高考数学复习规范答题提升课-函数与导数综合问题（导学案）

规范答题提升课——函数与导数综合问题[典例](12分)(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=xeax-ex.(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)当x>0时,f(x)<-1,求a的取值范围;(3)设n∈N*,证明:112+1+122+2问题1:如何讨论函数的单调性?首先设函数y=f(x)在某区间D内可导,如果f'(x)>0,则f(x)在区间D内为增函数;如果f'(x)<0,则f(x)在区间D内为减函数.问题2:如何解决不等式的恒成立问题?一般是根据不等式的结构构造一个新函数,利用导数研究该函数的单调性;如果所构造的函数,其导数结构比较复杂不易分析出单调性,则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数,再想办法解决其符号;有时所构造的函数的最值不易求出,可以引入导数的隐零点,把函数最值用导数的隐零点表示.(1)当a=1时,f(x)=(x-1)ex,则f'(x)=xex,…… 2分当x<0时,f'(x)<0,当x>0时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增;…… 4分(基础得分点,判断函数的单调性)(2)设h(x)=xeax-ex+1,则h(0)=0,又h'(x)=(1+ax)eax-ex,设g(x)=(1+ax)eax-ex,则g'(x)=(2a+a2x)eax-ex,………………5分若a>12,则g'(0)=2a-1>0,故存在x0∈(0,+∞),使得∀x∈(0,x0),总有g'(x)>0,故g(x)在(0,x0)为增函数,故x∈(0,x0)时g(x)>g(0)=0,故h(x)在(0,x0)为增函数,故x∈(0,x0)时h(x)>h(0)=0,与题设矛盾若0<a≤12,则h'(x)=(1+ax)eax-ex=eax+ln(1+ax)-ex,设S(x)=ln(1+x)-x(x>0),故S'(x)=11+x-1=-x1+x<0,故S(x)在(0,+∞)上为减函数,故S(x)<S(0)=0,即x>0时ln(1+x)<基础分发展分终极分≤4分[5,8]分≥8分约30%约30%约40%(1)得步骤分:对于解题过程中是得分点的,有则给分,无则没分,对于得分点步骤一定要写全.第(1)问中首先将a=1代入到函数解析式中,然后对函数f(x)求导,进而分析函数的单调性,有则给分,无则不得分.第(2)问中构造新的函数h(x),对函数h(x)求导,求导后,再构造函数g(x),对函数g(x)求导,进而分析论证得出函数h(x)的单调性,有则给分,无则不得分.(2)得关键分:对于解题过程中的关键点,有则给分,无则没分,解题时一定要写清得分的关键点.所以eax+ln(1+ax)-ex<eax+ax-ex=e2ax-ex≤0,故h'(x)≤0总成立,即h(x)在(0,+∞)上为减函数,所以h(x)<h(0)=0.当a≤0时,eax≤1,ex>1,axeax≤0,所以h'(x)=eax-ex+axeax<0, ………………7分所以h(x)在(0,+∞)上为减函数,所以h(x)<h(0)=0.综上a≤12,即a的取值范围是(-∞,12].(发展得分点,函数的恒成立问题,求参数取值范围)(3)取a=12,则∀x>0,总有xe12令t=e12x,则t>1,t2=ex,x故2tlnt<t2-1,即2lnt<t-1t对任意的t>1恒成立 ………………9分所以对任意的n∈N*,有2lnn+1n<n+1整理得ln(n+1)-lnn<1n2+n故112+1+122+2+…+1n2+n>ln2-ln1+ln3-ln2+…+ln((终极得分点,导数与不等式综合应用)第(2)问中的关键是通过反复构造函数,然后求导,进而确定函数h(x)的单调性,利用恒成立问题的解题思路求解,过程比较繁琐,但是每个关键的求解过程必须要全,否则扣掉相应分数.第(3)问的关键是取a=12,得到xe12x-ex+1<0这一不等式,构造2lnt<t-1(3)得运算分:第(1)问中对函数f(x)求导,计算正确得分,错误不给分.第(2)问对构造的新函数求导,计算正确得分,错误不给分,分a>12,0<a≤12,a≤0进行讨论,运算论证,最终得出a解题思维技巧策略函数与导数问题一般以函数为载体,以导数为工具,重点考查函数的一些性质,如含参函数的单调性、极值或最值的探求与讨论