小学数学运算方法迁移的“现实化”过程

摘要感悟数的运算本质的一致性，不是简单地要求学生在运算中进行计算方法的直接迁移、计算方式的机械模仿或者计算过程的自由尝试，而是需要引领学生经历“零起点”的认知过程、“裸视图”的思维过程和“应变化”的内化过程等“现实化”的儿童认知过程，从而真正感悟数与运算的本质内涵，建立计算算理的本真联系，形成计算方法的本能迁移。关键词运算方法迁移；现实化；算式书写；算理理解；算法建构数学课程标准（2022年版）要求，在“数与运算”领域教学中，为了使学生形成相对系统的知识结构，在探索算理、形成算法的过程中，教师要引领学生自主感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性[1]。笔者以为，感悟数的运算本质的一致性，不是简单地要求学生在运算中进行计算方法的直接迁移、计算方式的机械模仿或者计算过程的自由尝试，而需要从儿童学习的认知特点、数学学科的知识特征以及教材编排的结构安排等“现实化”角度，设计符合学生认知特点的教学，使学生经历基于儿童认知的算式书写、算理探索、方法形成的思维迁移过程，从而真正感悟各类运算之间的关系及其运算本质。因而，教学中运算方法的迁移需要引领学生经历一个“零起点”的认知过程、“裸视图”的思维过程以及“应变化”的内化过程，才能促进学生在运算知识的形成过程中以儿童的认知方式主动参与、自主探索，继而真正感悟数的运算的本质内涵，建立计算算理的本真联系，形成计算方法的本能迁移，进而体会数的运算本质的一致性，实现学生数学认知和计算思维的同步生长、核心素养和关键能力的同步发展。笔者以苏教版《数学》一年级下册第57页例6“两位数加、减两位数（不进位、不退位）”教学内容为例，探索数学运算方式迁移的“现实化”过程，以飨读者。如图1，在教学45+31时，教材引出小棒图和计数器图，力求通过直观观察或动手操作帮助学生理解算理，形成算法。而教学67-34时，教材直接通过“试一试”的方式让学生尝试独立计算。课堂上如果照搬教材编排的内容结构进行机械教学，不但不能促进学生体会加、减法运算之间的关系及其运算本质的一致性，反而会影响学生对减法算理的积极探索，抑制学生对减法算法的自主建构，阻碍学生计算思维的积极形成和运算方法的自然迁移。因为在儿童的认知里，减法运算与加法运算完全不同，其算理思维的抽象程度明显高于加法运算，仅凭主题图中加法运算算理情境的直观启迪无法实现加法运算方法向减法运算方法的思维迁移。学生对减法算理、算法的自主探索与建构，需要小棒图、计数器图的动态启迪或动手操作等数学活动。所以，加、减法运算方法的思维迁移，理应从儿童的认知现实和思维现实出发。教师在解读教材编排的重心是什么、目标是什么，以及教材编排的体系特征的基础上，对加、减法运算的书写格式、算理探索及其算法应用开展“现实化”的儿童实践，让运算方法的迁移经历儿童认知的思维过程，形成“两位数加、减两位数（不进位、不退位）”算理探索和方法建构的儿童认知，促进学生对加、减法运算本质一致性的体会与感悟，加强学生对加、减法笔算算理与算法的深度理解与应用掌握。一、算式书写“现实化”需要经历“零起点”的认知过程“两位数加、减两位数（不进位、不退位）”的笔算教学，是学生第一次接触“竖式计算”的运算概念，对竖式计算的算式书写应然地表现为“零起点”的思维认知状态[2]。计算教学固然要以学生的认知发展水平和已有知识经验为基础，但新知概念的自然生长更需要儿童“零起点”的思维认知，才能驱动儿童不断走向新的数学认知，促进运算概念的“现实化”建构，形成基于儿童认知的概念理解。所以，“零起点”的认知过程需要教师从儿童的认知经验、认知思维和认知情感等“现实化”视角引领学生的数学思考，促进学生从内心深处真切感受算式书写格式生长的必要性和应用性，体悟不同运算之间的内在联系和运算意义，进而理解算理、建构算法，体会运算本质的一致性。课堂上，横式计算向竖式计算的书写格式转化与方法迁移，需要基于“零起点”的儿童认知，启发学生主动开展“现实化”知识概念的建构，而不应成为课堂上知识概念的直接“灌输”。因为，当教师在学生自由交流的基础上机械引出“可以用竖式计算”的教学“指令”时，学生的计算经验还停留在“用口算的方式算出横式的结果”的认知层面，竖式计算的书写格式和笔算方法在儿童的脑海里还处于“零起点”的认知状态。所以，课堂上对竖式计算书写格式的教学内容不应简单地直接告知或强迫学生机械模仿，教师应引导学生在例题主题图中小棒图和计数器图的直观启迪之下，对已有计算知识经验进行算理转化与方法迁移，促进学生以儿童的认知方式逐步实现算式书写格式的“现实化”建构。1.激活儿童经验，激发自主思维教师在学生自主交流“45+31怎样算的”的基础上激活儿童经验，从而激发学生思维，创建以学生学习为中心的课堂实践。如教师可以提问：“两个数相加除了写成横的算式进行计算，还可以写成怎样的算式进行计算？你们认为可以怎样写呢？”学生只有经历基于儿童认知方式的竖式书写过程，才能在竖式书写过程中把意图、想法及问题等完全露出来，为正确、规范的竖式书写积累认知经验、奠定思维基础，进而以儿童的认知方式促进学生主动理解竖式计算及其书写格式的意义、價值及效用。2.引发直观思维，生发儿童经验在学生自主创造竖式的过程中，教师可以顺势引领学生观察、比较、分析，并基于“现实化”的儿童认知方式启发学生把横式转化成竖式。师：既然是竖式，一定是竖下来写。45加31，应该先写谁？生：45。师：然后写谁？生：31。师补充：加31，加号写在哪里？生：31的前面。师：为什么？生：横式里的加号在31前面，所以坚式里的加号也要写在31前面。儿童的理解与成人是不一样的，如此解释可以彰显儿童认知方式对竖式书写格式的“现实化”意义建构。因而，以儿童的认知方式引发学生数学思考会使教材中的数学规律、规定、法则等向“儿童化”认知方式转变[3]。3.启发儿童认知，启迪数学感悟基于儿童认知的竖式书写格式的意义建构，需要教师进一步引领学生理解、体会竖式计算的作用及其价值。教师可以提问：“你们觉得把相加的两个数写成竖的算式好还是写成横的算式好呢？”学生在课堂上集体交流时各抒己见，分别对横式算式和竖式算式书写格式的特征及其价值给出自己的表达。教师相机补充并以儿童的认知方式启迪学生感悟：横式和竖式各有各的好处，不同书写类型的算式之间是相互联系、相互补充的，它们既有相通的地方，也有各自的特点。如此引领学生经历“零起点”的认知过程，不仅使学生深度体验横式和竖式计算的价值和必要性，初步感知两种算式书写格式所隐含的算理和算法的联系与区别，而且使学生在学习加法竖式计算的过程中深切感悟到：无论是横式书写还是竖式书写，其计算过程都表示小棒图中整捆的和整捆的相加，单根和单根的相加，继而进一步感悟横式计算与竖式计算的一致性，并使学生初步感受到不同的计算书写类型在不同的计算场景或计算需求中彰显着不同的计算功能和书写价值。二、算理理解“现实化”需要经历“裸视图”的思维过程“裸视图”的思维过程，旨在促进计算算理过程“可视化”和儿童认知过程“现实化”，使计算算理在儿童的静态思维里被自然感知，在动态思维中被自主感悟，继而实现学生对加、减法计算算理的“现实化”理解与意义建构[4]。所以，计算算理的探索过程，既需要引领学生在静态的直观观察中开启数学思考，更需要启发学生在静态感知的基础上激发动态思维的操作需求，使加、减法的计算算理经历静态观察到动态操作的自主探索过程，助推对加、减法计算算理的主动探索与应然理解，从而实现加法运算方法向减法运算的自然迁移，初步感悟加、减法运算本质的一致性。减法虽然是加法的逆运算，其运算本质是计数单位的数量消减。但是两位数加两位数的算理意义，学生可以通过对小棒或计数器情境图的静态观察与自主思考直观探索，而在两位数减两位数算理探索的过程中，则需要小棒或计数器图的动态演示或直接动手操作，才能启迪学生思维、撬动儿童认知。如主题图中小棒图，教师借助图形探索加法计算算理时，应引导学生把4捆带5根小棒和3捆带1根小棒看做一个整体，继而引导学生用整体的数学眼光观察：现在一共有多少根小棒？你能直接看出是几捆和几根吗？在观察思考中，学生在脑海里自然地把整捆与整捆的合并，单根的与单根的合并，并直观看出小棒的“捆数”和“单根数”，继而初步感悟加法的算理和算法，即相同计数单位的数量进行累加。但是借助小棒图表示减法算理时，无法像加法一样直接从静态图中直观感悟算理。因而，67-34的算理直观图需要在图形中动态表示出原有67根小棒、去掉34根小棒、还剩33根小棒等数量要素。这些数量要素有的是静态呈现的，有的则需要动态展现，既要有过程的演绎，又要有结果的表达。如此，数学探索方能满足儿童的认知需求和情感现实，驱动学生主动经历算理的探索过程。因此，教材中以“试一试”的教学方式直接要求学生独立计算67-34的教学活动不符合学生的认知现实，违背了知识迁移的规律。同時，加、减法的算式意义在儿童的认知思维表达上也是不一样的。加法的算式意义是表示把两个分量合成一个总量，只要两个分量直观地呈现在学生眼前，学生就能感知总量的客观存在，因为此时“整捆”和“单根”合并的算理思维视图会直接呈现在学生的脑海中。而减法的算式意义表示从总量中去掉分量，求另一分量的过程，如果静态地呈现总量，学生无法直接感知“去掉量”与“剩余量”两个分量中“整捆”和“单根”的直观存在，导致减法算理的思维视图无法直接在学生脑海中直观呈现，而需要动态演示或动手操作才能直接感知。因此，教师要从学生的认知现实和运算方法迁移的现实出发，对教材的编排内容进行“现实化”重组，引领学生经历加、减法算理的操作过程。学生只有在动手操作小棒或数珠的“正向”与“反向”运算过程中，才能直观感知小棒“整捆”或“单根”数量的叠加或消减的运算过程，体会加、减法算理的内在思维联系，初步感知加、减法运算本质的一致性。三、算法建构“现实化”需要经历“应变化”的内化过程学生在独立计算过程中，对计算算理的理解和计算方法的运用会因算式中数字的变化产生思维上的认知“缺口”，对每一次认知“缺口”的思维突破均表现为运算方法的“现实化”思维迁移。因而，“应变化”的内化过程是指向学生对计算算理和计算方法得以迁移的一种思维再加工和认知再突破。学生只有经历“应变化”的内化过程，对一种运算的算理和算法才会形成“现实化”的意义建构，对数的运算本质一致性的感悟才能内化为儿童认知，形成数学化理解[5]。“两位数加、减两位数”的教学内容不仅是学生第一次接触竖式计算这一计算类型，而且也涵盖了“两位数与一位数、整十数相加、减”的笔算内容。在竖式计算的过程中，对竖式书写格式、计算方法的理解与掌握需要在不同的算式中迁移内化，学生才能真实掌握与深度理解，继而形成计算技能。当学生探索两位数加两位数计算方法后，教师在课堂上应启迪学生在45+31算式的基础上衍生出如45+30、30+45及45+3、3+45等“两位数与整十数、一位数相加”算式，继而顺势启发学生探索两位数加整十数、一位数的书写方式和计算法则。特别是两位数与一位数相加的竖式计算对学困生更是难点，仅靠课堂上教师的单向讲解难以促进学生完全理解算理、正确掌握算法，需要教师引领学生经历一个运算方法的迁移过程，才能促进计算技能的自主形成。因为学生在计算过程中遇到如45+3、3+45等“两位数与一位数相加”的算式时，会形成“数位怎么对齐？十位上4没有数和它相加，怎么算、怎么写？”的认知“缺口”。这些在计算过程中自然生成的计算方法需要教师及时引领学生经历“现实化”的数学探索，形成儿童认知的意义理解。因而，不同的计算类型对学生而言都是一次新的思维探索与认知突破，唯有经历了学生自主探索、合作交流以及同伴引导的思维过程，才能实现新的运算方法的自然迁移和内化应用。同样，基于运算方法迁移和运算本质一致性的“现实化”视角，更需要引领学生完成减法算式的意义建构和方法探索。因为在67-34基础上衍生出来的如67-60、67-7等“两位数减整十数、一位数”的算式中所隐含的运算思维和计算方法更加凸显了儿童的认知“缺口”，需要学生进行运算思维探索和计算方法改进。因而，教师在引导学生感悟计算方法“现实化”一致性时需要开展儿童认知的思维探索。如“计算67-7时，数位怎么对齐？个位上减下来的0需要不需要写？计算67-60时，十位上减下来的0需要不需要写？”这些算式中衍生出来的计算方法，既是学生一次新的计算方法的认知突破，更是学生自主内化运算方法的又一次思维迁移。如此，“应变化”的内化过程是学生在探索算理、建构算法过程中的认知难点，需要教师引领学生在课堂上自主探索、独立体验，教师如果忽视儿童的认知经验和思维现实，机械教教材，必然抑制学生在不同计算类型之间的算理、算法的自然迁移。故而，学生对计算方法的内化与应用，需要经历不同计算类型的变化过程，方能应对计算过程中生成的书写格式、数位对齐、方法技能等运算知识要素“现实化”的变化。学生在变化的算式计算中逐步探索算理、建构算法以及抽象法则，才能逐步从单一的计算思维走向多元的运算思维，不断从一种类型的计算方法迁移到其他类型的计算方法中。所以，运算方法的自然迁移需要教师引导学生从例题“原型”出发，积极创造不同的算式，实现已有计算经验的不断积累与应用、新的计算经验的迁移与改造，理解不同运算知识之间的必然联系，促使他们在经历“应变