2024年江苏省苏州市高新区中考数学一模试卷 答案解析

2024年江苏省苏州市高新区中考数学一模试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

L下列各数中，是无理数的是（）

A.2.5B.C.——D.0

6

2.据统计，2022年我市城乡居民人均生活消费支出为41500元，将41500用科学记数法表示为（）

A.1.15x104B.1）,415x1（尸C.（）.415X1（）5D.1.15x10r,

3.下列计算正确的是（）

A-a+2a2=3«2B."2=C.=（JD.（n3）2=

4.某小组在一次“在线测试”中做对的题数分别是l（）,K.6Q,S,7,X,对于这组数据，下列判断错误的是（）

A.众数是8B.中位数是8C.平均数是8D.方差是8

5.在中，ZC=90°>4c=3，BC=4>以AC所在直线为轴，把△.4/3「旋转1周，得到圆锥，

则该圆锥的侧面积为（）

A.127rB.157rC.207rD.217r

6.我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭生其中，出水一尺.引葭

赴岸，适与岸齐.问水深几何丈、尺是长度单位，1丈-1。尺，其大意为：有一个水池，水面是一个

边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，

它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度是多少？则水深为（）

A.10尺B.12尺C.13尺D.15尺

7.王同学用长方形纸片折纸飞机，前三步分别如图①、②、③.第一步：将长方形纸片沿对称轴对折后展

开,折出折痕EF；第二步：将△AEG和△BEH分别沿EG,翻折，4E,BE重合于折痕EF上;第三

步：将AGEM和AHEN分别沿EM,E.V翻折，EC.EH重合于折痕EF上.已知AB=20cm,

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AD=20grm,贝IMD的长是（）

8.如图，已知矩形ABCD的一边AB长为12,点P为边AD上一动点，连接BP.PC,且满足=3()，

A.6B.6.8C.5\/3D.

二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

9.一61的立方根是.

10.使代数式有意义的x的取值范围是.

11.若一组数据1、3、x、5、8的众数为8,则这组数据的中位数为

12.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色

区域内的概率为.

AB

DC

13.已知正六边形的内切圆半径为则它的周长为.

14.已知点P是半径为4的.。上一点，平面上一点Q到点P的距离为2,则线段OQ的长度a的范围为

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15.如图，0、B两点是线段AC的三等分点，以AB为直径作.（），连接CE,交于点D,若点D恰为线

段CE中点，则为.

16.如图，已知/?/△」/?「的两条直角边4,8（'=3,将用△A3C绕直角边AC中点G旋转得到

/.DFF,若，DEF的锐角顶点D恰好落在的斜边AB上，则CH=.

三、计算题：本大题共2小题，共12分。

17.计算：（及一1）“+（3”_沟.

18.解方程组：（：­"一；'.

I2x+y=3

四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19.（本小题8分）

a—2a-12

先化简，再求值：（——）-r（a-4）,其中a满足。=-2.

ao+2a

20.（本小题8分）

如图，某校食堂实行统一配餐，为方便学生取餐，食堂开设了4个窗口，分别记为①、②、③、④，学生

可以从这4个窗口中任意选取一个窗口取餐.

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{“若小明去食堂用餐时4个窗口都没有人，则小明选择在②号窗口取餐的概率是；

?若小红和小丽-起去食堂用餐时4个窗口都没有人，求小红和小丽在相邻窗口取餐的概率.请用画树状

图或列表等方法说明理由

21.本小题8分）

2023年苏州文博会于4月17日至4月28日在苏州国际博览中心举行，我校气象兴趣小组的同学们想估计

一下苏州今年4月份日平均气温情况.他们收集了苏州市近五年来4月份每天的日平均气温，从中随机抽

取了60天的日平均气温，并绘制成如下统计图：

根据以上信息，回答下列问题：

（1）这60天的日平均气温的中位数为；众数为；

②若日平均气温在18至21的范围内包括18和2口为“舒适温度”，请估计苏州今年4月份日平均气温

为“舒适温度”的天数.

22.（本小题8分）

如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA//FB,EC//FD.AB=CD,求证：EF//AD.

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23.（本小题8分）

如图，从灯塔C处观测轮船A、B的位置，测得轮船A在灯塔C北偏西。的方向，轮船B在灯塔C北偏东

的方向，且」。=2依海里，=海里，已知=退,曲14=双竺，求A、B两艘轮船之间的

210

距离.结果保留根号।

24.（本小题8分）

如图，以x轴上长为1的线段AB为宽作矩形ABCD,矩形长AD、BC交直线V=-『+3于点F、E,反比

例函数9=：（h>0）的图像正好经过点F、E.

（1）线段EF长为.

2求k值.

25.（本小题8分）

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如图，在△八。。中，点D为BC边上的一个动点，过点C作交♦。于点尸.连接CE、EF,

⑵若AB=10.47=6,CE=EF,求直径CD的长

26.（本小题8分）

(1)求抛物线L的解析式；

点C在抛物线上，若△「1/"’的内心恰好在x轴上，求点C的坐标；

如图2,将抛物线L向上平移卜4＞。|个单位长度得到抛物线/.：,抛物线/.；与y轴交于点M,过点M

作y轴的垂线交抛物线/「于另一点.V.尸为线段上一点.若△PA/.V与人?。/?相似，并且符合条件的

点P恰有2个，求k的值.

27.(本小题8分)

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⑵如图2,连接AC交DF于点G,若尢^=G，求的值；

(3)如图3延长DF交AB于点G,若G点恰好为AB的中点，过A作AK〃尸C交FD于K,设〈的

面积为Si,的面积为S＞则?的值为.

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】【分析】根据无理数的定义解答即可.

【详解】解：2.5,二,0是有理数；

4n是无理数.

故选：B.

本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键.

2.【答案】A

【解析】【分析】41500用科学记数法表示成ax10"的形式，其中〃—115,"=1,代入可得结果.

【详解】解：41500的绝对值大于10表示成ax1()"的形式，

•1,a=4.15,n=5-1=I,

.•.41500表示成4.15x10',

故选.1

本题考查了科学记数法.解题的关键在于确定a、〃的值.

3.【答案】D

【解析】【分析】通过计算对各选项进行判断即可.

【详解】解：A中a+2o2#3外,错误,故不符合题意；

B中QO+aZur/J，错误，故不符合题意；

C中,错误，故不符合题意；

D中("3)2=a6,正确，符合题意；

故选：/).

本题考查了合并同类项，同底数嘉的乘法、除法运算，募的乘方等知识.解题的关键在于正确的运算.

4.【答案】D

【解析】【分析】根据平均数，众数，中位数，方差的定义求解判断即可.

【详解】解：把这组数据从小到大排列为6,7,8,8,8,9,1。，处在最中间的数是8,

，这组数据的中位数为8,故B不符合题意；

:这组数据中8出现了3次，出现的次数最多，

，这组数据的众数为8,故A不符合题意；

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这组数据的平均数为“)+K+色+：+8+了+8=&,故c不符合题意；

7

这组数据的方差为(6-8产+(7-8产+8X(8-8"(9-8产+(10-8-=吗8,故D符合题意；

77

故选”

本题主要考查了求平均数，众数，中位数，方差，熟知平均数，众数，中位数，方差的定义是解题的关键.

5.【答案】C

【解析】【分析】先利用勾股定理计算出AB,再利用扇形的面积公式即可计算出圆锥的侧面积.

【详解】解：；/C'：90,AC=3,BC-1,

AB=，32+42=5，

以直线AC为轴，把「旋转一周得到的圆锥的侧面积-；X2TTX4X5

=2O7T.

故选：(,.

本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径

等于圆锥的母线长.

6.【答案】B

【解析】【分析】设水深为h尺，则芦苇高为“+1，尺，根据勾股定理列方程，求出h即可.

【详解】解：设水深为h尺，则芦苇高为「/一1,尺，

由题意知芦苇距离水池一边的距离为10+2=5尺，

根据勾股定理得：-＞，//=(/»+1产，

解得八=12,

即水深为12尺，

故选：B.

本题主要考查勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键.

7.【答案】D

【解析】【分析】根据第一、二步折叠易得四边形为正方形，AG=lOcr/!,以此得出

=(20，5—，根据勾股定理求出，根据第三步折叠可得/GEA/=/G'EM,进

而得到/GEM=/("/",则GE=GA/,于是MD=GD-GM,即可求解.

【详解】解：；四边形ABCD为矩形，AB=20e，n,4D=2(h/5cm

Z.A=90',

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由第一步折叠可得，八D'/EF,AE-BE-10em,

由第一步折叠可得，AE=A'E-10c»n,ZEA'G=LA9(),

AE//AG,

/.四边形AEA'G为平行四边形，

AE=A'E,NA=90",

,平行四边形AEA'G为正方形，

/.AG—AE-lOcz/i,

GD=AD-AG=(20\/2-1()卜”，

在Rt^AEG中，EG=y/AG^4-AE1=\/102+102=10々(“〃)，

根据第三步折叠可得，AGEM=AG'EM,

：GD：jEF,

：.£GME=Z.G'EM,

ZGE.W=/GA/E,

:.GEGM10>/2rni,

MD=GD-GM=20>/2-10-10v^=(10>/2-10)on.

故选：D

本题主要考查折叠的性质、矩形的性质、正方形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握折叠

的性质是解题关键.

8.【答案】B

【解析】【分析】本题考查了勾股定理，含3U角的直角三角形的性质，矩形的性质，三角形的面积等知识,

考虑一3/V'的两个临界点，①如图1,当点P与点A重合时，一3厂「最小，此时BC的值最大；②如图2,

当点P是AD的中点时，一最大，此时BC最小；分别计算BC的值，确定BC的最大值和最小值，可

得结论.

【详解】解：①如图1,当点P与点A重合时，

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•.•四边形ABCD是矩形，

=90。，

•.AB=12.NBPC=30,

BC==4y/3«6.928

6>/3

此时BC是满足题意的最大值；

②如图2,当点P是AD的中点时，此时BC最小,

过点B作/?E1CT于E,

设BE-a,AP-x,则BC=AD=2x

.ZHPC=30,

BP=2BE=2a=BC,PE=x/^a,

r

-x2xx12=-x2a-a

422,

x2+122=4a2

解得：工=24+12/5（舍）或24-12A/5,

BC=2J-=48-24Vz5,

综上，48-24V&BC《4v/3,即6.432&BC46.928.

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故选：B.

9.【答案】一』

【解析】【分析】直接利用立方根的意义，一个数的立方等于a,则a的立方根是这个数进行求解.

【详解】解：根据立方根的意义，一个数的立方等于a,则a的立方根是这个数，

可知T”的立方根为1.

故答案为：-4.

本题考查了立方根，解题的关键是掌握一个数的立方等于a,则a的立方根是这个数.

10.【答案］£》1

【解析】【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使—在实数范围内有意义，必须

7一1》（），从而可得答案.

【详解】解：代数式后彳有意义，

x-10.

，工》1,

故答案为：rel

n.【答案】5

【解析】【分析】根据众数和中位数的概念求解.

【详解】解：:数据1、3、X、5、8的众数为8,

r-8,

则数据重新排列为1、3、5、8、8,

所以中位数为5,

故答案为7

本题考查了众数和中位数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大或

从大到小，的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数

据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.

12.【答案】［

O

【解析】【分析】用正方形的内切圆的面积的一半除以正方形的面积得到针尖落在黑色区域内的概率.

【详解】解：设正方形ABCD的边长为2a,

、,黑色区域面积为正方形的内切圆的面积的一半，

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12

针尖落在黑色区域内的概率.5X"X"-_2

4a2-8

n

故答案为：O-

本题考查了几何概率：某事件的概率=某事件所占有的面积与总面积之比.

13.【答案】12

【解析】【分析】此题主要考查了正多边形和圆、等边三角形及特殊角的三角函数值，根据已知得出六边

形ABCDEF是边长等于正六边形的半径是解题关键.根据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的

性质求解即可.

【详解】解：如图，连接0A、0B,；

•六边形ABCDEF是边长等于正六边形的半径，设正六边形的半径为a,

.•.△。川3是等边三角形,

OA=AB=a

解得a=2,

.■.它的周长=6o=12.

故答案为：12

14.【答案】24aW6

【解析】【分析】如图，当点Q在圆外且0,Q,P三点共线时，线段0Q的长度的最大，当点Q在圆内且

0,Q,P三点共线时，线段0Q的长度的最小，据此得到结论.

【详解】解：如图，

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当点Q在圆外且0,Q,P三点共线时，线段0Q的长度的最大，最大值为1，2-6；

当点Q在圆内且0,Q,P三点共线时，线段0Q的长度的最小，最小值为4-2=2,

所以，线段0Q的长度a的范围为2WaW6.

故答案为：2("<6.

本题考查了点与圆的位置关系，正确的作出图形是解题的关键.

15.【答案】，讴

【解析】【分析】本题考查了圆周角定理和解直角三角形.连接八。，如图，设,。的半径为r,先

证明BD为，。1口的中位线，则再根据圆周角定理得到=,再利用勾股定理计算出

4。=圾，然后根据正切的定义求解.

2

【详解】解：连接OE、.40,如图，设(•()的半径为r,

()>B两点是线段AC的三等分点,

：.()B=CB,

二,点D恰为线段CE中点，

.•.BD为AOCE的中位线，

B"==5,

1•.W8为直径，

二乙1/〃，-1»0,

在RtLABD中,

\/15

tanZABD=鉴=-^―=4K.

2r

故答案为：\/15.

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16.【答案】［

39

【解析】【分析】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，勾股定

理等知识，连接CD,根据/G=GO=CG,可说明乙4DC=90r,从而求出AD的长，再利用

自HDG八HAD,得黑=器=黑=：,设GH=5.r,则AH=5z+2,进而得出x

Al)HAHD8

的值.

【详解】解：如图，连接CD,

E

由勾股定理得，.43=y/AC1+BC2=5,

「点G为AC的中点，

AG=CG,

：△£)£/''的锐角顶点D恰好落在AABC的斜边AB上,

.4G=DG,

N4=Z.AD(；.4；CD=NG",

AADC=gx180°=90,，

AD=-,

5

・.・LAHD=4DHG.乙HDG=AHAD,

・・.4HDG-LHAD,

DGPHHG25

•,AD=瓦I=71D=16=8,

T

设GH5/,则DH—5x9

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5

••51+285

解得/-.1*'

经检验，，—，是方程的解,

128

/.AH=51+2

39

12828

・

..CH=AC-AH=4而一M

9ft

故答案为：记

17.【答案】解:

=1+9-3

【解析】【分析】根据零指数能法则，负整数指数能法则，立方根的性质进行计算便可.

本题考查了零指数塞，负数整数指数累，熟记实数的混合运算的顺序和运算法则是解题的关键.

-2y=8①

18.【答案】

21+y=购

由②得”=3-2.r③,

将③代入①，得:“-2(3-2I)=8,解得，=2,

将工=2代入"=3-2］，得〃=一1,

1=2

所以方程组的解为

U=一

【解析】【分析】利用代入消元法解二元一次方程组即可.

本题考查解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题的关键.

a-2a-1

19.【答案】)-T-(a-4)

a+2

a24-2aa—4

1

a2+2a

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2

a2+2a=2

1

原式-

a2+2a2

19

【解析】【分析】原式化简得.一；由“一~——2去分母变形得/+2〃—2,进而即可求解.

本题主要考查分式的化简、运算及等式的基本性质；对题设的等式作恒等变形得出代数式的值是解题关键.

20.【答案】(1)若小明去食堂用餐时4个窗口都没有人，则小明选择在②号窗口取餐的概率是:，

故答案为：-•

(2)画出树状图如图,

开始

小红①②③④

一/K小小小

小丽®②③④(D②③④d)②③④(D②⑥④

共有16种等可能结果，符合题意的有6种，

I-J

二.小红和小丽在相邻窗口取餐的概率为77=(

【解析】【分析】(“根据概率公式直接求解即可；

口根据题意画出树状图，然后根据概率公式即可求解.

本题考查了求概率，熟练掌握概率公式与画树状图法求概率是解题的关键.

21.【答案】解：因为这60天的日平均气温按从小到大排列，第30天的气温是19,第31天的气温是20,

iq+20

所以这60天的日平均气温的中位数为三'-=19.5,

因为气温是19的天数最多，

所以众数为1!».

⑵解：；吆笔业、30=2。(天).

，估计苏州今年4月份日平均气温为“舒适温度”的天数大约为20天.

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【解析】【分析】(1)根据中位数和众数的概念求解即可；

(2)用样本中气温在18~21的范围内的天数所占比例乘以4月份的天数即可.

本题主要考查众数和中位数、样本估计总体，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照

从小到大；或从大到小।的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位

数.如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.

22.【答案】解：,48=CD，

AB+BCCD-BC,即AC—BD,

-：EA//FB.EC//FD,

Z4=ZFBC,£ACE=ZD,

AE=FB,

•••E.\/!FB,

•四边形EFBA是平行四边形，

EF//AD.

【解析】【分析】先证明△“£。且乙/?/?小八5川可得/:.卜'//;7?,进而可得四边形EFBA是平行四边形，

最后根据平行四边形的对边平行即可解答.

本题主要考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，灵活运用

平行四边形的判定与性质是解答本题的关键.

23.【答案】解：过点A、B分别作东西方向的垂线于点E、D,作于点F

则四边形FEDB为矩形

EF=BD,FB=ED

在RtAAEC中,£CAE=a

,/cosa=,

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a=45°

;—20海里

AE=CE=史A。=2(海里।

2

在用八/7。。中，£CBD=i,BC：同海里

■,CD=siuix3c=3海里

由勾股定理得：BC'=BD2+CD2

解得：80=1

..AFAE-EF=1海里,BF=EC+CD—5海里

则,4B=x/AA'-+标?二体海里

即：A、B两艘轮船之间的距离为，丽海里

【解析】【分析】利用勾股定理及三角函数解直角三角形即可.

本题考查三角函数的应用.根据已知条件构造直角三角形是解题关键.

24.【答案】(1)解：•.•点F、E在直线“=一工+3图象上，

:设「(，〃，-，"+3),则/,；(，〃+1,—(m+1)+3),即(m+l,T»+2),

EF=(m+1—in)2+(―ni+2+m—3)2=y/2.

⑵解：•.•反比例函数1/=々工>())的图象正好经过点F、E,

k=，“(一〃，+3)=(rn+l)(-n»+2),

解得m=1,

k-m(-m4-3)=1x2=2.

【解析】【分析］(”表示出£、F的坐标，然后利用勾股定理即可求得EF的长度；

」：根据反比例函数图象上点的坐标特征得到卜=〃M-m+3)=(m+l)(-m+2),解得即可.

本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函

数的解析式，勾股定理，正确表示出点的坐标是解题的关键.

25.【答案］(”证明：:CF//AB，

=ZFC/?,

：Z.FCB=/.DEF,

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/DEF,

：A「是•()的切线

../£MC+/B=90,

是圆0的直径，

ZC'£D-9(),

:.NDEF+Z.CEF=90°,

ABAC=ZCEF；

(2)解：连接FD,并延长和AB相交于G,

£EFC=£ECF,

1,四边形CEDF为圆内接四边形,

Z.ECF+Z.FDE=180°

NFDE4-NADG=180°

£ADG=4ECF,

又NCDE=Z.CFE,

Z.ADG=ZCDE,

:CD为*。的直径，

ZDFC=90°,

•FC//AB,

：.^FGA=90°,

是•()的切线

£FGA=NACD,

.AD—AD,

：.△4G。之^ACD(AAS),

：,DG=CD,AC=AG=G,

Z.ACB=90°,AB=1(),

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BC=/AB?-AC1=8,

在"/△3DG中，设「D=r,则40=8。-CD=8-r,BG=AB-AG=10-6=4,

•1-BG2+DG-=Bl)2,

：.42+r2=(8-z)2,

J-3,即CD—3.

【解析】【分析】本题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、

平行线的性质、圆内接四边形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解

此题的关键.

I：由平行线的性质结合已知得出一Z?-匕DEF,再结合圆周角定理即可得证；

②连接FD,并延长和AB相交于G,证明△AGOgZ\ACD(44S)得出OG=rn.l「=4G=6,再结

合勾股定理计算即可得出答案.

(b

26.【答案】(1)解：由题意知｛-2x—j=।,

(c=1

解得：｛

:抛物线L的解析式为V=-J2+2J+1；

②解：由题意得：x轴平分一"(，即乙AZ?。=,

■<3。的内心恰好在X轴上,

.•.△4BC的三个内角的角平分线交点在x轴上，

由此可知点C在y轴的左侧，

过点C作C。轴于点D,如图所示：

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由题意知：0、-1,OB-1,

：./.ABO=ADBC=15,

DC=DB,

设C(a,-a?+2a+1),则有CD=a2—2a—1,BD—1—a,

：.a2—2a—I=1—n,

解得："i=-1,化,=2(不符合题意，舍去),

.•.点—2)；

设抛物线却的解析式为V-2+2r+1+A-,

.W(().1+A-),A'(2,l+fc),

设口("，

①当时，浜一黑,

l+k-t1

-7'

.•.产-(l+k)t+2=()①；

②当时，蒙一黑,

;WAOn

l+k-tt

,--------------——,

一21

=3k+1)②；

I当方程①有两个相等实数根时，

△=(14-A,)2-8=0,

解得：卜—26-1(负值舍去)，

此时方程①有两个相等实数根t|=<2=A/2,

第22页，共27页

方程②有一个实数根t

3

A:=2v/2-1，

IL当方程①有两个不相等的实数根时，

把②代入①，得：］（*+1产-赳+1）2+2=0,

解得：£=2（负值舍去），

此时，方程①有两个不相等的实数根，：=1、益=2,

方程②有一个实数根，=I,

.,.k=2,

综上，当与△》（相相似，并且符合条件的点P恰有2个，则/「2桢一1或？・

【解析】【分析】根据对称轴为直线，=1且抛物线过点4（0/）求解可得；

⑵由题意易得x轴平分一1m'，即/"B0=NC3O,且点C在y轴的左侧，过点C作（,/）一轴于点D,

设L（a,-a2+2a+i）,然后可得/一一1=1一a,进而问题可求解；

（引设抛物线〃的解析式为”=一/+2l+1+4，知八/（（）,1+卜）、.V⑵1+卜）、,再设P（（M）,

分s△80P和△PMNs两种情况，由对应边成比例得出关于t与k的方程，利用符合条

件的点P恰有2个，结合方程的解的情况求解可得.

本题主要考查二次函数的综合、相似三角形的性质与判定及三角形的内心，熟练掌握二次函数的综合、相

似三角形的性质与判定及三角形的内心是解题的关键.

27.【答案】（1；解：」“是BC的中点，

BC=2BE=25/2,

:四边形ABCD是矩形，

AD=BC=2^2，ZB=9（K,AD//I3C,

：.£AEB=ZP.4F,

•/DF.AE,

：.NAFO=900=ZB,

A/IZJEsLDFA,

AEBE

,而=#'

AE-AF=ADBE^2^2x>/2=4;

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（2）解：延长DF交CB的延长线于H,连接OE、AH,如图2,

.•四边形ABCD是矩形，

..\D//BC,AD^BC,ZBC£>=9(),

•.A.4/9G/△C/G,

ADAG2

CH^CG=3,

BC2

-C/7=3'

1.B”=衣,

.•E是BC的中点，

•.BE=CE=BH,

■.EH=BC=AD,

•.四边形ADEH是平行四边形，

.•DF.AE,

•.四边形ADEH是菱形，

­.DF=HF,Z.AEH=Z.AED,DE=AD=EH=BC,

-CE=-HC=-DE,

22

CE1

■.sinZCD£-=—

•.ACDE=30,

♦.£CED90-3060,

•.AAEH=ZAED-6(),

.•DF\AE,

FOE=30。-/('DE,

•.FE=\DE=CE

第24页，共27页

ZFCE=£CFE==30°,

——瓜

：.cosZ.FCE=—；

⑶解:过F作PQL4B于p,交CD于Q,作KH1/1D于H,如图3,

图3

则『Q=，O,"=OQ,PQ//BC//AD,

是AB的中点，E是BC的中点，

AB=2AG,BC='IDE,

1•四边形ABCD是矩形，

AD=BC,AB=CD,ZB=/.DAG=90°,

DF.AE,

：.^ADF+ZD.4F=^BAE+^DAF=90,

£BAE=Z.ADF,

.\ABEsAD.1G,

ABBE

'\4P=4G)

：.AB-AG=ADBE,

即-AB2-\.\D-,

22

：.AB=AD,

二四边形ABCD是正方形，

AB=BC=CD=AD=PQ,

设AB=BC=CD=AD=PQ=4a,则BE=AG=2a,

tanZ.ADG=tanZH.4E=^=^,AE=DG=^/(2<I)24-(In)2=2y/5

vSAADG=^DGAF=^AD