四川省泸州市2024届高三年级下册三诊试题 数学（文） 含答案

泸州市高2021级第三次教学质量诊断性考试

数学(文科)

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.第I卷1至2页，第n卷3至4页.

共150分.考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答

题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑.

3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔

绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域

均无效.

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.

第I卷(选择题共60分)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知复数z满足(2-i>z=5i,则zS=()

A.&B.3C.75D.5

2,已知集合4={1,2-2.丫一3<()},8={0M},若Ac8中有且仅有一个元素，则实数〃的取值范围为

()

A(-1,3)B.(-co,-1儿[3,长0)

C.(-3,1)D.(^O,-3]LJ[1,-KO)

r2v2

3,已知双曲线=〉(),〃>())的两条渐近线相互垂直，焦距为12,则该双曲线的虚轴长为

()

A.6B.60C.972D.12A/2

4.从3,4,5,6,7这5个数中任取两个数，则所取两个数之积能被3整除的概率是()

3473

A.-B.-C.—D.—

551()1()

5.记S“为等差数列上｝的前〃项和，已知<=-14,%+4=—20,则S“取最小值时，”的取值为（）

A.6B.7C.7或8D.8或9

6.一组数据X],12，满足七一%-1二2（2</<10）,若去掉储，内。后组成一组新数据，则新数

据与原数据相比，下列说法正确的是（）

A.方差变小B.平均数变大C.极差变大D.中位数变小

7,《九章算术》是一本综合性的历史著作，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，标志着中国古代数

学形成了完整的体系.在书中的《商功》一章里记录了“方亭”的概念，如图是一个“方亨”的三视图，则

A.16如B.16小C.64D.*厉

8.已知点仞（4,4）在抛物线C：J=2/忒（〃>0）上，/为C的焦点，直线仞尸与C的准线相交于点

N,则|叫=()

2()1()1515

A.BC.—D.—

324

9.己知函数/（x）=sin(OX（。〉0）在[0对有且仅有三个零点，则。的取值范围是（）

8118H58苣色、

A.B.C.D.

3,T3司3533;

10.已知函数/(x)(xeR)满足/(x)廿"(4—x)=0若函数/（力与），=—二图象交点横坐标分别

K-2

为X],*2，…，Xn,则()

i=l

A.4〃B.2〃C.nD.0

11.已知圆锥的体积为24工，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积为()

A.4开B.87rC.127rD.16兀

12.已知x>0,e'+ln)，=l,给出下列不等式

®A,4-Iny<0；②e'+y>2；③lnx+e'<0：@-v+y>1

其中一定成立个数为()

A.1B,2C.3D.4

第n卷(非选择题共9o分)

注意事项：

(1)非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上,作图题可先用铅笔绘出，

确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效.

(2)本部分共10个小题，共90分.

13.已知函数鼻一［sinx是偶函数，则实数4=.

14.已知非零向量方满足|“|=2|。|,且(“-/〉)！/>,则向量。与6的夹角为.

15.已知宜线/：〃优一,，=1,动直线/被圆。:不+尸+2工-24=•截得弦长最小值为.

16.已知S,,是数列｛4｝的前〃项和，4=1,㈣川=(〃+2)S“，则％=

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步楣.第17〜21题为必考题，每

个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.如图，在四棱锥P—A6CO中，底面A8C。是矩形，AB=2,8c=2>/J，AC与交于点O,

OPlOiABCD,OP=5点E，尸分别是棱卓，依的中点，连接OE，OF.EF.

(I)求证：平面OEF〃平面PCD；

(2)求三棱锥O—A6E1的体积.

18._A8C的内角A，B,C的对边分别为“，b,c.已知/=//+C.2_48,且jiBC的面积为6j“

（1）求tanA的值；

（2）若。是AC边的中点，8=三，求8。的长.

19.随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇.某公司生产了A、3两

种不同型号的新能源汽车，为了解大众时生产的新能源汽车的接受程度，公司在某地区采用随机抽样的方

式进行调查，对A、3两种不同型号的新能源汽车进行综合评估（得分越高接受程度就越高），综合得分按

照[20,40）,[40,60）,[60,80）,[80,100]分组,绘制成评估综合得分的频率分布直方图（如图）:

A型号评估综合得B型号评估综合得

分频率分布直方图分频率分布直方图

（2）为进一步了解该地区新能源汽车销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源

汽车销量）•（单位：万台）关于年份）的线性回归方程为5，=4.7x-9495.2,且销量了的方差s：=50,年

份x的方差为s；=2,求与x的相关系数厂，并据此判断该地区新能源汽车销量）’与年份x的相关性强

弱.

.£（玉-£）（）'「田_

参考公式：（i）线性回归方罡：y=bx+a,其中-------------，4=亍-以：

r=l

£（%-可（％-了）

（诃）相关系数"=7——~（?rre[0,0.25],则相关性较弱：若re[0.30,0.75],则

宓—）2宓“寸

Vi=\Vi=\

相关性较强：若，七四必』，则相关性很强）.

20.如图，己知4,8分别是椭圆£：%-+£=1的右顶点和上顶点，椭圆E的离心率为走,aA8。的面积

a2b22

为1.若过点P（a,〃）的直线与椭.圆E相交于M,N两点，过点M作》•轴的平行线分别与直线A&N8交于

点CD.

(1)求椭圆E的方程.

(2)证明：M,C,。三点的横坐标成等差数列.

21.设函数/(x)=e—,g(x)=lnx+〃.

⑴求函数WHEx-l)”*单调区间：

(2)若总存在两条直线和曲线」=/(x)与y=g(x)都相切,求〃的取值范围.

(二)选考题：共10分,请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一

题计分.

选修4-4：坐标系与参数方程.

1=1+cos0l

22.曲线的参数方程为4.八(。为参数)，曲线C,的直角坐标方程为X+61，_】=0.以原点

y=sin0'"

0为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线G的极坐标方程和曲线C2的极坐标方程；

(2)若直线/：)，=心:与曲线G，C2的交点分别为A，B(A,8异于原点)，当斜率丘专也时，

求।°川+57=的取值范周

选修4-5：不等式选讲.

23,设函数/(x)=|2x_2|+|x+2|.

(1)解不等式/(x)W6-x；

(2)令的最小值为T,正数a,〃,c满足a+〃+c=T,证明：-+-+.

abc3

泸州市高2021级第三次教学质量诊断性考试

数学（文科）

本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分.第I卷1至2页，第n卷3至4页.

共150分.考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答

题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答束标号涂黑.

3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔

绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域

均无效.

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.

第I卷（选择题共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知复数z满足仅一i>z=5i,则z，=（）

A.+B.3C.75D.5

【答案】D

【解析】

【分析】先根据复数的除法求出复数2,再根据共扼复数的定义及复数的乘法运算即可得解.

【详解】由（2—i>z=5i,

5i_5i（2+i）

2^I=（2-i）（2+i）=-l+2i,

所以z=—1—2i，

所以z，z=（—l+20（一l—2i）=5.

故选：D.

2.已知集合A={x|/—2x-3<。},B={0,a},若Ac8中有且仅有一个元素，则实数。的取值范围为

)

A.(-1,3)B.(YO,-1]U[3,+CO)

C.(-3,1)D.(-<Q,-3]U[1,-K»)

【答案】B

【解析】

【分析】根据不等式的解法求得4={4l<x<3},结合AcB中有且仅有个元素，即可求解.

【详解】由不等式f一2犬一3<，，即。-3)。+1)<(),解得一l<x<3,即A={.2l<x<3},

因为8={0,@,要使得AcB中有且仅有个元素，则1或a»3,

即实数。的取值范围为(Y0,-1儿[3,4W).

故选：B.

22

3.已知双曲线，一?=1(“>0,〃>())的两条渐近线相互垂直，焦距为12,则该双曲线的虚釉长为

()

A.6B.6&C.9>/2D.12>/2

【答案】B

【解析】

【分析】分析可得b=",求出〃的值，即可得出双曲线的虚轴长.

【详解】双曲线*■一方=1(。>(),〃>0)的渐近线方程为.y=±?x,

由题意可知一2.2=一],可得。=〃，所以，c=+/=①)=6,则8=3上，

aa

因此，该双曲线的虚釉长为2〃=66.

故选：B.

4.从3,4,5,6,7这5个数中任取两个数，则所取两个数之积能被3整除的概率是()

3473

A.—B.-C.—D.—

551()10

【答案】c

【解析】

【分析】利用组合计数，求出总的不同结果和两数之积能被3整除的不同取法种数,利用古典概型知识求

比值即得一

【详解】从3,4,5,6,7这5个数中一次性随机地取两个数，共有C；=10种取法，

其中所取两个数之积能被3整除包含(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(4,6),(5,6),(6,7)

7

共七种取法，所以概率为历，

故选：C.

5.记S“为等差数列｛«,｝的前〃项和，己知勾=—14,%+为=—20,则S“取最小值时，〃的取值为()

A.6B.7C.7或8D.8或9

【答案】C

【解析】

［分析】要求S“取最小值时，先求凡的通项，由2%=«2+«4=一20可得%=-10,求得4=2,进而

求得怎=2〃-16，根据a“的正负情况即可得解.

【详解】根据等差数列的性质可得2%=%+«4=-20,

所以巴=—1()，所以1=幺/=2,

所以cin=2〃-16,“8=0，

当〃48时，<0,

当〃>9时，>0,

所以当〃的取值为7或8时，S“取最小值.

故选：C

6.一组数据为，/，…，X］。满足占一占一1=2(2</<10),若去掉储，后组成一组新数据，则新数

据与原数据相比，下列说法正确的是()

A.方差变小B.平均数变大C.极差变大D.中位数变小

【答案】A

【解析】

【分析】根据极差，平均数，方差与中位数的定义计算出去掉。前后的相关数据，比较后即可得解.

【详解】由于七一%二2(24”⑼，

故0=N+2,七二内+4,....”=N+16,»0=N+18,

对B：原来的平均数为一+♦++*°=M"；+9°=A,+9,

10101

去掉.V,,后的平均数为2+吐+±=8上及=玉+9,

88

平均数不变，故B错误；

10

关械入心后的方若为（占一'一9『+（与一'—9）2++（%—*"）[21,

8

方差变小，故A正确：

对C：原来的极差为内。一内=18,去掉X],小）后，极差为芍一々=14,

极差变小，故C错误；

对D：原来的中位数与现在的中位数均为土士=生土色=.5+9,

22

故中位数不变，故D错误.

故选：A.

7,《九章算术》是一本综合性的历史著作，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，标志着中国古代数

学形成了完整的体系.在书中的《商功》一章里记录了“方亭”的概念，如图是一个“方亨”的三视图，则

俯视图

A.]6折B.16而’c.64D.8历

【答案】A

【解析】

【分析】由等腰梯形的性质先求出侧面的高，可求得侧面的面积.

【详解】显然"方亭''就是正四棱台，由四个相同的梯形侧面和两个正方形底面组成.

如图正视图中,

D1N3M\C

AO.BC•即为侧面的高，由勾股定理，可得侧高〃=户了=/万,

所以每个侧面的面积S=；"(3+5)=4，万,

所以侧面积为4s=16后二

故选：A.

8.已知点例(4,4)在抛物线C：)『=2/次(〃>0)上，尸为C的焦点，直线M/与C的准线相交于点

N,则凹=()

20101515

A.—B,—C.—D.—

3324

【答案】B

【解析】

【分析】代点计算可得抛物线方程，即可得焦点纵坐标与准线方程，即可得直线的方程，求出两直线交

点，即可得N点坐标，结合两点距离公式即可得解.

【详解】由例(4,4),有I6=2〃x4,即〃=2,即抛物线C：/=4.t,

则”。,0)，准线方程为：K二一1,

444

故(w/:y=］—；(zx-1)'整理得1解:.V=qx，

4—155

448(8、

令x=_l，则y=------=—，即N-1,一彳,

333I3J

则|M=J(TT『=T,

故选：B

9.已知函数/(x)=sin|公r---I(<y>0)在［0,兀］有且仅有三个零点，则。的取值范围是()

8118II58

'1.3'TC.

7353

【答案】B

【解析】

【分析】当()《x工冗时，----<(ox-----<COK-----,依题意有2兀工切兀-----<3冗，解出即可.

3333

【详解】因为()WXW兀，所以----工CDX-----4(UTI----.

333

因为函数/(x)=sin。、一］(口>0)在［0,兀］有且仅有三个零点，

I5)

结合正弦函数的图象可知2兀4①n--三<3兀，

3

811

解得-<a><—,

33

故选：B.

10.已知函数(xeR)满足/(x)+/(4—x)=(),若函数/(x)与.丫二一1—图象的交点横坐标分别

x—2

_n

为王，巧，…，X”，则2%二()

i=l

A.4/1B.2/7C.nD.0

【答案】B

【解析】

【分析】依题意可得/(2+x)=-/(2-x),即可得到函数的图象关于(2,0)对称，再根据对称性计算可•得

结论.

【详解】因为/(x)+/(4-A-)=0,所以/(2+.v)+/(2-x)=0,

所以函数的图象关于(2,0)对称，又函数y=_!—关于(2.0)对称,

x-2

则「=/。)与y=—的交点应为偶数个，且关于(2,0)对称，

x-2

所以£可=4xg=2〃.

2

故选：B.

II,已知圆锥的体积为24%,其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积为()

A.47rB.8不C.12兀D.16乃

【答案】D

【解析】

I—7tr2Jj=24n

325,可求得“〃，进而可得轴截而是

［分析】设圆锥的底面半径为厂，高为h，由题意可得

等边三角形，求得等边三角形的内切圆的半径即可求得圆锥的内切球的表面积.

【详解】设圆锥的底而半径为，,,高为〃，母线长为炉不，

1)

-nrh=24兀

3,/=2拒

由题意可得V2「，解得

h=6

6+"一”

所以母线长为Vr+/r=4K，底面圆直径为，

可得圆锥的轴截面为等边三角形，该等边三角形内切圆的半径即为圆锥内切球的半径,

由等边三角形的性质可得内切球的半径R=OM=BMxtan30。=」=x2jj=2,

V3

所以圆锥内切球的表面积为4HR2=16兀.

故选：D.

12.已知x>0,el+lny=l,给出下列不等式

(T)x+Iny<0；・e'+y>2：®]n.r+ev<0：④、+y>l

其巾一定成立的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】由6'+1”=1可得戈=111(1一1”)，分别构造『()，)=111卜(1-1”)],g(y)=igln),+),和

/?()，)=ln(l-In)，)+)，，通过求导，求出单调性和最值可判断①③④：取特值可判断②.

【详解】由x>0,e'+\ny=],可得：Iny=1—e',

因为x>0,所以e、>l,所以l-e*<0，所以lny<0,解得：0<y<l,

rt]e*+lny=l可得：】ne*=ln(l-Iny),所以x=1n(l-lny),

对于命题①，x+l”=ln(l-lny)+】n)，=ln[y(l-ln)，)],

(

人(l-lny)+J——，

'=1心(】-In)，)],/•”()，)=--------不丁=-77n>\>Q

」y(i-ln.y).y(i-iny)

所以〃(),)在(0,i)上单调递增，因为r()，)<『(i)=O,

所以x+lny<0,故命题①正确；

对于命题②，由e"+ln)，=l可得：e'=l-lny.

所以g(y)=i—iny+xg'(y)=_，+]=—^<0，

yy

所以g(j)在(o,i)上单调递减，

所以g()')>g(1)=2,所以e、+)，〉2,故命题②正确：

时于命题③，由e、+ln)，=l,取x=l,所以y=e~e(0,1),

所以lnx+e'=c>>0,所以③错误.

对于命题④，因为x=ln(l-lnj),所以x+y=ln(l—Iny)+y,0<y<1.

1

令/?()•)=ln(lTn)，)+)，，厅()=__j]_।+1」+>17-)，,

-1-Inyy(lny-l))(inj-l)

令/()')=1+)'In)-)，，/'()')=l"<0,

所以/()，)=l+)，ln)，一)，在(0,1)上单调递减,

/()')>/⑴=。，所以“'()')<。，所以〃()')在(0,1)上单调递减,

所以〃(>')>如)=1，所以x+y>i,故命题④正确.

故选：c.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：

(I)直接构造函数法：证明不等式.f(x)>g(x)(或/(.r)<g(x))转化为证明〃戈)-g(x)>，(或

/(x)-g(X)<0),进而构造辅助函数/?(])=f(戈)一g(A-):

(2)适当放缩构造法；一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论：

(3)构造"形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

第n卷(非选择题共9()分)

注意事项：

(D非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上,作图题可先用铅笔绘出,

确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效.

(2)本部分共10个小题，共90分.

13.已知函数/(*=(段R-l}inx偶函数，则实数。=.

【答案】2

【解析】

【分析】由偶函数的性质可得/(一1)=/。)，即可得出答案.

【详解】因为函数/(1)=(豕%-)inx的定义域为R，

函数〃x)是偶函数，所以〃-1)=〃1)，

则sin(-1)=_(三—jsinl,

/⑴=j-l^sin1,所以-=.

解得：a=2,经检验满足题意.

故答案为：2.

14.已知非零向量b满足|“|=2|〃|,且则向量a与b的夹角为.

冗

【答案】一甜60。

3

【解析】

【分析】由已知得（“-切,〃=0,再利用数量积公式化简即得解.

【详解】因为（a-〃）」-〃，所以（a—b）.b=a.b-b~=|a||b\cos<«,/?>—1/?|2=0-

I

所以2g||0|cos<“,〃>—|bF=0,所以cos<a,〃>=,.

因为［0,兀］,，<“,〃>=四.

3

故答案为：■一

3

15.已知直线/：心一丁=1,动直线/被圆C:F+）?+2x-24=0截得弦长的最小值为

【答案】2月

【解析】

【分析】先由圆的方程确定圆心和半径，由直线方程确定直线过定点P（0,-1）；再利用直线与圆的位置关

系判断过点P（0,-1）且与PC垂直的弦的弦长最短：最后结合弦长公式即可求解.

【详解】由圆C:1+f+2K-24=0可得：圆心C（一】,0）,半径，・=5.

由直线/：〃氏一），=1可得：直线/过定点P（0,-l）.

因为|PC|=J-"。1+（0+1）2=0<r

所以点P（0,—1）在圆内，直线/与圆相交，

则过点P（0,-1）且与PC垂直的弦的弦长最短，且弦长的最小值为2尸西7=2岳二1=2后.

故答案为：2后

16.已知Sn是数列｛”“｝的前n项和，”］=】，〃”“+］=（〃+2）5“，则an-

【答案】（〃+1）-2"2

【解析】

［分析］借助可与s“的关系及累乘法计算即可得.

【详解】当“22时，（附一1）。“=（〃+1）5.「即5"=白”山5,1=尘4%

“+2〃+1

则st-S-=-^―all+l-勺%=an，即­=3"：：）,

〃+2〃+1an〃+1

则有a大J2(/.?+1)，wan,二2百n，a22x3

a,2

则n"=乌-x^-Lxx^-x^=(/?+!)-2"

(l

an-\”"-2\

当〃=1时，4=1,符合上式，故a,,=(〃+l>2"2.

故答案为：(〃+l>2'7.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步循.第17〜21题为必考题，每

个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.如图，在四枝锥P—A8CO中，底面A8C。是矩形，A8=2，BC=?6AC与8。交于点。，

OPJ■底面ABC。，OP=5点E，/分别是棱PA,P8的中点，连接OE,OF,EF.

(1)求证：平面OEF〃平面PCD；

(2)求三棱锥。一ABE的体积.

【答案】(1)见解析(2)3

【解析】

【分析】(1)根据中位线定理和面血平行的判定定理即可证明：

(2)根据等体枳法即可求解.

【小问1详解】

因为底面A8C。是矩形，AC与交于点•

所以。为AC中点，

点£是棱小的中点,F分别是棱PH的中点，

所以OE为三角形ACP的中位线，OF为三角形BDP的中位线,

所以OE//PC,OF"DP,

0E0平面。“，「。匚平面。。「，..0七//平面。。?，

(2。~0平面。。「，DPu平面。CP,..OF//平面DCP,

而OEcOE=OOEu平面OE/7,OEu平面OEE,

二平面OEE〃平面PCD

【小问2详解】

因为底面A8C。是矩形，A8=2,BC=2&、

所以048为等边三角形，所以O6=O4=AB=2,

所以S办8=,x2x2xsin60°=6,

2

根据体积相等法可知Vo-ABE=1

VE-OAB=1.S人8。♦20P=彳、＞/3乂3=5，

故三棱锥。—ABE的体积为5.

18..ABC的内角A，B.C的对边分别为“，A,c,已知/=。2+(?—48，且.ABC的面积为6赤.

(1)求tanA的值：

(2)若。是AC边的中点，B=~,求8。的长.

3

【答案】(1)①

2

(2)719

【解析】

【分析】(1)借助余弦定理与面积公式，结合三角函数基本关系即可得；

(2)借助余弦定理与面积公式，结合题目条件可得〃、。，再结合向量的数量积与模长的关系计算即可得.

【小问1详解】

由余弦定理可得a?=h2+c2-2hccosA=lr+c2-48，UPbecosA=24，

由面积公式可得SvARC=；/csinA=6*,即/?csinA=12，

./?csinA12石网

则tanA=----------=——=—：

hecosA242

【小问2详解】

由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos—=a2+c2-ac,

3

又/=〃+，一48,故“2=42+/―4。+/-48,即2c-2=QC+48,

由面积公式可得=g^sin8=6JL即ac=24,

即有2c2=24+48=72,即c=6,故a=4,

由。是AC边的中点，故8O=g（M+8C）,

故忸邛=网2++2网出（?际5）=；卜/+/+"）

=；（36+16+24）=19,即8。=加.

19.随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇.某公司生产了A、B两

种不同型号的新能源汽车，为了解大众对生产的新能源汽车的接受程度，公司在某地区采用随机抽样的方

式进行调查，对A、8两种不同型号的新能源汽车进行综合评估（得分越高接受程度就越高），综合得分按

照[20,40）,[40,60）,[60,80）,[80,100]分组，绘制成评估综合得分的频率分布直方图（如图）:

A型号评估综合得H型号评估综合得

分频率分布立方图分频率分布直方图

，1频率网距

0J20--------------

0.015……-I-

0.010……------------------

0.005■­—jI----IIII.

o20406080100i平分

（1）以综合得分的平均数为依据，判断A、8两种不同型号的新能源汽车哪种型号更受大众喜欢;

（2）为进一步了解该地区新能源汽车销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源

汽车销量（单位：万台）关于年份x的线性回归方程为》=4.7.”9495.2,且销量F的方差S：=50,年

份X的方差为S；=2,求y与、的相关系数，并据此判断该地区新能源汽车销量y与年份X的相关性强

弱.

参考公式：（i）线性回归方罡：y=bx+a,其中右=上、-------------，4=5-加:

Z（—）2

t=l

£（七-项y-刃

（竹〉相关系数，=唇]日-）也।----…------『--〈若re[0,0.25],则相关性较弱：若，•40.30,0.75],则

相关性较强：若，、[0.75,1],则相关性很强）.

【答案】（1）A型号的新能源汽车更受大众喜炊

（2）该地区新能源汽车销量〉'与年份x的相关性很强

【解析】

【分析】（1）根据频率分布直观图平均数公式求出三,耳，然后比较大小可得

（2）把相关系数公式变形为，.=A，4T，代入计算并根据相关系数范围判断强弱

【小问1详解】

设A、8两种不同型号的新能源汽车的踪合得分的平均数为二石，

由题可知，X,=30x0.1+50x0,3+70x0.4+90x0,2=64.

xn=30x0.3+50x0.2+70x0.4+90x0.1=56,

由于石＞高，所以A型号的新能源汽车更受大众喜欢：

【小问2详解】

该地区新能源汽车销量>,与年份、的相关性很强

20.如图，已知A,8分别是椭圆£：二+4=1的右顶点和上顶点，椭圆£的离心率为立2A8。的面积

crb22

为1.若过点P（。⑼的直线与椭圆E相交于M,N两点，过点M作N轴的平行线分别与直线AB,NB交于

点CD.

（I）求椭圆£的方程.

（2）证明：M,C,。三点的横坐标成等差数列.

【答案】（1）—+y2=l

4'

（2）证明见解析

【解析】

—ab=\

2

【分析】（I）根据已知条件列出方程组，£=4，计算即可得出结果;

a，

a2=b2+c2

（2）设直线例N方程与椭圆方程联立，设例（$,%）”（占,卜2），C（xc，X），D（x。，X）进而利用韦达定

理证明内+%=2%即可得出结果.

【小问1详解】

依据题意，

-ab=\

2厂[a=2

（・J3）

--=三，解得：〃=1,；.椭圆E的方程为工+/=1一

a24"

a2=b2+c21c=J3

【小问2详解】

解法1：设直线MN:x=i取+几•.•直线过点P（2,l）..〃?+〃=2.

联立方程组42可得：（〃「+4）、广+2〃加），+〃--4=0

/+4.y=4''

A=4m2n2-4（"/+4）（/-4）=16（〃/一，一+4）＞0

设加&,）%）”（王，力），则：."+用=奈，,）亚=由大

lABx+2y-2=0,:.C（2-2yt,y）,

ll）N：），=^^x+l,令），=X可得：*（"）J,

占y2T

下面证明：$+，%=2々..

即证：为+9辿乜=4-4y,即证:（孙+〃）（%-1）+（）「1）（〃%+〃）=（4-4）|）（乃-1）

），2T

整理可得即证：（2"z+4）%y2+（〃一4）（x+%）-2〃+4=0,

即证：（2m+4）•口——十（〃一〃7—4）•—-2〃+4=（）,

'J"*'J/+4

整理可得即证：4"P+8"〃?+4〃2—8（"z+〃）=0,即证：（"Z+”）2—2（加+〃）=。，

・・•，〃+〃=2,二上式成立,原式得证.

解法2：设M（M，y）,N（3幻（）、:1，必工1）”仞"丫轴，（玄，X），C（Xc，）'J

设直线/你：，nr+〃（丁-1）=1/4v过点P（2,1）,.二2〃?=1=>=

心十〃（了-1）=（）（xYv

市方程组<,','可得：当）"I时，」一+8，*'一+4+8〃=0，

k+4）广=4y-1

XT三一1

又.B,D,N三点共线，，」^=儿

）!2-1-1

上+上=-4即工|+々,=-4（），］一1）.

X一1V,-1

点C（Xc，X）在直线A8：1+），=1上，，）］一［=一壬，

A-+跖=—4x（-幺］,即N+巧,=2%.M,C,D三点的横坐标成等差数列.

解法3：设直线MN：x=〃"+〃，直线过点+〃=2.

2

联立方程组《m可徵（"J+4））尸+2mny+//-4=0,

设(孙3(k以'］),则：…=潴5,

A-,tA-24|（丁2-1）+，（）1-1）_-8（〃?+〃）_4

>1-1y2T（.力-1）（.丫2-1）（，〃+〃/

■♦一—止_____《_2_2%

又B,DN三点共线,

一），2-1.¥1-1"J|-lX-lg乂-1

:.xi+xn=2xc,:.仞,CD三点的横坐标成等差数列.

【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法，联立椭圆方程得到韦达定理式，再计算

—T+一包］为定值，最后再利用B.D,N三点共线即可证明.

,)I-1丁2T

21.设函数/(6=^］，g(x)=lnx+瓦

⑴求函数F(X)=(A-1)/(X)的单调区间；

(2)若总存在两条直线和曲线,r=/(%)与)，=g(x)都相切，求b的取值范围.

【答案】(1)单调递增区间为(0,+8)，单调递减区间为(—8,0)

(2)(-oo,I)

【解析】

【分析】(1)求导，再根据导函数的符号即可得解；

(2)求出/(x),g(x)的导函数，设出切线方程/(.r)=e*T在)处的切线方程为

y=e"ix+(I-〃z)e"~,g(x)=Inx+〃在点(〃,In〃+6)处的切线方程为y=Lx+In〃+1-1,

由两条

n

切线也是另一函数图象的切线，联立方程组，得到方程有两个解，进而可得出答案.

【小问1详解】

F(A-)=(A--1)f(%)=(.r-1)e1'1,b'(x)=xe，T,

令/(x)>0,得"0,令b'(.DvO,得x<，，

所以函数”(.r)的单调递增区间为(0,+e),单调递减区间为(一,,)；

小问2详解】

/'(x)=ei

•••/(X)=e'T在(〃?,e"T)处的切线方程为)，=e"Tx+(l-,

g(x)