高考数学第一轮复习复习第1节　数列的概念（讲义）

第五章数列(选择性必修第二册)第1节数列的概念[课程标准要求]1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.1.数列的定义一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.2.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an+1>an其中n∈N*递减数列an+1<an常数列an+1=an摆动数列从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法,它们分别是表格法、图象法和解析式法.4.数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.5.数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.1.(选择性必修第二册P8练习T3改编)数列{an}的前几项为12,3,112,8,A.an=5n-42 C.an=6n-52 解析:数列为12,62,112,162,2122.在数列{an}中,a1=1,an=1+1an-A.32 B.53 C.743.数列{an}是递增数列,则{an}的通项公式可以是下面的(A)A.an=-1n B.an=n2C.an=2-n D.an=(-n)n解析:f(x)=-1x在(0,+∞)上是增函数,所以an=-1n是递增数列,符合题意;an=n2-3n,则a1=a2=-2,{an}不是递增数列,不合题意;an=2-n,有a1=12,a2=14,{an}不是递增数列,不合题意;an=(-n)n,有a2=(-2)24.已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=n2,则an=,若Sn=n2+1,则an=.

解析:若Sn=n2,则当n=1时,a1=S1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1.当n=1时满足上式,所以an=2n-1.若Sn=n2+1,当n=1时,a1=S1=2.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+1-[(n-1)2+1]=2n-1,当n=1时不满足上式,故an=2答案:2n-125.在数列{an}中,an=-n2+6n+7,当其前n项和Sn取最大值时,n=.

解析:由题可知n∈N*,令an=-n2+6n+7≥0,得1≤n≤7(n∈N*),所以该数列的第7项为零,且从第8项开始an<0,则S6=S7且最大.答案:6或7由an与Sn的关系求通项公式1.(2022·安徽宿州期中)已知数列{an}的前n项和为Sn,且an+Sn=2(n∈N+),则{an}的通项公式为an=.

解析:因为an+Sn=2(n∈N+),所以an-1+Sn-1=2,n≥2,两式相减得an-an-1+an=0,n≥2,所以2an=an-1,n≥2.又a1+S1=2a1=2,所以a1=1.所以{an}是以1为首项,12所以an=(12)n-1答案:(12)2.记数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=2Sn(n为正整数),则数列{an}的通项公式为.

解析:因为a1=1,an+1=2Sn,①所以an=2Sn-1(n≥2),②①-②可得,3an=an+1(n≥2).当n=1时,a2=2S1=2,即当n=1时,不满足3an=an+1,所以数列{an}从第二项开始是以3为公比的等比数列,所以an=1答案:an=13.设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=.

解析:因为an+1=Sn+1-Sn,an+1=SnSn+1,所以Sn+1-Sn=SnSn+1.因为Sn≠0,所以1Sn-1Sn+1又1S所以数列{1S所以1Sn=-1+(n-1)所以Sn=-1n答案:-14.(2022·河南郑州月考)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=a2=1,当n≥2时,Snan=Sn-1an+1,则Sn=,a12=.

解析:当n≥2时,Sn(Sn-Sn-1)=Sn-1(Sn+1-Sn),所以Sn2=Sn-1Sn+1.因为a1=a2=1,所以{S所以Sn=2n-1,所以a12=S12-S11=210=1024.答案:2n-11024根据an=S1,n=1,Sn-S注意检验a1的情况,若满足an=f(n)(n≥2),则结果写成an=f(n)(n∈N*),否则写成分段形式,即an=S用累加法、累乘法求通项公式1.在数列{an}中,a1=0,an-an-1=2n-1(n≥2),则{an}的通项公式是.

解析:当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=0+3+5+7+…+2n-1=(n-1又a1=0符合上式,所以an=n2-1.答案:an=n2-12.已知数列{an}满足a1=3,an-an-1=2n-1(n≥2),则数列{an}的通项公式.

解析:当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=3+2+22+…+2n-1=3+2-2n-1·21-答案:an=2n+13.已知数列{bn}满足b1=2,(n+2)bn=nbn+1,其中n∈N*,则{bn}的通项公式为.

解析:当n≥2时,bn=b1·b2b1·b3b2·…·bnbn-1=2×3又b1=2满足上式,所以{bn}的通项公式bn=n(n+1).答案:bn=n(n+1)当出现an+1-an=f(n)时,用累加法求an,即利用an=(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)+a1(n≥2);当出现an+1an=f(n)时,用累乘法求an,即利用an=a1·a2a1数列性质及其应用数列的周期性[例1](1)数列{an}满足a1=12,an+1=1-1anA.-1 B.12 C.2 (2)(多选题)若数列{an}满足an+1=2an,0≤an≤A.13 B.2 C.23 解析:(1)数列{an}满足a1=12,an+1=1-1当n=1时,解得a2=1-1a当n=2时,解得a3=1-1a当n=3时,解得a4=1-1a3=当n=4时,解得a5=1-1a故数列的周期为3.故a2024=a674×3+2=a2=-1.故选A.(2)由题意可得a2=2a1=23,a3=2a2-1=1a4=2a3=23,…,所以数列{an}是周期为2的数列,所以数列{an}中的项的值可能为13,解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值.数列的单调性[例2](1)已知数列{an}的通项公式为an=3n+kA.(3,+∞) B.(2,+∞)C.(1,+∞) D.(0,+∞)(2)已知数列{an}满足an=(3-aA.(167,3) B.[16C.(1,3) D.(2,3)解析:(1)因为an+1-an=3n+3+k2n+1-3n+k2n=3所以k>3-3n对任意n∈N*恒成立,所以k∈(0,+∞).故选D.(2)若{an}是递增数列,则3即a解得2<a<3.故选D.解决数列单调性问题的三种方法(1)用作差比较法,根据an+1-an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列.(2)用作商比较法,根据an+1an(a(3)结合相应函数的图象直观判断.求数列中的最大(小)项[例3](1)对于数列{12A.既有最大项,又有最小项B.有最大项,无最小项C.无最大项,有最小项D.既无最大项,又无最小项(2)已知数列{an},an=n-A.此数列没有最大项B.此数列的最大项是a3C.此数列没有最小项D.此数列的最小项是a2解析:(1)因为210=1024,211=2048,所以根据指数函数的单调性知,{12n-(2)令t=n-1≥0,则n=t+1,则y=tt当t>0时,y=1t+4t+6所以数列{an}有最大项a3,有最小项a1.故选B.求数列中的最大(小)项的三种方法(1)不等式组法:利用不等式组an利用不等式组an(2)单调性法:结合相应的函数的单调性,注意n∈N*.(3)基本不等式法:结合相应的基本不等式,注意n∈N*.[针对训练]1.数列{an}满足a1=2,an+1=-an,则S2023等于()A.4046 B.-4046 C.2 D.-2解析:因为a1=2,an+1=-an,所以a2=-a1=-2,a3=-a2=2,a4=-2,…,所以an+2=an,所以{an}是周期为2的周期数列,所以S2023=a1+a2+…+a2023=2+(-2)+2+(-2)+…+2=2.故选C.2.已知数列{an}满足an=(n+1)(20212022A.2020 B.2024 C.2022 D.2023解析:因为an+1an=所以当n>2020时,an+1an<1,即a当n<2020时,an+1an>1,即an=2020⇒an所以当n=2020时,an取得最大值.故选A.[例1]已知数列{an}中,a1=2,an+1=2anan+2(n∈N*),则数列{an解析:因为an+1=2anan+2所以1an+1=1即1an+1-1又a1=2,则1a1=所以数列{1an}是以12所以1an=1a1+(n-1)×12=n答案:2[例2]已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+2(n∈N*),则数列{an}的通项公式为.

解析:因为an+1=3an+2,所以an+1+1=3(an+1),所以an所以数列{an+1}为等比数列,公比q=3.又a1+1=2,所以an+1=2·3n-1,所以an=2·3n-1-1.答案:an=2·3n-1-1[例3]已知数列{an}的通项公式为an=mn-m+12n(n∈N*解析:根据题意,数列{an}中,an=mn-m+12n,则an-1则an-an-1=-mn若数列{an}是递减数列,则an-an-1=-mn+3m当m=0时,①式为0<1,恒成立,满足题意;当m<0时,①式变形可得