高考数学复习第四章　第三节　导数与函数的极值、最值（导学案）

第三节导数与函数的极值、最值【课程标准】1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会利用导数求某些函数的极大值、极小值.3.会求给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.【必备知识·精归纳】1.函数的极值与导数条件f'(x0)=0在点x=x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0在点x=x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0图象形如山峰形如山谷极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点点睛(1)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能称为极值点.(2)在函数的整个定义域内,极值不一定是唯一的,有可能有多个极大值或极小值.2.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤①求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值;②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.点睛极值只能在定义域内部取得,而最值却可以在区间的端点处取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点处必定是极值.【常用结论】1.对于可导函数f(x),“f'(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必要不充分条件.2.若函数f(x)在[a,b]上是单调函数,则f(x)一定在区间端点处取得最值.3.若函数f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数的最值点.【基础小题·固根基】教材改编结论应用易错易混1,2,3,4561.(教材变式)如图是f(x)的导函数f'(x)的图象,则f(x)的极小值点的个数为 ()A.1 B.2 C.3 D.4解析：选A.由题意知只有在x=-1处f'(-1)=0,且其两侧导数符号为左负右正.2.(教材变式)函数f(x)=2x-xlnx的极值是 ()A.1e B.2e C.e D.解析：选C.因为f'(x)=2-(lnx+1)=1-lnx,当f'(x)>0时,解得0<x<e;当f'(x)<0时,解得x>e,所以x=e时,f(x)取到极大值,f(x)极大值=f(e)=e.3.(教材提升)函数f(x)=xe-x,x∈[0,4]的最小值为 ()A.0 B.1e C.4e4 解析：选A.f'(x)=1-xex.当x∈[0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(1,4]时,f'(x)<0,f(x)单调递减.因为f(0)=0,f(4)=4e4>0,所以当x4.(教材提升)若函数f(x)=13x3-4x+m在[0,3]上的最大值为4,则m=解析：f'(x)=x2-4,x∈[0,3],当x∈[0,2)时,f'(x)<0,当x∈(2,3]时,f'(x)>0,所以f(x)在[0,2)上单调递减,在(2,3]上单调递增.又f(0)=m,f(3)=-3+m.所以在[0,3]上,f(x)max=f(0)=4,所以m=4.答案:45.(结论1)若函数f(x)=aex-sinx在x=0处有极值,则a=.

解析：f'(x)=aex-cosx,若函数f(x)=aex-sinx在x=0处有极值,则f'(0)=a-1=0,解得a=1,经检验a=1符合题意.答案:16.(忽视极值的存在条件)若函数f(x)=x3+ax2+bx+a2,在x=1处取得极值10,则a=,b=.

解析：f'(x)=3x2+2ax+b,依题意得f即a解得a=4,经验证,当a=-3,b=3时,f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,故f(x)在R上单调递增,所以a=-当a=4,b=-11时,符合题意.答案:4-11题型一利用导数求函数的极值问题角度1根据函数图象判断极值[典例1]已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图,则下列叙述正确的是 ()A.函数f(x)在(-∞,-4)上单调递减B.函数f(x)在x=-1处取得极大值C.函数f(x)在x=-4处取得极值D.函数f(x)只有一个极值点解析：选D.由题中导函数的图象可得,当x≤2时,f'(x)≥0,函数f(x)单调递增;当x>2时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.所以函数f(x)的单调递减区间为(2,+∞),故A错误;当x=2时函数取得极大值,故B错误;当x=-4时函数无极值,故C错误;只有当x=2时函数取得极大值,故D正确.【方法提炼】由图象判断函数y=f(x)的极值要抓住的两点(1)由y=f'(x)的图象与x轴的交点,可得函数y=f(x)的可能极值点.(2)由导函数y=f'(x)的图象可以看出y=f'(x)的值的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性.两者结合可得极值点.角度2求函数的极值[典例2](1)(2023·衡水模拟)函数f(x)=(x2-3x+1)ex的极大值为 ()A.-e2 B.5e-1 C.-54e32 解析：选B.依题意,f'(x)=(x2-x-2)ex=(x-2)·(x+1)ex,故函数f(x)在(-∞,-1),(2,+∞)上单调递增,在(-1,2)上单调递减,所以函数f(x)在x=-1处取得极大值为f(-1)=5e-1.(2)求下列函数的极值:①f(x)=12(x-5)2+6lnx②f(x)=x-alnx(a∈R).解析：①函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=x-5+6x=(令f'(x)=0,解得x1=2,x2=3,当x变化时,f(x),f'(x)的变化情况如下表:x(0,2)2(2,3)3(3,+∞)f'(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增由上表可知,当x=2时,极大值f(2)=92当x=3时,极小值f(3)=2+6ln3.②f'(x)=1-ax=x-ax若a≤0,则f'(x)>0恒成立,f(x)不存在极值.若a>0,则x,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(0,a)a(a,+∞)f'(x)-0+f(x)单调递减极小值单调递增所以f(x)的极小值为f(a)=a-alna,无极大值.【方法提炼】 ——自主完善,老师指导运用导数求可导函数y=f(x)的极值的一般步骤(1)先求函数y=f(x)的定义域,再求其导数f'(x).(2)求方程f'(x)=0在f(x)定义域内的根.(3)检查导数f'(x)在方程根的左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.提醒(1)导数为零的点不一定是极值点.(2)在解答题中涉及极值问题要列出表格.角度3已知极值(点)求参数[典例3](1)(2021·全国乙卷)设a≠0,若x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点,则 ()A.a<b B.a>bC.ab<a2 D.ab>a2解析：选D.当a>0时,根据题意画出函数f(x)的大致图象,如图1所示,观察可知b>a.当a<0时,根据题意画出函数f(x)的大致图象,如图2所示,观察可知a>b.综上,可知必有ab>a2成立.(2)已知函数f(x)=12x2+(a-1)x-alnx存在唯一的极值,且此极值不小于1,则实数a的取值范围为解析：因为f(x)=12x2+(a-1)x-alnx所以f'(x)=x+(a-1)-ax=x2+令f'(x)=0,解得x=1或x=-a,因为函数f(x)=12x2+(a-1)x-alnx存在唯一的极值,所以x=1,此时a≥0所以当x∈(0,1)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,所以f(x)极小值=f(1)=12+a-1=a-1因为f(x)极小值≥1,所以a-12≥1,解得a≥3答案:[32(3)(2022·全国乙卷)已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点.若x1<x2,则a的取值范围是.

解析：f'(x)=2lna·ax-2ex,因为x1,x2分别是函数f(x)=2ax-ex2的极小值点和极大值点,所以函数f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上单调递减,在(x1,x2)上递增,所以当x∈(-∞,x1)和(x2,+∞)时,f'(x)<0,当x∈(x1,x2)时,f'(x)>0,若a>1,当x<0时,2lna·ax>0,2ex<0,则此时f'(x)>0,与前面矛盾,故a>1不符合题意,若0<a<1,则方程2lna·ax-2ex=0的两个根为x1,x2,即方程lna·ax=ex的两个根为x1,x2,即函数y=lna·ax与函数y=ex的图象有两个不同的交点,因为0<a<1,所以函数y=ax的图象是单调递减的指数函数,又因为lna<0,所以y=lna·ax的图象由指数函数y=ax向下关于x轴作对称变换,然后将图象上的每个点的横坐标保持不变,纵坐标伸长或缩短为原来的|lna|倍得到,如图所示,设过原点且与函数y=g(x)的图象相切的直线的切点为(x0,lna·ax则切线的斜率为g'(x0)=ln2a·ax故切线方程为y-lna·ax0=ln2a·ax0(x则有-lna·ax0=-x0ln2a·解得x0=1ln则切线的斜率为ln2a·a1lna=eln因为函数y=lna·ax与函数y=ex的图象有两个不同的交点,所以eln2a<e,解得1e<a又0<a<1,所以1e<a综上所述,a的范围为(1e,1)答案:(1e【一题多变】若本例(2)变为f(x)存在两个极值点x1,x2(x1≠x2),则a的取值范围为.

解析：解法一:由例(2)的解析知,f'(x)=0解得x=1或x=-a.因为f(x)在(0,+∞)上存在两个不相等的极值点,所以-a>0且-a≠1,即a<0且a≠-1.解法二:f(x)在(0,+∞)上有两个不等的极值点⇔f'(x)在(0,+∞)上有两个不等的变号零点,设g(x)=x2+(a-1)x-a,即g(x)在(0,+∞)上有两个不等零点,故有g解得a<0且a≠-1.答案:{a|a<0且a≠-1}【方法提炼】已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.(2)验证:因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.【对点训练】1.(2023·广州模拟)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(x-1)f'(x)的图象如图所示,则下列结论中正确的是 ()A.函数f(x)有极大值f(-3)和f(3)B.函数f(x)有极小值f(-3)和f(3)C.函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(-3)D.函数f(x)有极小值f(-3)和极大值f(3)解析：选D.由题图知,当x∈(-∞,-3)时,y>0,x-1<0⇒f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(-3,1)时,y<0,x-1<0⇒f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(1,3)时,y>0,x-1>0⇒f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(3,+∞)时,y<0,x-1>0⇒f'(x)<0,f(x)单调递减.所以函数有极小值f(-3)和极大值f(3).2.已知函数f(x)=2lnx+ax2-3x在x=2处取得极小值,则f(x)的极大值为 ()A.2 B.-5C.3+ln2 D.-2+2ln2解析：选B.由题意得,f'(x)=2x+2ax因为f(x)在x=2处取得极小值,所以f'(2)=4a-2=0,解得a=12所以f(x)=2lnx+12x2-3x,f'(x)=2x+x-3=所以f(x)在(0,1),(2,+∞)上单调递增,在(1,2)上单调递减,所以f(x)的极大值为f(1)=12-3=-53.设a∈R,若函数y=x+alnx在区间(1e,e)上有极值点,则a的取值范围为 (A.(1e,e) B.(-e,-1C.(-∞,1e)∪(e,+∞) D.(-∞,-e)∪(-1解析：选B.因为函数y=f(x)=x+alnx在区间(1e所以f'(x)在区间(1e,e)上有零点又f'(x)=1+ax=x+a所以f'(1e)f'(e)<0,所以(ea+1)·(1+a解得-e<a<-1e所以a的取值范围为(-e,-1e)【加练备选】1.(2022·南京模拟)已知函数f(x)=x(lnx-ax)在区间(0,+∞)上有两个极值,则实数a的取值范围为 ()A.(0,e) B.(0,1eC.(0,12 D.(0,1解析：选C.f'(x)=lnx-ax+x(1x-a)=lnx+1-2ax,由题意知lnx+1-2ax=0在(0,+∞)上有两个不相等的实根,2a=lnx+1x,设g(则g'(x)=1-(lnx当0<x<1时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x>1时,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以g(x)的极大值为g(1)=1,又当x>1时,g(x)>0,当x→+∞时,g(x)→0,当x→0时,g(x)→-∞,所以0<2a<1,即0<a<122.(2022·开封模拟)设函数f(x)=exx+a,若f(x)的极小值为e,则解析：由已知得f'(x)=ex(x+a-1)(x+a)则f(x)在(-∞,-a),(-a,1-a)上单调递减,在(1-a,+∞)上单调递增,所以f(x)的极小值为f(1-a)=e1-a=e,即1-a=12,得a=1答案:1题型二利用导数求函数最值问题[典例4](1)(2022·全国乙卷)函数f(x)=cosx+(x+1)sinx+1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为 ()A.-π2,π2 B.-3πC.-π2,π2+2 D.-3π2解析：选D.f'(x)=-sinx+sinx+(x+1)cosx=(x+1)cosx,所以f(x)在区间(0,π2和(3π2,2π)上f'(x)>0,即f(x)单调递增;在区间(π2,3π2)上f'(x)<0,即f(x)单调递减,又f(0)=f(2π)=2,f(π2)=π2+2,f(3π2)=-(3π2+1)+1=-3π2,所以(2)(2021·新高考Ⅰ卷)函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为.

解析：函数f(x)=|2x-1|-2lnx的定义域为(0,+∞).①当x>12时,f(x)=2x-1-2lnx所以f'(x)=2-2x=2当12<x<1时,f'(x当x>1时,f'(x)>0,所以f(x)min=f(1)=2-1-2ln1=1;②当0<x≤12时,f(x)=1-2x-2lnx在(0,12所以f(x)min=f(12)=-2ln12综上,f(x)min=1.答案:1(3)已知函数f(x)=ax+lnx,其中a为常数.①当a=-1时,求f(x)的最大值;②若f(x)在区间(0,e]上的最大值为-3,求a的值.解析：①易知f(x)的定义域为(0,+∞),当a=-1时,f(x)=-x+lnx,f'(x)=-1+1x=1令f'(x)=0,得x=1.当0<x<1时,f'(x)>0;当x>1时,f'(x)<0.所以f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数,所以f(x)max=f(1)=-1,所以当a=-1时,函数f(x)在(0,+∞)上的最大值为-1.②f'(x)=a+1x,x∈(0,e],1x∈([1若a≥-1e,则f'(x)≥0,从而f(x所以f(x)max=f(e)=ae+1≥0,不合题意.若a<-1e,令f'(x)>0,即a+1x>0,结合x∈(0,e],解得0<x<-令f'(x)<0,即a+1x<0,结合x∈解得-1a<x≤e从而f(x)在(0,-1a)上为增函数,在(-1a,e所以f(x)max=f(-1a)=-1+ln(-1a令-1+ln(-1a)=-3,得ln(-1a)=-2,即a=-e因为-e2<-1e,所以a=-e2即为所求故实数a的值为-e2.【方法提炼】求函数f(x)在闭区间[a,b]内的最值的方法(1)若所给的问题中不含有参数,则只需求f'(x),并求f'(x)=0在区间[a,b]内的根,再计算使导数等于零的根的函数值,把该函数值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.(2)若所给的问题中含有参数,则需求f'(x),通过对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到函数f(x)的最值.【对点训练】1.已知函数f(x)=12sin2x+sinx,则f(x)的最小值是 (A.-332 BC.-334 D解析：选C.由题得f'(x)=cos2x+cosx=2cos2x+cosx-1=(2cosx-1)(cosx+1),所以当12<cosx≤1时,f'(x)>0,f(x当-1≤cosx<12时,f'(x)≤0,f(x)单调递减所以f(x)取得最小值时,cosx=12,此时sinx=±3当sinx=-32时,f(x)=sinxcosx+sinx=-3当sinx=32时,f(x)=sinxcosx+sinx=3所以f(x)的最小值是-332.(2023·苏州模拟)若函数f(x)=13x3+x2-23在区间(a,a+5)内存在最小值,则实数a的取值范围是 (A.[-5,0) B.(-5,0)C.[-3,0) D.(-3,0)解析：选C.由题意,f'(x)=x2+2x=x(x+2),当x<-2或x>0时,f'(x)>0;当-2<x<0时,f'(x)<0.f(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上单调递增,在(-2,0)上单调递减,所以函数f(x)的极小值为f(0)=-23令13x3+x2-23=-23得x3+3解得x=0或x=-3,作其图象如图,结合图象可知-解得a∈[-3,0).3.(2021·浙江高考)已知函数f(x)=x3-3x,x∈[0,2],则f(x)的最大值是,最小值是.

解析：因为f(x)=x3-3x,所以f'(x)=3x2-3,又x∈[0,2],所以令f'(x)>0,得1<x≤2;令f'(x)<0,得0≤x<1.所以f(x)在[0,1)上单调递减,在(1,2]上单调递增,因为f(0)=0,f(1)=-2,f(2)=2,所以f(x)的最大值是2,最小值是-2.答案:2-2【加练备选】已知函数g(x)=alnx+x2-(a+2)x(a∈R).(1)若a=1,求g(x)在区间[1,e]上的最大值;(2)求g(x)在区间[1,e]上的最小值h(a).解析：(1)因为a=1,所以g(x)=lnx+x2-3x,所以g'(x)=1x+2x-3=(因为x∈[1,e],所以g'(x)≥0,所以g(x)在[1,e]上单调递增,所以g(x)max=g(e)=e2-3e+1.(2)g(x)的定义域为(0,+∞),g'(x)=ax+2x-(a+2)=2(2①当a2≤1,即a≤2时,g(x)在[1,e]上单调递增,h(a)=g(1)=-a②当1<a2<e,即2<a<2e时,g(x)在[1,a2)上单调递减,在(a2,e]上单调递增,hg(a2)=alna2-14a2③当a2≥e,即a≥2e时,g(x)在[1,e]上单调递减,h(a)=g(e)=(1-e)a+e2-2e综上,h(a)=-题型三生活中的优化问题[典例5]中国高铁的快速发展给群众出行带来了巨大便利,极大促进了区域经济社会发展.已知某条高铁线路通车后,发车时间间隔t(单位:分钟)满足5≤t≤25,t∈N*,经测算,高铁的载客量与发车时间间隔t相关:当20≤t≤25时,高铁为满载状态,载客量为1000人;当5≤t<20时,载客量会在满载基础上减少,减少的人数与(20-t)2成正比,且发车时间间隔为5分钟时的载客量为100人.记发车间隔为t分钟时,高铁载客量为P(t).(1)求P(t)的解析式;(2)若该线路发车时间间隔为t分钟时的净收益Q(t)=t4P(t)-40t2+650t-2000(元),当发车时间间隔为多少时,单位时间的净收益Q解析：(1)当5≤t<20时,不妨设P(t)=1000-k(20-t)2,因为P(5)=100,解得k=4.因此P(t)=1(2)①当5≤t<20时,Q(t)=t4P(t)-40t2+650t-2000=-t3+500t设F(t)=Q(t)t=-t2-2因为F'(t)=-2t+2000t所以当5≤t<10时,F'(t)>0,F(t)单调递增;当10<t<20时,F'(t)<0,F(t)单调递减.所以F(t)max=F(10)=200.②当20≤t≤25时,Q(t)=-40t2+900t-2000.设F(t)=Q(t)t=900-40(t+50因为F'(t)=-40(t2-所以F(t)max=F(20)=0.综上,发车时间间隔为10分钟时,单位时间的净收益Q(t【方法提炼】利用导数解决生活中的实际应用问题的一般步骤提醒在利用导数解决实际问题时,若在定义域内只有一个极值,则这个值即为最优解.【对点训练】某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄