陕西省西安市2024届高三年级下册模拟考试（七）文科数学试题（含答案解析）

陕西省西安市西安中学2024届高三下学期模拟考试（七）文科

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合4={-1,2},3={x|依+2=0},若Au3=A,则实数。的取值所组成的集合是

（）

A.{-1,2}B.{-1,1}C.{-2,0,1}D.{-1,0,2}

2.函数f（x）=lnx+2x-6的零点所在的区间是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

3.已知直线/1:2x+ay+2=0与直线右：（aT）x+3y+2=0平行，则"=（）

A.3B.-2C.—2或3D.5

4.天气预报显示，在今后的三天中，每一天下雨的概率为40%,现用随机模拟的方法估计

这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0-9之间整数值的随机数，并制定用1,

2,3,4表示下雨，用5,6,7,8,9,0表示不下雨，再以每3个随机数作为一组，代表

三天的天气情况，产生了如下20组随机数

907966191925271932812458569683

431257393027556488730113537989

则这三天中恰有两天下雨的概率近似为

A.-B.-C.—D.-

34155

5.在空间中，已知命题P：_ABC的三个顶点到平面a的距离相等且不为零，命题①平面a

〃平面ABC,则p是q的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.已知关于x的方程（N+mx）+2xi=-2—2i（m^R）有实数根九，且z=?n+〃i,则复

数z等于（）

A.3+iB.3-i

C.-3—iD.-3+i

7.过点尸（0,1）且与抛物线V=2x有且只有1个公共点的直线条数为（）

A.0B.1C.2D.3

8.在正方体ABC。-$耳中，M,N分别是A氏B用的中点，则直线与平面ABC所

成角的余弦值为

A.立B.变C."D.-

2233

9.等差数列｛4｝的前项”和为S,,且%eN*,数列｛2｝为等比数列，则下列说法错误的选

项是（）

A.数列｛2%｝一定是等比数列B.数列｛%｝一定是等比数列

C.数列一定是等差数列D.数歹£4+。用｝一定是等比数列

10.已知直线/的斜率为2,/与曲线G：y=x（l+lnx）和圆Cz：f+y2-6x+"=o均相切，

贝I］〃=（）

A.-4B.-1C.1D.4

11.某同学掷骰子5次，记录了每次骰子出现的点数，则从以下情况中可以判断出这组数据

一定没有出现点数6的是（）

A.平均数为3,中位数为2B.中位数为3,众数为2

C.中位数为3,方差为2.8D.平均数为2,方差为2.4

12.已知〃到=1-232（3+。（0>0）.给出下列说法，其中，正确的说法的个数为（）

①若/（见）=1，/（%）=T，且|再一/L=兀,则0=2；

②存在。e（0,2）,使得的图像右移千个单位长度后得到的图像关于，轴对称；

「4147、

③若“X）在［0,2兀］上恰有7个零点，则。的取值范围为—；

L2424）

④若/（X）在上单调递增，则°的取值范围为.

L64」13」

A.1B.2C.3D.4

二、填空题

试卷第2页，共6页

13.已知向量£,6满足a=（l,l）,a+2b=（3,—1）,则向量〃与6的夹角为.

14.下列式子:

F=(1x1)2,

13+23+33=(2X3)2,

13+23+33+43+53=(3x5)2,...

99---------------------------------------------

由此可推得，=Jr+23+33++993的值为

15.若直线27汽+〃丫-4=。（〃7＞0,〃＞。）过函数＞=108.0-1）+2（。＞0,且的定点T,

则Kn24的最小值为.

mn

22

16.过双曲线=1（。＞01＞0）的左焦点尸且垂直于无轴的直线与双曲线交于A,B两

ab

点，过A,2分别作双曲线的同一条渐近线的垂线，垂足分别为P,Q.若|PQ|=26,则双

曲线的离心率为

三、解答题

17.如图，在平面四边形ABQ）中，AB//CD,AD-sinD=V3AC-cosZACD,NB4C的角

平分线与3c相交于点E,且AE=1,AB=豆.

⑴求/A8的大小；

⑵求BC的值.

18.如图1,在梯形ABCD中，AD//BC,BE1AD^E,^.DE=2BC=2BE,将梯形A5cD

沿BE折叠成如图2所示的几何体，/4££＞=60。，/为4£1的中点.

A

⑴证明：M〃平面ACD；

（2）《九章算术》中将四个面均为直角三角形的三棱锥称为“鳖膈”，若图1中AD=6且

sinA+cosA='J2,判断三棱锥A-BDE是否为“鳖IM”,并说明理由.

19.“碳达峰”“碳中和”成为今年全国两会热词，被首次写入政府工作报告.碳达峰就是二氧化

碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；碳中和是指在一定时间内直接或间接产生

的温室气体排放总量通过植树造林、节能减排等方式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，

实现二氧化碳“零排放”.2020年9月，中国向世界宣布了2030年前实现碳达峰，2060年前

实现碳中和的目标.某城市计划通过绿色能源（光伏、风电、核能）替代煤电能源，智慧交通，大

力发展新能源汽车以及植树造林置换大气中的二氧化碳实现碳中和.该城市某研究机构统计

了若干汽车5年内所行驶的里程数（万千米）的频率分布直方图，如图.

数/万千米

（1）求。的值及汽车5年内所行驶里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代

表）.

（2）据“碳中和罗盘”显示：一辆汽车每年行驶1万千米的排碳量需要近200棵树用1年时

间来吸收.根据频率分布直方图，该城市每一辆汽车平均需要多少棵树才能够达到“碳中

和”？

试卷第4页，共6页

（3）该城市为了减少碳排量，计划大力推动新能源汽车，关于车主购买汽车时是否考虑对

大气污染的因素，对300名车主进行了调查，这些车主中新能源汽车车主占二，且这些车主

在购车时考虑大气污染因素的占20%，燃油汽车车主在购车时考虑大气污染因素的占10%.

根据以上统计情况，补全下面2x2列联表，并回答是否有99%的把握认为购买新能源汽车与

考虑大气污染有关.

考虑大气污染没考虑大气污染合计

新能源汽车车主

燃油汽车车主

合计

n{ad-be)2

附：K°=其中〃=a+b+c+d.

(〃+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

2

P(K..k0)0.100.0250.0100.0050.001

上02.7065.0246.6357.87910.828

20.已知函数/（%）=111%+旦一%—2。+1.

（1）若。=-2,求函数1工）的单调区间；

（2）若函数兀0有两个极值点打，X2,求证■（尤2）<。.

22

21.平面直角坐标系中，过椭圆M,=+4=1（a>8>0）右焦点的直线

ab

x+y-若=0交M于A,B两点,尸为A3的中点，且0P的斜率为;.

（I）求椭圆加的方程；

（II）C,。为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CDLAB,求四边形AC3。面积

的最大值.

\x=t+2

22.平面直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为为参数），以坐标原点。为

[y=T+4

极点，尤轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C?的极坐标方程为"（2一cos20）=3.

（1）求曲线C1的普通方程与C2的直角坐标方程;

（2）求C之上的动点到G距离的取值范围.

23.若关于x的不等式\x+m\„n的解集为[-6,2].

（1）求实数m,n的值；

（2）若实数y,z满足|〃?y+z|<g,|y-nz|<1,求证：Iz|<^.

试卷第6页，共6页

参考答案:

1.D

【分析】AuB=A等价于3。人，分。=0、〃工0两种情况讨论，从而可得答案.

【详解】QA<JB=A,:.B^A.

当。=0时，5为空集，满足条件.

当a/0时，—a+2=0或2。+2=0,解得a=2或a=—1.

综上可得，实数。的取值所组成的集合是｛0,2,-1）.

故选：D.

【点睛】本题主要考查集合的表示方法，空集的定义，以及并集与子集的定义，属于基础题.

2.C

【分析】先判断函数单调性，再根据零点存在定理将端点值代入，即可判断零点所在区间.

【详解】由于y=ln尤,y=2x-6均为增函数，

所以〃x）=lnx+2x-6为定义域上的增函数，

/（l）=^<0,/（2）=ln2-2<0,/（3）=ln3>0,/（4）=ln4+2>0,

根据零点存在定理，

\/⑴零点在区间（2,3）内.

故选：C

3.B

【分析】由两直线平行，得至（J2x3-a（a-1）=0,求解，得出。的值，再代入直线方程检验，

即可得出结果.

【详解】因为直线4：2x+ay+2=。与直线/?：（。-1）尤+3、+2=0平行，

所以2义3-。（。-1）=。，BPa2-a-6=0,解得：一2或3,

当a=3时，4:2x+3y+2=。与:2x+3y+2=0重合，不满足题意，舍去；

当a=—2时，4:X—y+1=0与4：3x—3y—2=0平行，满足题意.

故选:B

【点睛】本题主要考查由直线平行求参数，熟记直线平行的判定条件即可，属于常考题型.

4.B

【详解】解：阅读随机数表可知，满足题意的数据为：191,271,932,812,393,

答案第1页，共13页

据此可知：这三天中恰有两天下雨的概率近似为。=三=9.

204

本题选择B选项.

5.B

【分析】由线面平行的性质结合平面与平面的位置关系判断即可.

【详解】当平面a〃平面4BC时，的三个顶点到平面a的距离相等且不为零；

当，ABC的三个顶点到平面a的距离相等且不为零时，平面a可能与平面ABC相交，例如

当BC〃平面a且AB,AC的中点在平面a内时，ABC的三个顶点到平面a的距离相等且不

为零，但平面a与平面ABC相交.

即。是4的必要不充分条件

故选：B

6.B

【分析】根据复数相等得出根，〃的值，进而得出复数z.

【详解】由题意知+2"i=—2—2i,

n2+mn+2=0m=3,

,解得z=3—i

2n+2=0n=-l

故选：B

7.D

【分析】通过作图，可见直线与抛物线有且只有1个公共点的直线有两类：一类与抛物线对

称轴平行，一类与抛物线相切，统计即得.

【详解】

如图，设过点尸（。，1）的直线为/,则当/与x轴平行时，与抛物线有一个公共点;

当直线/和抛物线相切（有两条切线）时，直线与抛物线也只有一个公共点.

由画图可知，过点PQ1）与抛物线尸=2%有且只有1个公共点的直线有3条.

故选:D.

答案第2页，共13页

8.C

【详解】设正方体的棱长为2°,如图，连接AC,3D,它们交于0,连接ON,OM,则BQ,

平面4GB,而ON//。片，故4WO就是直线MN与平面A2C1所成的余角，又A0MN为

直角三角形且OM=a,MN="z,NOMN=90。，所以tan/ONM=变，sinZONM=—,

23

设直线MN与平面ABG所成的角为。，贝UCOS8=Y3

,选C.

3

点睛：线面角的计算往往需要先构造面的垂线，必要时还需将已知的面的垂线适当平移才能

构造线面角，最后把该角放置在容易计算的三角形中计算其大小.

9.D

【分析】利用等差、等比数列的定义判断A、B、C,特殊值判断D,即可得结果.

【详解】因为数列｛%｝是等差数列，设其通项公式为=4+5-1)”,

所以*==2〃是定值，所以数列｛2%｝一定是等比数列，A选项正确；

因为数列也,｝为等比数列，设其通项公式为a=60i,

所以%=$=普7丁=qw""=d是定值，

%瓯"

所以数列｛4｝一定是等比数列，B选项正确；

因为S“/[2q+("l)d],所以&=2%+(〃一1)4

=Q]+(it—1),—,

n2n22

所以数列一定是等差数列，C选项正确；

当勿=(-1)"时，bn+bll+1=O,贝式2+%J不是等比数列，D选项错误，

故选:D.

10.D

答案第3页，共13页

【分析】设曲线G的切点，利用曲线的几何意义可得切点坐标，进而求得切线方程，再利

用圆心到直线的距离等于半径即可求得〃值.

【详解】设直线/：2尤->+根=0与曲线G相切，切点为(%,毛(1+111%)),因为y=x(l+lnx)

的导数为V=2+lnx,由2+ln/=2,解得％o=l,所以切点为。,1),代入2尤一丁+加=0得

根=-1,所以切线方程为2彳一y-1=0.将f+J_6%+“=0化为标准方程为

(x-3)2+=9-n(n<9),因为/与圆C?相切，所以个22a=邪一联,解得"=4.

故选：D

11.D

【分析】举特例可说明的A、B、C正误，利用方差的计算公式可判断D.

【详解】五次点数分别为2,2,2,3,6时，满足平均数为3,中位数为2,故A中可出现

点数6;

五次点数分别为2,2,3,5,6时，满足中位数为3,众数为2,故B中可出现点数6;

五次点数分别为2,3,3,6,6时，满足中位数为3,方差为2.8,故C中可出现点数6;

若平均数为2,出现了6,那么方差至少为：(6-2)2=£=3.2>2.4,

故D中不可能出现点数6,

故选：D.

12.B

【分析】利用倍角公式化简函数解析式，由函数相邻的两个最值点相隔半个周期计算。的值

验证命题①；由函数图像平移后的解析式研究对称性，验证命题②；/在［0,2对上恰有7

个零点，研究区间右端点的范围求。的取值范围，验证命题③；由函数在区间内的单调性,

求。的取值范围，验证命题④.

【详解】函数/(x)=l-2cos2(0x+g)=-cos(20x+与);

对于①，若〃不)=1,〃％)=T，且子-七L=兀,所以Q(无)的最小上周期为2兀,即

兀

三2=2几，解得切=1：,命题①错误；

2co2

对于②，因为f(x)的图像右移5个单位长度后，得

6

答案第4页，共13页

由函数图像关于y轴对称，令---鼠="兀，ksZ,解得G=-3k+2,keZ,

所以对任意整数鼠都有外仅0,2),命题②错误；

对于③，由题意知，工-急：-荔解得所以小)在[。，2可上恰

41471

有7个零点时，。的取值范围是五，五，命题③正确;

对于④,由题意知,/JI2,解得又因为"°，所以。＜陞|，

TTTT(2

即“X)在-工。上单调递增时，0的取值范围是0.，命题④正确.

64」I3」

综上知，正确的命题序号是③④，共2个.

故选：B.

711

13.—/一万/90。

22

【分析】根据条件求出b的坐标，然后可得答案.

【详解】因为〃=。,1),〃+2b=(3,—1),所以力

所以4心=1x1+1x(-1)=0

所以向量。与6的夹角为£

2

7T

故答案为：—

2

14.4950

【分析】由题目中给出的式子归纳出第〃个式子的结论，代入几=50求值即可.

【详解】由已知条件知，I3+23+33+L+(2n-1)3-[«x(2n-1)]2,代入〃=50,知

l3+23+33+L+993=(50X99)2,

399----------------------------

故由『=&+展+33++993=4950.

故答案为：4950.

15.6

答案第5页，共13页

【分析】先根据对数型函数的特点求得定点T坐标，代入直线方程得2加+〃=2,利用其将

424

巴n+?变形成女+2-2,最后运用常值代换法即可求得结论.

mnmn

【详解】％=2时，y=log〃l+2=2,

・二函数>=log.(%—1)+2(。>0,且Qw1)的图象恒过定点T(2,2),

定点7(2,2)在直线2加:+利一4=0上，.,.2根+〃=2,

mn>0,m>0,n>0,

n42—2m424.

—+—=----------+—=—+——2,

mnmnmn

,,241_24、/-、1_2n8m.1_/-r_

由—I—=—(—l—)(2m+n)=—(z8H-------1------)x>4H—x2,16=8,

mn2mn2mn2

当且仅当n=2m=l时取等号.

n4

即当且仅当〃=2〃z=l时，上+?取得最小值为8-2=6.

mn

故答案为：6.

1G1+A/^

1O.----------

2

【分析】作AM,BQ,垂足为得出|AM|=|尸。=2)，再由tan/POb],得出

85/比皿=2,在区仙钻加中得出|期|二也，结合|41/|二2匕列出等式，即可求出离心率.

cac

【详解】如图所示，作垂足为M,则|AM|=|PQ|=2b,

设双曲线的半焦距为c(c>0),则点尸坐标为(-。,0),

22

在3—斗=l(a>0*>0)中，

ab

hh

直线。尸的方程为：y=-2x,gptanZP(9F=-,

aa

：.sinZPOF=/匕=2

yla2+b2c

答案第6页，共13页

b

cosZBAM=—,

令得

2

解得）=±幺b,

a

：.\AM\=\AB\COSZBAM=-.-=—,

acac

又：\AM\=2bf

3

所以上2b也=2b,

ac

•e-b1-ac

••—Q2=ac，

,,c—a2—ac=0，

—e—1=0,

解得e=1±J(T『-4xlx(-1)=1土下,

22

其中6=上避＜0舍去，

2

故双曲线的离心率为匕且，

2

故答案为：匕工1•

2

17.(1)-

3

3

(2)BC=-

【分析】(1)在-ACD中利用正弦定理结合已知条件求出tanZACD,即可得解;

JT

(2)依题意可得N84C=1,由S5M+S.CAE=S5AC求出AC,再在ABC中利用余弦定理

计算可得.

ADAC

【详解】(1)在二ACD中，由正弦定理得

sinZACDsinD

所以sin。=・sinZACD,

又A。•sinO=V3AC-cosZACD,

答案第7页，共13页

所以AC•sinZACD=gC-cosZACD，因为cosZACDw0,

所以tanZACD=JL

TT

因为0<NACD<7t,所以=

jr

(2)因为AB//CD,^^ZBAC=ZACD=-.

TV

因为AE平分/8AC,所以/BAE=NCAE=—.

6

因为SBAE+SCAE=$BAC'

|7rlTT1TT

所以一ABAEsin—+—ACAEsin—=—A5ACsin—,

262623

又AB=6AE=1,所以

2

解得AC=迫，

2

TT

因为/BAC=W,所以叱=AC?+AB2—2AB-ACcosZBAC

3

所以2。=彳.

18.(1)证明见解析

(2)是，理由见解析

【分析】⑴取AD的中点G,连尸G,CG,通过证明四边形BFGC为平行四边形得到CGUBF,

再根据直线与平面平行的判定定理可证结论；

TT

(2)先求出A=;，然后通过计算可知三棱锥A-BDE的四个面均为直角三角形，从而可

4

得答案.

【详解】(1)取AD的中点G,连FG,CG,如图：

答案第8页，共13页

A

因为尸为AE的中点，所以fu//即且EG=,皮)，

2

又BCIIED且BC==ED,

2

所以m//3。且依=3。，

所以四边形8RSC为平行四边形，

所以CG〃3F,又3尸二平面ACD,CGu平面ACD,

所以〃平面ACD.

(2)三棱锥A-5DE为“鳖膈”，理由如下：

若图1中AD=6且sinA+cosA=后，则(sinA+cosA)?=2,

jr

则1+sin2A=2,即sin2A=1,结合图形可得A=—,

4

所以AE=BE=：ED,所以AE=2,Z)E=4,

在图②中，在三角形AED中，AD2=AE2+ED2-2AEEDcos60=4+16-2x2x4x；=12,

所以A£2+仞2=即2,所以钻工田，即三角形A团为直角三角形，

由题意可知BE_LAE,即三角形AEB为直角三角形，所以4卤=人后?十笈石？=4+4=8,

由题意知，BEYED,即三角形3ED为直角三角形，所以3£>2二台序+即？=4+16=20,

AD1+AB1BD1,所以AB_LXD,即三角形MD为直角三角形，

根据题意可知，三棱锥A-为“鳖席”.

19.(1)。=0.15,平均值1.19(万千米)；(2)238棵；(3)列联表答案见解析，没有99%的

把握认为购买新能源汽车与考虑大气污染有关.

【分析】(1)由频率分布直方图及频率之和为1求。，再结合频率分布直方图求均值即可；

(2)求出汽车一年的行驶里程均值，根据碳中和概念列方程求解；

答案第9页，共13页

(3)列出联表，计算K?，根据临界值表作出结论即可.

【详解】(1)由(0.05+0+0.35+0.25+0+0.05)x1=1,解得。=0.15.

设x为汽车5年内所行驶里程的平均值，则

x=3.5x0.05+4.5x0.15+5.5x0.35+6.5x0.25+7.5x0.15+8.5x0.05=5.95(万千米).

5QS

(2)由(1)可知，一辆汽车1年内所行驶里程的平均值为言=1.19(万千米).

因为一辆汽车每年行驶1万千米的排碳量需要近200棵树用1年时间来吸收，

所以每一辆汽车平均需要1.19x200=238(棵)树才能够达到“碳中和”.

(3)补全的2x2歹1J联表如下:

考虑大气污染没考虑大气污染合计

新能源汽车车主104050

燃油汽车车主25225250

合计35265300

匚匚…“2300x(10x225—25x40)2

所以K=--------------------------------4.04.

35x265x250x50

因为4.04<6.635,

所以没有99%的把握认为购买新能源汽车与考虑大气污染有关.

20.(1)单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(2,+<»)；(2)证明见解析.

【解析】(1)由。=-2,求导.(无)=一丁+J+2=-2?(x+1),再由广(为>0,尸(*)<0求

XX

解即可，

2

(2)求导r(x)=r-+,x-a(x>0),根据兀v)有两个极值点方，尤2,得到股，尤2为方程

-x2+x-a=0的两个不等实根，然后结合韦达定理得到了(占%(无2)=lna-4a+2,再

令g(a)=lno-4a+2(0<a<-),用导数法证明g(a)<0即可.

4

【详解】(1)第x)的定义域是定+s).

、［/□-+/•/\12£、—X2+x+2—(X—2)(x4-1)

当。=-2n时，/(X)=Inx-------x+5,f*(x)=--------%------=----------------

%XX

当0<x<2时，f\x)>0,当x>2时，/'(x)<0,

所以人x)的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(2,+8).

答案第10页，共13页

2

（2）/（x）=r+厂仆0）,

X

因为/（x）有两个极值点％/，X2,

故制，取为方程-x?+x-a=0的两个不等实根,

A=1-4〃〉0

所以<玉+%2=1=>0<«<—,

xxx2=。>0

XX

/./(1)4/(2)=Inxxx2+_(玉+%2)-4a+2

xxx2一0

=Ina—4〃+2,

令g(Q)=lna-4a+2(0<«<—),

4

1—4a

则g©=-->0,

a

g(a)在(0,'单调递增，

故g(a)<g(])=ln<+l<0

44

<0

/(X1)+f(^2).

【点睛】思路点睛：利用导数证明不等式常构造函数夕（无），将不等式转化为矶尤）＞0（或＜0）

的形式，然后研究9（x）的单调性、最值，判定贝尤）与。的关系，从而证明不等式.

21.（I）,+4（II）啊C*孚

【分析】（1）把右焦点（c,0）代入直线方程可求出c,设A（%,yJ,8（%,%），线段AB的中点

产（%，%），利用“点差法”即可得出a,b的关系式，再与“2=从+02联立即可求出a,b,进而可

得椭圆方程；

（2）由CDLAB,可设直线CD方程为y=x+〃z,与椭圆方程联立可得根与系数关系，即可得

到弦长|8|,把直线x+y-6=0与椭圆的方程联立得到根与系数关系，即可得到弦长|明,

利用S四边形ABCD=：体即8|即可得到关于m的表达式，利用二次函数的单调性即可求出其

最大值.

【详解】（I）设3方），吃,%）,则「+了=1⑴，5+/=1⑵，（1）-（2）得：

（…2）『2）+（yf）”幻=0,因为=设因为P为AB的中

abx\~x2

答案第11页，共13页

点，且OP的斜率为;，所以%=3尤0，即%+%=3（否+々），所以可以解得片=2廿，即

22

a2=2（a2-c2）,即6=2°2,又因为C=G所以4=6,所以M的方程为誉=1.

（II）因为CDLAB,直线AB方程为x+y-百=0,所以设直线CD方程为＞=%+〃7,

将x+y-若=0代入工+匕=1得：3x2-45/3x=0,即A仙道）、B