四川省绵阳市2024届高三年级下册第一次仿真测试理科数学试题（含答案解析）

四川省绵阳市三台中学校2024届高三下学期第一次仿真测试理

科数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合/=卜卜2->6>0},则备/=（）

A.［x\x<-2ng,x>3}B.{x|-2<x<3}

C.{尤［x<-3或尤>2}D.{x|-3<x<2}

3-i

2.已知——=l-2i,则复数z在复平面内对应的点位于（）

Z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.1--2］的展开式中，含好的项的系数是（）

A.-40B.40C.-80D.80

4.下列有关命题的说法错误的是（）

A.若命题pH/cR,Xg>0,贝！J命题力：VxcR,d<0

B.“x=l”是的充分不必要条件

1-兀

C.”sinxu^；■”的必要不充分条件是“x=：”

D.在“BC中，"/>6”是“a>方”的充要条件

5.执行如图的程序框图，输出的S值是（）

试卷第1页，共6页

A.--B.—C.0D.V3

22

6.如图，在△48C中，AF=BF=6,EF=5,则成.丽=()

7.函数/(x)=J-cosx的图象大致为()

八)el+l

B.\、/»

A./>

Y兀_JiO71^^718J^7l__7£\。八二^兀x

FF~1T"T-T\~2T

斗斗

3兀713兀37i

一2,

C.D.?2>

兀071X

22F~2

22

8.已知椭圆。:三+匕=1的左、右顶点分别是4瓦。是坐标原点，。在椭圆。上，且

82

\OP\=V5,贝IJAP/B的面积是()

A.272B.4C.4V2D.8

试卷第2页，共6页

9.若cosa,cos(a-£),cos(a+q)成等比数列，则sin2a=(

63

1

A.—B.--C.-D.

4634

10.我们的数学课本《人教A版必修第一册》第121页的《阅读与思考》中介绍：“一般地,

如果某物质的半衰期为九那么经过时间;后，该物质所剩的质量00=以（3『，其中。。是

该物质的初始质量.”现测得某放射性元素的半衰期为1350年（每经过1350年，该元素的存

量为原来的一半），某生物标本中该放射性元素的初始存量为根，经检测现在的存量为

据此推测该生物距今约为（）（参考数据：坨220.3）

A.2452年B.2750年C.3150年D.3856年

11.已知三棱锥尸-4BC的所有顶点都在直径为10的球。的表面上，SC=4x/3>

NA4c=120。，则三棱锥P-A8C的体积的最大值是（）

A873口1673「32石„6473

3333

12.已知a=e°」-e«J,b=lnl.21,c=0.2,贝|（）

A.b<a<cB.c<b<aC.a<c<bD.b<c<a

二、填空题

x-y<0

13.已知x,了满足-2x+y20,则目标函数z=-2x+y+2024的最大值是.

x+j-1<0

14.已知某生产线生产的某种零件的合格率是95%,该零件是合格品，则每件可获利10元，

该零件不是合格品，则每件亏损15元.若某销售商销睢该零件10000件，则该销售商获利

的期望为万元.

15.宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑.其

中汝窑被认为是五大名窑之首.如图1,这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个

圆台拼接而成，其直观图如图2所示.已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间

圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是3:4,

则该汝窑双耳罐的侧面积是平方厘米.

试卷第3页，共6页

22

16.已知椭圆C:、+4=l(a>b>0)的左右焦点分别为耳、旦，其中4©=加，过耳的

ab

直线/与椭圆C交于43两点，若丽•福=4/,则该椭圆离心率的取值范围是.

三、解答题

17.民族要复兴，乡村要振兴，合作社助力乡村产业振兴，农民专业合作社已成为新型农业

经营主体和现代农业建设的中坚力量，为实施乡村振兴战略作出了巨大的贡献.已知某主要

从事手工编织品的农民专业合作社共有100名编织工人，该农民专业合作社为了鼓励工人,

决定对“编织巧手”进行奖励，为研究“编织巧手”是否与年龄有关，现从所有编织工人中抽取

40周岁以上(含40周岁)的工人24名，40周岁以下的工人16名，得到的数据如表所示.

“编织巧手”非“编织巧手”总计

年龄“0岁19

年龄<40岁10

总计40

(1)请完成答题卡上的2x2列联表，并判断能否有99%的把握认为是否是“编织巧手”与年龄

有关；

(2)为进一步提高编织效率，培养更多的“编织巧手”，该农民专业合作社决定从上表中的非“编

织巧手”的工人中采用分层抽样的方法抽取6人参加技能培训，再从这6人中随机抽取2人

分享心得，求这2人中恰有1人的年龄在40周岁以下的概率.

n(ad-be)2

参考公式：K2=其中〃=4+6+c+d.

(a+b)(c+d)(q+c)0+d)

参考数据:

2

P(K>k0)0.100.050.0100.001

试卷第4页，共6页

左02.7063.8416.63510.828

18.在A/L8C中，角N,B,C的对边分别是a,b,c,且5cos2BT4cos8=7.

⑴求sin5的值；

(2)若。=5,c=2,D是线段NC上的一点，求的最小值.

19.如图，在四棱锥尸-/8CD中，平面尸CD_L平面/8C。，四边形N8CD是梯形，AB//CD,

ABLAD,E,尸分别是棱8C,P/的中点.

(1)证明：MP平面尸CD.

(2)若尸C=43PD=y[3CD=y/3AD=2&B,求直线EF与平面PAD所成角的正弦值.

20.已知直线4轴，垂足为x轴负半轴上的点£,点E关于坐标原点。的对称点为尸，

且忸尸1=4,直线4,4,垂足为A,线段肝的垂直平分线与直线4交于点B.记点B的轨

迹为曲线C.

⑴求曲线。的方程.

(2)已知点尸(2,4),不过点P的直线/与曲线C交于M,N两点，以线段为直径的圆恒过

点P,试问直线/是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由.

Iny

21.已知函数/(力=依-上，a>0.

⑴若“X)存在零点，求。的取值范围；

2

⑵若*2为4X)的零点，且再<》2，证明：a(%1+x2)>2.

fx=2+4coscr,

22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为“.(a为参数)，以坐标

[>=4sma

原点。为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程是

试卷第5页，共6页

pcos0-0sin。-3=0.

(1)求曲线。的直角坐标方程和直线/的普通方程；

(2)若尸(0,-3),直线/与曲线。交于48两点，〃是线段的中点，求而两的值.

23.已知函数/(X)=卜+加1+卜-2时，其中相>0.

(1)当机=2时，求不等式10的解集；

出若对任意的工€氏/(彳)24-机恒成立时机的最小值为£,且正实数0,6满足力+02=2/,

证明：a+b>2ab.

试卷第6页，共6页

参考答案:

1.B

【分析】求出集合A,利用补集的定义可得出集合二儿

【详解】因为/=Nx2-x-6>0}=卜卜<-2或x>3},故％/={H-2WXV3}.

故选：B.

2.A

【分析】根据复数四则运算化简复数z,然后由复数的几何意义可得.

3-i(3—i)(l+2i)、

【详解】因为Z=匚彘=力^”$=1+1,所以复数2在复平面内对应的点为z(1,1),位于

第一象限.

故选：A

3.C

【分析】在展开式的通项公式中令》的次数为-2即可求解.

【详解】展开式的通项为-(-2丫=(-2丫«”-5.令一5=-2,得

r=3,则含」的项的系数是(-2)3xC；=-80.

X

故选：C.

4.C

【分析】根据存在量词命题的否定、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件，三角函

数图像及解三角形知识点即可判断.

【详解】对于A,根据存在量词命题的否定可得，A选项说法正确；

对于B,“x=l”是“x21”的充分不必要条件，故B正确；

TT11ITS71

对于C,当％=—时，sinx=—；当sinx=—时，％=—+2左兀或x=F2kii,keZ,

62266

jr1

所以“》=9'是"512=：”的充分不必要条件，故C错误；

对于D,根据三角形的性质，大边对大角，大角对大边可知，>3”是“a>&”的充要条件，

故D正确；

故选：C.

答案第1页，共15页

5.B

【分析】直接按照程序框图运行程序，找到函数的周期，即可求出输出值.

【详解】当〃=1,S=0时，S=sin-=—;

32

执行第一次循环可得〃=2,s=3+sin红=6；

23

执行第二次循环可得〃=3,S=+sin乃=;

执行第三次循环可得〃=4,S=V^+sin9=旦;

32

执行第四次循环可得〃=5,5=^+sin—=0；

23

执行第五次循环可得〃=6,5=sin—=0；

执行第六次循环可得〃=7,5=sin—=^;

32

归纳可知，其周期为6,所以s刈4=邑=乎.

所以输出5=3.

2

故选：B.

6.A

【分析】根据极化恒等式，结合已知数据，直接求解即可.

a+b>

【详解】因为存B=

、2,

2

'或+丽丫"EA-EB-----*2-----*2

故应•丽=I2J=EF-BF=25-36=—11.

、2

故选：A.

7.A

【分析】根据/(')的解析式先判断奇偶性，代入特殊值即可求解.

【详解】依题意,

£-1

因为/(%)=，

7+1•COSX

_x_11_xx

eee-l

所以/(-%)=^J・COS(-X)-COSX=，

~e+~i•cos/

所以=所以/(X)为奇函数，所以D选项错误;

答案第2页，共15页

-1pn-]

因为/(兀卜J_LCOSTT=->•<(),所以C选项错误；

Len+leK+l

0-i

因为/(0)=Me.cosO=0,所以B选项错误；

因此排除了BCD选项，而A选项图象符合函数/(力=老<051的性质.

故选：A.

8.A

【分析】设出点尸(见，?)，利用条件直接求出点P纵坐标的绝对值，又易知Ma=4收，从

而可求出结果.

fm2+.n2=5:

【详解】设尸(",〃)，因点尸在椭圆上，且[0尸|=行，则有<“n2，消去加，得到3〃2=3,

—+—=1

182

所以同=1,

又4-20,0),3(2血,0),故AP/3的面积是S=；x4后xl=2血.

故选：A.

9.B

【分析】利用等比中项，结合三角恒等变换求解即得.

【详解】由COSa,cos(a-g),cos(a+工)成等比数列，得cos2(a-g)=cosacos(a+"

6363

BP—[1+cos(2cr--)]=coscr(—cosa-sina)=--1+0°12a一2^1sin2a，

232222

11、4也•)1,1：■)V3.-ccpi.06

一+—cos2aH---sm2a=—+—cos2a-----sm2a，m以sin2a=-----.

2444446

故选:B

【点睛】思路点睛：三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分

析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数基

本关系、两角和与差的公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的

关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证.

10.C

【分析】根据对数的运算性质即可求解.

答案第3页，共15页

【详解】由题意可知/=加［;)国，两边取对数得

Tg5=-—（Tg2）D

1350、）_*.一呈_亦。

故选：C

11.C

【分析】先根据正弦定理求出底面“3C的外接圆的半径，再利用垂径定理求出球心到底面

的距离，进而得到点尸到平面/BC的最大距离，然后利用三角形的面积公式和基本不等式

求出底面三角形面积的最大值即可求解.

【详解】由题意可得^ABC的外接圆的半径为r=..BC=4,

2sln/A4c

则球心O到平面ABC的距离d=^yJ-42=3，

故点P到平面ABC的最大距离〃=8.

因为5C=4\/§，ZBAC=120°,所以叱=/82+/C2-2N8/CCOSNB/C，

即232+/。2+/3./。=48，所以/B.ZC416,

则、4BC的面积S^-AB-/CsinABAC<，

2

故三棱锥尸-的体积的最大值是=工xx8="".

333

故选：C.

12.D

【分析】根据给定条件，构造函数〃x)=e-eT-2x,g(x)=2x-21n(x+1),再利用导数探

讨单调性，即可比较大小作答.

【详解】设/(x)=e-er-2无，则/'(x)=e'+eT-220,从而〃x)在R上单调递增，

则/(0.1)=e°i-e«,-0.2>/(0)=0,即a>c,

设g(x)=2x-21n(l+x),贝ijg，(x)=2--=上土>0,从而g(x)在(0,+司上单调递增，

x+1X+1

则g(O.l)=0.2-21nl.l=0.2-lnl.21>g(0)=0,即c〉6,

所以6<c<a.

故选：D

答案第4页，共15页

【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的

内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化

繁为简的作用.

13.2028

【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答

由图可知，当直线z=-2x+y+2024过点A时，z有最大值，

且z„1ax=-2x(-1)+2+2024=2028.

故答案为：2028.

35

14.8.75/—

4

【分析】根据题意求随机变量的期望即可.

【详解】由题意可得：该销售商销售每件零件获利的期望是10x95%-15x(1-95%)=8.75元,

则该销售商销售该零件10000件，获利的期望为8.75x10000=87500元，即8.75万元.

故答案为：8.75.

【点睛】本题考查随机变量的期望，考查数据分析的核心素养.

15.(84亚+646卜

【分析】作出图形，计算出两个圆台的母线长，再利用圆台的侧面积公式可求得结果.

【详解】如图，过点尸在平面跖内作FG148,垂足为G,

答案第5页，共15页

过点C在平面48CD内作CH，A8,垂足为b,

由题意可得。尸=4,04=10,02c=6,由圆台的几何性质可知。

在平面/BE尸中，O.F//OA,FG1AB,则四边形。QFG为矩形，则OG=O/=4,

所以，AG=OA-OG=10-4=6,同理可得8〃=O8-OH=10-6=4,

由题意可知尸G:S=3:4且尸G+C7/=14,则尸G=6,CH=8,

从而AF=y/AG2+FG2=A/62+62=672，BC=yjBH2+CH2=742+82=475，

故该汝窑双耳罐的侧面积为兀-AF\OXF+OA）+nBC-（O2C+OA）

=KX6V2X（4+10）+KX4屈（6+10＞（846+646）兀平方厘米.

故答案为：（84亚+64&）兀.

16.小亭

【分析】先设出点A,借助向量数量积求得A的轨迹，再利用椭圆的几何性质列出不等式求

出即得.

【详解】设点力（士,其），而片（―c,。）,8（c,0）,则=（―c—X],—必）,4工=（c—再,—必），

由/片•N凡=4c?,得（—c—必）,（c—X],—必）=x；—+y；=4c~,即无；+y：=5c~,

因此点A在以（0,0）为圆心，半径为小的圆上，而A点在椭圆上，则圆f+j?=5c?与椭圆

22

++4=1有公共点，

a2b2

由椭圆的几何性质知14/cVa,即5c亦即

整理得5c2w/v6c2,即所以椭圆离心率

故答案为：[萼,。]

【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：

①定义法：通过已知条件列出方程组，求得a4得值，根据离心率的定义求解离心率e；

②齐次式法：由已知条件得出关于“，c的二元齐次方程，然后转化为关于e的一元二次方程

答案第6页，共15页

求解；

③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.

17.(1)列联表见解析，有99%的把握认为是否是“编织巧手”与年龄有关;

【分析】(1)根据题意填写列联表，再由卡方公式计算，对比临界值表即可；

(2)根据分层抽样可得在40周岁以上(含40周岁)的有2人，年龄在40周岁以下的有4

人，由组合数公式结合古典概型的计算公式求解.

【详解】(1)年龄在40周岁以上(含40周岁)的非“编织巧手”有5人，

年龄在40周岁以下的“编织巧手”有6人.

列联表如下：

“编织巧手”非“编织巧手”总计

年龄240岁19524

年龄<40岁61016

总计251540

由题中数据可得K?=4°X(19*1°-6X5)2=巴。7.111,

24x16x25x159

因为7.111>6.635,所以有99%的把握认为是否是“编织巧手”与年龄有关.

(2)由题意可得这6人中年龄在40周岁以上(含40周岁)的有2人，年龄在40周岁以下

的有4人.

从这6人中随机抽取2人的情况有或=15种，

其中符合条件的情况有C：C；=8种，

Q

故所求概率尸=石.

4

18.(l)y

(2)国

41

【分析】(1)根据余弦二倍角公式，再结合同角三角函数关系求值即可;

答案第7页，共15页

（2）先根据余弦定理求边长再应用面积公式求高即得最小值.

【详解】（1）因为5cos25-14cos3=7,

所以5(2COS25-1)-14cosB—7=0,

所以5COS25-7cos5-6=0,

!P(5cos5+3)(cos^-2)=0,解得cosH=—

因为0<5<兀，所以sinB=1l-cos?^=—.

(2)由余弦定理可得人2=〃2+/一2"ccosB=41，则.

设^ABC的边AC上的高为h.

*.*-Be的面积S=—acxsinB=—bh,

22

.•.-x5x2x-=-V41/z,

252

Q

解得〃二下，

V41

是锐角，.•.当L/C时，垂足在边/。上，即AD的最小值是〃=生画.

41

19.(1)证明见解析

,八3屈

38

【分析】（1）构造面面平行，利用面面平行的性质定理证明线面平行即可；

（2）以。为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线E尸的方向向量与平面

用。的法向量，即可得线面夹角的正弦值.

【详解】（1）证明：取的中点b,连接EH,FH.

因为b，H分别是棱尸N,的中点，所以"FIIPD.

因为POu平面尸CD,平面尸CD,所以打〃平面尸CD.

因为£,4分别是棱BC,的中点，所以HE〃CD.

答案第8页，共15页

因为CDu平面尸CD,HEU平面PCD,所以HE■〃平面尸CD.

因为HE,HFu平面HEF,且HECHF=H,所以平面尸〃平面PCD.

因为EFu平面HER,所以EFP平面尸CD.

(2)以。为坐标原点，分别以方，皮的方向为x,V轴的正方向，垂直平面/BCD向上

的方向为z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

设N8=l,贝！|/O=CD=PD=2,PC=2百.

4+4-121

由余弦定理可得cos/尸DC=------------=-—,则NPDC=120°,

2x2x22

从而42,0,0）,£>（0,0,0）,P（0,-l,V3）,

0,-2,?.

故9=（2,0,0）,DP=,EF=

/

设平面尸40的法向量为』=(x/,z),

n-DA^Q（2x=Q厂/厂\

则—={/-c，令y=#>,得"=（o,后1）.

[n-DP^O[-y+^z=0/v'

设直线E尸与平面尸4。所成的角为

373

则sin^=|cosn,EF\=-t^L="_3后

'।\n\-\EF\38

即直线EF与平面尸4D所成角的正弦值为豆豆

38

20.（1）/=8x

(2)定点为。0,-4),理由见解析

答案第9页，共15页

【分析】（1）根据垂直平分线性质，结合抛物线定义可解；

（2）设直线/：x="y+",联立抛物线方程消去x,由西7.丽=0结合韦达定理可得〃?，〃

的关系，代入直线方程即可判断.

【详解】（1）由题意可得以同=忸同，即点3到点尸的距离等于点B到直线人的距离.

因为即=4,所以4的方程为x=-2,尸（2,0）,

则点3的轨迹。是以尸为焦点，直线4：x=-2为准线的抛物线，

故点B的轨迹C的方程为/=8x.

（2）由题意可知直线/的斜率不为0,贝！]设直线/：x=%y+",M（尤]，必），NG，%）.

x=my+H,

联立整理得y2--8〃=0,

y2=8%,

从而乂+%=8%，yxy2=-Sn.

PM=（%—2,%一4）,PN=（x2-2,y2-4）

因为以线段MN为直径的圆恒过点尸，所以西7.丽=0，

即（X]-2）（%-2）+（%-4）（%-4）=》也-2（X]+X2）+乃%-4（%+%）+20=0.

因为用=?，马斗，所以喑一丁+.「45+%）+20=0,

即陪…2尸+狙+2。=0，

所以二一16/2一12〃-32/+20=0,即"2一12〃+36=16机2+32优+16,即（〃-6）2=16（机+1）2,

所以〃一6=±4（心+1）,即力=4〃?+10或"=-4m+2.

答案第10页，共15页

当〃=-4加+2时，直线/的方程为》=叼-4〃7+2,gpx-2=m（j-4）,此时直线过点尸（2,4）,

不符合题意，

当〃=4〃z+10时，A=64m2+32n=64^(m+l)-+4^|>0,且直线/:x=+4机+10,即

x-10=m(7+4),过定点(10,-4),满足题意，

故直线/过定点(10,-4).

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或了）的一元二次方程，必要时计算A；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为玉+%、西无2（或%+%、%%）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

2L

<2eJ

（2）证明见解析.

【分析】（1）利用导数求出函数g（x）的最小值，解不等式g（x）向040即可求解;

Inx,-lnxlux,-lnx

771(%+%)>2,令"上，利

（2）由零点的定义可得。=7——-v只需证———

（西一工2）（再+无2）占一遍X2

用导数证明不等式尸«）=lnz-当J<0即可.

【详解】（1）/（尤）的定义域为（0,+功,

令/(x)=0,即办-?=0(°>0),等价于"2一11K=o,

答案第11页，共15页

2

igg(x)=ax-]nx,则g，(x)=2ax」=2以T(x>0),

XX

令g[x)=O,可得彳=舟，

2a

当xe时，g'(x)<0,g(x)单调递减，

当xe时，g'(x)>0,g(无)单调递增，

、a?

则8(月的最小值为8[御)=3-111^^=3(1+1112.),g(l)=a>0,

要使得g(x)=ax2-lux存在零点，则=J。+ln2a)-0，

即1+ln2aW0,得aJo,^—.

I2e_|

(2)由再,％为/(x)的零点,得/(占)=/(无2)=。，

QX；-1%=0,

即g(xj=g(x2)=。即

竭-lnx2=0,

两式相减得。(X：-X：)-(lnx1-lnx2)=0,即。=(苫号)-

2

要证当0<占<%时，a(x1+x2)>2,

___lux,-Inx,/、-__,x,2(x,-x,)

只需证一!----4%+工2)>2,只需证ln」<q」，0cxlc3,

X]-X2X2X]+x2

2Q-1]

In2一-_Z<o,0<xl<x2.

%A+i

%

令:土(0</<1),尸⑷=皿_"二D,只需证尸⑺<0,

4_(?+l)2-4r_(z-1)2

F，(0=>0,则尸⑺在(0,1)上单调递增,

r(Z+l)2f《+l)2f(Z+1J

.,.F(/)=ln/-^^<F(l)=0,即可得证.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的求解策略

形如/(x)Ng(x)的求解策略:

答案第12页，共15页

1、构造函数法：令尸(x)=/(x)-g(x),利用导数求得函数尸(X)的单调性与最小值，只需

尸(x).20恒成立即可；

2、参数分离法：转化为。上0(x)或aV9(x)恒成立，即。2夕(无)1mx或恒成立，只

需利用导数求得函数以x)的单调性与最值即可；

3,数形结合法：结合函数了=/(x)的图象在y=g(x)的图象的上方(或下方)，进而得到不

等式恒成立.

22.⑴曲线C的直角坐标方程为/+}/一6-12=0,直线/的普通方程为x-y-3=0；

⑵卫

62

【分析】(1)根据si/e+cos2a=1可得曲线C的直角坐标方程，根据x=pcosa_y=psin8

可