4.1.1 n次方根与分数指数幂（6种题型分类基础练+能力提升练）-高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

第第页4.1.1n次方根与分数指数幂（6种题型分类基础练+能力提升练）【夯实基础】题型一：n次方根的概念问题1．已知a∈R，n∈N*，给出下列4个式子：①eq\r(6,－32n)；②eq\r(5,a2)；③eq\r(6,－52n＋1)；④eq\r(9,－a2)，其中无意义的有()A．1个B．2个C．3个 D．0个【答案】A【解析】①中(－3)2n>0，所以eq\r(6,－32n)有意义；②中根指数为5有意义；③中(－5)2n＋1<0，因此无意义；④中根指数为9，有意义．选A.2.(1)27的立方根是________．(2)已知x6＝2019，则x＝________.(3)若eq\r(4,x＋3)有意义，则实数x的取值范围为________．【答案】(1)3(2)±eq\r(6,2019)(3)[－3，＋∞)【解析】(1)27的立方根是3.(2)因为x6＝2019，所以x＝±eq\r(6,2019).(3)要使eq\r(4,x＋3)有意义，则需要x＋3≥0，即x≥－3.所以实数x的取值范围是[－3，＋∞)．题型二：利用根式的性质化简求值3．若eq\r(9a2－6a＋1)＝3a－1，求a的取值范围．【解析】∵eq\r(9a2－6a＋1)＝eq\r(3a－12)＝|3a－1|，由|3a－1|＝3a－1可知3a－1≥0，∴a≥eq\f(1,3).故a的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)).4.化简下列各式：(1)eq\r(5,－25)＋(eq\r(5,－2))5；(2)eq\r(6,－26)＋(eq\r(6,2))6；(3)eq\r(4,x＋24).【解析】(1)原式＝(－2)＋(－2)＝－4.(2)原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.(3)原式＝|x＋2|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2，x≥－2.,－x－2，x<－2.))题型三：有限制条件的根式的运算5.(1)若x<0，则x＋|x|＋eq\f(\r(x2),x)＝________.(2)若－3<x<3，求eq\r(x2－2x＋1)－eq\r(x2＋6x＋9)的值．[思路点拨](1)由x<0，先计算|x|及eq\r(x2)，再化简．(2)结合－3<x<3，开方、化简，再求值．(1)－1[∵x<0，∴|x|＝－x，eq\r(x2)＝|x|＝－x，∴x＋|x|＋eq\f(\r(x2),x)＝x－x－1＝－1.](2)[解]eq\r(x2－2x＋1)－eq\r(x2＋6x＋9)＝eq\r(x－12)－eq\r(x＋32)＝|x－1|－|x＋3|，当－3<x≤1时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2.当1<x<3时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4.因此，原式＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x－2，－3<x≤1，,－4，1<x<3.))题型四：根式与分数指数幂的互化6．将下列根式化成分数指数幂的形式：(1)eq\r(a\r(a))(a>0)；(2)eq\f(1,\r(3,x\r(5,x2)2))；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(4,beq\s\up15(－\f(2,3)))))eq\s\up25(－\f(2,3))(b>0)．[解](1)原式＝eq\r(a·aeq\s\up5(\f(1,2)))＝eq\r(aeq\s\up5(\f(3,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(aeq\s\up5(\f(3,2))))eq\s\up5(\f(1,2))＝aeq\s\up5(\f(3,4)).(2)原式＝eq\f(1,\r(3,x·xeq\s\up5(\f(2,5))2))＝eq\f(1,\r(3,x·xeq\s\up5(\f(4,5))))＝eq\f(1,\r(3,xeq\s\up5(\f(9,5))))＝eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xeq\s\up5(\f(9,5))))eq\s\up5(\f(1,3)))＝eq\f(1,xeq\s\up5(\f(3,5)))＝xeq\s\up15(－\f(3,5)).(3)原式＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(beq\s\up15(－\f(2,3))))eq\s\up5(\f(1,4))))eq\s\up15(－\f(2,3))＝beq\s\up15(－\f(2,3)×eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3))))＝beq\s\up5(\f(1,9)).7．将下列根式与分数指数幂进行互化：(1)a3·eq\r(3,a2)；(2)eq\r(a－4b2\r(3,ab2))(a>0，b>0)．[解](1)a3·eq\r(3,a2)＝a3·aeq\s\up5(\f(2,3))＝aeq\s\up15(3＋eq\f(2,3))＝aeq\s\up15(\f(11,3)).(2)eq\r(a－4b2\r(3,ab2))＝eq\r(a－4b2·ab2eq\s\up5(\f(1,3)))＝eq\r(a－4b2aeq\s\up5(\f(1,3))beq\s\up5(\f(2,3)))＝eq\r(aeq\s\up15(－\f(11,3))beq\s\up5(\f(8,3)))＝aeq\s\up15(－\f(11,6))beq\s\up5(\f(4,3)).题型五：利用分数指数幂的运算性质化简求解8．计算：(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】本题应用，为奇数，进行整理计算．（1）（2）9．计算：．【答案】.【分析】根据给定条件利用根式及指数运算法则计算作答.【详解】原式=.题型六：指数幂运算中的条件求值10.已知aeq\s\up5(\f(1,2))＋aeq\s\up5(－\f(1,2))＝4，求下列各式的值：(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.[思路点拨]eq\x(aeq\s\up5(\f(1,2))＋aeq\s\up2(eq\s\up5(－\f(1,2)))＝4)eq\o(→,\s\up15(两边平方))eq\x(得a＋a－1的值)eq\o(→,\s\up15(两边平方))eq\x(得a2＋a－2的值)[解](1)将aeq\s\up5(\f(1,2))＋aeq\s\up5(－\f(1,2))＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.(2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.11．（2022·全国·高一课时练习）（1）若，求的值；（2）已知，求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用立方差公式将分解为，结合已知即可求得答案;（2）将化为，化简并结合，可求得答案.【详解】（1），则．（2），且,．【能力提升】12．已知，则化为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故选B.13．已知10m＝2，10n＝4，则的值为()A．2 B． C． D．2【答案】B【解析】＝＝＝＝.答案：B14．下列根式与分数指数幂的互化，正确的是()A． B．C． D．【答案】C【解析】，故A错,，故B错,，故D错,选C15．（多选）若，则下列说法中正确的是（

）A．当为奇数时，的次方根为B．当为奇数时，的次方根为C．当为偶数时，的次方根为D．当为偶数时，的次方根为【答案】BD【分析】根据，讨论为奇数和为偶数两种情况，求出的次方根，即可判断得出结果.【详解】当为奇数时，的次方根只有1个，为；当为偶数时，由于，所以的次方根有2个，为.所以B，D说法是正确的.故选：BD.16．=______．【答案】【解析】．17．已知m=2，n=3，则[÷]3的值是______．【答案】【解析】m=n=3，则原式==m•n-3=2×3-3=;18．=______．【答案】【解析】，．故答案为：．19．求下列各式的值；(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】分析：（1）利用进行化简，求得答案；（2）先将式子和化成完全平方式，再化简，即得答案.（1）=．（2）原式=因为，所以，当，即时，当，即时，,所以.20.（1）计算：；（2）已知，求．【答案】（1）3；（2）.【分析】（1）根据指数幂的运算法则进行计算，求得答案；（2）先判断出，然后将平方后结合条件求得答案.【详解】（1）原式，．（2）由于，所以，，所以．21．（2022·江苏·高一）计算下列各式：(1).(2).(3)已知，求的值.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】(1)利用实数指数幂的运算法则直接计算作答.(2)利用实数指数幂的运算法则结合单项式的除法法则直接计算作答.(3)将给定等式两边平方直接计算即可作答.(1)原式.(2)原式.(3)因，两边平方得，所以.22．（2022·全国·高一课时练习）（1）已知，，且，用，表示；（2）已知，，求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先分母有理化，再利用完全平方公式得到的值，进而求解出结果.（2）通过除以法则，变为乘法，看出分子是立方差公式的逆用，进而约分，化为最简，再代入求值【详解】（1），因为，所以，所以．原式．（2）原式=．23．（1）化简：；（2）计算：.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）分和，结合指数幂的运算法则求解即可；（2）直接利用指数的幂运算及分母有理化求解即可.【详解】（1）由题中式子可知，当时，原式＝；当时，原