+m.n—2n2=｜m｜2+｜m｜｜n｜cos60°—2｜n｜2=4+2×—2×3=．17、已知向量a=2i+3j—k，b=—i+2j—2k，c=2ma—3nb，若c⊥x轴，则m=_______．(用n表示)FORMTEXT标准答案：知识点解析：依题意有c=2m(2i+3j—k)—3n(—i+2j—2k)=(4m+3n)i+(6m—6n)j—(2m—6n)k，取x轴单位方向向量e=(1，0，0)，因为c⊥x轴，所以c⊥e，即c.e=(4m+3n，6m—6n，—2m+6n).(1，0，0)=4m+3n=0，所以m=．三、解答题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)18、已知函数y=，如图过点M(0，—1)作斜率为k的直线l交该函数图像于A，B两点．若该函数曲线的焦点F与A，B，C三点按图中顺序连接成平行四边形，求点C的轨迹方程．标准答案：由题干可知，抛物线焦点坐标为F(0，1)，设A,B,C三点坐标分别为.因为F(0，1)，M(0，—1)，所以.又因为M、A、B三点共线，所以．所以，即x1x2(x1—x2)=4(x1—x2)．因为x1≠x2，所以x1x2=4．又因为四边形ACBF为平行四边形，所以，所以，所以y=.又因为x1=x—x2，即x=x1+x2，所以x2=4y+12．又因为y==1.所以点C的轨迹方程是y=—3(y＞1).知识点解析：暂无解析在正方体ABCD—A′B′C′D′中，=a．19、证明：AB′⊥CD′.标准答案：如图所示，建立空间直角坐标系．由图知A(a，0，0)，B′(a，a，a)，C(0，a，0)，D′(0，0，a)，所以=(0，a，a)，=(0，—a，a)，因为=0×0+a×(—a)+a×a=0，所以，即AB′⊥CD′．知识点解析：暂无解析20、求二面角D—A′C′—B的正切值．标准答案：设面DA′C′的法向量为，n1=(x1，y1，z1)，面BA′C′的法向量为n2=(x2，y2，z2)，二面角D—A′C′—B的平面角为α．由图知=(—a，a，0)，=(—a，0，—a)，因为n1⊥面DA′C′,所以.令z1=1，则x1=y1=—1，所以面DA′C′的一个法向量为，n1=(—1，—1，1)．同理可得面BA′C′的一个法向量为n2=(1，1，1)．所以cos1，n2>=.所以cosα=，所以tanα=.知识点解析：