高考数学复习规范答题提升课-立体几何综合问题（导学案）

规范答题提升课——立体几何综合问题[典例](12分)(2022·新高考Ⅱ卷)如图，PO是三棱锥P­ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E是PB的中点．(1)证明：OE∥平面PAC；(2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C­AE­B的正弦值．问题1：看到证明线面平行想到什么？思路由线面平行的判定定理进行证明．问题2：如何证明(1)中线面平行？思路构造平行四边形或三角形中位线，先证明线线平行．问题3：PO是三棱锥的高，PA＝PB，可以得出什么结论？思路斜线相等，它在底面的射影也相等．问题4：如何求二面角C­AE­B的正弦值？思路建立空间直角坐标系，利用平面与平面所成角的公式求解．(1)连接BO并延长交AC于点D，连接OA，PD，1分因为PO是三棱锥P­ABC的高，所以PO⊥平面ABC，AO，BO⊂平面ABC，又PA＝PB，所以OA＝OB，又AB⊥AC，所以∠BAC＝90°，所以O是△ABD的外心，所以DO＝OB，2分又E为PB的中点，所以OE为△PBD的中位线，所以OE∥PD，3分又OE⊄平面PAC，PD⊂平面PAC，所以OE∥平面PAC；4分（基础得分点，线面平行的判定）(2)如图，以点A为坐标原点，直线AB，AC分别为x轴，y轴，过点A与平面ABC垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系，6分（发展得分点①，空间直角坐标系的建立）因为PO＝3，AP＝5，所以OA＝eq\r(AP2－PO2)＝4，又∠OBA＝∠OBC＝30°，BD＝2OA＝8，所以AD＝4，AB＝4eq\r(3)，AC＝12，所以O(2eq\r(3)，2，0)，B(4eq\r(3)，0，0)，P(2eq\r(3)，2，3)，C(0，12，0)，所以E(3eq\r(3)，1，eq\f(3,2))，则eq\o(AE,\s\up6(→))＝(3eq\r(3)，1，eq\f(3,2))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4eq\r(3)，0，0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(0，12，0)，设平面AEB的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(AE,\s\up6(→))＝3\r(3)x1＋y1＋\f(3,2)z1＝0，,n·\o(AB,\s\up6(→))＝4\r(3)x1＝0，))令z1＝2，得n＝(0，－3，2)；8分设平面AEC的法向量为m＝(x2，y2，z2)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(AE,\s\up6(→))＝3\r(3)x2＋y2＋\f(3,2)z2＝0，,m·\o(AC,\s\up6(→))＝12y2＝0，))令x2＝eq\r(3)，得m＝(eq\r(3)，0，－6)；10分(发展得分点②，平面法向量的求法)设二面角C­AE­B为θ，则|cosθ|＝eq\f(|n·m|,|n||m|)＝eq\f(12,\r(13)×\r(39))＝eq\f(4\r(3),13)，11分所以sinθ＝eq\r(1－cos2θ)＝eq\f(11,13)，故二面角C­AE­B的正弦值为eq\f(11,13).12分（终极得分点，利用空间向量法求二面角）基础分发展分终极分≤4分[5，9]分≥10分约30%约45%约25%(1)得步骤分：对于解题过程中是得分点的，有则给分，无则没分，对于得分点步骤一定要写全．第(1)问中正确作出辅助线得1分，通过证明推导出OE为△PBD的中位线，得1分，利用线面平行的判定定理得出结论得2分；第(2)问中根据(1)建立适当的空间直角坐标系，只要建系正确就可得分．再分别求出相关点的坐标，求出平面AEB及平面AEC的法向量，再根据二面角公式求解，有则给分，无则不得分．(2)得关键分：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，解题时一定要写清得分的关键点．第(1)问中证明线面平行的关键步骤要写清OE⊄平面PAC，PD⊂平面PAC，有则给分，无则不得分；第(2)问中的关键步骤是求出|cosθ|＝eq\f(|n·m|,|n||m|)的值后，要转化为求sinθ＝eq\r(1－cos2θ)，如果没有进行转化扣掉1分．(3)得计算分：通过建立适当的空间直角坐标系，解答正确与否，关键在运算上．如第(2)问中：得分点①：正确求出相应点的坐标，坐标正确得分，只要有一个点的坐标不正确，直接影响到后边的运算．得分点②：求出两个法向量，只要求解正确即可得2分．得分点③：求|cosθ|＝eq\f(|n·m|,|n||m|)，计算正确得1分，错误不得分．得分点④：求sinθ＝eq\r(1－cos2θ)的值，计算正确得1分．解题思维技巧策略立体几何解答题的基本模