高考数学第一轮复习复习第6节　对数与对数函数（讲义）

第6节对数与对数函数[课程标准要求]1.理解对数的概念和运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过具体实例,了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点.3.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1).1.对数概念一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数性质对数式与指数式的互化:ax=N⇔x=logaN,loga1=0,logaa=1,alog运算法则loga(MN)=logaM+logaNa>0,且a≠1,M>0,N>0logaMN=logaM-logalogaMn=nlogaM(n∈R)换底公式logab=logc>0,且c≠1)2.对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域为(0,+∞)值域为R过定点(1,0),即x=1时,y=0当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<0当x>1时,y<0;当0<x<1时,y>0在区间(0,+∞)上是增函数在区间(0,+∞)上是减函数3.指数函数与对数函数的关系一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的定义域与值域正好互换,图象关于直线y=x对称.1.换底公式及其推论(1)logab·logba=1,即logab=1lo(2)logambn=nm(3)logab·logbc·logcd=logad.2.对数函数的图象与底数大小的比较如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数,故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律:在第一象限内从左到右底数逐渐增大.1.(多选题)下列各式正确的是(BD)A.loga6B.lg2+lg5=1C.(lnx)2=2lnxD.lg5x3=解析:A选项,由换底公式,可得loga6loga3=log36=1+log32,故A错误;B选项,lg2+lg5=lg(2×5)=1,故B正确;C选项,(lnx)2=lnx×2.(2021·新高考Ⅱ卷)已知a=log52,b=log83,c=12A.c<b<a B.b<a<cC.a<c<b D.a<b<c解析:a=log52<log55=12=log822<log83.(必修第一册P131练习T1改编)函数f(x)=ln(A.(1,+∞) B.(2,+∞)C.[1,+∞) D.[2,+∞)解析:要使函数f(x)=ln(x-1)4.(必修第一册P140习题T4改编)已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是(填序号).

①a>1,c>1;②a>1,0<c<1;③0<a<1,c>1;④0<a<1,0<c<1.解析:由题图可知,函数在定义域内为减函数,所以0<a<1.又当x=0时,y>0,即logac>0,所以0<c<1.答案:④5.化简2lg5+lg4-5log5解析:因为2lg5+lg4=2lg5+2lg2=2(lg5+lg2)=2.又5lo所以2lg5+lg4-5lo答案:0对数式的化简与求值1.(2020·全国Ⅰ卷)设alog34=2,则4-a等于(B)A.116 B.19 C.18解析:法一因为alog34=2,所以log34a=2,则有4a=32=9,所以4-a=14a=法二因为alog34=2,所以-alog34=-2,所以log34-a=-2,所以4-a=3-2=132=法三因为alog34=2,所以a2=1log所以4a2=3,两边同时平方得4所以4-a=14a=法四因为alog34=2,所以a=2log34=log39log法五令4-a=t(t>0),两边同时取对数得log34-a=log3t,即alog34=-log3t=log31t.因为alog34=2,所以log31t=2,所以1t=32=9,所以t=19,即4法六令4-a=t(t>0),所以-a=log4t,即a=-log4t=log41t.由alog3得a=2log34=log39lo所以1t=9,得t=19,即4-a=2.若2a=3b=6,则1a+1A.2 B.3 C.12 解析:法一因为2a=3b=6,所以a=log26,1a=log62,b=log36,1b=log63,则1a+1b=log62+log法二因为2a=6,所以2=61因为3b=6,所以3=61b,所以2×3=61a·61b,所以6=3.设a=log36,b=log520,则log215等于(D)A.a+b-C.a+2b-解析:因为a=log36=1+log32,b=1+2log52,所以log23=1a-1,log2则log215=log23+log25=1a-=2a4.计算:(1-lo解析:原式=(=log62答案:1(1)利用对数的运算性质化简对数式主要有以下两种方法:①“正向”利用对数的运算法则,把各对数分成更为基本的一系列对数的代数和;②“逆向”运用对数运算法则,把同底的各对数合并成一个对数.(2)利用已知对数式表示不同底数的对数式时,可以将待求式中的底数利用换底公式化为已知对数式的底数.对数函数的图象及应用[例1](1)已知函数f(x)=loga(x+b)的图象如图,则ab等于()A.-6 B.-8 C.6 D.8(2)若不等式4x<logax在(0,12]上有解,则实数a的取值范围为解析:(1)f(x)=loga(x+b)过(0,2)和(-3,0),故2=loga因为a>0,且a≠1,所以a=2(2)若不等式4x<logax在(0,12]上有解,则函数y=4x和函数y=logax的图象在(0,12解得0<a<22答案:(1)D(2)(0,22利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想.(2)对一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,数形结合求解.[针对训练]1.已知f(x)=a-x,g(x)=logax,且f(2)·g(2)>0,则函数f(x)与g(x)的图象是()解析:因为f(2)·g(2)>0,所以a>1,所以f(x)=a-x与g(x)=logax在其定义域上分别是减函数与增函数.故选D.2.(2022·广东广州调研)设x1,x2,x3均为实数,且e-x1=lnx1,e-x2=ln(xA.x1<x2<x3 B.x1<x3<x2C.x2<x3<x1 D.x2<x1<x3解析:画出函数y=(1e)x数形结合知x2<x1<x3.故选D.对数函数的性质及应用比较指数式、对数式的大小[例2](1)设a=log23,b=43,c=log3A.b<a<c B.c<a<bC.a<b<c D.c<b<a(2)(2022·云南昆明月考)设a=log63,b=log126,c=log2412,则()A.b<c<a B.a<c<bC.a<b<c D.c<b<a解析:(1)因为a=log23>log2243=b=43=log3343所以a,b,c的大小关系为c<b<a.故选D.(2)因为a,b,c都是正数,所以1a=log36=1+log31b=log612=1+log61c=log1224=1+log12因为log32=lg2lg3log62=lg2lg6log122=lg2lg12所以log32>log62>log122,即1a>1b>所以a<b<c.故选C.比较对数式大小的常见类型及解题方法常见类型解题方法底数为同一常数可由对数函数的单调性直接进行判断底数为同一字母需对底数进行分类讨论底数不同,真数相同可以先用换底公式化为同底后,再进行比较底数与真数都不同常借助1,0等中间量进行比较解对数不等式[例3]设函数f(x)=logA.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)解析:由题意得a>0解得a>1或-1<a<0.故选C.对数不等式的两种类型及求解方法类型求解方法logax>logab借助y=logax的单调性求解如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论.注意:不要忽略函数的定义域logax>b需先将b化为以a为底的对数式的形式,再借助y=logax的单调性求解对数型复合函数的单调性[例4]求函数f(x)=loga(2x2-3x-2)的单调区间.解:由2x2-3x-2>0得函数f(x)的定义域为{x|x>2或x<-12当a>1时,y=logat为增函数,t=2x2-3x-2在(2,+∞)上单调递增,在(-∞,-12)上单调递减,所以f(x)在(2,+∞)上单调递增,在(-∞,-1当0<a<1时,y=logat为减函数,所以f(x)在(2,+∞)上单调递减,在(-∞,-12综上可知,当a>1时,f(x)的单调递增区间为(2,+∞),单调递减区间为(-∞,-12当0<a<1时,f(x)的单调递增区间为(-∞,-12与对数函数有关的复合函数的单调性问题,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的,判断内层函数和外层函数的单调性,运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性.[针对训练]1.a=log13π,b=log3π,c=logA.a<c<b B.c<b<aC.a<b<c D.b<c<a解析:由已知a=log13π<log131=0,又b=log3π=1logπ3>0,c=log4π=1lo综合得a<c<b.故选A.2.已知定义域为R的偶函数f(x)在(-∞,0]上是减函数,且f(1)=2,则不等式f(log2x)>2的解集为()A.(2,+∞) B.(0,12C.(0,22)∪(2,+∞) D.(2解析:f(x)是R上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,所以f(x)在[0,+∞)上是增函数,所以f(log2x)>2=f(1)⇔f(|log2x|)>f(1)⇔|log2x|>1,即log2x>1或log2x<-1,解得x>2或0<x<123.已知函数f(x)=log2(2x-1),函数f(x)的单调递增区间是;若x∈[1,92],则函数f(x)的值域是解析:因为函数f(x)=log2(2x-1)的定义域为(12令t=2x-1,易知t=2x-1在(12,+∞)上单调递增,而y=log2t在(0,+∞)上单调递增,故函数f(x)的单调递增区间是(1因为函数f(x)=log2(2x-1)在[1,92]上是增函数,所以f(1)≤f(x)≤f(9所以0≤f(x)≤3,故所求函数的值域为[0,3].答案:(12[例1]直线y=kx(k>0)与对数函数y=logax(a>1)的图象相交于A,B两点,经过点A的线段CD垂直于y轴,垂足为C.若四边形OCBD为平行四边形,且S四边形OCBD=4,则实数k,a的值分别为()A.k=1,a=2 B.k=12C.k=2,a=2 D.k=1,a=4解析:依据题意,画出直线y=kx(k>0)与对数函数y=logax(a>1)的图象,如图所示,设A(x1,logax1),B(x2,logax2),因为CD⊥y轴,可得C(0,logax1),因为四边形OCBD为平行四边形,所以A为CD的中点,所以D(2x1,logax1),所以x2=2x1,由O,A,B均在直线y=kx(k>0)上,可得loga2解得x1=2,x2=4,OC=logax1=loga2,CD=x2=4,因