人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)：第二课时 函数的最大(小)值学案

第二课时函数的最大（小）值

课标要求

素养要求

借助函数图象，会用符号语言表达函数通过图象经历函数最值的抽象过程，发

的最大值、最小值，理解它们的作用和展学生的数学抽象、逻辑推理和数学运

意义.算素养.

课前预习知识探究■■■■■■唧

教材知识探究

A情境引入

科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学

考查，如图是某天气温随时间的变化曲线.请根据曲线图说说气温的变化情况？

问题1该天的最高气温和最低气温分别是多少？

问题2设该天某时刻的气温为火沙，则1x）在哪个范围内变化？

问题3从函数图象上看，气温的最大值（最小值）在什么时刻取得?

提示1.该天的最高气温为25℃,最低气温为一5℃.

2.该天某时刻的气温变化范围是『一5℃,25℃』.

3.气温的最大值在/=17处取得，气温的最小值在/=6时取得.

A新知梳理

函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值是一个整体概念

最大值最小值

条件一般地,设函数y=/（x）的定义域为I,如果存在实数/满足：x^l,

都有

玲)沙

xo^I,使得"o)=M

结论称M是函数y=/(x)的最大值称M是函数y=/(x)的最小值

几何意义«¥)图象上最高点的纵坐标版)图象上最低点的纵坐标

教材拓展补遗

『微判断』

1.若对任意X©/,都有人x)WM,则M是函数Ax)的最大值.(X)

提示M是存在的，并且xo^I,使得八比)=寐

2.一个函数可能有多个最小值.(X)

提示最大(小)值至多有1个.

3.如果函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素.(J)

4.如果函数的值域是确定的，则它一定有最值.(X)

提示值域确定，但不一定有最值.

5.因为不等式f>—1总成立，所以一1是Hx)=f的最小值.(X)

提示人x)=f的最小值为0.

『微训练』

1.函数人x)=|x|,XGr-1,3J,则五x)的最大值为.

『解析』根据图象可知，1AX)max=3.

『答案』3

2.函数在『2,3J上的最小值为.

『解析』'・？=一［在『2,3J上递减，••・ymin=/(3)=5.

X1乙

『答案』I

3.函数y=—3/+2在区间『一1,2』上的最大值为.

『解析』函数y=-3f+2的对称轴为x=0,又0©『一1,2』，

.,.»max=/0)=2.

『答案』2

4.已知函数人x)=：在区间『1,2J上的最大值为A,最小值为B,贝UA-B=

Ji

『解析』因为在『1,2』上为减函数，

：.A=J(1)=1,5=/(2)=3，则A—5=；.

『答案』3

『微思考』

若函数y=/(x)在区间『。，。』上为增函数，则火》)的最大值与最小值分别是多少？

提示最大值为犬。)，最小值为/(a).

课堂互动邮题型剖析删

题型一利用图象求函数的最值关键是作出函数的图象

%2-x(0WxW2),

『例1』已知函数./(%)=<2求函数八元)的最大值、最小值.

1(x>2)9

x-l

解作出40的图象如图：

由图象可知，当x=2时，兀0取最大值为2；当时，兀0取最小值为一：.

所以/(x)的最大值为2,最小值为一；.

规律方法用图象法求最值的三个步骤

(ft)~|作出函数图象

@~|在图象上找到最高点和最低点的纵坐标|

0,_______________________,

(X)——|确定函数的最大(小)值|

x2,—IWxWl,

『训练1』⑴已知函数於)=1则加)的最大值、最小值分别为

一，x>l.

lx

(2)若xGR,改)是y=2~x2,y=x这两个函数中的较小者，则火助的最大值为

()

A.2B.1

C.-lD.无最大值

『解析』(1)作出函数火x)的图象(如图(1)).由图象可知，当％=±1时，五x)取最

大值五±1)=1.当x=0时，五x)取最小值汽0)=0,

故人X)的最大值为1,最小值为0.

(2)在同一坐标系中，作出函数的图象(如图(2)中实线部分)，则兀0max=/U)=l,

故选B.

『答案』(1)1

题型二利用单调性求函数的最值关键是正确判断函数的单调性

『例2』已知函数八x)=尤+；.

(1)求证人功在『1,+8)上是增函数；

(2)求人x)在『1,4J上的最大值及最小值.

⑴证明设lWxi<%2,

则汽修)一五X2)=(XI+5)-(X2+()

（X1—X2）（X1X2—1）

X1X2

,.TW%1<%2,/.Xl-X2<0,X1X2>1»

."•X1X2—1>0,

.（X1—X2）（X1X2—1）

■<0,即火Xl)勺(X2).

X1X2

在『1,+8)上是增函数.

(2)解由(1)可知兀0在『1,4』上单调递增,

・•.当尤=1时，火力取得最小值，最小值为火1）=2,

17

当x=4时，火》）取得最大值，最大值为五4）=彳.

综上所述，人x）在『1,4J上的最大值是子，最小值是2.

规律方法1.利用单调性求最值：

首先判断函数的单调性；然后利用单调性写出最值.

2.函数的最值与单调性的关系：

⑴若函数在闭区间『a,4上是减函数，则於）在『06』上的最大值为尬）,

最小值为73;

（2）若函数在闭区间『。，6』上是增函数，则於）在『04上的最大值为型）,

最小值为人初

/+2尤+a

『训练2』已知函数八%）=--------,『1,+8）.

（1）当时，求函数兀X）的最小值；

⑵若对任意的x©『1,+8）,1x）>0恒成立，试求实数。的取值范围.

解（1）当〃=,时，火工）=-------=%+套+2.

任取沏，冗2金『1,+°°）,且x1<%2,

所以人为）-1Ax2）=（XI—X2）（1一5总），

因为即<九2且即>1,%2>1,所以沏一X2<0,X1X2>1»

所以1—2xiX2>°'所以（X1—X2）（1—云知<0，

所以/（X1）勺（X2）,即函数人力在『1,十8）上是增函数.

17

所以函数於）在『1,+8）上的最小值为式1）=1+]+2=].

+2x+a

（2）因为人乃=—;一>0在『1,+8）上恒成立，

所以f+Zx+aX）在『1,+8）上恒成立.

iEy=x2'~\-2x~\-a,『1,+°°）,

所以y=（x+l）2+a—1在『1,+8）上单调递增，故当》=1时，y取得最小值,

最小值为3+a.

所以当3+a>0,即a>—3时,人工）>0怛成立，

所以实数。的取值范围为（一3,+-）.

题型三二次函数的最值关键是开口方向及对称轴与定义域的关系

『例3』已知函数火x）=f—ax+1,

⑴求而c）在『0,1』上的最大值；

（2）当。=1时，求人x）在闭区间『/,/+1』QGR）上的最小值.

解⑴因为函数於）=f—依+1的图象开口向上，其对称轴为尸宗

所以区间『0,1』的哪一个端点离对称轴远，则在哪个端点取到最大值，

当六;，即aWl时，於）的最大值为五1）=2—a；

当?>[,即a>l时,於）的最大值为五0）=1.

（2）当a=l时，y（x）=x2—x+1,其图象的对称轴为x=；.

①当时，於）在『/,/+1J上是增函数，.\Ax）min=/⑺=户一f+1；

②当f+1/，即/W—T时，於）在『/,/+1』上是减函数，

.,.»min=^+l）=r2+r+l；

③当/<|</+1,即一时，函数於（在t,1上单调递减，在1,t+\上单调

递增，

所以五X）min=E）=*

规律方法1.含参数的二次函数最值问题的解法

解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为y=a（x+h）2+k的形

式，再依a的符号确定抛物线的开口方向，依对称轴x=—/7得出顶点的位置，

再根据x的定义区间结合大致图象确定最大或最小值.

2.对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型：

（1）区间固定，对称轴变动（含参数），求最值；

（2）对称轴固定，区间变动（含参数），求最值；

(3)区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数.

通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论.

『训练3』已知二次函数五x)=f—2x+3.

(1)当xGF-2,0J时，求加0的最值；

(2)当『一2,3J时，求人x)的最值；

(3)当无eU,r+lj时，求的最小值g⑺.

解»=X2-2X+3=(X-1)2+2,其对称轴为X=1,开口向上.

(1)当x©『一2,0』时，五x)在『一2,0』上是减函数，

故当x=—2时，汽x)有最大值五-2)=11；

当x=0时，/x)有最小值10)=3.

(2)当x©『一2,3』时，<%)在『一2,3』上先递减后递增，

故当x=l时，兀0有最小值<1)=2.

又2—1|>|3—1|,

.\Ax)的最大值为五-2)=11.

(3)①当t>l时，。)在『/,r+U上是增函数，

所以当X=/时，«¥)取得最小值，

此时g(/)=/(/)=F—2/+3.

②当/W1W/+1,即OWtWl时，

“X)在『/,/+1J上先递减后递增，

故当x=l时，犬x)取得最小值，此时g(f)=/(l)=2.

③当即/<0时，於)在『/,/+1J上是减函数，

所以当无=t+l时,汽x)取得最小值，

此时g(t)=j[t+l)=t2+2,

Ci2—2/+3,t>\,

综上得g«)={2,0W/W1,

l?+2,t<0.

题型四函数最值——实际应用

『例4』某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需

400x—2(0WJCW400),

增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)=2其

.80000(x>400).

中X是仪器的月产量.

（1）将利润表示为月产量的函数/U）;

（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益=总成

本+利润）

解（1）设月产量为X台，则总成本为20量0+100%,

—2+300x—20000（0W尤W400）,

从而火x）=j2

.60000-100%（x>400）.

⑵当0WxW400时，»=-|（X-300）2+25000；

，当X=300时，»max=25000,

当x>400时，/（x）=60000—100x是减函数，

»<60000-100X400<25000.

当尤=300时，»max=25000.

即每月生产300台仪器时利润最大,最大利润为25000元.

规律方法对于实际应用问题，首先要审清题意，确定自变量和因变量的条件

关系，建立数学模型，列出函数关系式，进而分析函数的性质，从而解决问题.

同时要注意自变量的取值范围.

『训练4』近年来，“共享单车”的出现为人们“绿色出行”提供了极大的方

便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元，根据行业规定，

每座城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益尸（单位：万元）

与投入资金。（单位：万元）满足P=4、伍一6,乙城市收益。（单位：万元）与投入

fl

1〃+2,80WoW120,

资金a（单位：万元）满足Q=广设甲城市的投入资金为x（单

,32,120<aW160.

位：万元），两城市的总收益为«r）（单位：万元）.

⑴当投资甲城市128万元时，求此时公司总收益；

（2）试问如何安排甲、乙两座城市的投资，才能使公司总收益最大？

解（1）当x=128时，此时甲城市投资128万元，乙城市投资112万元，所以总

收益加28）=4[2X128—6+；X112+2=88（万元）.

（2）设甲城市投资x万元，则乙城市投资（240—%）万元,

x280,

依题意得<解得80W尤W160.

240-^^80,

当80Wx<120时，120<240—xW160,

於)=45一6+32=4产+26<26+16VB.

当120WxW160时，80^240-^120,

共X)=4\l2x-6+型240—x)+2=—^x+4,\/2%+56.

令1=疝,则P『2啊，4/』，

所以y=—；P+4//+56=—3（7—86产+88,

当t=8®即x=128时，y的最大值为88.

因为88>26+16正，所以当甲城市投资128万元，乙城市投资H2万元时，公

司总收益最大，且最大收益为88万元.

核心素养L全面提升内

一、素养落地

1.通过本节课的学习，应提升推理、计算的能力，重点提升学生的数学抽象、

逻辑推理、数学运算素养.

2.函数的最大值M首先是一个函数值，它是值域的一个元素，即定义中一定存

在一个点xo,使火次）=屐

3.定义域内全部元素都满足人冷

4.最大值〃是函数图象最高点的纵坐标，也就是函数的整个图象都在直线

的下方.

5.最小值有类似定义.

二、素养训练

1.函数兀o=—2x+l（x©『一2,2J）的最小、最大值分别为（）

A.3,5B.13,5

C.1,5D.5,-3

『解析』因为次x）=—2x+l在『一2,2』是减函数，所以当x=2时，函数

的最小值为-3.当％=—2时，函数的最大值为5.

『答案』B

2.函数2x,xG『0,3J的值域为()

A.『0,3JB.『一1,0J

C.『一1>+°°)D.『一1,3J

『解析』,函数2x=(x—Ip-1,x©『0,3』，，当x=l时，函数y

取得最小值为一1,当x=3时，函数取得最大值为3,故函数的值域为『一1,

3』，故选D.

『答案』D

3.若函数丁=奴+1在『1,2』上的最大值与最小值的差为2,则实数。的值是

()

A.2B.-2

C.2或一2D.0

『解析』由题意aWO,当a>0时，有(2a+l)—(a+l)=2,解得a=2；当a<0

时，有(a+1)—(2a+1)=2,解得a=-2.综上知a=±2.

『答案』C

4.函数«t)=、6—x—3x在区间『2,4』上的最大值为.

『解析』••5:后三在区间『2,4』上是减函数，j=-3x在区间『2,4』

上是减函数，函数兀0="\/6—X—3x在区间『2,4』上是减函数，.\/(x)max=A2)

=、6—2—3X2-4.

『答案』-4

5.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部

分)，则其边长x为m.

『解析』设矩形花园的宽为》则壶=曰52，即尸40—X,矩形花园的面积

S=x(40—x)=—f+40x=—(x—20)2+400,其中%e(0,40),故当x=20m

时，面积最大.

『答案』20

三、审题答题

示范(三)利用函数的单调性求最值

2

『典型示例』(12分)已知函数HX)=F.