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文档简介

江苏省扬州市红桥高级中学2024年高三第一次调研测试数学试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.对于正在培育的一颗种子,它可能1天后发芽,也可能2天后发芽,….下表是20颗不同种子发芽前所需培育的天数统计表,则这组种子发芽所需培育的天数的中位数是()发芽所需天数1234567种子数43352210A.2 B.3 C.3.5 D.42.运行如图所示的程序框图,若输出的的值为99,则判断框中可以填()A. B. C. D.3.某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆,其轨道的离心率为,设地球半径为,该卫星近地点离地面的距离为,则该卫星远地点离地面的距离为()A. B.C. D.4.已知,则下列关系正确的是()A. B. C. D.5.某中学有高中生人,初中生人为了解该校学生自主锻炼的时间,采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为的样本.若样本中高中生恰有人,则的值为()A. B. C. D.6.如图,双曲线的左,右焦点分别是直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点.若则双曲线的离心率为()A. B.C. D.7.已知F是双曲线(k为常数)的一个焦点,则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为()A.2k B.4k C.4 D.28.复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限9.已知随机变量X的分布列如下表:X01Pabc其中a,b,.若X的方差对所有都成立,则()A. B. C. D.10.已知定点都在平面内,定点是内异于的动点,且,那么动点在平面内的轨迹是()A.圆,但要去掉两个点 B.椭圆,但要去掉两个点C.双曲线,但要去掉两个点 D.抛物线,但要去掉两个点11.设、是两条不同的直线,、是两个不同的平面,则的一个充分条件是()A.且 B.且 C.且 D.且12.已知函数是定义在上的偶函数,且在上单调递增,则()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若函数的图像与直线的三个相邻交点的横坐标分别是,,,则实数的值为________.14.的展开式中,的系数为_______(用数字作答).15.过动点作圆:的切线,其中为切点,若(为坐标原点),则的最小值是__________.16.记Sk=1k+2k+3k+……+nk,当k=1,2,3,……时,观察下列等式:S1n2n,S2n3n2n,S3n4n3n2,……S5=An6n5n4+Bn2,…可以推测,A﹣B=_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知数列满足且(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.18.(12分)已知函数.(1)当时,求函数的值域.(2)设函数,若,且的最小值为,求实数的取值范围.19.(12分)我们称n()元有序实数组(,,…,)为n维向量,为该向量的范数.已知n维向量,其中,,2,…,n.记范数为奇数的n维向量的个数为,这个向量的范数之和为.(1)求和的值;(2)当n为偶数时,求,(用n表示).20.(12分)已知函数.(1)若函数在上单调递减,求实数的取值范围;(2)若,求的最大值.21.(12分)设函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)若不等式恒成立,求实数a的取值范围.22.(10分)如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,,平面底面,为的中点,是棱上的点且,,,.求证:平面平面以;求二面角的大小.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

根据表中数据,即可容易求得中位数.【详解】由图表可知,种子发芽天数的中位数为,故选:C.【点睛】本题考查中位数的计算,属基础题.2、C【解析】

模拟执行程序框图,即可容易求得结果.【详解】运行该程序:第一次,,;第二次,,;第三次,,,…;第九十八次,,;第九十九次,,,此时要输出的值为99.此时.故选:C.【点睛】本题考查算法与程序框图,考查推理论证能力以及化归转化思想,涉及判断条件的选择,属基础题.3、A【解析】

由题意画出图形,结合椭圆的定义,结合椭圆的离心率,求出椭圆的长半轴a,半焦距c,即可确定该卫星远地点离地面的距离.【详解】椭圆的离心率:,(c为半焦距;a为长半轴),设卫星近地点,远地点离地面距离分别为r,n,如图:则所以,,故选:A【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的求法,注意半焦距与长半轴的求法,是解题的关键,属于中档题.4、A【解析】

首先判断和1的大小关系,再由换底公式和对数函数的单调性判断的大小即可.【详解】因为,,,所以,综上可得.故选:A【点睛】本题考查了换底公式和对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.5、B【解析】

利用某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比计算即可.【详解】由题意,,解得.故选:B.【点睛】本题考查简单随机抽样中的分层抽样,某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比,本题是一道基础题.6、A【解析】

易得,过B作x轴的垂线,垂足为T,在中,利用即可得到的方程.【详解】由已知,得,过B作x轴的垂线,垂足为T,故,又所以,即,所以双曲线的离心率.故选:A.【点睛】本题考查双曲线的离心率问题,在作双曲线离心率问题时,最关键的是找到的方程或不等式,本题属于容易题.7、D【解析】

分析可得,再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可.【详解】当时,等式不是双曲线的方程;当时,,可化为,可得虚半轴长,所以点F到双曲线C的一条渐近线的距离为2.故选:D【点睛】本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题.8、D【解析】

由复数除法运算求出,再写出其共轭复数,得共轭复数对应点的坐标.得结论.【详解】,,对应点为,在第四象限.故选:D.【点睛】本题考查复数的除法运算,考查共轭复数的概念,考查复数的几何意义.掌握复数的运算法则是解题关键.9、D【解析】

根据X的分布列列式求出期望,方差,再利用将方差变形为,从而可以利用二次函数的性质求出其最大值为,进而得出结论.【详解】由X的分布列可得X的期望为,又,所以X的方差,因为,所以当且仅当时,取最大值,又对所有成立,所以,解得,故选:D.【点睛】本题综合考查了随机变量的期望、方差的求法,结合了概率、二次函数等相关知识,需要学生具备一定的计算能力,属于中档题.10、A【解析】

根据题意可得,即知C在以AB为直径的圆上.【详解】,,,又,,平面,又平面,故在以为直径的圆上,又是内异于的动点,所以的轨迹是圆,但要去掉两个点A,B故选:A【点睛】本题主要考查了线面垂直、线线垂直的判定,圆的性质,轨迹问题,属于中档题.11、B【解析】由且可得,故选B.12、C【解析】

根据题意,由函数的奇偶性可得,,又由,结合函数的单调性分析可得答案.【详解】根据题意,函数是定义在上的偶函数,则,,有,又由在上单调递增,则有,故选C.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,注意函数奇偶性的应用,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、4【解析】

由题可分析函数与的三个相邻交点中不相邻的两个交点距离为,即,进而求解即可【详解】由题意得函数的最小正周期,解得故答案为:4【点睛】本题考查正弦型函数周期的应用,考查求正弦型函数中的14、60【解析】

根据二项式定理展开式通项,即可求得的系数.【详解】因为,所以,则所求项的系数为.故答案为:60【点睛】本题考查了二项展开式通项公式的应用,指定项系数的求法,属于基础题.15、【解析】解答:由圆的方程可得圆心C的坐标为(2,2),半径等于1.由M(a,b),则|MN|2=(a−2)2+(b−2)2−12=a2+b2−4a−4b+7,|MO|2=a2+b2.由|MN|=|MO|,得a2+b2−4a−4b+7=a2+b2.整理得:4a+4b−7=0.∴a,b满足的关系为:4a+4b−7=0.求|MN|的最小值,就是求|MO|的最小值.在直线4a+4b−7=0上取一点到原点距离最小,由“垂线段最短”得,直线OM垂直直线4a+4b−7=0,由点到直线的距离公式得:MN的最小值为:.16、【解析】

观察知各等式右边各项的系数和为1,最高次项的系数为该项次数的倒数,据此计算得到答案.【详解】根据所给的已知等式得到:各等式右边各项的系数和为1,最高次项的系数为该项次数的倒数,∴A,A1,解得B,所以A﹣B.故答案为:.【点睛】本题考查了归纳推理,意在考查学生的推理能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)【解析】

(1)根据已知可得数列为等比数列,即可求解;(2)由(1)可得为等比数列,根据等比数列和等差数列的前项和公式,即可求解.【详解】(1)因为,所以,又所以数列为等比数列,且首项为,公比为.故(2)由(1)知,所以所以【点睛】本题考查等比数列的定义及通项公式、等差数列和等比数列的前项和,属于基础题.18、(1);(2).【解析】

(1)令,求出的范围,再由指数函数的单调性,即可求出结论;(2)对分类讨论,分别求出以及的最小值或范围,与的最小值建立方程关系,求出的值,进而求出的取值关系.【详解】(1)当时,,令,∵∴,而是增函数,∴,∴函数的值域是.(2)当时,则在上单调递减,在上单调递增,所以的最小值为,在上单调递增,最小值为,而的最小值为,所以这种情况不可能.当时,则在上单调递减且没有最小值,在上单调递增最小值为,所以的最小值为,解得(满足题意),所以,解得.所以实数的取值范围是.【点睛】本题考查复合函数的值域与分段函数的最值,熟练掌握二次函数图像和性质是解题的关键,属于中档题.19、(1),.(2),【解析】

(1)利用枚举法将范数为奇数的二元有序实数对都写出来,再做和;(2)用组合数表示和,再由公式或将组合数进行化简,得出最终结果.【详解】解:(1)范数为奇数的二元有序实数对有:,,,,它们的范数依次为1,1,1,1,故,.(2)当n为偶数时,在向量的n个坐标中,要使得范数为奇数,则0的个数一定是奇数,所以可按照含0个数为:1,3,…,进行讨论:的n个坐标中含1个0,其余坐标为1或,共有个,每个的范数为;的n个坐标中含3个0,其余坐标为1或,共有个,每个的范数为;的n个坐标中含个0,其余坐标为1或,共有个,每个的范数为1;所以,.因为,①,②得,,所以.解法1:因为,所以..解法2:得,.又因为,所以.【点睛】本题考查了数列和组合,是一道较难的综合题.20、(1)(2)【解析】

(1)根据单调递减可知导函数恒小于等于,采用参变分离的方法分离出,并将的部分构造成新函数,分析与最值之间的关系;(2)通过对的导函数分析,确定有唯一零点,则就是的极大值点也是最大值点,计算的值并利用进行化简,从而确定.【详解】(1)由题意知,在上恒成立,所以在上恒成立.令,则,所以在上单调递增,所以,所以.(2)当时,.则,令,则,所以在上单调递减.由于,,所以存在满足,即.当时,,;当时,,.所以在上单调递增,在上单调递减.所以,因为,所以,所以,所以.【点睛】(1)求函数中字母的范围时,常用的方法有两种:参变分离法、分类讨论法;(2)当导函数不易求零点时,需要将导函数中某些部分拿出作单独分析,以便先确定导函数的单调性从而确定导函数的零点所在区间,再分析整个函数的单调性,最后确定出函数的最值.21、(1)(2)【解析】

(1)利用分段讨论法去掉绝对值,结合图象,从而求得不等式的解集;(2)求出函数的最小值,把问题化为,从而求得的取值范围.【详解】(1)当时,则所以不等式的解集为.(2)等价于,而,故等价于,所以或,即或,所以实数a的取值范围为.【点睛】本题考查含有绝对值的不等式解法、不等式恒成立问题,考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,难度一般.22

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