天津市南开区2024届九年级下学期质量监测一模数学试卷(含答案)

南开区2023~2024学年度第二学期九年级质量监测（一）数学试卷本监测分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．监测满分120分，时间100分钟．第Ⅰ卷（选择题共36分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.计算的结果是（）A.1 B.﹣1 C. D.﹣答案：B解析：解：原式＝＝﹣1．故选：B．2.围棋起于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（）A. B. C. D.答案：D解析：解：A、不是轴对称图形，故选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故选项不符合题意；D、是轴对称图形，故选项符合题意；故选：D．3.我国研究人员利用中国天眼对致密星系群“斯蒂芬五重星系”及周围天区的氢原子气体进行成像观测，发现了1个尺度大约为200万光年的巨大原子气体系统，尺度比银河系大20倍．长度单位光年是指光在真空中传播一年所经过的距离，大约为9460700000000千米，将数9460700000000用科学记数法表示为（）A. B.C. D.答案：C解析：解：．故选：C．4.估计的值在（）A.3和4之间 B.4和5之间 C.5和6之间 D.6和7之间答案：B解析：解：∵，则，∴，故选：B．5.如图所示的几何体是由5个大小相同的立方块搭成的，它的主视图是（）A. B.C. D.答案：A解析：从正面看，底层是三个小正方形，上层的右边是一个小正方形，故选：A．6.的值等于（）A. B. C. D.答案：A解析：故选：A．7.计算的结果是（）A. B. C. D.答案：A解析：解：，故选：A．8.若点，，都在反比例函数的图象上，则，和1的大小关系是（）A. B. C. D.答案：D解析：解：∵在反比例函数的图象上，∴，解得：，∵，∴反比例函数在上y随x增大而减小，且小于0，∵，∴，∴，故选：D．9.下列方程中两根之和为2的方程是（）A. B.C. D.答案：C解析：解：A、的两根之和为，故A错误；B、由可知：，该方程无实数根，故B错误；C、的两根之和为，故C正确；D、的两根之和为，故D错误．故选：C．10.如图，在中，按照如下尺规作图的步骤进行操作：①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，分别与交于M，N两点；②分别以M，N为圆心，以适当长为半径画弧，两弧交于点D，作射线与交于点E；③分别以B，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，Q，作线段与于点F；④连接．若，，则的周长为（）A. B. C. D.答案：B解析：解：由作图方法可知，平分，垂直平分，∵，∴，∴，∵垂直平分，∴点F为的中点，∴，∴的周长为，故选；B．11.如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在AB边上，连结，连结，则下列结论错误的是（）A. B.C. D.答案：C解析：解：，，，，∵将绕点A逆时针旋转得到，，，，，，∴，设，由旋转的性质得，∴等边对等角得，，∴，∵，∴，观察四个选项，只有C选项符合题意，故选：C．12.如图，是抛物线形拱桥，当拱桥顶端C离水面时，水面的宽度为．有下列结论：①当水面宽度为时，水面下降了；②当水面下降时，水面宽度为；③当水面下降时，水面宽度增加了．其中，正确的是（）A.0 B.1 C.2 D.3答案：D解析：如图，建立平面直角坐标系，坐标原点O在上，所在直线为x轴，y轴过抛物线顶点C，根据题意得，，，由对称性知，∴，，，设抛物线解析式为，代入得，，解得，，∴，设水面下降到位置，当水面宽5米时，设，则，∴水面下降了，①正确；当水面下降时，设，则，解得，，∴水面宽度为，②正确；当水面下降时，设，则，解得，∴水面宽度为，∴水面宽度增加了，③正确．故选D．第Ⅱ卷（非选择题共84分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分；共18分．请将答案直接填在答题纸中对应的横线上）13.计算的结果是___________．答案：解析：解：．故答案为：．14.从，，，，中任取一个数作为，则抛物线开口向下的概率为______________．答案：##0.4解析：解：要使抛物线开口向下，，在，，，，中只有，符合，要使抛物线开口向下的概率为．故答案为：．15.计算的结果为______________．答案：解析：解：，故答案为：．16.直线与x轴交于点，与y轴交于点，将直线沿y轴向下平移2个单位长度得到直线l，则直线l的解析式为______________．答案：解析：解：设直线为，代入得，，解得，直线为，将直线沿轴向下平移2个单位长度得到直线，则直线的解析式为．故答案为：．17.如图，在等腰中，，过点C作，连接，交于点，点为中点，连接，，若，则______________．答案：5解析：解：如图，延长交于点，连接，，点为的中点，，点在线段的垂直平分线上，是等腰直角三角形，，是线段的垂直平分线，，，，，，，，，，，，，，，四边形是平行四边形，，故答案为：5．18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B，C均落在格点上，是的外接圆．（I）线段的长等于______________；（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，上方的圆上画点P，使得，并画出的中点Q．简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明）________________．答案：①.②.取格点D，连接CD并延长交于点P，取格线与的交点E，连接PE交AB于点F，连接CF并延长，与圆交于点Q，点P，Q即为所求．解析：①解：在中，，故答案为：．②如图，取格点D，连接并延长交于点P，取格线与的交点E，连接交于点F，连接并延长，与圆交于点Q，点P，Q即为所求．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19.解不等式组，请按下列步骤完成解答：（1）解不等式①，得______________，（2）解不等式②，得______________，（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（4）原不等式组的解集为______________．答案：（1）（2）（3）图见解析：（4）小问1解析：解：，故答案：．小问2解析：解：解得：，故答案为：．小问3解析：解：不等式①和②的解集在数轴上表示出来；小问4解析：解：由①得：由②得：，∴原不等式组的解集为，故答案为：．20.我区某校为了解学生锻炼情况，随机调查了名学生每周跑步的时间（单位：小时），根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②，请据相关信息，解答下列问题：（1）填空：的值为______________，图①中的值为______________；（2）求统计的这组学生锻炼时间数据的平均数、众数和中位数．答案：（1），；（2）平均数为，众数为，中位数为．小问1解析：解：结合题中的扇形统计图和条形统计图可得：，，即，故答案为：，．小问2解析：解：，这组数据的平均数为；这组数据中，出现了次，出现次数最多，这组数据的众数为；将这个数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间位置的两个数是和，，这组数据的中位数为．综上，统计的这组学生锻炼时间数据的平均数为；众数为；中位数为．21.在中，D为上一点，以为直径的与相切于点E，与相交于点F，连结，，．（1）如图1，若，求和的大小；（2）如图2，过点D作交AB于点G，若，且，求的半径．答案：（1），（2）小问1解析：如图，连接，与交于点H，为的直径，，，；与相切于点E，且为半径，于点E，即，，，；小问2解析：如图，连接，与交于点H，设，由（1）可知，四边形为矩形，，且，于点H，且为半径，，，且，四边形为平行四边形，，又，且，，，在中，，，解得：，即：的半径为．22.如图，旗杆上有一面宽为的旗子．在同一水平线上，小明在距旗杆m的点处测得点的仰角为，随后小明沿坡角（）为的斜坡走了m到达点处，测得点的仰角为．（1）求斜坡的高度的长；（2）求旗面宽的长度（参考数据：，结果精确到）．答案：（1）斜坡的高度EF的长为m；（2）旗面宽AB的长约为m．小问1解析：在中，，，由勾股定理．斜坡的高度的长为；小问2解析：过点作，垂足为，由题意得：，即四边形为矩形，则，，，，在中，，在中，，，（m），旗面宽的长约为m．23.已知小明家、公共健身区、超市依次在同一条直线上，公共健身区距离小明家，超市距离小明家．小明从家里出发，匀速慢跑到公共健身区，在公共健身区进行锻炼；接着他匀速快走到达了超市，在超市短暂停留了购买商品；最后，他匀速散步回到家中．下面图中（单位：）表示小明离开家的时间，（单位：）表示小明离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与小明离开家的时间之间的对应关系．请根据相关信息，回答下列问题：（1）填表：小明离开家的时间（单位：）小明离家的距离（单位：）

（2）填空：①超市到公共健身区距离为___________；②小明在公共健身区进行锻炼的时间为___________；③小明从超市返回到家的速度为___________；④当时，请直接写出关于的函数解析式．（3）当小明离开家时，妈妈带着弟弟从家出发以的速度匀速步行直接去超市，那么她们在去超市途中遇到小明时离家的距离是___________．答案：（1），；（2）①；②；③；④当时，；当时，；当时，．（3）或或．小问1解析：解：根据图像可得：小明前往公共健身区时匀速慢跑的速度为，时，小明离家的距离；当时，小明仍在公共健身区锻炼，．故答案为：；．小问2解析：解：①公共健身区离小明家，超市距离小明家，且小明家、公共健身区、超市依次在同一条直线上，超市到公共健身区距离为，故答案为：．②根据图象可得，小明在公共健身区进行锻炼的时间为，故答案为：．③根据图象可得，小明从超市出发，到家，小明从超市返回到家的速度为，故答案为：．④当时，可分三个时间段表示关于的函数解析式：时，，时，，时，设，将、分别代入可得，，解得，，综上，当时，；当时，；当时，．小问3解析：解：依题得：妈妈和弟弟在时从家出发，以的速度去超市，则可用即表示妈妈和弟弟离家的距离，其中，当时，，解得，，又时，小明离家的距离为，时，小明离家距离为，即．由得，她们可能遇到小明的时间段有：①时，，解得，在该时间段内，此时，她们在去超市途中遇到小明时离家的距离可能是；②时，，解得，在该时间段内，此时，她们在去超市途中遇到小明时离家的距离可能是；③时，，解得，不在该时间段内，此情况不成立；④时，，解得，在该时间段内，此时，她们在去超市途中遇到小明时离家的距离可能是．综上，她们在去超市途中遇到小明时离家的距离是或或．24.在平面直角坐标系中，，均为等边三角形，其中点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转，得到，点C，D的对应点分别为E，F．（1）如图1，连接，，直接写出和的数量关系______________；（2）如图2，若，垂足为点M．延长与交于点．求旋转的角度和点N的坐标；（3）如图3，在（2）的情况下，将沿平移，点E，A，F的对应点分别为，（点在线段上，不与线段端点重合），，得到'．设，与重叠部分的面积为S．①当与重叠部分为三角形时，用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．答案：（1）（2）旋转角为，点坐标为；（3）①；②或．小问1解析：解：∵由旋转性质可知：，∵，均为等边三角形，∴，，，∴，即：，∴，∴小问2解析：如解（2）图1，过点N作，垂足为，∵，是等边三角形，∴，又∵为等边三角形，∴，故旋转的角度为，∴，，∵在为等边三角形中，，∴，，故点坐标为小问3解析：解：由（2）得，，∴，∵点，点．∴，∴，当落在上时，落在上时，与重叠部分为，如解（3）图1，，此时：，当落在上时，落在延长线时，当与重叠部分为，如解（3）图2，此时：，，故当时，与相交，与重叠部分为三角形，为直角三角形，，综上所述：，②当时，即，解得：，（不合题意舍去），∴时，．25.抛物线与y轴交于点且过点，其中，连接．（1）当时，求抛物线解析式和其顶点的坐标；（2）当时，若点M为抛物线上位于直线上方的一点，过点M作直线的垂线，垂足为N．求的最大值和此时点M的坐标；（3）已知点，点，若点P在线段上，且，连接，，当的最小值为时，直接写出此时b的值和点P的坐标．答案：（1），（2）点M坐标为时，有最大值（3），点P的坐标为小问1解析：解：当时，点B坐标为，将点和代入得到：，解得，抛物线的解析式为，当时，，顶点的坐标为；小问2解析：解：当时，抛物线解