第十二讲：几何知识初步-直线、射线、线段、角

龙文培训学校授课课题第十二讲：几何知识初步---直线、射线、线段、角教学目标1.准确辨别常见的几何图形；2.熟悉直线、射线、线段的区别和联系；3.掌握角的定义；4.掌握余角和补角的含义及其应用；5.方位角。教学重点1.基本几何体定义；2.直线、射线、线段的定义及其表示；3.角的定义。教学难点1.辨别基本几何体；2.直线、线段、射线的区别和联系；3.余角和补角区别。教学流程新课导入【思考】什么是平面图形，什么是立体几何图形？正方形的展开图是怎样的？圆形面积公式，长方形、正方形周长公式及面积公式；合作探究一．新知探究：（一）基本概念

几何学：是数学的一门分科，研究物体的形状、大小和相互位置。几何图形：由若干个点、线、面、体组合在一起，叫做几何图形。包括平面图形和立体图形。平面图形：图形上的所有的点在一个平面内。如：平行四边形、长方形、正方形、梯形、三角形、圆形。立体图形：图形上的所有的点不全在一个平面内。如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球。展开图：有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。例如：正方体的展开图：三视图：主视图、左视图、俯视图。例如：正方体的三视图：都是正方形。举例，生活中常见的图形的三视图。课堂练习：1．把下面几何体的标号写在相对应的括号里．长方体：{} 棱柱体：{}圆柱体：{} 球体：{}圆锥体：{}2．讲台上放着一本书，书上放着一个粉笔盒，请说明下面的三幅图分别是从哪个方向看到的?①②③3．用如图所示的平面图形可以折成的多面体是______．4．人民英雄纪念碑的中间部分是一个长方体，它的形状类似于()(A)棱柱 (B)圆柱 (C)圆锥 (D)球5．奥运会的标志是五环，这五环中的每一个环的形状与下列哪个形状类似()(A)三角形 (B)正方形 (C)圆 (D)长方形6．下图中，不是左图所示物体视图的是()7．下列四张图中，能经过折叠围成一个棱柱的是()．8．下图中哪些图形是立体的，哪些是平面的?9．如果将标号为A，B，C，D的正方形沿图中的虚线剪开拼接后得到标号为P，Q，M，N的四组图形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪组图形”的对应关系填空．A与________对应，B与______对应，C与______对应，D与______对应．（二）线

（1）、直线：性质：①经过一点，可以画无数条直线；②经过两点，只能画一条直线；③两条直线相交，只有一个交点；④直线没有端点，可以向两个方向无限延伸，不能度量。表示方法：①直线上任意两点的大写字母表示，如直线AB；②用一个小写字母表示，如直线a。

（2）、射线：只有一个端点，以端点为界，只能向一方无限延伸，也不能度量。表示方法：用表示端点和射线上另外一点的两个大写字母表示，并且把表示端点的字母写在前面，如射线AB，A是端点。（3）、线段：直线上两点之间的一段叫做线段。这两点叫做线段的端点。性质：线段是直线的一部分，有长短，可度量。在连结两点的所有线中，线段最短。表示方法：①用表示它的两个端点的大写字母来表示，如线段AB；②用一个小写字母表示，如线段a。（4）、两点间的距离：连结两点之间的线段的长度，叫做两点间的距离，简称距离。例如，A、B两点间的距离，就是线段AB的长度。（5）、垂直和垂线：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。其中一条直线是另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。垂直符号用“⊥”表示。如图。两条直线相交不成直角时，其中的一条叫做另一条的斜线。点到直线的距离：从直线外一点到这条直线所画垂线段的长度。垂线的性质：①过直线上或直线外一点，有且只有一条直线和已知直线垂直。②从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短。（6）、平行线：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。两条直线互相平行，从一条直线上的任意一点向另一条直线引垂线，所得的平行线间的垂直线段的长度，叫做这两条平行线的距离。平行线间的距离处处相等。

3、角

(1）、概念：从一点引出两条射线所组成的图形叫角，这一点叫做角的顶点，这两条射线叫角的边。角用符号“∠”表示。角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。

(2)、表示方法：①∠AOB或∠BOA；②当以O为顶点的角只有一个时，可以记作∠O；③可以在角项部注上数字，如图，可以记作∠1。

(3)、角的分类：平角：角的两边成一条直线时，所成的角是平角。平角等于180°。周角：一条射线绕着它的端点，旋转一周所成的角是周角。周角等于360°，1周角=2平角直角：平角的一半叫做直角。直角是90°。锐角：小于直角的角，称为锐角。锐角大于0°度小于90°。钝角：大于直角而小于平角的角，称为钝角。钝角大于90°度小于180°。（4）、互余的角和互补的角：如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角。如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角。（5）、角的计算：1°=60′，1′＝60″。（6）、角平分线：从顶点出发的射线，能把一个角一分为二，那么这条线是角平分线。（7）、方位角：课堂练习：1．按组成面的侧面“平”与“曲”划分，与圆柱为同一类的几何体是()．(A)圆锥 (B)长方体 (C)正方体 (D)棱柱2．圆锥的侧面展开图不可能是()．(A)小半个圆 (B)半个圆 (C)大半圆 (D)圆3．将下面的直角梯形绕直线l旋转一周，可以得到如下图所示的立体图形的是()．4．下列说法错误的是()．(A)长方体、正方体都是棱柱(B)棱柱的侧棱长都相等(C)棱柱的侧面都是三角形(D)如果棱柱的底面各边长相等，那么它的各个侧面的面积一定相等5．下面有编号Ⅰ～Ⅸ的九个多面体．(1)如果我们用V表示多面体的顶点数，E表示多面体的棱数，F表示多面体的面数．请分别数一下这些多面体的V，E，F各是多少?编号多面体名称顶点数(V)面数(F)棱数(E)Ⅰ立方体Ⅱ三棱柱Ⅲ三棱锥Ⅳ五棱锥Ⅴ三棱台Ⅵ楔体Ⅶ截角立方体Ⅷ八面体Ⅸ“塔顶”体(2)想一想，V，E，F之间有什么关系?①面数F是否随顶点数V的增大而增大?答：____________________________________________________________；②棱的数目E是否随顶点的数目V的增大而增大?答：____________________________________________________________；③V＋F与E之间有何关系?答：____________________________________________________________．直线射线线段巩固练习：1．要把木条固定在墙上至少要钉______个钉子，这是因为____________________．2．经过一点的直线有______条；经过两点的直线有______条；并且______一条；经过三点的直线______存在，如点C不在经过A、B两点的直线AB上，那么______经过A、B、C三点的直线．3．把线段向一个方向延长，得到的是________；把线段向两个方向延长，得到的是______．4．线段有______个端点，射线有______个端点，直线有______个端点．5．如图，点O在线段AB______；点B在射线AB______；点A是线段AB的一个______．6．如图，图中有______条射线，______条线段，这些线段是__________．7．如图，AC，BD交于点O，图中共有______条线段，它们分别是______．8．如图，图中有______条线段，它们是______图中以A点为端点的射线有______条，它们是______图中有______条直线，它们是______．9．根据“反向延长线段CD”这句话，下图表示正确的是()．10．如图所示，有直线、射线和线段，根据图中的特征判断其中能相交的是()11．下列说法中正确的有()①钢笔可看作线段②探照灯光线可看作射线③笔直的高速公路可看作一条直线④电线杆可看作线段(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个12．下列说法中正确的语句共有()①直线AB与直线BA是同一条直线②线段AB与线段BA表示同一条线段③射线AB与射线BA表示同一条射线④延长射线AB至C，使AC＝BC⑤延长线段AB至C，使BC＝AB⑥直线总比线段长(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个13．(1)点P在直线AB上，点M在直线AB外．(2)直线AB、CD交于点O，点M在直线AB上，但不在CD上．(3)经过点O的三条直线a，b，c．14．按要求画图：(1)画直线BD．(2)画射线AC和AD．(3)延长线段AB．(4)反向延长线段AB．角的巩固练习：1．(1)____________的图形叫做角，____________________叫做角的顶点，_____________________叫做角的边．(2)角也可以看作是由一条___________绕着它的___________而形成的图形，这条射线的起始位置叫做角的______，其终止位置叫做角的__________．(3)一条射线绕其端点O按逆时针方向旋转得到∠AOB，当角的终边OB旋转到与角的始边OA成一条直线时，称∠AOB为______；若角的终边继续旋转，当角的终边OB与角的始边OA重合时，称∠AOB为______．(4)以度、分、秒为单位的角度制规定，把一个周角______，每一份叫做1度，记作______；把1度的角______，每一份叫做1分，记作______；把1分的角______，每一份叫做1秒，记作______．这样，1周角是______°，1平角是______°，1°＝______'，1′＝______″．2．用三个字母表示图中所注的∠1、∠2、∠3：(1)(2)(3)∠1是______；∠1是______；∠1是______；∠2是______；∠2是______；∠2是______；∠3是______；∠3是______；∠3是______；∠4是______．3．图中以OC为边的角有______个，它们分别是______4．下列说法中正确的是()．(A)两条射线组成的图形叫做角(B)平角的两边构成一条直线(C)角的两边都可以延长(D)由射线OA、OB组成的角，可以记作∠OAB5．下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是)6．如图，图中共有()个角．(A)6 (B)7(C)8 (D)97．如图所示，点O在直线AB上，图中小于180°的角共有()．(A)7个 (B)8个(C)9个 (D)10个8．下列说法正确的是()(A)一个周角就是一条射线 (B)平角是一条直线(C)角的两边越长，角就越大 (D)∠AOB也可以表示为∠BOA9．从早晨6点到上午8点，钟表的时针转过的角的度数为()．(A)45° (B)60° (C)75° (D)90°10．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则下图中以BC为公共边的“共边三角形”有()(A)2对 (B)3对(C)4对 (D)6对11．计算：(1)0.4°＝______'； (2)0.6′＝______″；(3)24′＝______°； (4)12″＝______′；(5)57.32°＝______°______′______″；(6)17°14′24″＝______°；(7)17°40′÷3＝______°______′______″；(8)25°36′18″×6＝______°______′______″．(9)18.6°＋42°34′ (10)360°÷7(精确到1′)(11)32°16′25″×4－78°25′(12)180°－37°5′×4＋93.1°÷512．时钟的时针1小时旋转多少度?时钟的分针1分钟旋转多少度?13．5点整时，时钟的时针与分针之间的夹角是多少度?14．时钟在8：30时，时针与分针的夹角为多少度?15．已知：如图，AOB是直线，∠1∶∠2∶∠3＝1∶3∶2，求∠DOB的度数．16．如图，(1)中有______个角，(2)中有______个角；(3)中有______个角．以此类推，若一个角内有n条射线，则可有______个角．角平分线巩固练习：1．如图，若OC是∠AOB的平分线，则______＝______；或______＝____________；或______＝2______＝2______．2．如图，OM是∠AOB的平分线且∠AOM＝30°，则∠BOM＝______；∠AOB＝______．3．如图，在横线上填上适当的角：(1)∠AOC＝______＋______；(2)∠AOD－∠BOD＝______；(3)∠BOC＝______－∠COD；(4)∠BOC＝∠AOC＋______－______．4．按图填空：(1)∠ABC是∠ABD与∠DBC的______；(2)∠BDC是∠ADC与∠ADB的_______．5．如图，(1)若∠AOB＝∠COD，则∠AOC＝∠______．(2)若∠AOC＝∠BOD，则∠______＝∠______．6．在小于平角的∠AOB的内部取一点C，并作射线OC，则一定存在()．(A)∠AOC＞∠BOC (B)∠AOC＝∠BOC(C)∠AOB＞∠AOC (D)∠BOC＞∠AOC7．如图，∠AOB＝∠COD，则()．(A)∠1＞∠2(B)∠1＝∠2(C)∠1＜∠2(D)∠1与∠2的大小无法比较8．射线OC在∠AOB的内部，下列四个式子中不能判定OC是∠AOB的平分线的是()．(A)∠AOB＝2∠AOC (B)∠BOC＝∠AOC(C)∠AOC∠AOB (D)∠AOC＋∠BOC＝∠AOB9．不能用一副三角板拼出的角是()．(A)120° (B)105° (C)100° (D)75°10．如图，OC是∠AOB的平分线，OD平分∠AOC，且∠COD＝25°，则∠AOB＝()．(A)100° (B)75°(C)50° (D)20°余角和补角巩固练习：1．如果两个角的______，那么称这两个角______余角，即其中一个角是____________．2．如果两个角的______，那么称这两个角______补角，即其中一个角是____________．3．若∠＝n°，则∠的余角是______，∠的补角是______．4．若一个角的补角是150°，则这个角的余角是____________．5．若∠1与∠2分别是∠3的余角，则∠1______∠2．6．若∠1是∠3的余角，∠2是∠4的余角，且∠3＝∠4，则∠1____∠2．7．如图，∠AOD的余角是______，补角是______．8．若∠与∠互补，∠与∠互余，则∠与∠的差为____________．9．如图，已知A，O，E三点在同一条直线上，OB平分∠AOC，OD平分∠COE，则∠BOC与∠COD的关系为____________．10．若轮船甲自A岛沿北偏东45°的方向行驶30海里到达B岛，轮船乙自A岛沿南偏西70°的方向行驶50海里到达C岛，则∠BAC＝____________11．已知∠＝35°19′，则∠的余角等于()．(A)144°41′ (B)144°81′ (C)54°41′ (D)54°81′12．下列说法中正确的是()．(A)大于直角的角叫钝角 (B)小于平角的角叫钝角(C)不大于直角的角叫锐角 (D)大于0°且小于直角的角叫锐角13．∠A的补角是∠C，∠C又是∠B的余角，则∠A一定是()．(A)锐角 (B)钝角 (C)直角 (D)无法确定14.已知：如图，∠AOB＝∠COD＝90°，则∠1与∠2的关系是)．(A)互余 (B)互补(C)相等 (D)无法确定15．轮船航行到C处测得小岛A的方向为北偏西32°，那么从A观测此时的C处的方向为()．(A)南偏东32° (B)东偏南32°(C)南偏东68° (D)东偏南68°16．下面说法中正确的是()．(A)一个锐角的余角比这个角大 (B)一个锐角的余角比这个角小(C)一个锐角的补角比这个角大 (D)一个钝角的补角比这个角大17．下列说法中，正确的是()．(A)一个角的余角一定是钝角 (B)一个角的补角一定是钝角(C)锐角的余角一定是锐角 (D)锐角的补角一定是锐角18.已知点C，O，B三点共线，∠COD＝90°，∠COD绕点O由图(1)的位置旋转到图(2)的位置后，∠COB与∠AOD的关系是()．(1)(2)(A)相等 (B)互补 (C)相等或互补 (D)不能确定19．在图中画出表示下列方向的射线：(1)南偏西30° (2)南偏东25°(3)北偏西20° (4)北偏东65°(5)东北方向 (6)西南方向20.(1)一个角的余角为54°求这个角的补角的度数．(2)两个角的比是7∶3，它们的差是72°，求这两个角的度数．21．如图，分别指出A，B，C，D在O的什么方向?22．若一个角的余角比它的补角的还多1°，求这个角．23．用1∶10000的比例尺画图，并按要求填空(精确0.1cm(1)如下图，甲从O点向北偏西60°走了200米，到达A处；乙从O点向南偏西60°走了200米，到达B处，用刻度尺量出AB＝______cm，AB的实际距离是______．A在B的(2)如下图，某人从O点向东北方向走了200米到达M点，再从M点向正西方向走了282米，到达N点，用刻度尺量出ON＝______cm，ON实际距离是______，此时N在O的(3)某人在O点的北偏东60°方向上，距O点300米，他向正南方向走了600米，到达A处后，想去O点，那么他要向______方向，走24．已知∠的余角是∠的补角的并且求∠＋∠的值．25．作图题．(1)已知：∠．求作：∠的补角，并画出∠的补角的平分线．(2)已知：∠．求作：∠的余角，并画出∠的余角的平分线．26．填写下列空白和理由：(1)如图所示，∵∠与∠互余，∴∠＋∠＝90°．(理由：______________)(2)如图所示，∵A，O，B三点在同一直线上，∴∠________＋∠________＝180°．(理由：__________________.)∴∠AOC与∠BOC互补．(理由：__________________.)(3)如图，∵∠AOB＋∠BOC＋∠COD＋∠DOA＝1周角，∴∠AOB＋∠BOC＋∠COD＋∠DOA＝360°．(理由_____________________.)∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOD＋∠BOC＝180°．(理由：__________________)又∵∠BOC＝42°，∴∠AOD＝180°－∠BOC＝180°－42°＝__________．(三)归纳小结中考连接1．（2013•绵阳）把如图中的三棱柱展开，所得到的展开图是（）A．B．C．D．2．（2012•德阳）某物体的侧面展开图如图所示，那么它的左视图为（）A．B．C．D．3．（2011•来宾）圆柱的侧面展开图形是（）A．圆B．矩形C．梯形D．扇形4．（2011•呼和浩特）将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是（）A．B．C．D．5．（2013•温州）下列各图中，经过折叠能围成一个立方体的是（）A．B．C．D．6．（2011•徐州）以下各图均有彼此连接的六个小正方形纸片组成，其中不能折叠成一个正方体的是（）A．B．C．D．7．（2011•湖州）下列图形中，经过折叠不能围成一个立方体的是（）A．B．C．D．8．观察图形，下列说法正确的个数是（）（1）直线BA和直线AB是同一条直线（2）射线AC和射线AD是同一条射线（3）AB+BD＞AD（4）三条直线两两相交时，一定有三个交点．A．1个B．2个C．3个D．4个9．下列结论正确的是（）A．直线比射线长B．过两点有且只有一条直线C．过三点一定能作三条直线D．一条直线就是一个平角10．下列判断正确的是（）A．平角是一条直线B．凡是直角都相等C．两个锐角的和一定是锐角D．角的大小与两条边的长短有关11．（2010•曲靖）从3时到6时，钟表的时针旋转角的度数是（）A．30B．60°C．90°D．120°12．（2009•宁德）如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB=55°，则∠BOD的度数是（）A．35°B．55°C．70°D．110°13．（2008•淮安）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠BOC=80°，则∠AOE的度数是（）A．40°B．50°C．80°D．100°14．（2012•滨州）借助一副三角尺，你能画出下面哪个度数的角（）A．65°B．75°C．85°D．95°15．如图，∠AOB=130°，射线OC是∠AOB内部任意一条射线，OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，下列叙述正确的是（）A．∠DOE的度数不能确定B．∠AOD+∠BOE=∠EOC+∠COD=∠DOE=65°C．∠BOE=2∠CODD．∠AOD=16．（2013•重庆）已知∠A=65°，则∠A的补角等于（）A．125°B．105°C．115°D．95°17．（2013•福州）如图，OA⊥OB，若∠1=40°，则∠2的度数是（）A．20°B．40°C．50°D．60°18．（2012•孝感）已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β﹣∠γ的值等于（）A．45°B．60°C．90°D．180°19．（2009•芜湖）计算：33°52′+21°54′=_________度_________分．20．3.76°=_________度_________分_________秒；22°32ˊ24“=_________度．21．（2013•晋江市）已知∠1与∠2互余，∠1=55°，则∠2=_________°．22．（2011•厦门）若∠A=30°，则∠A的补角是_________．23．如图，∠AOB、∠COD都是直角，那么∠DOB与∠AOC的大小关系是∠DOB_________∠AOC．24．如图，AOE是一条直线，∠AOC＞∠COE，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COB的角平分线，则图中的钝角共有_________个．25．比较大小：32.5°_________32°5'（填“＞”、“=”或“＜”）．26．如果∠1=4°18′，∠2=3°79′，∠3=4.4°，则∠1，∠2，∠3的大小顺序是_________．（由小到大排列）．27．计算：（1）76°35′+69°65′（2）180°﹣23°17′57″（3）19°37′26″×928．如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．（1）指出图中∠AOD与∠BOE的补角；（2）试说明∠COD与∠COE具有怎样的数量关系．29．如图，已知∠BOC=2∠AOB，OD平分∠AOC，∠BOD=14°，求∠AOB的度数．30．如图，∠AOB=110°，∠COD=70°，OA平分∠EOC，OB平分∠DOF，求∠EOF的大小．能力提升练习一、选择题：1．（2008•宜昌）下列物体的形状类似于球的是（）A．茶杯B．羽毛球C．乒乓球D．白炽灯泡2．（2011•铜仁地区）将如图所示的直角三角形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（）A．B．C．D．3．（2006•天门）如图，5个边长为1cm的立方体摆在桌子上，则露在表面的部分的面积为（）A．13cm2B．16cm2C．20cm2D．23cm24．（2007•河北）用M，N，P，Q各代表四种简单几何图形（线段、正三角形、正方形、圆）中的一种．下图是由M，N，P，Q中的两种图形组合而成的（组合用“”表示）．那么，下列组合图形中，表示PQ的是（）A．B．C．D．5．（2012•德阳）某物体的侧面展开图如图所示，那么它的左视图为（）A．B．C．D．6．（2011•娄底）如图所示的平面图形中，不可能围成圆锥的是（）A．B．C．D．7．（2012•漳州）如图，是一个正方体的平面展开图，原正方体中“祝”的对面是（）A．考B．试C．顺D．利8．（2012•鸡西）小亮为今年参加中考的好友小杰制作了一个正方体礼品盒（如图），六个面上各有一个字，连起来就是“预祝中考成功”，其中“预”的对面是“中”，“成”的对面是“功”，则它的平面展开图可能是（）A．B．C．D．9．（2012•广安）如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“建”字所在的面相对的面上标的字是（）A．美B．丽C．广D．安10．（2012•永州）永州境内的潇水河畔有朝阳岩、柳子庙和迥龙塔等三个名胜古迹（如图所示）．其中柳子庙坐落在潇水之西的柳子街上，始建于1056年，是永州人民为纪念唐宋八大家之一的柳宗元而筑建．现有三位游客分别参观这三个景点，为了使这三位游客参观完景点后步行返回旅游车上所走的路程总和最短．那么，旅游车等候这三位游客的最佳地点应在（）A．朝阳岩B．柳子庙C．迥龙塔D．朝阳岩和迥龙塔这段路程的中间位置11．（2003•台州）经过A、B、C三点的任意两点，可以画出的直线数为（）A．1或2B．1或3C．2或3D．1或2或312．欲将一根木条固定在墙上，至少需要钉子的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个13．（2006•巴中）巴广高速路的设计者准备在西华山再设计修建一个隧道，以缩短两地之间的里程，其主要依据是（）A．垂线段最短B．两点之间线段最短C．两点确定一条直线D．过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线14．（2005•襄阳）下列四个生活、生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其中可用公理