中考数学压轴题-截长补短带系数的证明

考点1带系数线段证明在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，点D是BC上一点，连接AD，过点A作AG⊥AD，在AG上取点F，连接DF．延长DA至E，使AE＝AF，连接EG，DG，且GE＝DF．（1）若AB＝2，求BC的长；（2）如图1，当点G在AC上时，求证：BD＝CG；如图，在△ABC中，AC＝CB，∠ACB＝90°，在AB上取点F，过A作AB的垂线，使得AD＝BF，连接BD，CD、CF，CE是∠ACB的角平分线，交BD于点M，交AB于点E．（1）若AC＝6，AF＝4．求BD的长：（2）求证：2CM＝AF如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝45°，点D是AC的中点，连接BD，作AE⊥BC于E，交BD于点F，点G是BC的中点，连接FG，过点B作BH⊥AB交FG的延长线于H．（1）若AB＝3，求AF的长；（2）求证；BH+2CE＝AB．如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC，BE平分∠ABC交AC于点E．（1）如图1，已知AC＝15，AB＝13，DC＝9，求BD的长；（2）如图2，点F在线段BC上，连接EF、ED，若∠BAE＝∠BFE，∠AEB＝45°，AD＝DE，求证：CF＝2AD．在等腰△ABC中，AB＝AC，点D为平面内一点，连AD、BD、CD．（1）如图1，若点D是△ABC内一点，且∠BAD＝∠CAD，求证：∠DBC＝∠DCB；（2）如图2，若点D是△ABC外一点，且∠ADC+∠ADB＝180°，∠ACD＝60°，求证：AB＝CD+BD；在等边△ABC中，点E在直线AC上，连接BE，点D在直线BC上，且CE＝CD，连接ED、AD，点F是BE的中点，连接FA、FD．（1）如图1，当点E在AC上，点D在BC的延长线上，若CD＝2，BC＝3，求△BEC的面积；（2）如图1，当点E在AC上，点D在BC的延长线上，且AE＝CE时，求证：AD＝2AF；如图，Rt△ABC与Rt△BCD在线段BC的同侧，AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°．（1）如图1，已知AC＝6，BD＝，求CD的长；（2）如图2，将Rt△BCD绕着点B逆时针旋转90°得到Rt△BAF，点C、D的对应点分别是点A、F，连接CF和AD．过点B作BH⊥CF于点H，交AD于点M，求证：CF＝2BM．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在线段BC上，且BE＝CD，连接AD、AE，过点D作DF⊥AE，垂足为H，交AC于点F，过点E作EG⊥AC，垂足为G．（1）若DH＝4，AD＝5，HF＝1，求AF的长；（2）若∠BAC＝90°，求证：AF＝2CG．已知△ADC中，∠ACD＝90°，AC＝DC．以DC为斜边作Rt△DEC，其中∠DEC＝90°，连接AE并延长，与CD的延长线交于点B，∠AEC＝∠ACE．（1）如图1，求证：∠ECD＝∠BED；（2）如图1，求证：CE＝2DE；（3）如图2，F为线段AC上一点，连接BF，与EC相交于点G，分别过点D、C作DM⊥BF于点M，CN⊥BF于点N，若BG＝GC，试判断MD、DE、CN三者间的数量关系，并证明你的结论．（2023春·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考开学考试）已知为等边三角形，点、分别是、上一点．(1)如图1，，连接、，交于点，在的延长线上取点，使得，连接，若，求的面积；(2)如图2，、相交于点，点为延长线上一点，连接、、，已知，，，求证：BF+GE=2CF(八中九上周考)在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ABC=∠ADE=90°，∠BAC=∠DAE将Rt△ADE绕点A旋转，连接CE，F为CE的中点(1)如图1，若点E在AC上，∠BAC=60°，3AB=2AB=6，连接DF,求DF的长(2)如图2，连接BF，DF，想线段BF与DF之间的数关系，并证明你的猜想(3)如图3，在Rt△ADE旋转过程中，连接BF，点M，N分别是边BF、CF上的两点，且满足MF=3BM，CN=2NF，连接CM、BN交于点O，已知AB=3AD=6,AE=，请直接写出△BCO面积的最大值。

（2023•重庆）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，点D为线段AB上一动点，连接CD．（1）如图1，若AC＝9，BD＝，求线段AD的长；（2）如图2，以CD为边在CD上方作等边△CDE，点F是DE的中点，连接BF并延长，交CD的延长线于点G．若∠G＝∠BCE，求证：GF＝BF+BE；（3）在CD取得最小值的条件下，以CD为边在CD右侧作等边△CDE．点M为CD所在直线上一点，将△BEM沿BM所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BNM．连接AN，点P为AN的中点，连接CP，当CP取最大值时，连接BP，将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ，请直接写出此时的值．（2023秋·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期末）已知与有公共顶点C，为等边三角形，在中，．(1)如图1，当点E与点B重合时，连接AD，已知四边形ABDC的面积为，求的值；(2)如图2，，A、E、D三点共线，连接、，取中点M，连接，求证：；(3)如图3，，，将以C为旋转中心旋转，取中点F，当的值最小时，求的值．（2022秋·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考期末）在中，，，是边上一动点，连接．(1)如图1，在平面内将线段绕点顺时针旋转得到线段，点为边上一点，连接交于，连接，若，，，求的长；(2)如图2，在平面内将线段绕点顺时针旋转一定角度得到线段，连接交于，连接，若，求证：AD=2CG；(3)在（2）的条件下，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，若，在点运动过程中，当线段取得最小值时，请直接写出与四边形重叠部分的面积．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）如图，四边形中，，E为上一点，，．(1)如图1，若，求的面积；(2)如图2，若，求证：；(3)如图3，F为平面内一点，，直线与直线交于点G，若，当最小时，直接写出的面积．（2023•渝中区校级二模）如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为AB边上一点，连接CD，AE⊥CD于E点．（1）如图1，过B作BF⊥AB交AE的延长线于点F．若BD＝1，BF＝2，求AE的长度；（2）如图2，将AE绕A点逆时针旋转90°到AF，连接BF交AE于点H，求证：CE=2AH；（3）如图3，在第（2）问的条件下，将△ABH沿着AB翻折得到△ABP，连接PC，当线段PC取得最大值，请直接写出的值．（2023•沙坪坝区校级一模）在等腰三角形ABC中，AB＝AC．点E为AC上一点，连接BE．（1）如图1，若∠BAC＝90°，过点C作CD⊥BE交BE延长线于点D，连接AD，过点A作AF⊥AD交BD于点F，连接CF，求证：FC2＝FB2+2FA2；（2）如图2，过A作AD∥BC交BE延长线于点D，将AD绕着点A逆时针旋转至AN，连接DN，使得DN⊥AC于点G，AN与BD交于点M，若点M为BD的中点，且∠DAM＝∠DMA，猜想线段AM与DE之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，若∠BAC＝60°，，将AC沿着AP翻折得到AC′（∠CAC′＜120°），点C′落在BE延长线上，BC′交AP于点P，点Q、R分别是射线AC、AB上的点，连接CP、PQ、QR，满足，当BP取得最大值时，直接写出的最小值的平方．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝120°，点D为直线AC右上方一点，且满足∠ADC＝60°，连接BD．（1）如图1，若CD⊥AC，BD交AC于点O，求CO的长；（2）如图2，点E为线段BD上一点，连接EA、EC，且满足∠EAD＝60°，试证明AD＝CD+2AE；（3）如图3，在（2）的条件下，以AC，CD为边构造平行四边形ACDF，当AE+AF＝2时，直接写出△ADF的面积．（2023•九龙坡区模拟）在△ABC中，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），AB＝AC，点D为线段AC上一点，将射线DC绕点D顺时针旋转30°得到射线DO，交线段BC于点O，过点C作CE⊥DC交射线DO于点E，连接BD．（1）如图1，若点D为线段AC的中点，且DE∥AB，DE＝4，求△ABC的面积；（2）如图2，若α＝60°，过点B作BC的垂线，在BC的垂线上取一点H，使得BH＝CE，连接AH，BE，在BE的延长线上取一点G，连接CG，使得∠CGB＝60°，当AH∥BD时，证明：AH+＝BG；（3）如图3，若α＝90°，CE＝，AD＝2CD，点P为线段AB上一点，取线段BD的中点F，连接PF，AF，将△APF沿PF翻折得到△A′PF，连接A′D，A′C，取线段A′D的中点Q，连接CQ．当线段CQ取得最大值时，直接写出△A′QC的面积．​如图，在等边△ABC中，点D是边AB上的一个动点，点E是射线CB上的一个动点，连接DE，DC．（1）如图1，若点D为线段AB的中点，点E在线段CB上，∠EDC＝15°，，求△ABC的面积；（2）如图2，若点E在CB延长线上，以DE为边，在DE右侧作等边△DFE；过点F作FG∥AC交BC于点G，当DE＝CD时，求证：BG+2BE＝AC；（3）如图3，点E在CB延长线上，DE＝CD，将△BDE沿直线BD翻折得到△BDE′，点E的对应点为点E′；△ABC内部有一动点P，满足∠PAC＝∠BCP，若AB＝6，当CE′的长度最小时，求EP的最小值．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，点F是线段BE上一点，连接AF，点G是线段AB上一点，连接EG，交AF于点N．（1）如图1，若∠B＝45°，，求△ABE的面积；（2）如图2，点H是线段AF的中点，连接EH，若∠B＝∠BEH＝∠AEG，求证：CD＝BF+BG；（3）如图3，若∠B＝60°，AG＝BF，BE＝2EC＝4，∠ANG＝4∠EAF，将△ANG绕着点A旋转，得到△AN′G′．连接N′D．点O是线段N′D的中点，连接CO．请直接写出线段CO长度的最小值．如图所示，等腰直角△ABC中，AB=AC，点D是BA延长线上一点，连接CD，点E是CD上一点，连接BE，交AC于点F．

（1）如图1，若∠CBE=30°，CF=，求AF的长；

（2）如图2，过点A作AM⊥BF于点M，若BF=CD，试猜想AM、BE、CE之间的关系并推理说明；

（3）如图3，在（2）的条件下，若H为射线BD上一动点，△BGH为等腰直角三角形，且BG=GH，点P为GH中点，若BC=2，CE=2，请直接写出EP+FP的最小值．

考点2带线段证明在等腰Rt△ABC中AB＝AC，∠BAC＝90°．点D是CA延长线上一点，连接BD，点E是BD上一点，连接CE交AB于点F，BD＝CF．（1）如图1，当点E是BD中点时，若BC＝4，求AF的长；（2）在（1）的条件下，如图2，连接AE，求证：DE+EF＝AE．在△ABC中，D为BC上一点，连接AD，过点B作BE垂直于CA的延长线于点E，BE与DA的延长线相交于点F．（1）如图1，若AB平分∠CBE，∠ADB＝30°，AE＝3，AC＝7，求CD的长；（2）如图2，若AB＝AC，∠ADB＝45°，求证；BC＝DF．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是BC上一点，连接AD．过点D作DE⊥AB，垂足为E．点F是AD的中点，连接EF．（1）如图1，若∠DAC＝α，请用含α的式子表示∠EFD的大小；（2）如图2，过点B作BG⊥AB，BG＝BE，连接CG．求证：．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于E，CD＝AB，DA、BC延长线交于F．（1）若AC＝12，∠ABC＝30°，求DE的长；（2）若BC＝2AC，求证：DA＝FC．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，连接AE，∠AED＝∠CED；延长ED交AB于点F，过点C作CP∥AE交AB于点P．求证：（1）AE＝BE；（2）PB＝PF．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AH⊥BC于点H，过点C作CD⊥AC，连接AD，点M为AC上一点，且AM＝CD，连接BM交AH于点N，交AD于点E．（1）若AB＝3，AD＝，求△BMC的面积；（2）点E为AD的中点时，求证：AD＝．如图1，Rt△BAC和Rt△DAE都是等腰直角三角形，且AB＝AC＝2，AD＝AE＝2，∠BAC＝∠DAE＝90°．△DAE绕着点A逆时针旋转，连接CD．（1）当tan∠EAC＝时，求CD的长；（2）如图2，若F、H、G分别是DE、CD，BC的中点，连接FH、FG，求证：FG＝FH；（3）如图3，在旋转过程中，连接CE、BE，当BE﹣CE有最大值时，把△BDC沿着BC翻折到与△BDC同一平面内得到△BMC，请直接写出△BEM的面积．已知△ABC，∠ACB=90°，AC=BC。如图1，点D是线段AB上的一点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°到CE，连接EB，ED。若AD=2，BC=1，求CD的长度；如图2，点F在BC边上，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CG，连接GF并延长交AB于点H，连接AF，CH，猜想AF与CH存在的数量关系，并证明你的猜想；（2023春·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考开学考试）在中，，平分，为上一点．(1)如图1，过作交于点，若，，求的长；(2)如图2，若，过作交的延长线于点，为延长线上一点，连接，过作交于点，交于点，且，求证：HG=DE如图1，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，∠B＝β，延长BA至点D，线段AC、线段AD的垂直平分线交于点E．（1）请用含β的式子表示出∠DEC．（2）如图2，若β＝75°，AE∥BC，点M、N分别为线段BC、AE中点，连接MN，求证：．（3）如图3，在（2）的条件下，若，将直线AC沿着直线BD翻折得到直线AP，点Q是直线AP上一动点，连接EQ、DQ，请直接写出EQ﹣DQ的最大值．如图．已知△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，D、E分别为AC、BC上的两点，CD＝BE，连接DE，将DE绕点E逆时针旋转90°得EF，连接DF与AB交于点M．（1）如图1，当∠DEC＝30°时，若BC＝2+，求AD的长；（2）如图2，连接CF，N为CF的中点，连接MN，求证：MN＝BE；（3）如图3，连接AF，将AF绕点A顺时针旋转60°得AG，连接FG、BG、CG，若AC＝4，当CG取得最小值时，直接写出△BCG的面积．（2022秋·重庆北碚·九年级西南大学附中校考阶段练习）在中，，，是直线上的一点，连接，过点作，交直线于点．(1)当点P在线段上时，如图①，求证：；(2)当点P在直线上移动时，位置如图②、图③所示，线段，与之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）已知点是所在平面内一点，交于点．(1)如图1，点为上一点，若，平分，，，求的长；(2)如图2，，点为上一点，平分，若，求证：；(3)如图3，，，当点D位于内部时，过点D分别作，的垂线，垂足分别为M，N，连接，若，，，请直接写出的值．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E分别为BC上两动点，BD＝CE．（1）如图1，若EH⊥AD于H交AB于K，求证：AE＝EK；（2）如图2，若EF∥AD交AC于F，GF⊥AG，AG＝GF，求证：；（3）如图3，若AB＝4，将AE绕点E顺时针旋转90°得EM，N为BM中点，当取得最小值时，请直接写出△ACD的面积．（2023秋·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期末）如图．已知为等腰直角三角形，，D、E分别为上的两点，，连接，将绕点E逆时针旋转得，连接与交于点M．(1)如图1，当时，若，求的长；(2)如图2，连接，为的中点，连接，求证：；(3)如图3，连接，将绕点A顺时针旋转得，连接、、，若，当周长取得最小值时，直接写出的面积．在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，点D是边BC上一点，点E是边AC上一点，且满足CE＝BD，过点E作AD垂线，垂足为F，EF交CB延长线于点G．（1）如图1，若AB＝4，BD＝1，求线段BG的长．（2）如图2，将AC绕点A逆时针旋转得到AH，连接DH，若∠CAH+2∠ADB＝180°，求证：AH+CE＝DH．（3）如图3，若AB＝3，连接DE，以DE为斜边向左上方构造等腰直角△DEP，连接CP交DE于点Q，当DE取最小值时，请直接写出DQ的值．在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是线段AC上一点，连接BD，过点C作CF⊥BD，垂足为点E，过点A作AF⊥CF于点F．（1）如图1，如果设CF交AB于点G，且G为AB的中点，若，∠ABC＝60°，求线段AD的长；（2）如图2，如果AC＝BC，点E是线段CF的中点，过点E作EH⊥AC，垂足为点H，连接FH，求证：；（3）如图3，如果AC＝BC＝4，求FE的最大值．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，D为BC的中点，E，F分别为AC，AD上任意一点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到线段EG，连接FG，AG．（1）如图1，点E与点C重合，且GF的延长线过点B，若点P为FG的中点，连接PD，求PD的长；（2）如图2，EF的延长线交AB于点M，点N在AC上，∠AGN＝∠AEG且GN＝MF，求证：AM+AF＝AE；（3）如图3，F为线段AD上一动点，E为AC的中点，连接BE，H为直线BC上一动点，连接EH，将△BEH沿EH翻折至△ABC所在平面内，得到△B′EH，连接B′G，直接写出线段B′G的长度的最小值．如图，已知在直角△ABC中，∠ABC＝90°，E为AC边上一点，连接BE，过E作ED⊥AC，交BC边于点D．（1）如图1，连接AD，若CE＝2，BD＝3，∠C＝45°，求△ADE的面积；（2）如图2，作∠ABC的角平分线交AC于点F，连接DF，若∠BDE＝∠CDF，求证：AE+DE＝BE；（3）如图3，若∠C＝30°，将△BCE沿BE折叠，得到△BEF，且BF与AC交于点G，连接AD，DF，点E在AC边上运动的过程中，当BF⊥AC时，直接写出的值．（2022秋·重庆·九年级重庆一中校考阶段练习）如图，在中，，交于点，为线段上一动点，连接．(1)如图1，连接，若是的角平分线且时，求的度数．(2)如图2，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接交线段于点，连接，若点为线段的中点，求证：．(3)如图3，在（2）的基础上，若，将绕点顺时针旋转角度，旋转后对应，点对应的点为，连接，，．旋转过程中，当线段与线段存在交点且时，记；当取得最小值时，记为．请直接写出的值．（2023•九龙坡区校级模拟）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D在线段BC的中垂线上，连接BD、CD．（1）如图1，若∠BDC＝120°时，连接AD并延长交BC于点F，若AB＝6，求△ACD的面积；（2）如图2，连接AD，若∠ADC＝90°，过点B作BE⊥AD于点G，交AC于点H，过点C作CE⊥BC交BH的延长线于点E．求证：；（3）在等腰Rt△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC，将△ABP沿直线AB翻折至△ABP所在平面内得到△ABQ，连接CQ，当取得最小值时，请直接写出的值．在正方形ABCD中，E、F分别为AD边上的两点，连接BF、CE并延长交于点Q，连接DQ，H为CQ上一点，连接BH、DH．（1）如图1，若H为CE的中点，且4DE＝AB，DH＝，求线段BC的长；（2）如图2，过点H作HP∥BC，且HB＝HP，连接BP，刚好交CH的中点G，当∠QFE+∠QBH＝90°时，求证：BP+DQ＝2CQ；（3）如图3，在（1）的条件下，点M为线段AD上一动点，连接CM，作BN⊥CM于点N，将△BCN沿BC翻折得到△BCN′，点S、R分别为线段BC、CN′上两点，且BC＝4CS，N′C＝3N′R，连接BR、N′S交于点O，连接CO，请直接写出△BCO面积的最大值．考点3带线段证明在直角△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，点D是△ABC外一点，连接AD，以AD为边作等边△ADF．（1）如图1，当点F在线段BC上，DF交AC于点M，且AF平分∠BAC，若，求△ADM的面积；（2）如图2，连接FB并延长至点E，使得FB＝BE，连接CE、DE、CD，证明：；（3）如图3，旋转△ADF使得DF落在∠ABC的角平分线上，M、N分别是射线BA、BC上的动点，且始终满足∠MDN＝60°，连接MN，P是线段MN上的一个动点，连接AP、DP，若，当△MDN面积最小时，直接写出AP+DP的最小值．（2022秋·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）在△ABC和△AEF中，∠AFE＝∠ABC＝90°，∠AEF＝∠ACB＝30°，，连接EC．点G是EC中点，将△AEF绕点A顺时针旋转．(1)如图1，若E恰好在线段AC上，AB＝2，连接FG，求FG的长度；(2)如图2，若点F恰好落在射线CE上，连接BG，证明：；(3)如图3，若AB＝3，在△AEF旋转过程中，当最大时，直接写出直线AB，AC，BG所围成三角形的面积．（2023•渝中区校级三模）如图，在等边△ABC中，D为△ABC内一点，连接AD、BD、CD，∠ADB＝90°，E为BD上一点，连接AE．（1）如图1，若AE平分∠BAD，AD＝2，BC＝3，求BE的长；（2）如图2，若∠BAE＝∠ACD，且E为BD的中点，求证：AD＝DE；（3）如图3，若AB＝4，将△ADC沿AC翻折得到△AD'C，F为BC上一点，BF＝3CF，连接D′F，当D′F最小时，过D′作AD′的垂线，P是垂线上一动点，连接AP，将线段PA绕点P逆时针旋转60°得到线段PQ，连接D′Q，请直接写出D'Q2的最小值．（2023•沙坪坝区校级模拟）在△ABC中，AC＝BC，AC＝6，∠ACB＝α，点D是BC边上任意一点，点E是直线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B顺时针旋转，旋转角为α，得到线段BF，连接EF．（1）如图1，α＝90°，∠BAD＝15°，点F在射线AD上，求BF的长；（2）如图2，BF∥AD，CG⊥AE于点G，2∠ABF﹣3∠EBF＝4∠BAE，求证：GE=AC-BE；（3）如图3，α＝60°，点F在射线AD上，点P是BE上一点且满足AF＝3BP，连接AP，直接写出当AP最小时，点P到AB的距离．（2023•北碚区校级三模）在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E是线段AC上一点，点F是直线BC上的点，连接BE、AF，直线AF交直线BE于点G．（1）如图1，点F在线段BC延长线上，若AB＝BG，BG⊥AC，证明：∠F＝45°．（2）如图2，点F在线段BC上，连接GD并延长至点H，使得DH＝DG，连接BH，若∠AEB＝∠AFB＝60°．证明：．（3）如图3，点F在线段BC延长线上，若AB＝BC＝AC＝6，AD＝FD，点Q为AD上一点，AQ＝2DQ，连接FQ，点I在AF的下方且AQ＝AI，AQ⊥AI，连接PI，QI．点M为FQ的中点，连接DM，点N为线段DF上的动点，连接MN，将△DMN沿直线MN翻折得到△D′MN，连接QD′，点P为的中点，连接AP，BP．当AP+AI最大时，直接写出△ABP的值．在△ABC中，90°＜∠B