空间几何体的表面积与体积-2024高考数学复习含解析

专题10空间几何体的表面积与体积-2024高考数学（全国通用）

含解析专题10空间几何体的表面积与体积

考向一空间几何体的体积

【母题来源】2022年高考全国甲卷（理科）

【母题题文】如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1,则该多面体的体

积为（）

A.8B.12C.16D.20

【答案】B

【试题解析】由三视图还原几何体，如图,

则该直四棱柱的体积V=——x2x2=12.故选：B.

2

【命题意图】本题考查由三视图还原几何体，再由棱柱的体积公式即可得解.

【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空和解答题的形式出现.试题难度不大，多为中档题,

主要考查学生的空间想象能力，是历年高考的热点.

常见的命题角度有:

（1）空间几何体的三视图；（2）空间几何体的表面积；（3）空间几何体的体积;

【得分要点】

（1）根据三视图正确还原立体图形；

（2）由空间几何体的表面积、体积公式求解;

考向二空间几何体的表面积

【母题来源】2022年高考全国II卷

【母题题文】已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3相和4坞，其顶点都在同一球面上，则该

球的表面积为（）

A.10071B.12871C.14471D.19271

【答案】A

回题国圈

【试题解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径大2,所以=3^,2r,=必也一，即=3仍=4,

1sin602sin60

设球心到上下底面的距离分别为4,球的半径为R,所以&=奴_9,4=,火2—16,故&|=1

或4+4=1,即,火2_9_,火2_]6=1或收—9+收16=1，解得氏2=25符合题意，所以球的

表面积为S=4nR2=100兀.

故选：A.

【命题意图】本题考查求出正三棱台上下底面所在圆面的半径小马，再根据球心距，圆面半径，以及球的

半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积.

【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空和解答题的形式出现.试题难度不大，多为中档题,

主要考查学生的空间想象能力，是历年高考的热点.

常见的命题角度有：

（1）空间几何体的外接球表面积；（2）空间几何体的外接球体积；

【得分要点】

（1）找到空间几何体外接球半径的求法；

（2）正确写出球的表面积、体积公式;

一、单选题

1.（2022•浙江湖州•模拟预测）如图，某多面体的体积是其三视图如图所示，则正视图中的高。=（）

2-------h<-11

A.1B.-C.—D.—

432

2.（2022・湖北•模拟预测）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面

为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，若某直角圆锥内接于一球（圆锥的顶点和底面上各点均在该球面上）,

求此圆锥侧面积和球表面积之比（）

A.在B.且C.0D.互

424万

3.（2022•浙江•三模）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单位：cn?）是（）

1

及1小10及1小1

正视图侧视图

俯视图

37

A.—B.2C.3D.一

22

4.（2022•内蒙古・乌兰浩特一中模拟预测（文））已知三棱锥S-ABC的四个顶点都在球。的球面上

SA=SB=SC=M,ABC是边长为6的正三角形，则球。的表面积等于（）

64%口100/r

A4.-----C.16%D.36»

99

5.（2022•青海・海东市第一中学模拟预测（理））设一圆锥的侧面积是其底面积的3倍，则该圆锥的高与母

线长的比值为（

B.半V6

ArD

-I3-1

6.（2022・青海・海东市第一中学模拟预测（理））已知四棱锥中，R4,平面底面ABC。是

矩形，AD=3AB=3PA,若四棱锥尸-ABC。外接球的表面积为11万，则四棱锥尸-ABC。的体积为（）

A.3B.2C.屈D.1

7.（2022•全国•模拟预测（文））在三棱锥A-BCD中，AB,AC,AD两两垂直，AB=AC=AD=2,若

球与三棱锥各棱均相切，则该球的表面积为（）

A.4%B.8〃C.（24-160）71D.-32J2）万

8.（2022•北京二中模拟预测）如图所示，一套组合玩具需在一半径为3的球外罩上一个倒置圆锥，则圆锥

）

B.407rC.847rD.72万

9.（2022•四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知正四棱锥的侧棱长为正，底面边长为2,则该四棱

锥的内切球的体积为（）

A.递B.C.—D.4石

3273

10.（2022•河南安阳•模拟预测（理））已知球。的体积为不，高为1的圆锥内接于球O,经过圆锥顶点

6

的平面a截球。和圆锥所得的截面面积分别为S”Sz，若岳=2不5K，则邑=（）

O

A.2B.乖C.76D.2近

二、填空题

11.（2022.上海奉贤.二模）若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3,3,2的三角形，则该圆锥的表面积

是.

3

12.（2022•青海海东市第一中学模拟预测（理））己知在三棱锥P—A8C中，必=4,BC=2娓,PB=PC

=3,24,平面P2C,则三棱锥P—4BC的外接球的表面积是.

13.（2022•江西・赣州市第三中学模拟预测（理））已知正四面体A-BCD内接于半径为地的球。中，在平

2

面3CD内有一动点尸，且满足AP=40,贝”8尸1的最小值_____________.

14.（2022•甘肃学模拟预测（理））如图，在矩形A2C。中，AD=2AB=4,E是的中点，

将，分别沿BE,CE折起,使得平面平面BCE,平面CDE，平面BCE,则所得几何体ABCDE

的外接球的体积为.

15.（2022•辽宁实验中学模拟预测）中国古代的“牟合方盖”可以看作是两个圆柱垂直相交的公共部分，计算

其体积所用的“暴势即同，则积不容异”是中国古代数学的研究成果，根据此原理，取牟合方盖的一半，其体

积等于与其同底等高的正四棱柱中，去掉一个同底等高的正四棱锥之后剩余部分的体积（如图1所示）.现

将三个直径为4的圆柱放于同一水平面上，三个圆柱的轴所在的直线两两成角都相等，三个圆柱的公共部

分为如图2所示的几何体，该几何体中间截面三角形边长为述，则该几何体的体积为.

3

图1图2

专题10空间几何体的表面积与体积

考向一空间几何体的体积

【母题来源】2022年高考全国甲卷（理科）

【母题题文】如图,网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1,

A.8B.12C.16D.20

【答案】B

固题国回

【试题解析】由三视图还原几何体，如图,

2+4

——x2x2=12.故选：B.

2

【命题意图】本题考查由三视图还原几何体,再由棱柱的体积公式即可得解.

【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空和解答题的形式出现.试题难度不大,

多为中档题，主要考查学生的空间想象能力，是历年高考的热点.

常见的命题角度有:

（1）空间几何体的三视图；（2）空间几何体的表面积；（3）空间几何体的体积;

【得分要点】

（1）根据三视图正确还原立体图形;

（2）由空间几何体的表面积、体积公式求解;

考向二空间几何体的表面积

闿题昌

【母题来源】2022年高考全国II卷

【母题题文】已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为和46，其顶点都在同

一球面上，则该球的表面积为（）

A.lOChiB.12871C.14471D.19271

【答案】A

固题国回

【试题解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径4，4,所以26=小目一，

sin60sin60

即4=3,々=4,设球心到上下底面的距离分别为4，%,球的半径为A,所以4=可炉―9，

4=找_16,故|4—4|=1或4+4=1,即收―9—&2-16=1或

JR2_9+JR2_16=I，解得氏2=25符合题意，所以球的表面积为S=4兀火2=1007r.

故选：A.

【命题意图】本题考查求出正三棱台上下底面所在圆面的半径？弓，再根据球心距，圆面

半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积.

【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空和解答题的形式出现.试题难度不大,

多为中档题，主要考查学生的空间想象能力，是历年高考的热点.

常见的命题角度有：

（1）空间几何体的外接球表面积；（2）空间几何体的外接球体积；

【得分要点】

（1）找到空间几何体外接球半径的求法；

（2）正确写出球的表面积、体积公式；

一、单选题

1.（2022•浙江湖州•模拟预测）如图，某多面体的体积是其三视图如图所示，则正视图

中的高。二（）

2h<-]Al<]—>H

侧（左）视图

A.1B-1c-1D-I

【答案】B

【解析】

【分析】

由三视图还原出原几何体，确定其结构,然后根据体积公式计算可得.

【详解】

由三视图还原出原几何体为三棱锥，如图所示,

1113

结合三视图得该三棱锥体积为：V=-x-x2x2xa=-,所以

3224

故选：B.

2.（2022・湖北•模拟预测）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一

卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，若某直角圆锥内接于一球（圆锥的顶点

和底面上各点均在该球面上），求此圆锥侧面积和球表面积之比（）

A.克B.变C.V2D.正

424万

【答案】A

【解析】

【分析】

设直角圆锥底面半径为厂，则其侧棱为再求出顶点到底面的距离，分析出球心，进而

得到外接球半径，再利用公式求解即可

【详解】

设直角圆锥底面半径为,，则其侧棱为四厂,

所以顶点到底面圆圆心的距离为：J/J

所以底面圆的圆心即为外接球的球心，所以外接球半径为乙

故选：A.

3.（2022・浙江•三模）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单位:

cn?）是（）

正视图侧视图

俯视图

【答案】C

【解析】

【分析】

从三视图可以得到直观图为直六棱柱，分别求出直六棱柱的底面积和高，由体积公式即可得

出答案.

【详解】

从三视图可以得到直观图为直六棱柱，如图所示，

在俯视图中，可以求出底面积为S=2x/xlxl+0x点=3,从正视图和侧视图可知直六棱

柱的高为1，所以该几何体的体积是V=3xl=3.

故选：C.

4.（2022•内蒙古・乌兰浩特一中模拟预测（文））已知三棱锥S-ABC的四个顶点都在球。的

球面上&4=SB=SC=M,ABC是边长为君的正三角形，则球。的表面积等于（）

64%「100〃

A.-----B.------C.16万D.367r

99

【答案】B

【解析】

【分析】

直接利用外接球和三棱锥的关系求出球的半径，计算即可.

【详解】

已知三棱锥S-ABC的四个顶点都在球。的球面上，SA=SB=SC=VlO,ABC是边长为百

的正三角形，如图所示：

取BC的中点。，点”为底面的中心，所以/?£）=一—,AZ）=,AH=AD=1,

223

设外接球的半径为R,所以阳=-1=3,

利用勾股定理可得，改=（3一&2+『,解得R=g.

则球。的表面积为s=4乃R2=若.

故选：B.

5.（2022・青海・海东市第一中学模拟预测（理））设一圆锥的侧面积是其底面积的3倍，则该

圆锥的高与母线长的比值为（）

A.§B.逑C.@D.2

9333

【答案】B

【解析】

【分析】

设圆锥的底面半径为r,母线长为/,高为〃，求得圆锥的侧面积和底面积，即可得出母线长

和半径的关系，然后利用勾股定理即可求解.

【详解】

设圆锥的底面半径为r,母线长为/,高为〃，由题意得万〃=3万

解得/=3r,又尸=产+外，则九=2也『，、当.

故选：B.

6.（2022.青海•海东市第一中学模拟预测（理））已知四棱锥P-4BCD中，上4,平面

底面ABC。是矩形，AD^3AB=3PA,若四棱锥P-ABC。外接球的表面积为11%,则四棱

锥P-ABCD的体积为（）

A.3B.2C.y/2D.1

【答案】D

【解析】

【分析】

若外接球的半径为R，由外接球体积可得4&=11，补全四棱锥为长方体，结合长方体外接

球直径与体对角线关系及已知各棱的数量关系求棱长，最后由棱锥体积公式求体积.

【详解】

设四棱锥P48CD外接球的半径为R,则4万4=11%,即4R2=II.

由题意，易知PC2=4R2,得PC=JTT，

设AB=x,得-^%2+9%2+%2=11，解得x=l>

所以四棱锥P-ABCD的体积为:xlx3xl=l.

故选：D

7.（2022・全国•模拟预测（文））在三棱锥A-BCD中，AB,AC,AO两两垂直，

AB=AC=AD^2,若球与三棱锥各棱均相切，则该球的表面积为（）

A.4TB.8万C.（24—160）万D.（48-32夜）万

【答案】D

【解析】

【分析】

以A为原点，AB,AZ）,AC分别为无、y、z轴正方向建立空间直角坐标系用坐标法求出球心

和半径，即可求出球的表面积.

【详解】

如图示，以A为原点，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.

则4（0,0,0）,3（2,0,0）,C（0,0,2）,D（0,2,0）.

设与三棱锥各棱均相切的球的球心为O（x,%z）,半径为r,过。作。。/上面ABD于Ch,则

Q（x,j,0）.

x+y-2|

在底面A3。中，即平面尤oy内，直线BO方程为：尤+>=2,a（x,y）,所以0月=

（龙+y-2）

所以r=0//2=00]2+。]/2,即+z2=r20.

过。作OE_LA8于E,过。作OP_LAC于凡过。作OG_LA。于G,过。作OiHLDB于

H.

由。/=。/得：x2+y2=r2@.

同理可得：f+z2=/③，y+z2=产④.

②③④联立可得x=N=z.

x=2-V2

y=2-y/2

把x=y=z与①联立，解得:

z=2-V2

r2=12-85/2

所以该球的表面积为4勿2=4万（12-8五）=（48-320卜.

故选：D

8.（2022•北京二中模拟预测）如图所示，一套组合玩具需在一半径为3的球外罩上一个倒

置圆锥，则圆锥体积的最小值为（）

【答案】D

【解析】

【分析】

设母线与底面的夹角2a,底面半径R,内切球半径厂=3,圆锥的高〃用a表示衣,/,,求出

圆锥的体积V的表达式，利用基本不等式求出

【详解】

解：设母线与底面的夹角2a,底面半径R,内切球半径/'=3,圆锥的高〃，

贝!J:R=--------------,h=R•tan2a=---------tan2a=---------—,

tanatancrtana1-tana

圆锥的体积万工

33ItanaJ1-tana

二18%x-----------------------,

(tana)(l-tana)

而0。＜2。＜90。，0。V&＜45。，所以OvtanaVl,l—tan2a＞。又因为：tan2a+(l-tan2«)=1

值

所以(tan2«)(l-tan2«)＜,

当且仅当tar?or=1-tan2or,即tantz=R^时，所以172T.

o—x—

222

故选：D.

9.(2022•四川省内江市第六中学模拟预测(理))已知正四棱锥的侧棱长为石，底面边长

为2,则该四棱锥的内切球的体积为()

A.史B.C.—D.4小

3273

【答案】B

【解析】

【分析】

求得四棱锥的高和斜高，利用等体积法求得内切球的半径，即可求得其体积.

【详解】

如图，设。为正四棱锥的底面中心，E为BC的中点，连接,PO0EPE,

则P。为四棱锥的高，尸£为侧面三角形P2C的高，

因为2。=2,23=如，故PE=后1=2，则==6,

设该四棱锥的内切球的半径为r,

则2,，ABCD'P。=](SABCD+4SPBC)r，

§P-x4x^=-(4+4x-x2x2)xr,解得厂=在，

3323

故内切球的体积为V=3TTX(无y=也，

3327

故选：B

10.(2022.河南安阳•模拟预测(理))已知球。的体积为空型，高为1的圆锥内接于球。,

6

经过圆锥顶点的平面a截球。和圆锥所得的截面面积分别为H.S',若岳=25号71，则邑=

O

()

A.2B.75C.76D.2A/2

【答案】C

【解析】

【分析】

根据给定条件，求出球。半径，平面a截球。所得截面小圆半径，圆锥底面圆半径，再求

出平面。截圆锥所得的截面等腰三角形底边长及高即可计算作答.

【详解】

47r1^7STTS

球。半径为R,由—R3=产得R=三，平面0截球。所得截面小圆半径*由

362

因此，球心。到平面a的距离"==3万=4,而球心。在圆锥的轴上,则圆锥的

轴与平面a所成的角为45，

3

因圆锥的高为1,则球心。到圆锥底面圆的距离为4=；,于是得圆锥底面圆半径

=2,

令平面a截圆锥所得截面为等腰△PA3，线段AB为圆锥底面圆。］的弦，点C为弦中点,

如图,

依题意，ZCPO1=45,CO,=PO,=1,pc=V2，弦AB=2J＜一OQ=2石,

所以$2=；4"尸0=指.

故选：C

【点睛】

关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小

圆性质求解.

二、填空题

11.（2022.上海奉贤.二模）若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3,3,2的三角形，则

该圆锥的表面积是.

【答案】4兀

【解析】

【分析】

根据给定的主视图求出圆锥底面圆半径，再利用圆锥表面积公式计算作答.

【详解】

依题意，如图，圆锥母线长/=3,底面圆半径r=1,

所以圆锥表面积S=itrl+itr2=7ixlx3+7rxl2=4n.

故答案为：4兀

12.（2022•青海・海东市第一中学模拟预测（理））已知在三棱锥P—ABC中，以=4,BC=2a,

PB=PC=3,上4,平面P8C,则三棱锥尸一A8C的外接球的表面积是.

【答案】437t

【解析】

【分析】

利用空间点、线、面的位置关系，根据三棱锥的特点计算其外接球的半径.

【详解】

在等腰中，易知cosNPBC=逅，所以sinNPBC=走，的外接圆的半径为

33

，小二苧，所以三棱锥PT2C的外接球的半径为

所以其表面积为4兀代

故答案为：43兀

13.（2022•江西・赣州市第三中学模拟预测（理））已知正四面体A-BCD内接于半径为炖

2

的球0中，在平面BCD内有一动点P,且满足AP=4应，则1成1的最小值_____________.

【答案】2指-2四

【解析】

【分析】

先根据外接球的半径为乎求得正四面体的棱长，再由PE=jA产-AE?=20，得到点P

的轨迹为平面8C。内以E为圆心，以272为半径的圆求解.

【详解】

解：如图所示：

点A在面8CQ上的投影为E,设正四面体的棱长为x,

设外接球的半径为R,球心为。，由题意知，点。在AE上，

则龙=2xxx也=亚羽/£=>JAB2-BE2=—x,

3233

又R。=BE2+（AE-R『,

解得尤=6,

所以庞=2点AE=2瓜,

贝UPE=NAP2-AE?=272，

所以点尸的轨迹为平面BC。内以E为圆心，以2及为半径的圆，

当8,P,