九年级数学上册全册教案(湘教版)

XX九年级数学上册全册教案（湘教版）

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教案

一元二次方程

.1建立一元二次方程模型

教学目标

、在把实际问题转化为一元二次方程的模型的过程中，

形成对一元二次方程的感性认识。

2、理解一元二次方程的定义，能识别一元二次方程。

3、知道一元二次方程的一般形式，能熟练地把一元二

次方程整理成一般形式，能写出一般形式的二次项系数、一

次项系数和常数项。

重点难点

重点：能建立一元二次方程模型，把一元二次方程整理

成一般形式。

难点：把实际问题转化为一元二次方程的模型。

教学过程

（一）创设情境

前面我们曾把实际问题转化成一元一次方程和二元一

次方程组的模型，大家已经感受到了方程是刻画现实世界数

量关系的工具。本节课我们将继续进行建立方程模型的探究。

、展示课本P.2问题一

引导学生设人行道宽度为xm,表示草坪边长为35-2xm,

找等量关系，列出方程。

2=900

①

2、展示课本P.2问题二

引导思考：小明与小亮第一次相遇以后要再次相遇，他

们走的路程有何关系？怎样用他们再次相遇的时间表示他们

各自行驶的路程？

通过思考上述问题，引导学生设经过ts小明与小亮相

遇，用s表示他们各自行驶的路程，利用路程方面的等量关

系列出方程

2t+

X0.01t2=3t

②

3、能把①，②化成右边为0,而左边是只含有一个未知

数的二次多项式的形式吗？让学生展开讨论，并引导学生把

①，②化成下列形式：

4x2-140x+32

③

0.01t2-2t=0

④

（二）探究新知

、观察上述方程③和④，启发学生归纳得出：

如果一个方程通过移项可以使右边为0,而左边是只含

有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次

方程，它的一般形式是：

ax2+bx+c=0,,

其中a,b,c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数

项。

2、让学生指出方程③，④中的二次项系数、一次项系

数和常数项。

（三）讲解例题

例L把方程=2化成一般形式，并指出它的二次项系数、

一次项系数和常数项。

［解］去括号，得

3x2+5x-12=x2+4x+4,

化简，得

2x2+x-16=0o

二次项系数是2,一次项系数是1,常数项是-16。

点评：一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0具有两个

特征：一是方程的右边为0,二是左边二次项系数不能为0。

此外要使学生认识到：二次项系数、一次项系数和常数项都

是包括符号的。

例2：下列方程，哪些是一元一次方程？哪些是一元二

次方程？

2x+3=5x-2；

x2=25；

=x2+6；

=2o

［解］方程，是一元一次方程；方程，是一元二次方程。

点评：通过一元一次方程与一元二次方程的比较，使学

生深刻理解一元二次方程的意义。

（四）应用新知

课本P.4,练习第3题，

（五）课堂小结

、一元二次方程的显著特征是：只有一个未知数，并且

未知数的最高次数是2。

2、一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0,一元二

次方程的二次项系数、一次项系数、常数项都是根据一般形

式确定的。

3、在把实际问题转化为一元二次方程模型的过程中，

体会学习一元二次方程的必要性和重要性。

（六）思考与拓展

当常数a,b,c满足什么条件时，方程x2-bx+c=0是一

元二次方程？这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什

么？当常数a,b,c满足什么条件时，方程x2-bx+c=0是一

元一次方程？

当a#l时是一元二次方程，这时方程的二次项系数是

a-L一次项系数是-b；当a=l,bWO时是一元一次方程。

布置作业

课本习题L1中A组第1,2,3题。

教学后记：

.2.1因式分解法、直接开平方法（1）

教学目标

、进一步体会因式分解法适用于解一边为0,另一边可

分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。

2、会用因式分解法解某些一元二次方程。

3、进一步让学生体会“降次”化归的思想。

重点难点

重点：，掌握用因式分解法解某些一元二次方程。

难点：用因式分解法将一元二次方程转化为一元一次方

程。

教学过程

（一）复习引入1、提问：

解一元二次方程的基本思路是什么？

现在我们已有了哪几种将一元二次方程“降次”为一元

一次方程的方法？

2、用两种方法解方程：92=25

（二）创设情境

说明：可用因式分解法或直接开平方法解此方程。解得

xl=

,,x2=-

o

、说一说：因式分解法适用于解什么形式的一元二次方

程。

归纳结论：因式分解法适用于解一边为0,另一边可分

解成两个一次因式乘积的一元二次方程。

2、想一想:展示课本1.1节问题二中的方程0.01t2-2t=0,

这个方程能用因式分解法解吗？

（三）探究新知

引导学生探索用因式分解法解方程0.01t2-2t=0,解答

课本1.1节问题二。

把方程左边因式分解，得t=0,由此得出t=0或

0.01t-2=0

解得

tl=0,t2=200o

tl=0表明小明与小亮第一次相遇;t2=200表明经过200s

小明与小亮再次相遇。

（四）讲解例题

、展示课本P.8例3o

按课本方式引导学生用因式分解法解一元二次方程。

2、让学生讨论P.9“说一说”栏目中的问题。

要使学生明确：解方程时不能把方程两边都同除以一个

含未知数的式子，若方程两边同除以含未知数的式子，可能

使方程漏根。

3、展示课本P.9例4o

让学生自己尝试着解，然后看书上的解答，交换批改，

并说一说在解题时应注意什么。

（五）应用新知

课本P.10,练习。

（六）课堂小结

、用因式分解法解一元二次方程的基本步骤是：先把一

个一元二次方程变形，使它的一边为0,另一边分解成两个

一次因式的乘积，然后使每一个一次因式等于0,分别解这

两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解。

2、在解方程时，千万注意两边不能同时除以一个含有

未知数的代数式，否则可能丢失方程的一个根。

（七）思考与拓展

用因式分解法解下列一元二次方程。议一议：对于含括

号的守霜露次方程，应怎样适当变形，再用因式分解法解。

2二；

=12o

［解］原方程可变形为

2+=0,

=0,

3x-2=0,或x+3=0,

所以xl二

,x2=-3

去括号、整理得

x2+2x-3=12,x2+2x-15=0,

=0,

x+5=0或x-3=0,

所以xl=-5,x2=3

先让学生动手解方程，然后交流自己的解题经验，教师

引导学生归纳：对于含括号的一元二次方程，若能把括号看

成一个整体变形，把方程化成一边为0,另一边为两个一次

式的积，就不用去括号，如上述；否则先去括号，把方程整

理成一般形式，再看是否能将左边分解成两个一次式的积,

如上述。

布置作业

教学后记：

1.2.1因式分解法、直接开平方法（2）

教学目标

、知道解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二

次方程为一元一次方程。

2、学会用因式分解法和直接开平方法解形如2-k=0的

方程。

3、引导学生体会“降次”化归的思路。

重点难点

重点：掌握用因式分解法和直接开平方法解形如2-k=0

的方程。

难点：通过分解因式或直接开平方将一元二次方程降次

为一元一次方程。

教学过程

（一）复习引入

、判断下列说法是否正确

若p=l,q=l,贝ljpq=],

若pq=L贝ljp=l,q=l;

若p=0,g=0,则pq=O,

若pq=O,则p=0或q=0；

若x+3=0或x-6=0,则=0,

若=0,则x+3=0或x-6=0；

若x+3=

或X-6=2,则=1,

若=1,则x+3=

或x-6=2。

答案：J,X。

J,VO

J,VO

V,Xo

2、填空：若x2=a；则x叫a的

，x=

；若x2=4,贝ljx=

若x2=2,则x=

o

答案：平方根，土

，+2,+

O

（二）创设情境

前面我们已经学了一元一次方程和二元一次方程组的

解法，解二元一次方程组的基本思路是什么？。由解二元一

次方程组的基本思路，你能想出解一元二次方程的基本思路

吗？

引导学生思考得出结论：解一元二次方程的基本思路是

“降次”化一元二次方程为一元一次方程。

给出L1节问题一中的方程：2-900=0o

问：怎样将这个方程“降次”为一元一次方程？

（三）探究新知

让学生对上述问题展开讨论，教师再利用“复习引入”

中的内容引导学生，按课本P.6那样，用因式分解法和直

接开平方法，将方程2-900=0“降次”为两个一元一次方程

来解。让学生知道什么叫因式分解法和直接开平方法。

（四）讲解例题

展示课本P.7例1,例2。

按课本方式引导学生用因式分解法和直接开平方法解

一元二次方程。

引导同学们小结：对于形如2-k=0的方程，既可用因式

分解法解，又可用直接开平方法解。

因式分解法的基本步骤是：把方程化成一边为0,另一

边是两个一次因式的乘积的形式，然后使每一个一次因式等

于0,分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元

二次方程的解。

直接开平方法的步骤是：把方程变形成2=k,然后直接

开平方得ax+b=

和ax+b=-

,分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原一元二

次方程的解。

注意：因式分解法适用于一边是0,另一边可分解成两

个一次因式乘积的一元二次方程；

直接开平方法适用于形如2=k的方程，由于负数没有平

方根，所以规定kNO,当k<O时，方程无实数解。

（五）应用新知

课本P.8,练习。

（六）课堂小结

、解一元二次方程的基本思路是什么？

2、通过“降次”，把一元二次方程化为两个一元一次方

程的方法有哪些？基本步骤是什么？

3、因式分解法和直接开平方法适用于解什么形式的一

元二次方程？

（七）思考与拓展

不解方程，你能说出下列方程根的情况吗？

-4x2+l=0；

x2+3=0；

2=0；

2+5=0o

答案：有两个不相等的实数根；和没有实数根；有两个

相等的实数根

通过解答这个问题，使学生明确一元二次方程的解有三

种情况。

布置作业

.2.1因式分解法、直接开平方法（3）

考标要求：

体会因式分解法适用于解一边为0,另一边可分解为两

个一次因式的乘积的一元二次方程；

2会用因式分解法解某些一元二次方程。

重点：用因式分解法解一元二次方程。

难点：用因式分解把一元二次方程化为左边是两个一次

二项式相乘右边是零的形式。

一填空题（每小题5分，共25分）

解方程（2+x）=0,就相当于解方程（

）

A

2+x=0,

B

x-3=0

c

2+x=0且x-3=0

,D

2+x=0或x-3=0

2用因式分解法解一元二次方程的思路是降次，下面是

甲、乙两位同学解方程的过程:

（1）解方程：，小明的解法是：解：两边同除以X得:

x=2;

解方程：（X-1）=2,小亮的解法是:解:X-1=1,X-2=2或

者x-1=2,x—2-1,或者,x~2=~2,或者x_l--2,x_2--1

=2,=4,=3,=0

其中正确的是（

）

A

小明

B

小亮

c

都正确

D

都不正确

3下面方程不适合用因式分解法求解的是（

）

A2-32=0,B2-

=0,,D

4方程2x=5的根是（

A

x=,

B

x=3

c

一,

=3

D

x二

5定义一种运算“※”,其规则为：aXb二,根据这个规则,

方程x※二0的解是（

）

A

x=0

B

x=-l

c

=0,

=-l,

D

=-l

=-2

二填空题(每小题5分，共25分)

6方程(1+)-(1-)x=0解是=,=

7当x=时，分式值为零。

8若代数式与代数式4(x-3)的值相等，则

x=________________

9已知方程(x-4)=0的解是等腰三角形的两边长，则

这个等腰三角形的周长二.

0如果，则关于x的一元二次方程a+bx=0的解是

三解答题(每小题10分，共50分)

1解方程

(1)+2x+l=0

4-12x+9=0

25=9

7x=4

2解方程

=(a-2)

3已知k是关于x的方程4k-8x-k=0的一个根，求k的

值。？

14解方程：-2+1=0

15对于向上抛的物体，在没有空气阻力的情况下，有如

下关系：h=vt-g,其中h是上升到高度，v是初速度，g是重

力加速度，（为方便起见，本题中g取1。米/）,t是抛出后

所经过的时间。

如果将一物体以每秒25米的初速向上抛，物体多少秒

后落到地面

1.2.2配方法（1）

教学目标

、理解“配方”是一种常用的数学方法，在用配方法将

一元二次方程变形的过程中，让学生进一步体会化归的思想

方法。

2、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。

重点难点

重点：会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。

难点：用配方法将一元二次方程变形成可用因式分解法

或直接开平方法解的方程。

教学过程

（一）复习引入

、a2±2ab+b2=?

2、用两种方法解方程2-5=0。

如何解方程x2+6x+4=0呢？

（二）创设情境

如何解方程x2+6x+4=0呢？

（三）探究新知

、利用“复习引入”中的内容引导学生思考，得知：反

过来把方程x2+6x+4=0化成2-5=0的形式，就可用前面所学

的因式分解法或直接开平方法解。

2、怎样把方程x2+6x+4=0化成2-5=0的形式呢？让学

生完成课本P.10的“做一做”并引导学生归纳：当二次项

系数为“1”时，只要在二次项和一次项之后加上一次项系

数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完

全平方式里，这种做法叫作配方.将方程一边化为0,另一

边配方后就可以用因式分解法或直接开平方法解了，这样解

一元二次方程的方法叫作配方法。

（四）讲解例题

例1（课本P.11,例5）

［解］

x2+2x~3

=x2+2x+12_12_3

=2-4o

用同样的方法讲解，让学生熟悉上述过程，进一步明确

“配方”的意义。

例2

引导学生完成P.11〜P.12例6的填空。

（五）应用新知

、课本P.12,练习。

2、学生相互交流解题经验。

（六）课堂小结

、怎样将二次项系数为“1”的一元二次方程配方？

2、用配方法解一元二次方程的基本步骤是什么？

（七）思考与拓展

解方程：x2-6x+10=0；

x2+x+

二0；

x2-x-l=0o

说一说一元二次方程解的情况。

［解］将方程的左边配方，得2+1=0,移项，得2=-1,所

以原方程无解。

用配方法可解得xl=x2=-

O

用配方法可解得xl=

,x2=

一元二次方程解的情况有三种：无实数解，如方程；有

两个相等的实数解，如方程；有两个不相等的实数解，如方

程。

课后作业

课本习题

教学后记：

.2.2配方法（2）

教学目标

、理解用配方法解一元二次方程的基本步骤。

2、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。

3、进一步体会化归的思想方法。

重点难点

重点：会用配方法解一元二次方程.

难点：使一元二次方程中含未知数的项在一个完全平方

式里。

教学过程

（一）复习引入

、用配方法解方程x2+x-l=0,学生练习后再完成课本

P.13的“做一做”.

2、用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本

步骤是什么？

（二）创设情境