2024年高考数学专项复习：排列组合之染色问题（解析版）

2024年高考数学专项排列组合专题06染色问题（解析版）

专题6染色问题

例1.如图所示的几何体由三棱锥P-48。与三棱柱N8C-组合而成，现用3种不同颜色对这个几

何体的表面涂色（底面481G不涂色），要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（）

A.6种B.9种

C.12种D.36种

例2.如图，用四种不同的颜色给图中的力，B,C,D,E,F,G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色,

且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）

C.600种D.624种

例3.现有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有（）

A.720种B.1440种C.2880种D.4320种

1

例4.将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则

A.420B.180C.64D.25

例5.用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域/、B、C、D、E涂色,要求同一区

域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（）

A.120种B.720种C.840种D.960种

例6.如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内,

且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（）.

A.40320种B.5040种C.20160种D.2520种

例7.如图所示，将四棱锥S-43co的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5

种色可供使用，则不同的染色方法种数为（）

2

A.240B.360C.420D.960

例8.如图所示，将33x33方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相

邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为（）

A.33B.56C.64D.78

例9.如图给三棱柱斯的顶点染色，定义由同一条棱连接的两个顶点叫相邻顶点，规定相邻顶点

不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的染色方法有

例10.现用五种不同的颜色，要对如图中的四个部分进行着色，要求公共边的两块不能用同一种颜色，共

有种不同着色方法

3

I

例IL如图所示的五个区域中，中心区E域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供

选择.要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为

例12.从红、黄、蓝、黑四种颜色中选出3种颜色，给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂

两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是

OOOOCXD

例13.如图一个正方形花圃被分成5份.若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已

知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，则不同的种植方法有种

例14.现有五种不同的颜色，要对图形中的四个部分进行着色，要求有公共边的两块不能用同一种颜色,

不同的涂色方法有种.

例15.现将如图所示的5个小正方形涂上红、黄两种颜色，其中3个涂红色，2个涂黄色，若恰有两个相

4

邻的小正方形涂红色，则不同的涂法共有种（用数字作答）.

例16.四色猜想是近代数学难题之一，四色猜想的内容是：“任何一张地图最多用四种颜色就能使具有共同

边界的国家着上不同的颜色”，如图，一张地图被分成了五个区域，每个区域只使用一种颜色，现有4种颜

色可供选择（四种颜色不一定用完），则满足四色猜想的不同涂色种数为

例17.如图，将标号为1,2,3,4,5的五块区域染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻区域（有

公共边）的颜色不同，则不同的染色方法有种・

例18.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种

且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有种.（用数字作答）

例19.给图中4,B,C,D,E,歹六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若

有4种颜色可供选择，则共有____种不同的染色方案.

5

例20.如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色,

相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有种.（用数字作答）

例21.给如图染色，满足条件每个小方格染一种颜色，有公共边的小方格颜色不能相同，则用4种颜色染

色的方案有__种，用5种颜色染色的方案共有__种.

例22.如图，用四种不同的颜色给三棱柱的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色.若每

个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有种；若每条棱的两个端点涂

不同的颜色，则不同的涂色方法共有种.

6

专题6染色问题

例1.如图所示的几何体由三棱锥P-48。与三棱柱N8C-组合而成，现用3种不同颜色对这个几

何体的表面涂色（底面481G不涂色），要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（）

A.6种B.9种

C.12种D.36种

【解析】

先涂三棱锥P-A5C的三个侧面，有C；C；C；=6种情况，然后涂三棱柱的三个侧面，有C；C；C：=2种情

况，共有6x2=12种不同的涂法.

故选：C.

例2.如图，用四种不同的颜色给图中的4,B,C,D,E,F,G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，

且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）

A.192种B.336种C.600种D.624种

【解析】

由题意，点E,F,G分别有4,3,2种涂法,

1

（1）当4与歹相同时，4有1种涂色方法，此时6有2种涂色方法，

①若。与歹相同，则。有1种涂色方法，此时。有3种涂色方法；

②若。与歹不同，则。有2种涂色方法.

故此时共有4x3x2x1x2x0x3+1x2）=240种涂色方法.

（2）当4与G相同时，4有1种涂色方法，

①若。与歹相同，则。有1种涂色方法，此时3有2种涂色方法，。有2种涂色方法；

②若。与歹不同，则。有2种涂色方法，此时8有2种涂色方法，。有1种涂色方法.

故此时共有4x3x2x1x0x2x2+2x2x1）=192种涂色方法.

（3）当4既不同于9又不同于G时，4有1种涂色方法.

①若8与歹相同，则。与4相同时，。有2种涂色方法，。与4不同时，。和。均只有1种涂色方法；

②若8与歹不同，则8有1种涂色方法，

（力若。与歹相同，则。有1种涂色方法，此时。有2种涂色方法；

（赤）若。与P不同，则必与4相同，。有1种涂色方法，此时。有2种涂色方法.

故止匕时共有4x3x2xlxlx［（lx2+lxl）+lx（lx2+lx2）］=168种涂色方法.

综上，共有240+192+168=600种涂色方法.

故选：C.

例3.现有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有（）

A.720种B.1440种C.2880种D.4320种

【解析】

根据题意分步完成任务:

2

第一步：完成3号区域：从6种颜色中选1种涂色，有6种不同方法；

第二步：完成1号区域：从除去3号区域的1种颜色后剩下的5种颜色中选1种涂色，有5种不同方法；

第三步：完成4号区域：从除去3、1号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法;

第四步：完成2号区域：从除去3、1、4号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同

方法；

第五步：完成5号区域：从除去1、2号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法;

第六步：完成6号区域：从除去1、2、5号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同

方法；

所以不同的涂色方法：6x5x4x3x4x3=4320种.

故选：D.

例4.将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则

不同的种植方法种数是（）.

A.420B.180C.64D.25

【解析】

由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行

区域/有5种涂法，3有4种涂法，

A,。不同色，。有3种，。有2种涂法，有5x4x3x2=120种，

A，。同色，。有1种涂法，。有3种涂法，有5x4x3=60种，

共有180种不同的涂色方案.

故选：B.

例5.用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域/、B、C、D、E涂色,要求同一区

3

域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（）

A.12。种B.720种C.840种D.960种

【解析】

法一：/有5种颜色可选，5有4种颜色可选，。有3种颜色可选，

若C4同色，E有4种颜色可选；

若C5同色，E有4种颜色可选；

若C与/、3都不同色，则。有2种颜色可选，此时E有4种颜色可选，故共有

5x4x3x（4+4+2x4）=960种.

法二：当使用5种颜色时，有=120种涂色方法；

当使用4种颜色时，必有两块区域同色，可以是AC,BC,AE,BE,CE,共有5Z;=600种涂色方

法；当使用3种颜色时，只能是/C同色且同色，ZE同色且同色，ZCE同色，5CE同色，共有

4Z；=240种涂色方法，

二共有120+600+240=960种涂色方法.

故选：D.

例6.如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，

且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（）.

4

A.40320种B.5040种C.20160种D.2520种

【解析】

先从7种颜色中任意选择一种，涂在相对的区域内，有C；=7种方法，

再将剩余的6种颜色全部涂在剩余的6个区域内，共有Af种方法，

由于图形是轴对称图形，所以上述方法正好重复一次，

所以不同的涂色方法，共有三金=2520种不同的涂法.

2

故选：D.

例7.如图所示，将四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5

种色可供使用，则不同的染色方法种数为（）

A.240B.360C.420D.960

【解析】

由题设，四棱锥S-43CD的顶点S、A,6所染的颜色互不相同，它们共有5x4x3=60种染色方法.

设5种颜色为1,2,3,4,5,当色力、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3,

若。染2,则。可染3或4或5,有3种染法；

若。染4,则。可染3或5,有2种染法，若。染5,则。可染3或4,有2种染法.

5

可见，当S、48已染好时，C、。还有7种染法，故不同的染色方法有60x7=420（种）.

故选：C

例8.如图所示，将33x33方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相

邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为（）

C.64D.78

【解析】

记分隔边的条数为L,首先将方格按照按图分三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边,

此时共有56条分隔边，即£=56,

其次证明：£>56,

将将方格的行从上至下依次记为4,4，…，43，列从左至右依次记为4,4，…坊3，行4中方格出现的颜

色数记为“（4）,列与中方格出现的颜色个数记为〃（司），三种颜色分别记为9，。2，。3,对于一种颜色,，

设”（cj为含有％色方格的行数与列数之和，定义当4行含有J色方格时，b（4，c』=l,否则

可49）=0,类似的定义6（4吗）,

33333A3

所以z（"⑷+"g））=EEw（4s））+6me』=z〃e）,

z=lz=li—\）j—\

1、

由于染C/色的格有§x332=363个，设含有C/色方格的行有々个，列有b个，则。/色的方格一定再这个。

6

行和6列的交叉方格中，

从而ab>363，

所以〃f=a+b2l4ab>2d363〉38=>”(c,)239()=1,2,3)①，

由于在行4中有〃(4)种颜色的方格，于是至少有“(4)-1条分隔边，

类似的，在列瓦中有“与)种颜色的方格，于是至少有〃(与)-1条分隔边，

333333

则八X(〃(4)-1)+£(〃(瓦•)-1)=£(〃(4)+〃(男))-66②

z=li=li=1

3

=2"卜))-66③

7=1

下面分两种情形讨论，

(1)有一行或一列所有方格同色，

不妨设有一行均为/色，则方格的33列均含有C1的方格，又C1色的方格有363个，故至少有11行有C］色方

格，于是〃(q"ll+33=44④

由①③④得

L>+”(02)+66>44+39+39-66=56,

(2)没有一行也没有一列的所有方格同色，

则对任意l<z<33均有〃(4)22,〃(与)22,

从而，由式②知：

33

L>'^(n(4)+”(瓦.))-66>33x4-66=66>56,

综上，分隔边条数的最小值为56.

故选：B.

例9.如图给三棱柱斯的顶点染色，定义由同一条棱连接的两个顶点叫相邻顶点，规定相邻顶点

不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的染色方法有

7

【解析】

首先先给顶点c染色，有W=24种方法，再给顶点。染色，①若它和点3染同一种颜色，点£和点

。染相同颜色，点尸就有2种方法，若点£和点。染不同颜色，则点£有2种方法，点尸也有1种方法,

则。，瓦产的染色方法一共有2+2xl=4种方法，②若点。和点8染不同颜色，且与点。颜色不同，则点

D有1种方法，点E与点C颜色不同，则点E有1种方法，则点尸有1种方法，此时有1种方法；若最后

£与。相同，则尸有2种方法，则共有2种方法；点。与点。颜色相同，则点。有1种方法，则点£有

2种方法，则点尸有2种方法，共有2x2=4种方法，所以点。和点8染不同，颜色共有1+2+4=7种

方法，

所以点2E,尸的染色方法一共有4+7=11种，所以共有24x11=264种方法.

故答案为：264

例10.现用五种不同的颜色，要对如图中的四个部分进行着色，要求公共边的两块不能用同一种颜色，共

种不同着色方法

先排I,有5种方法;

8

然后排n,w,最后排in：

①当n,IV相同时，方法有4x4种，故方法数有5x4x4=80种.

②当n,IV不同时，方法有4x3x3种，故方法数有5x4x3x3=180种.

综上所述，不同的着色方法数有80+180=260种.

故答案为：260

例11.如图所示的五个区域中，中心区£域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供

选择.要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为

【解析】

分三种情况:

（1）用四种颜色涂色,有用=24种涂法；

（2）用三种颜色涂色,有2用=48种涂法;

（3）用两种颜色涂色,有团=12种涂法；

所以共有涂色方法24+48+12=84.

故答案为：84

例12.从红、黄、蓝、黑四种颜色中选出3种颜色，给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂

两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是

OOOOOO

【解析】

从红、黄、蓝、黑四种颜色中选出3种颜色有4种选法.

因为每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，分两类:

9

一类是，前三个圆用3种颜色，有川=6种方法，后3个圆也有3种颜色，有C；C；=4种方法，此时不同

方法有6义4=24方法；

二类是，前3个圆2种颜色，后3个圆2种颜色，共有C；C；=6方法.

综上可知，所有的涂法共有4x（24+6）-120种方法.

故答案为：120

例13.如图一个正方形花圃被分成5份.若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已

知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，则不同的种植方法有种

先对£部分种植，有4种不同的种植方法；

再对/部分种植，又3种不同的种植方法；

对C部分种植进行分类：

①若与/相同，。有2种不同的种植方法，3有2种不同的种植方法，共有4x3x2x2=48（种），

②若与/不同，。有2种不同的种植方法，。有1种不同的种植方法，8有1种不同的种植方法，

共有4x3x2x1x1=24（种），

综上所述，共有72种种植方法.

故答案为：72.

例14.现有五种不同的颜色，要对图形中的四个部分进行着色，要求有公共边的两块不能用同一种颜色,

不同的涂色方法有种.

10

依题意,I、n、in区域有共同边颜色互不相同,

按I、n、in、iv顺序着色，则区域I有5种着色方法,

区域n有4种着色方法，区域ill有3种着色方法,

iv只与n、in相邻，因此区域iv有3种着色方法,

根据分步乘法计数原理，不同的着色方法种数为

5x4x3x3=180.

故答案为：180

例15.现将如图所示的5个小正方形涂上红、黄两种颜色，其中3个涂红色，2个涂黄色，若恰有两个相

邻的小正方形涂红色，则不同的涂法共有种（用数字作答）.

【解析】

当涂红色两个相邻的小正方形在两端时是有=4,

当涂红色两个相邻的小正方形在不在两端时是有H=2，

则不同的涂法种数共有4+2=6种.

故答案为：6.

例16.四色猜想是近代数学难题之一，四色猜想的内容是：“任何一张地图最多用四种颜色就能使具有共同

边界的国家着上不同的颜色”，如图，一张地图被分成了五个区域，每个区域只使用一种颜色，现有4种颜

色可供选择（四种颜色不一定用完），则满足四色猜想的不同涂色种数为

11

【解析】

设五个区域分别为4B,C,2E,

依题意由公共边的两个区域颜色不同，

用四种颜色进行涂色则有两个区域颜色相同，

可以是/与C,/与£,3与£同色，

有涂色方法3H=72；

或用三种颜色涂色，则有2组颜色同色，

为/与C同色，8与£同色，有涂色方法W=24,

根据分类加法原理，共有涂色方法72+24=96.

故答案为：96.

B

\A।__y\E）

D

例17.如图，将标号为1,2,3,4,5的五块区域染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻区域（有

公共边）的颜色不同，则不同的染色方法有种・

12

【解析】

对于1,有三种颜色可以安排；

若2和3颜色相同，有两种安排方法，4有两种安排，5有一种安排，此时共有3x2x2x1=12；

若2和3颜色不同，贝1J2有两种，3有一种.当5和2相同时，4有两种；当5和2不同，则4有一种，此时

共有3x[2x（2+l）]=18,

综上可知，共有12+18=30种染色方法.

故答案为：30.

例18.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种

且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有种.（用数字作答）

【解析】

由题意，6个部分.栽种4种不同颜色的花，必有2组颜色相同的花,

若2、5同色，则3、6同色或4、6同色，

所以共有2团=48种栽种方法；

若2、4同色，则3、6同色，

所以共有24种栽种方法；

13

若3、5同色，则2、4同色或4、6同色，

所以共有22：=48种栽种方法；

所以共有48+24+48=120种栽种方法.

故答案为：120

例19.给图中4,B,C,D,E,歹六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若

有4种颜色可供选择，则共有____种不同的染色方案.

【解析】

解：要完成给图中/、B、C、D、E、/六个区域进行染色，染色方法可分两类，第一类是仅用三种

颜色染色，

即幺尸同色，同色，CE同色，则从四种颜色中取三种颜色有优=4种取法，三种颜色染三个区域有

种染法，共4x6=24种染法；