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文档简介
江苏省徐州市撷秀初级中学2023-2024学年高三最后一模数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.不等式组表示的平面区域为,则()A., B.,C., D.,2.设a=log73,,c=30.7,则a,b,c的大小关系是()A. B. C. D.3.已知表示两条不同的直线,表示两个不同的平面,且则“”是“”的()条件.A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要4.在中,为中点,且,若,则()A. B. C. D.5.定义在上的函数满足,则()A.-1 B.0 C.1 D.26.已知函数是定义在上的偶函数,当时,,则,,的大小关系为()A. B. C. D.7.已知正项等比数列满足,若存在两项,,使得,则的最小值为().A.16 B. C.5 D.48.抛物线的焦点为,准线为,,是抛物线上的两个动点,且满足,设线段的中点在上的投影为,则的最大值是()A. B. C. D.9.已知分别为双曲线的左、右焦点,过的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点,若,则双曲线的离心率为()A. B.4 C.2 D.10.等差数列中,,,则数列前6项和为()A.18 B.24 C.36 D.7211.已知复数z=(1+2i)(1+ai)(a∈R),若z∈R,则实数a=()A. B. C.2 D.﹣212.已知复数z满足,则z的虚部为()A. B.i C.–1 D.1二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.函数过定点________.14.已知函数,则函数的极大值为___________.15.已知直线与圆心为的圆相交于两点,且,则实数的值为_________.16.如图,椭圆:的离心率为,F是的右焦点,点P是上第一角限内任意一点,,,若,则的取值范围是_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设的内角的对边分别为,已知.(1)求;(2)若为锐角三角形,求的取值范围.18.(12分)已知直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程;(2)设点,直线与曲线交于两点,求的值.19.(12分)已知(1)当时,判断函数的极值点的个数;(2)记,若存在实数,使直线与函数的图象交于不同的两点,求证:.20.(12分)如图在棱锥中,为矩形,面,(1)在上是否存在一点,使面,若存在确定点位置,若不存在,请说明理由;(2)当为中点时,求二面角的余弦值.21.(12分)在平面直角坐标系中,已知椭圆的中心为坐标原点焦点在轴上,右顶点到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为.(1)求椭圆的标准方程;(2)若是椭圆上关于轴对称的任意两点,设,连接交椭圆于另一点.求证:直线过定点并求出点的坐标;(3)在(2)的条件下,过点的直线交椭圆于两点,求的取值范围.22.(10分)以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,且在两种坐标系中取相同的长度单位,建立极坐标系,判断直线为参数)与圆的位置关系.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
根据题意,分析不等式组的几何意义,可得其表示的平面区域,设,分析的几何意义,可得的最小值,据此分析选项即可得答案.【详解】解:根据题意,不等式组其表示的平面区域如图所示,其中,,
设,则,的几何意义为直线在轴上的截距的2倍,
由图可得:当过点时,直线在轴上的截距最大,即,当过点原点时,直线在轴上的截距最小,即,故AB错误;
设,则的几何意义为点与点连线的斜率,由图可得最大可到无穷大,最小可到无穷小,故C错误,D正确;故选:D.【点睛】本题考查本题考查二元一次不等式的性质以及应用,关键是对目标函数几何意义的认识,属于基础题.2、D【解析】
,,得解.【详解】,,,所以,故选D【点睛】比较不同数的大小,找中间量作比较是一种常见的方法.3、B【解析】
根据充分必要条件的概念进行判断.【详解】对于充分性:若,则可以平行,相交,异面,故充分性不成立;若,则可得,必要性成立.故选:B【点睛】本题主要考查空间中线线,线面,面面的位置关系,以及充要条件的判断,考查学生综合运用知识的能力.解决充要条件判断问题,关键是要弄清楚谁是条件,谁是结论.4、B【解析】
选取向量,为基底,由向量线性运算,求出,即可求得结果.【详解】,,,,,.故选:B.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算,平面向量基本定理,属于基础题.5、C【解析】
推导出,由此能求出的值.【详解】∵定义在上的函数满足,∴,故选C.【点睛】本题主要考查函数值的求法,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用,属于中档题.6、C【解析】
根据函数的奇偶性得,再比较的大小,根据函数的单调性可得选项.【详解】依题意得,,当时,,因为,所以在上单调递增,又在上单调递增,所以在上单调递增,,即,故选:C.【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用、幂、指、对的大小比较,以及根据函数的单调性比较大小,属于中档题.7、D【解析】
由,可得,由,可得,再利用“1”的妙用即可求出所求式子的最小值.【详解】设等比数列公比为,由已知,,即,解得或(舍),又,所以,即,故,所以,当且仅当时,等号成立.故选:D.【点睛】本题考查利用基本不等式求式子和的最小值问题,涉及到等比数列的知识,是一道中档题.8、B【解析】
试题分析:设在直线上的投影分别是,则,,又是中点,所以,则,在中,所以,即,所以,故选B.考点:抛物线的性质.【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中,涉及到抛物线上的点到焦点的距离,焦点弦长,抛物线上的点到准线(或与准线平行的直线)的距离时,常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化.象本题弦的中点到准线的距离首先等于两点到准线距离之和的一半,然后转化为两点到焦点的距离,从而与弦长之间可通过余弦定理建立关系.9、A【解析】
由已知得,,由已知比值得,再利用双曲线的定义可用表示出,,用勾股定理得出的等式,从而得离心率.【详解】.又,可令,则.设,得,即,解得,∴,,由得,,,该双曲线的离心率.故选:A.【点睛】本题考查求双曲线的离心率,解题关键是由向量数量积为0得出垂直关系,利用双曲线的定义把双曲线上的点到焦点的距离都用表示出来,从而再由勾股定理建立的关系.10、C【解析】
由等差数列的性质可得,根据等差数列的前项和公式可得结果.【详解】∵等差数列中,,∴,即,∴,故选C.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前项和公式的应用,属于基础题.11、D【解析】
化简z=(1+2i)(1+ai)=,再根据z∈R求解.【详解】因为z=(1+2i)(1+ai)=,又因为z∈R,所以,解得a=-2.故选:D【点睛】本题主要考查复数的运算及概念,还考查了运算求解的能力,属于基础题.12、C【解析】
利用复数的四则运算可得,即可得答案.【详解】∵,∴,∴,∴复数的虚部为.故选:C.【点睛】本题考查复数的四则运算、虚部概念,考查运算求解能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
令,,与参数无关,即可得到定点.【详解】由指数函数的性质,可得,函数值与参数无关,所有过定点.故答案为:【点睛】此题考查函数的定点问题,关键在于找出自变量的取值使函数值与参数无关,熟记常见函数的定点可以节省解题时间.14、【解析】
对函数求导,通过赋值,求得,再对函数单调性进行分析,求得极大值.【详解】,故解得,,令,解得函数在单调递增,在单调递减,故的极大值为故答案为:.【点睛】本题考查函数极值的求解,难点是要通过赋值,求出未知量.15、0或6【解析】
计算得到圆心,半径,根据得到,利用圆心到直线的距离公式解得答案.【详解】,即,圆心,半径.,故圆心到直线的距离为,即,故或.故答案为:或.【点睛】本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数,意在考查学生的计算能力和转化能力。16、【解析】
由于点在椭圆上运动时,与轴的正方向的夹角在变,所以先设,又由,可知,从而可得,而点在椭圆上,所以将点的坐标代入椭圆方程中化简可得结果.【详解】设,,,则,由,得,代入椭圆方程,得,化简得恒成立,由此得,即,故.故答案为:【点睛】此题考查的是利用椭圆中相关两个点的关系求离心率,综合性强,属于难题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】
(1)利用正弦定理化简已知条件,由此求得的值,进而求得的大小.(2)利用正弦定理和两角差的正弦公式,求得的表达式,进而求得的取值范围.【详解】(1)由题设知,,即,所以,即,又所以.(2)由题设知,,即,又为锐角三角形,所以,即所以,即,所以的取值范围是.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形,考查利用角的范围,求边的比值的取值范围,属于中档题.18、(1);(2)【解析】
(1)直接利用转换关系的应用,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.(2)利用(1)的结论,进一步利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果.【详解】解:(1)直线的参数方程为(为参数),转换为直角坐标方程为.曲线的极坐标方程为.转换为,转换为直角坐标方程为.(2)直线的参数方程为(为参数),转换为标准式为(为参数),代入圆的直角坐标方程整理得,所以,..【点睛】本题属于基础本题考查的知识要点:主要考查极坐标,参数方程与普通方程互化,及求三角形面积.需要熟记极坐标系与参数方程的公式,及与解析几何相关的直线与曲线位置关系的一些解题思路.19、(1)没有极值点;(2)证明见解析【解析】
(1)求导可得,再求导可得,则在递增,则,从而在递增,即可判断;(2)转化问题为存在且,使,可得,由(1)可知,即,则,整理可得,则,设,则可整理为,设,利用导函数可得,即可求证.【详解】(1)当时,,,所以在递增,所以,所以在递增,所以函数没有极值点.(2)由题,,若存在实数,使直线与函数的图象交于不同的两点,即存在且,使.由可得,,由(1)可知,可得.,所以,即,下面证明,只需证明:,令,则证,即.设,那么,所以,所以,即【点睛】本题考查利用导函数求函数的极值点,考查利用导函数解决双变量问题,考查运算能力与推理论证能力.20、(1)见解析;(2)【解析】
(1)要证明PC⊥面ADE,由已知可得AD⊥PC,只需满足即可,从而得到点E为中点;(2)求出面ADE的法向量,面PAE的法向量,利用空间向量的数量积,求解二面角P﹣AE﹣D的余弦值.【详解】(1)法一:要证明PC⊥面ADE,易知AD⊥面PDC,即得AD⊥PC,故只需即可,所以由,即存在点E为PC中点.法二:建立如图所示的空间直角坐标系D-XYZ,由题意知PD=CD=1,,设,,,由,得,即存在点E为PC中点.(2)由(1)知,,,,,,设面ADE的法向量为,面PAE的法向量为由的法向量为得,得,同理求得所以,故所求二面角P-AE-D的余弦值为.【点睛】本题考查二面角的平面角的求法,考查直线与平面垂直的判定定理的应用,考查空间想象能力以及计算能力.21、(1);(2)证明详见解析,;(3).【解析】
(1)根据题意列出关于的等式求解即可.(2)先根据对称性,直线过的定点一定在轴上,再设直线的方程为,联立直线与椭圆的方程,进而求得的方程,并代入,化简分析即可.(3)先分析过点的直线斜率不存在时的值,再分析存在时,设直线的方程为,联立直线与椭圆的方程,得出韦达定理再代入求解出关于的解析式,再求解范围即可.【详解】解:设椭圆的标准方程焦距为,由题意得,由,可得则,所以椭圆的标准方程为;证明:根据对称性,直线过的定点一定在轴上,由题意可知直线的斜率存在,设直线的方程为,联立,消去得到,设点,则.所以,所以的方程为,令得,将,代入上式并整理,,整理得,所以,直线与轴相交于定点.当过点的直线的斜率不存在时,直线的方程为,此时,当过点的直线斜率存在时,设直线的方程为,且在椭圆上,联立方程组,消去,整理得,则.所以所以,所以,由得,综上可得,的取值范围是.【点睛】本题主要考查了椭圆的基本量求解以及定值和范
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