高考数学复习第五章　第二节　同角三角函数的基本关系、诱导公式（导学案）

第二节同角三角函数的基本关系、诱导公式1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,sinxcosx2.能利用单位圆中的对称性推导出π2±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.

(2)商数关系:sinαcosα=tanαα≠π2+kπ,k∈2.三角函数的诱导公式公式一二三角2kπ+α(k∈Z)π+α-α正弦sinα-sinα

-sinα

余弦cosα-cosα

cosα

正切tanαtanα

-tanα

公式四五六角π-απ2-π2+正弦sinα

cosα

cosα

余弦-cosα

sinα

-sinα

正切-tanα

点睛诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化教材改编易错易混1,23,4,51.(教材变式)若α为第三象限角,且sinα=-13,则cosα= (A.223 B.C.24 D.-解析：选D.由题意cosα=-1-sin2α2.(教材变式)已知tanα=-2,则2sinα+cosαcosαA.-4 B.-12 C.-1 D.-解析：选C.2sinα+cosαcosα-3.(公式运用致误)(多选题)已知x∈R,则下列等式恒成立的是 ()A.sin(-x)=sinxB.sin3π2-x=cosxC.cosπ2+x=-sinxD.cos(x-π)=-cosx解析：选CD.sin(-x)=-sinx,故A不成立;sin3π2-x=-cosx,故B不成立;cosπ2+x=-sinx,故C成立;cos(x-π)=-cosx,故D成立.4.(漏解导致错误)若sinx·cosx=18,则cosxsinx的值是 ()A.±32 B.32 C.-32 D解析：选A.(cosx-sinx)2=1-2sinxcosx=1-2×18=34,所以cosx-sinx=±5.(忽视三角函数值符号)若化简1-cosα1+cosα后的结果为cos解析：因为1-cosα1+cosα=(1-cosα)21-cos2α=1答案:(-π+2kπ,2kπ),k∈Z同角三角函数的基本关系角度1简单的求值问题[典例1]已知sinα=-513,则13cosα+12tanα=解析：因为sinα=-513<0且sinα≠-1,所以α是第三或第四象限角(1)若α是第三象限角,则cosα=-1-sin2α所以tanα=sinαcosα此时,13cosα+12tanα=13×-1213+12×512=-7.(2)若α是第四象限角,则cosα=1-sin2α所以tanα=sinαcosα此时,13cosα+12tanα=13×1213+12×-512=7.答案:7或-7简单求值问题的两种思路(1)利用sin2α+cos2α=1实现角α的正弦、余弦的互化.(2)利用sinαcosα=tanα实现角提醒若角的象限不确定,则需要分类讨论.角度2弦化切的求值问题[典例2]已知3sin2α-4sinαcosα+1=0.(1)求tanα的值;(2)求sinαcos解析：(1)方法一:因为sin2α+cos2α=1,3sin2α-4sinαcosα+1=0,所以3sin分子分母同时除以cos2α,得3tan2α-4tanαtan2方法二:因为3sin2α-4sinαcosα+1=0,所以4sin2α-4sinαcosα+cos2α=0,即(2sinα-cosα)2=0,所以2sinα-cosα=0,所以tanα=12(2)因为tanα=12,所以sinαcosα1+cos2[变式1]本例题中的条件不变,求2+sin4α-cos4α的值.解析：2+sin4α-cos4α=2+(sin2α-cos2α)(cos2α+sin2α)=2+sin2α-cos2α=2+si=2+tan2α-1[变式2]本例题中的条件不变,求11+sinα解析：1=si=si=1+tan2α2+tan[变式3]本例题条件不变,求11-sinα解析：11-=1+sin=21-sin=2tan2α+2=2×122+2=52. ——自主完善,老师指导两种齐次式的转化方法(1)形如a或asin2α+bsinαcos(2)形如asin2α+bsinαcosα+ccos2α的式子,将其看成分母为1的分式,再将分母1变形为sin2α+cos2α,转化为形如asin角度3形如sinα±cosα的求值问题[典例3](1)(多选题)已知θ∈(0,π),sinθ+cosθ=15,则 (A.θ∈π2,π B.cosθ=-35C.tanθ=-34 D.sinθ-cosθ=解析：选ABD.因为sinθ+cosθ=15①所以(sinθ+cosθ)2=sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=125,所以2sinθcosθ=-2425.又θsinθ>0,所以cosθ<0,即θ∈π2,π,故A正确.(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=4925,所以sinθ-cosθ=75②由①②,得sinθ=45,cosθ=-35tanθ=sinθcosθ=-(2)已知sinα-cosα=-52,则tanα+1tanα的值为 A.-4 B.4 C.-8 D.8解析：选C.tanα+1tanα=sinαcosα因为sinαcosα=1-(sinα-cosα)2(3)已知α∈[0,2π),cosα+3sinα=10,则tanα= ()A.-3 B.3或1C.3 D.1解析：选C.方法一:由题意得(cosα+3sinα)2=10,所以cos2α+6sinαcosα+9sin2α=10,所以cos所以1+6tanα+9tan2方法二:由cosα+3sinα=10可知cosα=10-3sinα,代入sin2α+cos2α=1可得sin2α+(10-3sinα)2=1,整理可得10sin2α-610sinα+9=0,即(10sinα-3)2=0,解得sinα=310代入cosα=10-3sinα可得cosα=1010因此tanα=3.(4)已知θ是第三象限角,且sin4θ+cos4θ=59,则sinθcosθ的值为 (A.23 B.-23 C.13 D解析：选A.sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2sin2θcos2θ=59,所以sin2θcos2θ=29,因为θ是第三象限角,所以sinθcosθ=已知sinθ±cosθ求值的问题涉及的三角恒等式(1)(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ;(2)(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ;(3)(sinθ+cosθ)2+(sinθ-cosθ)2=2;(4)(sinθ-cosθ)2=(sinθ+cosθ)2-4sinθcosθ.提醒已知sinθ+cosθ,sinθ-cosθ,sinθcosθ中的任何一个,则另两个式子的值均可求出.1.(2023·贵阳模拟)已知sinα-cosα=12,则sinα1-tanA.-34 B.34 C.-316 解析：选A.因为sinα-cosα=12所以1-2sinαcosα=14,所以sinαcosα=3所以sinα1-tanα=sin2.已知cosα=35,α是第一象限角,且角α,β的终边关于y轴对称,则tanβ= (A.34 B.-34 C.43 D解析：选D.因为cosα=35,α是第一象限角,所以sinα=1-cos2α=45因为角α,β的终边关于y轴对称,所以tanβ=-tanα=-433.已知sinα-2cosα3sinα+5cosA.-2 B.2 C.2316 D.-解析：选D.由sinα-2cosα3sinα+5cos4.(2023·武汉模拟)若sinθ=cos3θ,则tan3θ+tanθ= ()A.-12 B.12 C.1 D解析：选C.由题意得tan3θ+tanθ=sin3θcos3θ+sinθ【加练备选】1.已知tanθ=12,则sin3θ+sinA.12 B.2 C.16 D解析：选A.因为tanθ=12所以si=si=2sin3=2×(12)

32.(2021·新高考I卷)若tanθ=-2,则sinθ(1+sin2θ)A.-65 B.-25 C.25 解析：选C.由tanθ=-2,得sin2θ=45sinθcosθ=-25,故=sinθ(sinθ+cosθ)2sinθ【光速解题】sin=sinθ(=tan2θ+tan诱导公式及应用[典例4](1)若sin(π+α)=13,则sin(π-α)+cosπ2-α= ()A.-23 B.23 C.223 解析：选A.sin(π+α)=-sinα=13,sin=-13,sin(π-α)+cosπ2-α=sinα+sinα=2sinα=-23(2)tan(3π-α)sin(A.-1 B.1 C.0 D.1解析：选B.tan(3π=tanαsin=1cosαcosα(3)(多选题)在△ABC中,下列等式一定成立的是 ()A.sinA+BB.sin(2A+2B)=-cos2CC.tan(A+B)=-tanCD.sin(A+B)=sinC解析：选CD.sinA+B2=sinπ2-C2sin(2A+2B)=sin[2(π-C)]=sin(2π-2C)=-sin2C,故B错误;tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC,故C正确;sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,故D正确.(4)(多选题)已知sinx+π4=-55,x∈π2,π,则 ()A.cosx+π4=-25B.tanx+π4=2C.cosπ4-x=-55D.sinπ4-x=25解析：选AC.因为x∈π2,π,所以x+π4∈3π4,5π4,又sinx+π4=-55,所以x+π4∈π,5π4.所以cosx+π4=-1-sin2所以tanx+π4=sin(x+π4又cosπ4-x=cosπ2-x+π4=sinx+π4=-55,故C正确;sinπ4-x=sinπ2-x+π4=cosx+π4=-255≠255,故D错误. ——自主完善,老师指导1.诱导公式用法的一般思路(1)化负为正,化大为小,化到锐角为终了.(2)角中含有加减π2的整数倍时,用诱导公式去掉π22.常见的互余和互补的角(1)常见的互余的角:π3-α与π6+α;π3+α与π6-α;π4+α与(2)常见的互补的角:π3+θ与2π3-θ;π4+θ与3π43.求解与三角形内角有关的三角函数问题,要充分利用三角形内角和为π的性质进行转化.提醒利用诱导公式求解含有2π整数倍的函数关系式时,可以直接将2π整数倍去掉后求解.1.sin2024π3的值等于 A.12 B.-12 C.32 D解析：选C.sin2024π3=sin674π+2π3=sin2π3=sinπ-π3=sinπ32.已知tan(π-α)=-23,且α∈-π,-π2,则cos(-α)+3sin(A.-15 B.-37 C.15 解析：选A.tan(π-α)=-23⇒tanα=2cos(-α=1-3tanα-1+9tan3.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-3,4),∠BOx=π4,记∠AOB=θ,则cosθ-π4= ()A.-35 B.35 C.-45 解析：选D.由题图知∠BOy=π4,则∠AOy=θ-π4,而A(-3,4)在OA上,所以cosθ-π4=sinθ+π4=45【加练备选】(多选题)coskπ+π3(k∈Z)的值可能是 ()A.12 B.32 C.-32 D解析：选AD.若k为偶数,不妨设k=2n(n∈Z),则coskπ+π3=cos2nπ+π3=cosπ3=12;若k为奇数,可设k=2n+1(n∈Z),则coskπ+π3=cos2nπ+π+π3=cosπ+π3=-cosπ3=-12.综上,coskπ+π3的值为±12.诱导公式与同角三角函数基本关系的综合应用[典例5](1)(2022·西安模拟)已知3π2<α<2π,则1+cosα1-cosα+A.-1sinα BC.-2sinα D解析：选C.因为3π2<α<2π,所以sinα0<cosα<1,所以1+cosα1-(1+cosα=(1+cosα)2sin2α+(2)化简:(1-tan解析：(=(1=cos2答案:1(3)已知f(β)=sin(①若角β是第三象限角,且sin(β-π)=15,求f(β②若β=2220°,求f(β)的值.解析：①f(β)=sin(π-β)因为sin(β-π)=-sinβ=15,所以sinβ=-1又角β是第三象限角,所以cosβ=-1-sin2β=-265,所以f②因为β=2220°=6×360°+60°,所以f(β)=-cosβ=-cos2220°=-cos60°=-12利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简的方法(1)对于含有根号的,常把被开方数(式)化成完全平方数(式),然后去根号达到化简的目的;(2)化切为弦,即把非正、余