2024年北京市昌平区九年级中考二模数学试卷含详解

2024年昌平区初中学业水平考试第二次模拟练习

数学试卷

本试卷共8页，共100分，考试时长为120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无

效.考试结束后，将答题卡交回.

一、选择题（每小题2分，共16分）第1・8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.2024年2月5日至25日，人民网连续第23次开展全国两会调查，调查围绕10个领域设置49个候选热词.本

次调查广纳民情民意，吸引约6150000人次参与，其中6150000用科学记数法可以表示为（）

A.6.15X105B.6.15xl06C.0.615xl06D.0.615xl07

2.下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）

3.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水

中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，Zl=45°,Z2=120°,则N3+N4=（）

A.165°B.155°C.105°D.90°

4.实数a,匕在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（）

，，9....................9，

-4-3-2-101234

A.b=\/lB.a<-bC.\b\<-aD.a+b>0

5.正多边形的一个外角是60。，那么这个正多边形是（）

A.正四选形B.正六边形C.正八边形D.正十边形

6.已知关于工的一元二次方程f一2工+m=0有两个实数根，则的取值范围是（）

A.m<\B.m>1C.w£lD.m>l

7.在不透明的袋子里有三个除颜色外其它都相同的小球，两个红球，-一个黄球，从中随机同时取出两个小球，其

中取到一个红球一个黄球的概率为（）

25

A.—B.-C.~D.1

362

8.如图，A8为半圆。的直径，C,。是直径上两点，且=过点。作A8的垂线交半圆于点E,

Ch

CD=2DE.设AD=a,AC=b,DE=c,给出下面三个结论：®a-b=2c；②一=一；③

4+6=2岳.所有正确结论的序号是（）

A.①②B.①③C.②@D,①②③

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.使代数式斤有意义的x的取值范围是.

10.分解因式：3x2+6xy+3y2=.

32

11•分式方程一=—解是__________.

xx-1

12.平面直角坐标系中，若点。,利）和（4,2）在反比例函数），一幺（〃/0）图象上，则相=

13.如图，点尸为外一点，过点尸作O。的两条切线，切点分别为4,B,点C为优弧A8上一点，若

ZP=80°,则N4C8=

14.2024年3月12日，是我国的第46个植树节，今年植树节的主题是“共同呵护地球家园，筑造美丽未

来”.下表是某地区在植树节期间，不同批次种植杨树的成活率的统计结果，请你估计植树节期间，种植杨树的

成活率大约为（结果保留两位小数）.

第一批次第二批次第一:批次第四批次第五批次

种植数量200200200200200

成活数量194193192196195

成活频率0.9700.9650.9600.9800.975

15.图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为6cm,其它数据如图所示，喝掉

一部分后的数据如图2所示，此时液面宽度为cm.

图1图2

16.某学校为丰富学生的课余生活，组织校园篮球赛，初三年级6个班进行单循环比赛（即每班都与其他班比赛一

场），每天同时在三个场地各进行一场比赛.已知第一天（2）班与（4）班比赛，第二天（3）班与（5）班比赛，

第三天（4）班与（6）班比赛，第四天（2）班与（3）班比赛，那么第三天与（3）班比赛的是班，第

五天与（1）班比赛的是班.

三、解答题（本题共68分，第17・22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，27-28®,每小

题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17.计算：瓜+A1-2sin45°+|l->/2|.

3x-8>Xl)

18.解不等式组:

-、2

+7值

19.已知f+1一2=0,求代数式y

20.如图，在四边形ABCQ中，AB//CD,AB=AD，对角线AC,BD交于O,AC平分

（1）求证：四边形ABC。是菱形;

3

（2）过点。作AB的垂线交其延长线于点E,若BD=6,lan/OAB二一，求CE的长.

4

21.如图，初三年级准备制作一个长的横幅，横幅内容定为16个字，对横幅的有关数据作如下规

定：每个字的字宽是相同的，每两个字之间的字距均相等，边空宽：字宽：字距=3:4:1,试求横幅字距是多

少？

22.在平面直角坐标系工。》中，一次函数)，=爪+6(AW0)的图象是由函数y=2x的图象平移得到，且经过点

(1,3).

(1)求这个一次函数的表达式；

(2)当x>l时，对于x的每一个值，函数(机会0)的值大于一次函数y=Lt+b(kWO)的值，直接写出

用的取值范围.

23.4月24日是中国航天日，某校初中部举办了“航天知识”竞赛，每个年级各随机抽取10名学生，统计这部分

学生的竞赛成绩，并对成绩进行了收集、整理，分析.下面给出了部分信息.

6.初三年级学生得分:

(1)由折线图可知，初一、初二两个年级学生“航天知识”竞赛，成绩更稳定的是(填“初一”或

“初二”);

(2)统计表中♦〃二,〃=；

(3)由于数据统计出现失误，初三年级所调查的10名学生中有一名学生被记录为6分，实际得分为9分，将数

据修正后，初三年级所调查的10名学生中以下统计数据发生变化的：(写出符合题意的序号).

①平均数；②中位数；③众数；④方差.

24.如图，AB是CO的直径，点C在OO上，若弦。。平分/AC8,交AB于点E,过点。作。。的切线

（1）求证：/ECF=4FEC；

（2）连接BO,若NCDB=30。,BF=2,求OO半径的长.

25.通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上全部污水，所以还需要用清水进行多次

漂洗，不断降低衣服中污水的含量.如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污

水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的'.

某小组决定使用20斤清水，对某件存留1斤污水衣服分别进行漂洗，且每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污

水.

（1）该小组设计了如下两个方案，请你完善方案内容：

方案一：采用一次漂洗的方式.

将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有污物是原来的；

方案二：采用两次漂洗的方式.

若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的；若在第一次用

x（0<x<20）斤清水，第二次用（20-另斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的（用含有x的

代数式表示）；

通过计算分析，方案（“一”或“二”）的漂洗效果更好.

（2）若采用方案二，第一次用斤清水，漂洗效果最好，二次漂洗后该衣服中存有的污物是原来的

26.在平面直角坐标系中，W（戈2，%）是抛物线）?二公2+法+84>0）上任意两点，其中

xi<x2.

（1）若抛物线经过点（4,C）,

①求抛物线的对称轴；

②当％+与>4时，比较,，丫2的大小，并说明理由；

（2）设抛物线的对称轴为直线X=r,若存在实数小，当dm时，x}=mtx2=m+\,都有比一对22,直

接写出。的取值范围.

27.如图，在JRC中，NB=NC=a,点。是平面内任意一点(不与点A,B,C重合)，将线段绕点4逆

时针旋转勿得到线段AE，连接3E,G为跖的中点，连接AG,CD.

(1)如图1,当点。在AC边上时，

①根据题意，补全图1；

CD

②直接写出：一=:

AG

CD

(2)如图2,当点。在疑。内部时，(1)问中——的比值还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如果不成

AG

立，请说明理由.

28.对于平面直角坐标系直力中的点P和图形“，给出如下定义：将图形M绕尸顺时针旋转90。得到图形M当

图形M与图形N有公共点时，我们称点P是图形M的“关联点”.已知A(0,2),8(3,1).

⑴如图1,点P是线段AB的“关联点”，在点耳。,0),2(0/)，6(2,3)中，则满足条件的点是

(2)若直线y=-x+b上存在点p,使点P为线段A8的“关联点”，直接写出b的取值范围；

(3)以。,0)为圆心，1为半径的eT,若线段AB上存在点P，使点尸为的“关联点”，直接写出，的取值

范围.

2024年昌平区初中学业水平考试第二次模拟练习

数学试卷

本试卷共8页，共100分，考试时长为120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无

效.考试结束后，将答题卡交回.

一、选择题（每小题2分，共16分）第1・8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.2024年2月5日至25日，人民网连续第23次开展全国两会调查，调查围绕10个领域设置49个候选热词.本

次调查广纳民情民意，吸引约6150000人次参与，其中6150000用科学记数法可以表示为（）

A.6.15X105B.6.15xl06C.0.615xl06D.0.615xl07

【答案】B

【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax10”的形式，其中1〈同〈10,〃为整

数.确定〃的值时，要看把原数变成〃时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.

t详解】解：6150000=6.15xl06.

故选:B.

2.下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（

【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的

关键.根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可.

【详解】解：A.该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意；

B.该图不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；

C.该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意；

D.该图是轴对称图形，但不是中心对称图形，故符合题意；

故选D.

3.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水

中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，Zl=45°,Z2=120°,则N3+N4=（）

【答案】C

【分析】根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等或同旁内角互补，即可求出答案.

【详解】解：如图所示，AB//CD,光线在空气中也平行，

=Z2+Z4=180°.

Z1=45°,Z2=12O°,

.\Z3=45°,Z4=180°-120°=60°.

.•.Z3+Z4=45°+60°=105°.

故选：C.

【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质.

4.实数°,人在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（）

iai」i二bi__

-4-3-2-101234

A.b=y/lB.a<-bC.\b\<—aD.a+b>0

【答案】D

【分析】本题考查的是实数与数轴和算术平方根.由数轴可知，〃>3,由此逐一判断各选项即可.

【详解】解：由数轴可知，-3<。<一2,b>3,

Z.近<如=3，：,b>不,故本选项不符合题意；

B、•.・一3<av—2,/?>3,/.-Z?<-3,:.a>-by故本选项不符合题意；

C,•.--3<a<-2,b>3,..2<-a<3,1W、3,故本选项不符合题意；

D、・・・_3<〃<一2,b>3,.•.〃+力>0,故本选项符合题意；

故选：D.

5.正多边形的一个外角是60。，那么这个正多边形是（）

A.正四边形B.正六边形C.正八边形D.正十边形

【答案】B

【分析】本题主要考查了正多边形的外角，根据多边形的外角和为360。进行求解即可.

【详解】解：•・•正多边形的一个外角是60。，

360°

・・・这个正多边形的边数为n=啜=6,

60°

这个正多边形为正六边形.

故选：B.

6.已知关于x的一元二次方程/一2工+m=0有两个实数根，则根的取值范围是（）

A.tn<\B.ni>IC.w£1D.m>1

【答案】C

【分析】本题考查了根的判别式.根据判别式的意义得到△=（-2）2-4xlxm20,然后解关于〃?的不等式即可.

【详解】解：根据题意，得：A=（-2）2-4xlx/n>0,

解得相£L

故选：C.

7.在不透明的袋子里有三个除颜色外其它都相同的小球，两个红球，一个黄球，从中随机同时取出两个小球，其

中取到一个红球一个黄球的概率为（）

25「I

A.—B.-C.~D.1

362

【答案】A

【分析】本题考查了列表法或画树状图法求随机事件概率，掌握列表法或画树状图求概率是解题的关键.

根据题意，运用列表或画树状图把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解.

【详解】解：列表把所有等可能结果表示出来，两个红球分别表示红1，红2,

红1红2黄

红1........红1,红2红1，黄

红2红2,红1—红2,黄

黄黄，红1黄，红2—

共有6种等可能结果，其中一个红球一个黄球的结果有4种，

42

・•・取到一个红球一个黄球的概率为二二；,

63

故选：A.

8.如图，为半圆0的直径，C,。是直径43上两点，且过点。作4B的垂线交半圆于点E,

cb

C£）=2QE.设AD=a,AC=b,DE=c,给出下面三个结论：®a-b=2c；②一=一；③

ac

a+b=2A/2C•所有正确结论的序号是（）

E

ACODB

A.①②B.①③C.®®D.①②③

【答案】D

【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，相似三角形的判定与性质，完全平方公式的变形.熟练掌握直径所

对的圆周角为直角，相似三角形的判定与性质，完全平方公式的变形是解题的关筵.

由题意知，BD=AC=b，CD=AD-AC=a-b,由CD=2OE,可得=可判断①的正误；如

图，连接AE,BE,则NAE8=90。，证明.5瓦)。^皿＞，则孚=型，即工=2,可判断②的正误；由

ADDEac

(a+Z?)2=(a-Z?)2+4^/?=(2r)2+4c2=8r,可得〃+6=2&c，可判断③的正误.

【详解】解：由题意知，BD=AC=b,CD=AD-AC=a-bt

CD=2DE,

：.a-b=2c,①正确，故符合要求；

如图，连接AE,BE,

vA8为半圆。的直径，

AZAEB-9^,

VZAED+/BED=90°=ZAED+Z.EAD,

:./RED=/FAD,

又•・•/BDE=90°=ZEDA,

:•LBED^EAD，

'•---=----,即一=一,②正确，故符合要求;

ADDEac

ab=c2»

(a+Z?y=(a—6J+4a〃=(2c)2+4C2=8C2,

:・a+b=2匹c，③正确，故不符合要求；

故选：D.

二、填空题(本题共16分，每小题2分)

9.使代数式万有意义的x的取值范围是.

【答案】XN1

【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使万在实数范围内有意义，必须x-lNO,从而可得

答案.

【详解】解：代数式7有意义，

\x-1?0,

x>1,

故答案为：X

10.分解因式：3x2+6xy+3y2=.

【答案】3(x+y)2,

【分析】先利用提取公因式法提取数字3,再利用完全平方公式继续进行分解.

【详解】3/+6田>+3y2=3(x2+2x),+>,2)=3(x+y)2.

故答案为3(x+y)2.

【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他

方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.

32

11.分式方程一=二一的解是.

xx-i

【答案】x=3

【分析】本题考查了解分式方程，正确熟知解分式方程的步骤是解题的关键.

解分式方程，先去分母，将其转化为整式方程，再求解，最后要检验是否有增根.

【详解】解：去分母得：3(x-l)=2x,

解得：x=3,

当x=3时，入一100.

所以原方程的解为x=3.

故答案为：x=3.

12.在平面直角坐标系xOy中，若点(1,6)和(4,2)在反比例函数)，=:(女工0)图象上，则加=.

【答案】8

【分析】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征.根据比例函数y=A(z/o)中的系数上=冲得到关于加的

x

方程，求解即可得到答案.

【详解】解：•，•点（LM和（4,2）在反比例函数）=，女工0）图象上，

x

:.k=4x2=m，

解得机=8,

故答案为：8.

13.如图，点P为。。外一点，过点尸作OO的两条切线，切点分别为4,8,点。为优弧AB上一点，若

【答案】50

【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理.连接OA,OB,由切线的性质定理得到NB4O=NP8O=90。，求

出ZAOB=360°-90°-90°-80°=100%由圆周角定理得到ZACB=-ZAOB=50°.

2

【详解】解：连接04,OB,

\'PA,PB分别切圆于A、B,

•・半径。4_LQA,半径。

/.NPAO=NPBO=900,

QZP=80°,

ZAOB=360°-90°-90°-80°=100°,

ZACB=-ZAOB=50°.

2

故答案为：50.

14.2024年3月12日，是我国的第46个植树节，今年植树节的主题是“共同呵护地球家园，筑造美丽未

来”.下表是某地区在植树节期间，不同批次种植杨树的成活率的统计结果，请你估计植树节期间，种植杨树的

成活率大约为（结果保留两位小数）.

第一批次第二批次第三批次第四批次第五批次

种植数量200200200200200

成活数量194193192196195

成活频率0.9700.9650.9600.9800.975

【答案】0.97

【分析】本题考查了频率.熟练掌握频率的定义是解题的关键.

194+193+192+196+195

根据,计算求解即可.

5x200

194+193+1924-196+195

【详解】解：由题意知，种植杨树的成活率大约为=0.97

5x200

故答案为：0.97.

15.图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为6cm,其它数据如图所示，喝掉

一部分后的数据如图2所示，此时液面宽度为cm.

图1图2

【答案】3

【分析】本题考查了相似三角形的应用.过点。作QM_LCQ,垂足为M,过点0'作。N_LA3,垂足为N,根

据A8〃CD，得出再根据相似三角形的性质解答即可.

【详解】解：如图，过点。作QM_LC£>,垂足为M,过点0'作。N_LA3,垂足为N,

VAB//CD,

.CD_OM

丽二西’

OM=15-7=8(cm),OW=11-7=4(cm),

68

——=—,

AB4

解得：AB=3,

故答案为：3.

16.某学校为丰富学生的课余生活，组织校园篮球赛，初三年级6个班进行单循环比赛（即每班都与其他班比赛一

场），每天同时在三个场地各进行一场比赛.已知第一天（2）班与（4）班比赛，第二天（3）班与（5）班比赛，

第三天（4）班与（6）班比赛，第四天（2）班与（3）班比赛，那么第三天与（3）班比赛的是班，第

五天与（1）班比赛的是班.

【答案】①.（1）②.⑵

【分析】本题考查逻辑推理能力.本题对学生的逻辑推理能力要求较高，根据每队都与其他队比赛一场，和己经进

行的比赛，进行推断即可.

【详解】解：（3）班已知的比赛：第二天（3）班与（5）班比赛，第四天（2）班与（3）班比赛，而第三天已知进

行的是（4）班与（6）班比赛，故第三天只有（1）班与（3）班比赛，

（4）班与（2）班比赛在第一天，（4）班与（6）班比赛在第三天，第二天已知（3）班与（5）班比赛，故第二天（4）

班与（1）班比赛，（2）班与（6）班比赛，同理可得：第四天（1）班与（6）班比赛，（4）班与（5）班比赛，第一

天（3）班与（6）班比赛，（1）班与（5）班比赛，故最后一天为（1）班与（2）班比赛，（3）班与（4）班比赛,

（5）班与（6）班比赛，如表1

第一第二第三第四第五

天天天天天

场

地2-43-54-62-31-2

1

场

地3-61-41-31-63-4

2

场

地1-52-62-54-55-6

3

同一天场地上的比赛可交换进行.

故答案为：（1）,（2）.

三、解答题（本题共68分，第17・22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，27-28®,每小

题7分)解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17.计算：&-2sin45°+|l->/2|.

【答案】2a+1

【分析】本题考查了二次根式、绝对值、负指数鼎、特殊角的三角函数值的运算，熟悉运算法则是解题的关键.根

据二次根寸、绝对值、负指数累、特殊角的三角函数值的运算，化简计算即可.

【详解】解：原式=2夜+2-2、也+&-1

2

=2V2+2-V2+V2-l

=25/2+l.

3x-8>x®

18.解不等式组：hx-1

------->x®

2

【答案】64

【分析】本题考查解一元一次不等式组.先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集.

3X-8>XD

【详解】解：3x—l…

------->x®

2

解不等式①得，x之4；

解不等式②得，X>\,

所以这个不等式的解集为x之4.

(1、2

19.已知F+X—2=0，求代数式一;■+1卜丁；的值.

【答案】1

【分析】本题考查的是分数的混合运算.

(1)2公

将一;+1卜一^三化简为土上土，再整体代入，求值.

yx-])x-\2

1+x—12(x+l)(x-l)x2+x

【详解】解:原式=

x-\"x2-l22

•/x2+x-2=0»

.\x2+x=2

•.原式=L

20.如图，在四边形A8CQ中，AB〃CD，45=4。，对角线AC,BD交于O,AC平分/BAD.

（1）求证：四边形A8CQ菱形；

3

（2）过点。作48的垂线交其延长线于点£若80=6,tan/OAB二一，求CE的长.

4

24

【答案】（1）见解析（2）CE=—

【分析】比题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题

的关键.

（1）先证NC钻=N£XX,再证ND4C=NZXZ,得CD=AD=AB,然后证四边形ABCD是平行四边形,

即可得出结论：

（2）根据菱形的性质结合三角函数得出AO=4,AC=8,求出4B,在RtsACE中，解直角三角形，即可得

出结论.

【小问1详解】

证明：AC平分N4AD,

:.^DAC=ABAC,

AB//CD,

ZDCA=ZBAC,

:.ZDAC=ZDCAt

AD=CD,

-：AB=ADt

AB=CD»

-AB//CD,

••・四边形ABC。是平行四边形，

AB=ADr

二•四边形A3CO是菱形；

【小问2详解】

解：,•四边形ABCO是菱形，

/.ACJLBD,OB=OD=—BD=3,AO=OC=—AC

22f

RtZ\AOB中，tanZ.OAB=—=-,

OA4

AO=4>AC=8»

______3

-AB=<32+42=5>sinZO45=-,

过点C作AB的垂线交其延长线于点E,

.•.NCE4=90。，

CE3

RtAACE中，sinZ.OAB=---=—,

AC5

:.CE=—.

21.如图，初三年级准备制作一个长的横幅，横幅内容定为16个字，对横幅的有关数据作如下规

定：每个字的字宽是相同的，每两个字之间的字距均相等，边空宽：字宽：字距=3:4:1,试求横幅字距是多

少？

【答案】0.1m

【分析】此题考查了一元一次方程的应用，根据空宽：字宽：字距=3:4:1设边空宽为3加，字宽为4m,字距

为刈】.再根据长8.5m的横幅列方程，解方程即可得到答案.

【详解】解：因为边空宽：字宽：字距=3:4:1,

所以设边空宽为3xm,字宽为4Am,字距为刈1.

由题意可得：2x3x+16x4x+15x=8.5,

解得x=0.1.

答：横幅字距为0.1m.

22.在平面直角坐标系xOy中，一次函数（ZW0）的图象是由函数y=2r的图象平移得到，且经过点

（1,3）.

（1）求这个一次函数的表达式;

（2）当x>l时，对于x的每一个值，函数），=，内（机工0）的值大于一次函数），=公+方（^0）的值，直接写出

机的取值范围.

【答案】（1）y=2x+\；（2）w>3

【分析】（1）据一次函数平移时&不变可知"2,再把点（1,3）代入求出力的值，进而可得出结论.

（2）根据点（1,3）结合图象即可求得.

【详解】解：（1）•・•一次函数产H+b（后0）的图象由函数产2x的图象平移得到，

：,k=2.

•・•一次函数产2x+力的图象过点（1,3）,

A3=2xl+b.

/.b=\.

・•・这个一次函数的表达式为产2什1.

（2）把点（1,3）代入尸/nr,求得机=3,

•・•当x>l时，对于"的每一个值，函数尸，心（〃印0）的值大于一次函数尸2x+l的值，

m>3.

【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换及一次函数和不等式的关系，熟知一次函数平移的性质是解答

此题的关健.

23.4月24日是中国航天日，某校初中部举办了“航天知识”竞赛，每个年级各随机抽取10名学生，统计这部分

学生的竞赛成绩，并对成绩进行了收集、整理，分析.下面给出了部分信息.

6.初三年级学生得分:

根据以上信息，回答下列问题：

(1)由折线图可知，初一、初二两个年级学生“航天知识”竞赛，成绩更稳定的是(填“初一”或

“初二”);

(2)统计表中机=,n=；

(3)由于数据统计出现失误，初三年级所调查的10名学生中有一名学生被记录为6分，实际得分为9分，将数

据修正后，初三年级所调查的10名学生中以下统计数据发生变化的：(写出符合题意的序号).

①平均数；②中位数：③众数；④方差.

【答案】(D初一(2)m=8,〃=8.5

(3)①②④

【分析】本题考查折线统计图，平均数、中位数、众数和方差，理解相关统计量的意义和计算方法是正确解答的前

提.

(1)根据方差的意义解答即可；

(2)根据算术平均数的意义可得利的值；根据中位数的定义可得〃的值；

(3)分别根据平均数、中位数、众数和方差的定义和计算方法判断即可.

【小问1详解】

解：由折线图可知，初一学生得分的波动比初二的小，所以成绩更稳定的是初一.

故答案为：初一；

【小问2详解】

解：由题意得，/n=-^x(10x4+9+6+8+7x24-3)=8,

把初三年级学生得分从小到大排列，排在中间的两个数分别是8、9,

故中位数”=丫=8.5,

2

故答案为：8,8.5；

【小问3详解】

解：将其中的数据6改为9,则数据变为：10,9,9,10,8,7,10,7,3,10

数据变化，

・•・平均数、方差改变，

9+9

・中位数为：——=9。8.5,

2

二•中位数改变，

众数依然是10,

「•众数不变.

故答案为：①②④.

24.如图，A3是0。的直径，点。在0。上，若弦CO平分NAC8,交AB干点E,过点。作。0的切线

CF,交AB的延长线于点尸.

(1)求证：NECF=/FEC；

（2）连接BO,若NCQB=30。，BF=2,求OO半径的长.

【答案】（1）见解析（2）2

【分析】比题考查了切线的性质、圆周角定理、解直角三角形等知识，熟练掌握切线的性质和锐角三角函数的定义

是解题的关键.

（1）连接ODOC.证明/（%>£：=NOCE,NOED=NFCE,又由NOED=/FEC，即可得到

/FCE=NFEC；

（2）证明△02。为等边三角形，则N〃OC=N。C9=NABC=60。，在Rt△C。尸中，得到

cos/。。尸="=2设OC=Q3=r,则0F=r+2,则一二解方程即可得到答案.

OF2r+22

【小问1详解】

证明：连接OD0C.

CO平分NACB

ZACD=ZBCD

：•AD=BD

AB是直径，AD=BD

ZAOD=NBOD=90。

••在RtAE。。中，ZODE+ZOED=90°

・・・C厂是。。切线

/.ZOCF=NOCE+NFCE=90。

・：OD=OC

;.NODE-NOCE

:.^OED=zLFCE

/OED=4FEC

4FCE=NFEC

【小问2详解】

解：连接B。，

AB是直径，

:.ZACB=90°,

;BC=BC

NCDB=NCAB=30。

:.ZABC=（^r

・：OB=OC,

.:OBC为等边三角形,

/.ZBOC=4OCB=ZABC=60°

oc1

•「RtZiCOF中，cosZCOF=—=-

设OC=OB=r,则QF=r+2

r1

•••___一_,

r+22

7•=2,

经检验，r=2是分式方程的解且符合题意，

即。。半径的长为2.

25.通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次

漂洗，不断降低衣服中污水的含量.如：把一件存留I斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污

水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的'.

某小组决定使用20斤清水，对某件存留1斤污水衣服分别进行漂洗，且每次拧干后衣服上都存留约1斤的污

水.

（1）该小组设计了如下两个方案，请你完善方案内容：

方案一：采用一次漂洗的方式.

将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的；

方案二：采用两次漂洗的方式.

若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的；若在第一次用

x（0<x<20）斤清水，第二次用（20—力斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的（用含有x的

代数式表示）；

通过计算分析，方案（“一”或“二”）的漂洗效果更好.

（2）若采用方案二，第一次用斤清水，漂洗效果最好，二次漂洗后该衣服中存有的污物是原来的

【答案］（1）—；—-；—；~~———-；二

21105x--20x-21

【分析】本题考查分式的计算及应用，理解题意，列出算式，并准确计算是解题的关键.

（1）数据计算：分别计算出两种方案漂洗后衣服中存有的污物与原来的污物关系即可解答：

实验结论：比较数据计算得出的数据，即可作出判断；

（2）先利用二次函数求出最值，确定出漂洗后衣服中存有的污物与原来污物间的最小值即可解决问题.

【小问1详解】

解：方案一：采用一次漂洗方式.

将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的--=；

方案二：采用两次漂洗的方式.

若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的丁、乂上二上，

若在第一次用M0VXV20）斤清水，第二次用（20-冷斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的

1111

----X--------==----------

x+120-x+l*+1）（21）--X2-20X-2\

呆得,本方案二效果更好：

故答案为：专'''-I；二；

【小问2详解】

解：x（20-x）=-（x2-20x）=-（x-10）2+100,

当％=10时有最大值，分母越大，分数值最小，漂洗效果最好，

第一次用10斤清水，漂洗效果最好，

二次漂洗后该衣服中存有的污物是原来的‘一x」一=—

10+110+1121

故答案为：二，——.

121

26.在平面直角坐标系xOy中，汽(看,力)是抛物线丁二公2+"1+仪。>0)上任意两点，其中

%,<x2.

(1)若抛物线经过点(4c),

①求抛物线的对称轴；

②当％+与>4时，比较y,力的大小，并说明理由；

⑵设抛物线的对称轴为直线x=r,若存在实数小，当Ym时，演=m,x2=m+\,都有瓜一对之2,直

接写出。的取值范围.

【答案】⑴①x=2；②到<%，理由见解析

(2)a>2

【分析】本题考查二次函数的图象与性质，运用数形结合与分类讨论思想解题是解题的关键.

(1)①利用抛物线经过点(4,c)和点(O,c),函数值相等的两点连线的垂直平分线即为对称轴，即可得解；

②分当玉之2时和当9>2>为时两种情况讨论，证明点M(N，yj比点N(4,%)离对称轴更近即可得解；

(2)利用/</nv/n+l,开口向上得出)5<丁2，从而得到E—%|=2卬%+。+6,结合”存在实数加，当/W机

时，都有回一出2"得到一4之2,根据当1=一卷=〃2时，|凹一%|有最小值，得出

E-Nzlmin=2〃,(一二+a+b=a>2,从而得解.

mmI2aJ

【小问1详解】

解：①.••抛物线经过点(4,c)和点(O,c),

4+0

.••抛物线的对称轴是：直线x=——=2,

2

②,<当，理由如下：

工离对称轴越近，函数值越小，

*.•X,<Xj,Xj+x2>4,

:.2X2>J,+x2>4,

:.x2>2,

当%>玉22时，x2-2>x)-2,

即点,x）比点N（±,%）离对称轴更近，

乂<当，

当天>2>不时，

,:X）4-x2>4

-

x22>2—X1,

即点M（X）,y）比点N（x2,y2）离对称轴更近，

*,,y<当，

综上所述：y<当.

【小问2详解】

KPr<x,<Xj,开口向上，

：•凹<为，

••・瓦-%|=%一M

=（应+bx2+c）—（or；+如+c）

=〃（加+1）~4-/?（zn+l）+c-（am2+btn+c\

=〃（加+1）~—am1+b（m+l）-bm+c-c

=a（2根+1）+Z?

=2am+a+bf

•・2>0,

・・・|x-%l随着机的增大而增大，

要使得存在实数加，当小机时，都有E—力|22,

只需保证|x-%LN2,

即当，=一一^二机时，|%一M1=2«•一--+a+b=a>2,

2a1lm,n\2aJ

・•・。的取值范围是。22.

27.如图，在~48C中，NB=NC=a,点。是平面内任意一点（不与点A,B,C重合），将线段4。绕点A逆

时针旋转2a得到线段AE,连接B£,G为BE的中点，连接4G,CD.

A

AE

DGV

D

BCBC

图1图2