2024年初三中考第一次模拟考试试题：数学（广州卷）（全解全析）

2024年中考第一次模拟考试（广州卷）

数学•全解全析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项

中，只有一项符合题目要求的）

1.若-（-2）表示一个数的相反数，则这个数是（）

A.—B.—C.2D.-2

22

【答案】D

【分析】直接利用互为相反数的定义得出答案.

【详解】解：-（-2）=2,2的相反数是：-2.

故选：D.

【点睛】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题的关键.

2.由四个相同的小正方体搭建了一个几何体，从三个方向看到的它的形状图如图所示，

则这个几何体可能是（）

HzBz

从正面看从左面看从匕面野

【答案】A

【分析】结合三视图作出判断即可.

【详解】解：根据俯视图可以将B、C、D淘汰掉，

故选：A.

【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是能够弄懂三个视图分别

是从哪里看到的.

3.六位同学的年龄分别是13、14、15、14、14、15岁，关于这组数据，正确说法是（）

A.平均数是14B.中位数是14.5C.方差3D,众数是14

【答案】D

【分析】分别求出平均数、中位数、方差、众数后，进行判断即可.

【详解】解：A.六位同学的年龄的平均数为13+14+14：14+15+15=学,故选项错误，

66

不符合题意;

B.六位同学的年龄按照从小到大排列为：13、14、14、14、15、15,

中位数为三二=14,故选项错误，不符合题意；

2

„-s-Qpqa,上M1v七至斗，(13-----)~+3(14-----)2+2(15-----)~,+后、生丁百女处、口7

C.八位同子的年般的l方差为666_*,故选项锢误，不

6-36

符合题意;

D.六位同学的年龄中出现次数最多的是14,共出现3次，故众数为14,故选项正确,

符合题意.

故选：D.

【点睛】此题考查了平均数、中位数、方差、众数，熟练掌握平均数、中位数、方差、

众数的求法是解题的关键.

4.计算：(-4孑结果为()

A.-/B./C.D.as

【答案】A

【分析】利用嘉的乘方的法则及同底数幕的除法的法则对式子进行运算即可.

【详解】解：［-a2>)-a3=-a6-a3=-a9.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了同底数累的除法，累的乘方；解答的关键是对相应的运算法则

的掌握.

5.不等式组尤-：<’1的解集在数轴上表示正确的是()

【答案】D

【解析】解不等式组可得-2Wx<3,故选D.

6.如图，AABC是。。的内接三角形，N8OC=120。，则NA等于()

A.50°B.60°C.55°D.65°

【答案】B

【分析】由圆周角定理即可解答.

【详解】••,△A3C是。。的内接三角形，

・・・NA=gNBOC,

而N5OC=120。，

ZA=60°.

故选B.

【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练运用圆周角定理是解决问题的关键.

7.若无+y=1^/2021-^/2,贝IJ/+2孙+/的值为().

A.2B.2021C.-273D.8

【答案】B

【分析】先计算出的值，再利用完全平方公式对f+2孙+V进行分解，整体代入

求值即可得出结论.

【详解】解：闻T+及，-3,

x+y=-72021+V2+-V2021-V2=72021.

22

x2+2xy+y2=(x+y)2=(y/2021)2=2021.

故选：B.

【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，利用完全平方公式计算是解决问题的关键.

8.一次函数％=办+6与%=s+d的图象如图所示，下列选项正确的有()

①为随X的增大而减小；②函数>=灰+1的图象不经过第二象限；

(3)2。—2c=b—d；(4)a+Z?+c+d>0.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据图象和6>0,d<0即可判断①②；把

%=-2和x=l代入M=ox+b与％=s+d即可判断③④.

【详解】解：由图象可得：为随x的增大而减小，故①正确；

由图象可得：b>0,d<0,

y=Zzr+d经过一、三、四象限，故②正确；

当x=-2时，yt=-2a+b,y2=-2c+d,

由图象可得：当x=-2时，/=%，即-2a+b=-2c+d,故2a-2c=b-d,故③正确；

当x=l时，yx=a+b,y2=c+d,

由图象可得：当x=l时，血>|必|，M<。，

■>a+Z?>—c—d

a+b+c+d>0,故④正确；

正确的有①②③④，共4个，

故选：D.

9.在西线高铁工程中，某路段需铺轨.先由甲队独做2天后，再由乙队独做3天刚好完

成.已知乙队单独完成比甲队单独完成多用2天，求甲、乙队单独完成各需要多少天？

若设甲队单独完成需尤天，则所列方程正确的是（）

,23,^23,-32,_32,

A.—I-------=1B.—I--------=1C.—I---------=1D.—I---------=1

尤x+2x尤一2尤x+2尤尤一2

【答案】A

【分析】根据题意，列出分式方程即可.

【详解】解：若设甲队单独完成需工天，则乙工程队单独完成任务需（x+2）天，

23

则依题意得：-+-2-=1：

xx+2

故选：A.

【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系

是解决问题的关键.

10.一艘渔船从港口A沿北偏东60。方向航行60海里到达C处时突然发生故障，位于港

口A正东方向的B处的救援艇接到信号后，立即沿北偏东45。方向以40海里/小时的速

度前去救援，救援艇到达C处所用的时间为（）

4

C

北北

：［45X

AB

A.3小时B.2小时C.主叵小时D.述小时

2344

【答案】D

【分析】过点。作8,43,垂足为点。，先求出CO的长度，再根据勾股定理求出3C

的长度即可.

【详解】解：过点C作CDLAB,垂足为点八,

ACAD=90°-60°=30°,AC=60海里，

CD,AC=30海里，

2

ZCBD=90°-45°=45°,

BD=CD,

根据勾股定理得：BC=NBlf+CD?=300海里,

救援艇到达C处所用的时间为：型也=逑.

404

故选：D.

【点睛】本题主要考查了勾股定理、含有30。角的直角三角形，以及等腰直角三角形，

解题的关键是熟练掌握含有30。角的直角三角形，30。所对的边等于斜边的一半.

第二部分非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.向月球发射无线电波，无线电波到月球并返回地面需2.56s.已知无线电波每秒传

播3x105km,则地球和月球之间的距离约是km.

【答案】3.84xlO5

【分析】根据距离等于速度乘以时间进行计算即可.

【详解】解：3x105x等=3.84x105km；

故答案为：3.84xl05.

【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axlO"的形式,

其中1<|a|<10,〃为整数，表示时关键要正确确定。的值以及w的值.

12.已知点（^,乂）、（—1,%）、（2,%）都在函数'=-尤2+5的图象上，则%、必、%的大小

关系为.

【答案】

【分析】根据二次函数的解析式，得出图象的对称轴是y轴，再根据二次函数的性质，

得出图象开口向下，当尤<o时，y随尤的增大而增大，再根据二次函数的对称性和增减

性即可得到答案.本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解本题的

关键.

【详解】解：..'=*+5,

函数图象的对称轴是y轴，图象的开口向下，

.•.当x<0时，y随x的增大而增大，

♦.•点（2,%）关于对称轴的对称点的坐标是（-2,%）,且-1>-2>Y,

故答案为：

13.董永社区在创建全国卫生城市的活动中，随机检查本社区部分住户五月份某周内“垃

圾分类”的实施情况，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（A.小于5天；B.5

天；C.6天；D.7天），则本次抽样调查的样本容量是,扇形统计图B部分所

【分析】由条形图与扇形图的中关于A组的信息，可求得样本容量；相应的求得2组

的人数，进而求得扇形中圆心角的度数.

【详解】9+15%=60,

6

样本容量是60,

又•,60-9-21-12=18,

扇形统计图B部分所对应的扇形圆心角的度数是二x36(T=108。.

60

故答案为：60,108°

【点睛】本题考查条形图，扇形统计图；理解扇形图与条形图的信息联系是解题的关键.

14.如图，在中，ZA=90°,AB^12,AC=5,M、N、尸分别是边A3、

AC.BC上的动点，连接尸河、PN、MN,则+的最小值是.

【分析】由勾股定理，求出BC；当点M、N与点A重合，且点尸运动至时,

PM+ZW+MV值最小.

【详解】在R£ABC中，BC-=AB'+AC-

VAB=n,AC=5

：.BC=13

'：ZA=90°

当点M、N与点A重合，且点尸运动至APLBC时，PM+PN+MN值最小.

工(PM+PN+MN、.=2AP+0

\znnn

S/ALXAoRCr=—2xABxAC=2—xBCxAP

c60120

；.(PM+PN+MN}.=2x——=-----

\/min1313

故答案为：詈120

A(M>N)

B

【点睛】本题考查勾股定理，垂线短最短，解题的关键是掌握动点问题，垂线短最短.

15.如图，在ZkABC中，已知是AABC的角平分线，DE1AB,已知AB=4,AC

=2,AAB。的面积是2,则AAOC的面积为一.

【答案】1

【分析】先根据三角形面积公式计算出DE=1,再根据角平分线的性质得到点D到AB

和AC的距离相等，然后利用三角形的面积公式计算AAOC的面积.

【详解】DELAB,

■■SAABD=xDExAB=2,

,2x2

••DE=-----=1,

4

A£＞是AABC的角平分线，

•••点D到AB和AC的距离相等，

•••点D到AC的距离为1,

.,.SAADC=1X2X1=1.

故答案为：L

【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，属于

基础题，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键.

16.如图，在矩形ABCZ）中，ZDAB^ZB=ZC=ZD=9Q°,AD=BC,AB=CD=U.若点

E在线段BC±.,BE=5,EF±AE交CO于点F,ACEF沿EF折叠C落在C'处，当，AEC

为等腰三角形时，BC=.

【答案】18或15或21.9

【分析】分三种情况讨论：当C'E=AE时，当C'A=AE时，当C'A=C'E时，即可求解.

【详解】解：厂沿EP折叠C落在C'处，

8

:.C'E=CE,C'F=CF,?CEF1C,/EF,

VZB=90°,AB=CD=U,BE=5,

AE=VAS2+BE2=13，

当C£=AE时，CE=AE=13,

：.BC=BE+CE=18；

当C4=AE时，过点A作AGLC'E于点G,则C四=2EG,

•JAELEF,

；.?AECH?CEF7AEB?CEF907,

■:?CEF?dEF,

：.1AEC^?AEB,

:AE=AE=ZAGE=ZB=90°,

：.NABE@JAGE,

；.EG=BE=5,

：.C四=2EG=10,

ACE=10,

：.BC=BE+CE=15；

当C'A=C'E时，过点C'作C细人AE于点M,连接CC'交EP于点M连接AF,则AE=2ME,

CC连2CN,CC0AEF,

"：?EME?AEF?ENC90?,

四边形C姒EN是矩形，

:.ME=C烟,ME〃dN,

ACC^=AE,AE//C<t,

，四边形AECCC是平行四边形，

此时点C'落在AD上,AC^=CE,

：.Ct)=5,

设。P=x,则CF=CF=12-x,

•/DF2+Ci&2=CF2,

、1IO

d+5?=(12-x),解得：x=W7，

.U9„„169

..DnF=----,CF=-----,

2424

设CE=a,贝UAr>=BC=5+”，

•/AF2=AD2+DF2=AE2+EF2=AE2+CE2+CF2,

解得:47=16.9,

.\BC=21.9；

综上所述，BC=18或15或21.9.

故答案为：18或15或21.9

【点睛】本题主要考查了矩形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等

腰三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键.

三、解答题(本大题共9小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分4分)

解方程：(x+2)(x+3)=6

x

【答案】i=0,x2=—5

【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是化成一般式，再利用因式分解

法求解.

【详解】解：整理成一般式，得Y+5X=0,

.,.x(x+5)=0,

.•.x=0或x+5=0,

..X]—0,x?~—5,

18.(本小题满分4分)

如图，在AADF和ABCE中，点D、E、F、C在同一直线上，AF//BE,AF=BE,DE=CF.

求证：ZA=ZB.

10

c

【分析】欲证/A=/B,则证明两个角所在的两三角形全等即可.

【详解】解：证明：•.•AF〃BE,

.\ZAFD=ZBEC,

：DE=CF,

；.DE+EF=CF+EF,

；.DF=CE,

在ADAF和ACBE中,

AF=BE

NAFD=ZBEC,

DF=CE

AADAF^ACBE,

.\ZA=ZB.

【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和全等三角形的对应边相等；要牢固掌握并灵

活运用这些知识.

19.（本小题满分6分）

如图，ABC在平面坐标系内，三个顶点的坐标分别为4（0,2）,B（l,4）,C（3,l）.正

方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度

（1）先将..ABC向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到与G，请画出

△43。；

（2）将AABC绕原点O顺时针旋转90°,得到2c2,请画出△4鸟Q；

⑶并直接写出点GG的长度.

【答案】⑴见解析⑵见解析⑶石

【分析XI）先将ABC向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到△△耳G，

即画出△A^iG；

（2）分别画出点A、B、C三点绕原点。顺时针旋转90。的对应点儿、层、c2,再连

接右不、82c2、AC?即可.

（3）利用网格，由勾股定理求解即可.

【详解】（1）解：如图△AAG即为所作；

（3）解：CC=JF+22=后

【点睛】本题考查作图-平移变换、旋转变换，勾股定理，熟练掌握平移和旋转的性质、

12

勾股定理是解答本题的关键.

20.(本小题满分6分)

阅读材料：把代数式f-6》-7因式分解，可以如下分解：

2

元2-6x—7=%—6x+9—9—7

=(%-3)2-16

=(x-3+4)(%-3-4)

=(%+l)(x-7)

(1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式尤2-8X+7因式分解；

Y

(2)拓展：把代数式V+4孙-5y2因式分解得；当］=时，代数式

2

x+4盯一5y2=0.

【答案】⑴(x—l)(x—7)⑵(x+5y)(x—y)；1或一5

【分析】(1)根据题目中给出的方法分解因式即可；

(2)先将1+4盯-5y2分解因式得出f+4盯-5y2=(%+5y)(x-y),根据

炉+4呼一5y2=0得出尤+5y=。或x-y=。，求出1的值即可.

【详解】⑴解：尤2一8尤+7

=x~—8x+16—16+7

=(X-4)2-9

=(x-4+3)(^-4-3)

=(x-l)(%-7)；

(2)解：x2+4孙一5y之

=x2+4xy+4y2-4y2-5y2

=(x+2y)2-9y2

=(x+2y+3yX%+2y-3y)

=(x+5y)(x-y)；

Vx1+4xy-5y2=(x+5y)(x—y),

.,•当x+5y=0或x—y=0时，x2+4xy-5y2=0,

%=-5丁或尤=丁时，x2+4xy-5y2=0,

YY

22

二一=一5或一=1时，x+4xy-5y=0.

yy

故答案为：（尤+5y）（尤-y）；1或-5.

【点睛】本题主要考查了因式分解，因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方

公式a2±2ab+b2=（a±6）~和平方差公式=（a+6）（a—6）.

21.（本小题满分8分）

如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积相等，分别标有

数字1,2,3.小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数

字;接着小丽再转动转盘一次，当转盘停止转动时,再次记录下指针所指扇形中的数字.

（1）求这两个数字之和是偶数的概率（用画树状图或列表等方法求解）.

（2）小明和小丽做游戏，游戏规则：两个数字之和是偶数，则小明获胜，否则小丽获

胜.这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平请你修改游戏规则，使游戏

公平.

【答案】⑴（2）不公平，修改规则见解析

【分析】（1）根据题意列表得出所有等可能的情况数，得出这两个数字之和是偶数的情

况数，再根据概率公式即可得出答案；

（2）根据两人获胜的概率判断是否公平，再依照两人获胜概率相等修改规则.

【详解】解：（1）列表如下：

123

1(1,1)(2,1)(3,1)

2(1，2)(2,2)(3,2)

3(1,3)(2,3)(3,3)

由表可知，所有等可能的情况数为9种，其中这两个数字之和是偶数的有5种,

两个数字之和是偶数的概率为|；

14

(2)不公平，小明获胜的概率为］5，小丽获胜的概率为4

修改规则如下：

两个数字之和小于4,则小明获胜，两个数字之和大于4,小丽获胜.

【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率和游戏公平性的判断，判断游戏公平性就

要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平.

22.(本小题满分10分)

如图，在平面直角坐标系中，正方形A3CD的顶点A的坐标为(-4,8),对角线ACLx轴

于点C,点。在y轴上.

(1)求点B的坐标；

(2)求直线的解析式.

【答案】(1)点2的坐标为(-8,4)；(2)直线A3的解析式为y=x+12.

【分析】⑴由正方形的性质可以得到对角线之间的关系如=心阵-C进而得

到坐标;

(2)已知两点坐标，用待定系数法求直线解析式.

【详解】解：(1)如图，连接8D，过点2作轴，点E为垂足,

•.•四边形ABCD是正方形,

二8Z)=AC=8,BE=-AC^4,

2

故点8的坐标为(-8,4)；

(2)设直线A3的解析式为＞=履+6,

—8左+。=4,k=l

则Y左+6=8'解得

6=12

故直线AB的解析式为y=x+11.

【点睛】本题考查了正方形的性质、坐标的表示、待定系数法求一次函数解析式，难度

不大.

23.(本小题满分10分)

如图，在AABC中，ZABC=90°,过点8作于点D

A

(1)尺规作图，作边BC的垂直平分线，交边AC于点E.

(2)若A。：BD=3：4,求sinC的值.

(3)已知BC=10,BD=6.若点尸为平面内任意一动点，且保持/BPC=90。，求线段

AP的最大值.

【答案】(1)答案见解析

-I

⑶地1+5

2

【分析】(1)根据尺规作图方法按步骤完成即可；

(2)由同角的余角相等可得在RfAABr)中，求出的值，从而

得出答案；

(3)由条件可得，点P的轨迹是以2C为直径的圆上，所以当AP过圆心时距离最大,

16

用勾股定理求出线段即可.

【详解】（1）解：作图如下:

(2)VZABC=ZBDC=90°f

：.ZABD+ZCBD=90°,ZCBD+ZC=90°,

・•・ZABD=ZC,

在放△A3。中，AD：BD=3：4,

：.AB：AD=3:5,

Ar)Q

・•・sinZC=sin/ABD=——=—.

AB5

(3)如图，点尸在BC为直径的圆上，。为圆心，当A、尸、0三点共线时，AP最大,

VBC=10,BD=6,

：.CD=S9

•：△ABDs^BCD,

9

BD2=ADCD,62=8A£>,解得AD=3,

在心△ABO中，AB=—,

2

VBC=10,

：.BO=OP=5,

在R3ABO中,AO=^IAB2+OB2

2

AP=AO+OP=+5,

2

故答案为：也+5.

2

A

【点睛】本题考查尺规作图，三角函数，动点最值问题，找准动点的轨迹是解题的关键.

24.（本小题满分12分）

如图①，已知点。，N在同一直线上，OB,0C分别是/AQ0与NAON的平分线,

（2）猜想BC与MN的位置关系，并证明你的结论：

（3）如图②，以MN为x轴，点。为坐标原点建立直角坐标系，点A（l,2&）在反比例

函数y=A的图象上，矩形ACQ5中有两个点恰好落在该反比例函数图象上，分别求出

X

点5,点。的坐标.

【答案】（1）见解析；（2）BC//MN,理由见解析；（3）8（-1,忘），C（2,V2）.

【分析】（1）通过证明四边形AC03中有三个直角，即可证明四边形AC03是矩形；

（2）如图，根据四边形AC03是矩形，得到EB=EO,进而得N1=N3,再根据

4=NBOM,得至=即可得到〃祢V；

（3）如图，先利用待定系数法求得反比例函数y=述.再利用坐标的特点以及矩形

X

性质，即可B,点C的坐标.

【详解】（1）证明：如图，

18

A

,：OB,OC分别平分NAOM,ZAON,

Z1=-ZAOM,Z2=-ZAON,

22

ZAOM+ZAON=180。，

Zl+Z2=1(ZAOM+NAON)

=-xl80°

2

=90°,

即/3OC=90°.

又：AB_LO3,ACLOC,

：.ZABO=ZACO=ZBOC=90°,

四边形ACOB是矩形.

(2)BC与MV的位置关系：BC//MN.

证明：如图，

•••四边形ACOB是矩形,

EB=EO,

：.Zl=Z3,

又：N1=NBOM,

Z3=NBOM,

：.BC//MN.

,/点A(l,20)在反比例函数y=人的图象上，

X

=1x2点=2应，

反比例函数y二速.

X

分别作AF_LMN,EG1MN,

又,「E为。4的中点，

.OGEGOE

••方一万一OA~21

E(g,0),

,/BC//MN.

...点B,C,E的纵坐标相同，

设8(0,虚)，C(b$).

:点C位于第一象限，

...点C与A在反比例函数y=2包的图象上,

X

,s[2b=25/2，

：.b=2,

：.。(2,也)，

又：EC=BE,

・・a=11,

【点睛】本题考查函数与四边形的综合性题目，能利用数形结合的方式是解答此题的关

键.

25.(本小题满分12分)

如图，在正方形ABCD中，线段C。绕点C逆时针旋转到CE处，旋转角为点尸在

直线。£上，且AD=AF,连接

20

ADAD

图1图2

（1）如图1,当0。＜a＜90。时，

①求/A4F的大小（用