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文档简介
四川省绵阳市三台中学校2024届高三下学期第一次仿真测试理
科数学试题
学校:姓名:班级:考号:
一、单选题
1.已知集合/=卜卜2->6>0},则备/=()
A.[x\x<-2ng,x>3}B.{x|-2<x<3}
C.{尤[x<-3或尤>2}D.{x|-3<x<2}
3-i
2.已知——=l-2i,则复数z在复平面内对应的点位于()
Z
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.1--2]的展开式中,含好的项的系数是()
A.-40B.40C.-80D.80
4.下列有关命题的说法错误的是()
A.若命题pH/cR,Xg>0,贝!J命题力:VxcR,d<0
B.“x=l”是的充分不必要条件
1-兀
C.”sinxu^;■”的必要不充分条件是“x=:”
D.在“BC中,"/>6”是“a>方”的充要条件
5.执行如图的程序框图,输出的S值是()
试卷第1页,共6页
A.--B.—C.0D.V3
22
6.如图,在△48C中,AF=BF=6,EF=5,则成.丽=()
7.函数/(x)=J-cosx的图象大致为()
八)el+l
B.\、/»
A./>
Y兀_JiO71^^718J^7l__7£\。八二^兀x
FF~1T"T-T\~2T
斗斗
3兀713兀37i
一2,
C.D.?2>
兀071X
22F~2
22
8.已知椭圆。:三+匕=1的左、右顶点分别是4瓦。是坐标原点,。在椭圆。上,且
82
\OP\=V5,贝IJAP/B的面积是()
A.272B.4C.4V2D.8
试卷第2页,共6页
9.若cosa,cos(a-£),cos(a+q)成等比数列,则sin2a=(
63
1
A.—B.--C.-D.
4634
10.我们的数学课本《人教A版必修第一册》第121页的《阅读与思考》中介绍:“一般地,
如果某物质的半衰期为九那么经过时间;后,该物质所剩的质量00=以(3『,其中。。是
该物质的初始质量.”现测得某放射性元素的半衰期为1350年(每经过1350年,该元素的存
量为原来的一半),某生物标本中该放射性元素的初始存量为根,经检测现在的存量为
据此推测该生物距今约为()(参考数据:坨220.3)
A.2452年B.2750年C.3150年D.3856年
11.已知三棱锥尸-4BC的所有顶点都在直径为10的球。的表面上,SC=4x/3>
NA4c=120。,则三棱锥P-A8C的体积的最大值是()
A873口1673「32石„6473
3333
12.已知a=e°」-e«J,b=lnl.21,c=0.2,贝|()
A.b<a<cB.c<b<aC.a<c<bD.b<c<a
二、填空题
x-y<0
13.已知x,了满足-2x+y20,则目标函数z=-2x+y+2024的最大值是.
x+j-1<0
14.已知某生产线生产的某种零件的合格率是95%,该零件是合格品,则每件可获利10元,
该零件不是合格品,则每件亏损15元.若某销售商销睢该零件10000件,则该销售商获利
的期望为万元.
15.宋代是中国瓷器的黄金时代,涌现出了五大名窑:汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑.其
中汝窑被认为是五大名窑之首.如图1,这是汝窑双耳罐,该汝窑双耳罐可近似看成由两个
圆台拼接而成,其直观图如图2所示.已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米,中间
圆的直径是20厘米,上底面圆的直径是8厘米,高是14厘米,且上、下两圆台的高之比是3:4,
则该汝窑双耳罐的侧面积是平方厘米.
试卷第3页,共6页
22
16.已知椭圆C:、+4=l(a>b>0)的左右焦点分别为耳、旦,其中4©=加,过耳的
ab
直线/与椭圆C交于43两点,若丽•福=4/,则该椭圆离心率的取值范围是.
三、解答题
17.民族要复兴,乡村要振兴,合作社助力乡村产业振兴,农民专业合作社已成为新型农业
经营主体和现代农业建设的中坚力量,为实施乡村振兴战略作出了巨大的贡献.已知某主要
从事手工编织品的农民专业合作社共有100名编织工人,该农民专业合作社为了鼓励工人,
决定对“编织巧手”进行奖励,为研究“编织巧手”是否与年龄有关,现从所有编织工人中抽取
40周岁以上(含40周岁)的工人24名,40周岁以下的工人16名,得到的数据如表所示.
“编织巧手”非“编织巧手”总计
年龄“0岁19
年龄<40岁10
总计40
(1)请完成答题卡上的2x2列联表,并判断能否有99%的把握认为是否是“编织巧手”与年龄
有关;
(2)为进一步提高编织效率,培养更多的“编织巧手”,该农民专业合作社决定从上表中的非“编
织巧手”的工人中采用分层抽样的方法抽取6人参加技能培训,再从这6人中随机抽取2人
分享心得,求这2人中恰有1人的年龄在40周岁以下的概率.
n(ad-be)2
参考公式:K2=其中〃=4+6+c+d.
(a+b)(c+d)(q+c)0+d)
参考数据:
2
P(K>k0)0.100.050.0100.001
试卷第4页,共6页
左02.7063.8416.63510.828
18.在A/L8C中,角N,B,C的对边分别是a,b,c,且5cos2BT4cos8=7.
⑴求sin5的值;
(2)若。=5,c=2,D是线段NC上的一点,求的最小值.
19.如图,在四棱锥尸-/8CD中,平面尸CD_L平面/8C。,四边形N8CD是梯形,AB//CD,
ABLAD,E,尸分别是棱8C,P/的中点.
(1)证明:MP平面尸CD.
(2)若尸C=43PD=y[3CD=y/3AD=2&B,求直线EF与平面PAD所成角的正弦值.
20.已知直线4轴,垂足为x轴负半轴上的点£,点E关于坐标原点。的对称点为尸,
且忸尸1=4,直线4,4,垂足为A,线段肝的垂直平分线与直线4交于点B.记点B的轨
迹为曲线C.
⑴求曲线。的方程.
(2)已知点尸(2,4),不过点P的直线/与曲线C交于M,N两点,以线段为直径的圆恒过
点P,试问直线/是否过定点?若是,求出该定点坐标;若不是,请说明理由.
Iny
21.已知函数/(力=依-上,a>0.
⑴若“X)存在零点,求。的取值范围;
2
⑵若*2为4X)的零点,且再<》2,证明:a(%1+x2)>2.
fx=2+4coscr,
22.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为“.(a为参数),以坐标
[>=4sma
原点。为极点,X轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线/的极坐标方程是
试卷第5页,共6页
pcos0-0sin。-3=0.
(1)求曲线。的直角坐标方程和直线/的普通方程;
(2)若尸(0,-3),直线/与曲线。交于48两点,〃是线段的中点,求而两的值.
23.已知函数/(X)=卜+加1+卜-2时,其中相>0.
(1)当机=2时,求不等式10的解集;
出若对任意的工€氏/(彳)24-机恒成立时机的最小值为£,且正实数0,6满足力+02=2/,
证明:a+b>2ab.
试卷第6页,共6页
参考答案:
1.B
【分析】求出集合A,利用补集的定义可得出集合二儿
【详解】因为/=Nx2-x-6>0}=卜卜<-2或x>3},故%/={H-2WXV3}.
故选:B.
2.A
【分析】根据复数四则运算化简复数z,然后由复数的几何意义可得.
3-i(3—i)(l+2i)、
【详解】因为Z=匚彘=力^”$=1+1,所以复数2在复平面内对应的点为z(1,1),位于
第一象限.
故选:A
3.C
【分析】在展开式的通项公式中令》的次数为-2即可求解.
【详解】展开式的通项为-(-2丫=(-2丫«”-5.令一5=-2,得
r=3,则含」的项的系数是(-2)3xC;=-80.
X
故选:C.
4.C
【分析】根据存在量词命题的否定、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件,三角函
数图像及解三角形知识点即可判断.
【详解】对于A,根据存在量词命题的否定可得,A选项说法正确;
对于B,“x=l”是“x21”的充分不必要条件,故B正确;
TT11ITS71
对于C,当%=—时,sinx=—;当sinx=—时,%=—+2左兀或x=F2kii,keZ,
62266
jr1
所以“》=9'是"512=:”的充分不必要条件,故C错误;
对于D,根据三角形的性质,大边对大角,大角对大边可知,>3”是“a>&”的充要条件,
故D正确;
故选:C.
答案第1页,共15页
5.B
【分析】直接按照程序框图运行程序,找到函数的周期,即可求出输出值.
【详解】当〃=1,S=0时,S=sin-=—;
32
执行第一次循环可得〃=2,s=3+sin红=6;
23
执行第二次循环可得〃=3,S=+sin乃=;
执行第三次循环可得〃=4,S=V^+sin9=旦;
32
执行第四次循环可得〃=5,5=^+sin—=0;
23
执行第五次循环可得〃=6,5=sin—=0;
执行第六次循环可得〃=7,5=sin—=^;
32
归纳可知,其周期为6,所以s刈4=邑=乎.
所以输出5=3.
2
故选:B.
6.A
【分析】根据极化恒等式,结合已知数据,直接求解即可.
a+b>
【详解】因为存B=
、2,
2
'或+丽丫"EA-EB-----*2-----*2
故应•丽=I2J=EF-BF=25-36=—11.
、2
故选:A.
7.A
【分析】根据/(')的解析式先判断奇偶性,代入特殊值即可求解.
【详解】依题意,
£-1
因为/(%)=,
7+1•COSX
_x_11_xx
eee-l
所以/(-%)=^J・COS(-X)-COSX=,
~e+~i•cos/
所以=所以/(X)为奇函数,所以D选项错误;
答案第2页,共15页
-1pn-]
因为/(兀卜J_LCOSTT=->•<(),所以C选项错误;
Len+leK+l
0-i
因为/(0)=Me.cosO=0,所以B选项错误;
因此排除了BCD选项,而A选项图象符合函数/(力=老<051的性质.
故选:A.
8.A
【分析】设出点尸(见,?),利用条件直接求出点P纵坐标的绝对值,又易知Ma=4收,从
而可求出结果.
fm2+.n2=5:
【详解】设尸(",〃),因点尸在椭圆上,且[0尸|=行,则有<“n2,消去加,得到3〃2=3,
—+—=1
182
所以同=1,
又4-20,0),3(2血,0),故AP/3的面积是S=;x4后xl=2血.
故选:A.
9.B
【分析】利用等比中项,结合三角恒等变换求解即得.
【详解】由COSa,cos(a-g),cos(a+工)成等比数列,得cos2(a-g)=cosacos(a+"
6363
BP—[1+cos(2cr--)]=coscr(—cosa-sina)=--1+0°12a一2^1sin2a,
232222
11、4也•)1,1:■)V3.-ccpi.06
一+—cos2aH---sm2a=—+—cos2a-----sm2a,m以sin2a=-----.
2444446
故选:B
【点睛】思路点睛:三角函数是以角为自变量的函数,因此解三角函数题,首先从角进行分
析,善于用已知角表示所求角,即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数基
本关系、两角和与差的公式、二倍角公式、配角公式等,选用恰当的公式是解决三角问题的
关键,明确角的范围,对开方时正负取舍是解题正确的保证.
10.C
【分析】根据对数的运算性质即可求解.
答案第3页,共15页
【详解】由题意可知/=加[;)国,两边取对数得
Tg5=-—(Tg2)D
1350、)_*.一呈_亦。
故选:C
11.C
【分析】先根据正弦定理求出底面“3C的外接圆的半径,再利用垂径定理求出球心到底面
的距离,进而得到点尸到平面/BC的最大距离,然后利用三角形的面积公式和基本不等式
求出底面三角形面积的最大值即可求解.
【详解】由题意可得^ABC的外接圆的半径为r=..BC=4,
2sln/A4c
则球心O到平面ABC的距离d=^yJ-42=3,
故点P到平面ABC的最大距离〃=8.
因为5C=4\/§,ZBAC=120°,所以叱=/82+/C2-2N8/CCOSNB/C,
即232+/。2+/3./。=48,所以/B.ZC416,
则、4BC的面积S^-AB-/CsinABAC<,
2
故三棱锥尸-的体积的最大值是=工xx8="".
333
故选:C.
12.D
【分析】根据给定条件,构造函数〃x)=e-eT-2x,g(x)=2x-21n(x+1),再利用导数探
讨单调性,即可比较大小作答.
【详解】设/(x)=e-er-2无,则/'(x)=e'+eT-220,从而〃x)在R上单调递增,
则/(0.1)=e°i-e«,-0.2>/(0)=0,即a>c,
设g(x)=2x-21n(l+x),贝ijg,(x)=2--=上土>0,从而g(x)在(0,+司上单调递增,
x+1X+1
则g(O.l)=0.2-21nl.l=0.2-lnl.21>g(0)=0,即c〉6,
所以6<c<a.
故选:D
答案第4页,共15页
【点睛】思路点睛:某些数或式大小关系问题,看似与函数的单调性无关,细心挖掘问题的
内在联系,抓住其本质,构造函数,分析并运用函数的单调性解题,它能起到化难为易、化
繁为简的作用.
13.2028
【分析】由约束条件作出可行域,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答
由图可知,当直线z=-2x+y+2024过点A时,z有最大值,
且z„1ax=-2x(-1)+2+2024=2028.
故答案为:2028.
35
14.8.75/—
4
【分析】根据题意求随机变量的期望即可.
【详解】由题意可得:该销售商销售每件零件获利的期望是10x95%-15x(1-95%)=8.75元,
则该销售商销售该零件10000件,获利的期望为8.75x10000=87500元,即8.75万元.
故答案为:8.75.
【点睛】本题考查随机变量的期望,考查数据分析的核心素养.
15.(84亚+646卜
【分析】作出图形,计算出两个圆台的母线长,再利用圆台的侧面积公式可求得结果.
【详解】如图,过点尸在平面跖内作FG148,垂足为G,
答案第5页,共15页
过点C在平面48CD内作CH,A8,垂足为b,
由题意可得。尸=4,04=10,02c=6,由圆台的几何性质可知。
在平面/BE尸中,O.F//OA,FG1AB,则四边形。QFG为矩形,则OG=O/=4,
所以,AG=OA-OG=10-4=6,同理可得8〃=O8-OH=10-6=4,
由题意可知尸G:S=3:4且尸G+C7/=14,则尸G=6,CH=8,
从而AF=y/AG2+FG2=A/62+62=672,BC=yjBH2+CH2=742+82=475,
故该汝窑双耳罐的侧面积为兀-AF\OXF+OA)+nBC-(O2C+OA)
=KX6V2X(4+10)+KX4屈(6+10>(846+646)兀平方厘米.
故答案为:(84亚+64&)兀.
16.小亭
【分析】先设出点A,借助向量数量积求得A的轨迹,再利用椭圆的几何性质列出不等式求
出即得.
【详解】设点力(士,其),而片(―c,。),8(c,0),则=(―c—X],—必),4工=(c—再,—必),
由/片•N凡=4c?,得(—c—必),(c—X],—必)=x;—+y;=4c~,即无;+y:=5c~,
因此点A在以(0,0)为圆心,半径为小的圆上,而A点在椭圆上,则圆f+j?=5c?与椭圆
22
++4=1有公共点,
a2b2
由椭圆的几何性质知14/cVa,即5c亦即
整理得5c2w/v6c2,即所以椭圆离心率
故答案为:[萼,。]
【点睛】方法点睛:求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法:
①定义法:通过已知条件列出方程组,求得a4得值,根据离心率的定义求解离心率e;
②齐次式法:由已知条件得出关于“,c的二元齐次方程,然后转化为关于e的一元二次方程
答案第6页,共15页
求解;
③特殊值法:通过取特殊值或特殊位置,求出离心率.
17.(1)列联表见解析,有99%的把握认为是否是“编织巧手”与年龄有关;
【分析】(1)根据题意填写列联表,再由卡方公式计算,对比临界值表即可;
(2)根据分层抽样可得在40周岁以上(含40周岁)的有2人,年龄在40周岁以下的有4
人,由组合数公式结合古典概型的计算公式求解.
【详解】(1)年龄在40周岁以上(含40周岁)的非“编织巧手”有5人,
年龄在40周岁以下的“编织巧手”有6人.
列联表如下:
“编织巧手”非“编织巧手”总计
年龄240岁19524
年龄<40岁61016
总计251540
由题中数据可得K?=4°X(19*1°-6X5)2=巴。7.111,
24x16x25x159
因为7.111>6.635,所以有99%的把握认为是否是“编织巧手”与年龄有关.
(2)由题意可得这6人中年龄在40周岁以上(含40周岁)的有2人,年龄在40周岁以下
的有4人.
从这6人中随机抽取2人的情况有或=15种,
其中符合条件的情况有C:C;=8种,
Q
故所求概率尸=石.
4
18.(l)y
(2)国
41
【分析】(1)根据余弦二倍角公式,再结合同角三角函数关系求值即可;
答案第7页,共15页
(2)先根据余弦定理求边长再应用面积公式求高即得最小值.
【详解】(1)因为5cos25-14cos3=7,
所以5(2COS25-1)-14cosB—7=0,
所以5COS25-7cos5-6=0,
!P(5cos5+3)(cos^-2)=0,解得cosH=—
因为0<5<兀,所以sinB=1l-cos?^=—.
(2)由余弦定理可得人2=〃2+/一2"ccosB=41,则.
设^ABC的边AC上的高为h.
*.*-Be的面积S=—acxsinB=—bh,
22
.•.-x5x2x-=-V41/z,
252
Q
解得〃二下,
V41
是锐角,.•.当L/C时,垂足在边/。上,即AD的最小值是〃=生画.
41
19.(1)证明见解析
,八3屈
38
【分析】(1)构造面面平行,利用面面平行的性质定理证明线面平行即可;
(2)以。为坐标原点,建立空间直角坐标系,利用向量法求出直线E尸的方向向量与平面
用。的法向量,即可得线面夹角的正弦值.
【详解】(1)证明:取的中点b,连接EH,FH.
因为b,H分别是棱尸N,的中点,所以"FIIPD.
因为POu平面尸CD,平面尸CD,所以打〃平面尸CD.
因为£,4分别是棱BC,的中点,所以HE〃CD.
答案第8页,共15页
因为CDu平面尸CD,HEU平面PCD,所以HE■〃平面尸CD.
因为HE,HFu平面HEF,且HECHF=H,所以平面尸〃平面PCD.
因为EFu平面HER,所以EFP平面尸CD.
(2)以。为坐标原点,分别以方,皮的方向为x,V轴的正方向,垂直平面/BCD向上
的方向为z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.
设N8=l,贝!|/O=CD=PD=2,PC=2百.
4+4-121
由余弦定理可得cos/尸DC=------------=-—,则NPDC=120°,
2x2x22
从而42,0,0),£>(0,0,0),P(0,-l,V3),
0,-2,?.
故9=(2,0,0),DP=,EF=
/
设平面尸40的法向量为』=(x/,z),
n-DA^Q(2x=Q厂/厂\
则—={/-c,令y=#>,得"=(o,后1).
[n-DP^O[-y+^z=0/v'
设直线E尸与平面尸4。所成的角为
373
则sin^=|cosn,EF\=-t^L="_3后
'।\n\-\EF\38
即直线EF与平面尸4D所成角的正弦值为豆豆
38
20.(1)/=8x
(2)定点为。0,-4),理由见解析
答案第9页,共15页
【分析】(1)根据垂直平分线性质,结合抛物线定义可解;
(2)设直线/:x="y+",联立抛物线方程消去x,由西7.丽=0结合韦达定理可得〃?,〃
的关系,代入直线方程即可判断.
【详解】(1)由题意可得以同=忸同,即点3到点尸的距离等于点B到直线人的距离.
因为即=4,所以4的方程为x=-2,尸(2,0),
则点3的轨迹。是以尸为焦点,直线4:x=-2为准线的抛物线,
故点B的轨迹C的方程为/=8x.
(2)由题意可知直线/的斜率不为0,贝!]设直线/:x=%y+",M(尤],必),NG,%).
x=my+H,
联立整理得y2--8〃=0,
y2=8%,
从而乂+%=8%,yxy2=-Sn.
PM=(%—2,%一4),PN=(x2-2,y2-4)
因为以线段MN为直径的圆恒过点尸,所以西7.丽=0,
即(X]-2)(%-2)+(%-4)(%-4)=》也-2(X]+X2)+乃%-4(%+%)+20=0.
因为用=?,马斗,所以喑一丁+.「45+%)+20=0,
即陪…2尸+狙+2。=0,
所以二一16/2一12〃-32/+20=0,即"2一12〃+36=16机2+32优+16,即(〃-6)2=16(机+1)2,
所以〃一6=±4(心+1),即力=4〃?+10或"=-4m+2.
答案第10页,共15页
当〃=-4加+2时,直线/的方程为》=叼-4〃7+2,gpx-2=m(j-4),此时直线过点尸(2,4),
不符合题意,
当〃=4〃z+10时,A=64m2+32n=64^(m+l)-+4^|>0,且直线/:x=+4机+10,即
x-10=m(7+4),过定点(10,-4),满足题意,
故直线/过定点(10,-4).
【点睛】方法点睛:利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:
(1)设直线方程,设交点坐标为
(2)联立直线与圆锥曲线的方程,得到关于x(或了)的一元二次方程,必要时计算A;
(3)列出韦达定理;
(4)将所求问题或题中的关系转化为玉+%、西无2(或%+%、%%)的形式;
(5)代入韦达定理求解.
2L
<2eJ
(2)证明见解析.
【分析】(1)利用导数求出函数g(x)的最小值,解不等式g(x)向040即可求解;
Inx,-lnxlux,-lnx
771(%+%)>2,令"上,利
(2)由零点的定义可得。=7——-v只需证———
(西一工2)(再+无2)占一遍X2
用导数证明不等式尸«)=lnz-当J<0即可.
【详解】(1)/(尤)的定义域为(0,+功,
令/(x)=0,即办-?=0(°>0),等价于"2一11K=o,
答案第11页,共15页
2
igg(x)=ax-]nx,则g,(x)=2ax」=2以T(x>0),
XX
令g[x)=O,可得彳=舟,
2a
当xe时,g'(x)<0,g(x)单调递减,
当xe时,g'(x)>0,g(无)单调递增,
、a?
则8(月的最小值为8[御)=3-111^^=3(1+1112.),g(l)=a>0,
要使得g(x)=ax2-lux存在零点,则=J。+ln2a)-0,
即1+ln2aW0,得aJo,^—.
I2e_|
(2)由再,%为/(x)的零点,得/(占)=/(无2)=。,
QX;-1%=0,
即g(xj=g(x2)=。即
竭-lnx2=0,
两式相减得。(X:-X:)-(lnx1-lnx2)=0,即。=(苫号)-
2
要证当0<占<%时,a(x1+x2)>2,
___lux,-Inx,/、-__,x,2(x,-x,)
只需证一!----4%+工2)>2,只需证ln」<q」,0cxlc3,
X]-X2X2X]+x2
2Q-1]
In2一-_Z<o,0<xl<x2.
%A+i
%
令:土(0</<1),尸⑷=皿_"二D,只需证尸⑺<0,
4_(?+l)2-4r_(z-1)2
F,(0=>0,则尸⑺在(0,1)上单调递增,
r(Z+l)2f《+l)2f(Z+1J
.,.F(/)=ln/-^^<F(l)=0,即可得证.
【点睛】方法点睛:利用导数证明不等式的求解策略
形如/(x)Ng(x)的求解策略:
答案第12页,共15页
1、构造函数法:令尸(x)=/(x)-g(x),利用导数求得函数尸(X)的单调性与最小值,只需
尸(x).20恒成立即可;
2、参数分离法:转化为。上0(x)或aV9(x)恒成立,即。2夕(无)1mx或恒成立,只
需利用导数求得函数以x)的单调性与最值即可;
3,数形结合法:结合函数了=/(x)的图象在y=g(x)的图象的上方(或下方),进而得到不
等式恒成立.
22.⑴曲线C的直角坐标方程为/+}/一6-12=0,直线/的普通方程为x-y-3=0;
⑵卫
62
【分析】(1)根据si/e+cos2a=1可得曲线C的直角坐标方程,根据x=pcosa_y=psin8
可
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