高考数学复习核心专题突破(四)　微专题7　研究直线、平面的位置关系（导学案）

核心专题突破(四)微专题7研究直线、平面的位置关系【课程标准】1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行关系.3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理.必备知识精归纳1.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合,则称此向量a为直线l的方向向量.注:①一条直线l有无穷多个方向向量(非零向量),这些方向向量之间互相平行.②直线l的方向向量也是所有与l平行的直线的方向向量.(2)平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面α的法向量.点睛求法向量的方法:设向量a,b是平面α内两个不共线向量,向量n是平面α的法向量,则求法向量的方程组为n·a2.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2l1∥l2n1∥n2⇔n1=λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2=0直线l的方向向量为n,平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔n·m=0l⊥αn∥m⇔n=λm平面α,β的法向量分别为n,mα∥βn∥m⇔n=λmα⊥βn⊥m⇔n·m=0点睛在用向量法证明线面平行时要说明直线不在平面内.【常用结论】1.若v是直线的方向向量,则λv(λ≠0)也是直线的方向向量;2.若向量n是平面的法向量,则μn(μ≠0)也是平面的法向量.基础小题固根基教材改编结论应用易错易混1,24,53,61.(教材变式)已知A1,0,0,B0,1,0,CA.-1,1,1 C.-33,-33,-33 D.33,33,-解析：选C.设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则=-1,1,0,所以,化简得-x+y=0-x+z=02.(教材改编)已知m=(-2,2,5),n=(3,-2,2)分别是平面α,β的法向量,则平面α,β的位置关系为 ()A.平行 B.垂直C.相交但不垂直 D.重合解析：选B.因为m=(-2,2,5),n=(3,-2,2),所以m·n=-2×3+2×-2故m⊥n,所以α⊥β.3.(忽视线在平面内)若直线l的方向向量为a=1,0,2,平面α的法向量为n=-2A.l∥α B.l⊥αC.l⊂α或l∥α D.l与α斜交解析：选C.因为a=1,0,2,n=-2,1,1所以l∥α或l⊂α.4.(多选题)(结论1)在如图所示的空间直角坐标系中,ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体,给出下列结论中,正确的是 ()A.直线BD1的一个方向向量为(-2,2,2)B.直线BD1的一个方向向量为(2,2,2)C.平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)D.平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)解析：选AC.由题意,B1,0,0,B11,0,1,C1因为=-1,1,1设平面B1CD1的法向量为n=x,y,由=0,-1,1,=-1,0,1得-设平面B1CD的法向量为m=a,则,由=0,-1,1,=-1,令b=1得m=0,15.(多选题)(结论2)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以D为原点建立空间直角坐标系,E为BB1的中点,F为A1D1的中点,则下列向量中,能作为平面AEF的法向量的是 ()A.(8,-2,4) B.(-4,1,-2)C.(2,-2,1) D.(1,2,-2)解析：选AB.设正方体的棱长为2,则易得A2,0,0,E2则=0,2,1,=设平面AEF的法向量为n=x,y,z,则令z=4得平面AEF的一个法向量为n1=8,-令z=-2得平面AEF的一个法向量为n2=-4令z=1得平面AEF的一个法向量为n3=2,-12,1.6.(找不到直线的方向向量)(多选题)在空间直角坐标系Oxyz中,平面α的一个法向量n=(2,2,1),直线l的方向向量为m,则下列说法正确的是 ()A.x轴一定与平面α相交B.平面α一定经过点OC.若m=(-1,-1,-12),则l⊥D.若m=(-1,0,2),则l∥α解析：选AC.不妨设x轴的一个方向向量为a=1,0,0,则a·n=1,平面α不一定经过点O,B错误;因为(2,2,1)=-2(-1,-1,-12)即n=-2m,故l⊥α,C正确;因为m·n=(-1,0,2)·(2,2,1)=-2+2=0,所以m⊥n,所以l∥α或l⊂α,故D错误.题型一利用空间向量证明平行问题角度1线线平行[典例1]已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=3,点S,P分别在棱CC1,AA1上,且CS=12SC1,AP=2PA1,点R,Q分别为AB,D1C1的中点【证明】以点D为原点,分别以,与的方向为x,y与z轴的正方向,建立空间直角坐标系.则D0,0,0,A3,0,D10,0,3,A13,0,3,连接PQ,RS,由题意知P3,0,2S0,4,1,R3,2,0,所以所以=,又PQ,RS不共线,所以PQ∥RS.【方法提炼】有关线线平行的解题策略1.将证线线平行转化为证两直线的方向向量共线.设a,b是两条不重合的直线,它们的方向向量分别为a,b,则a∥b⇔a=λbλ∈2.向量法证线线平行的方法:(1)基底运算法;(2)坐标运算法.角度2线面平行[典例2](2023·泰安模拟)如图,已知AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,AB=AC=3,BC=25,AA1=7,BB1=27,点E和F分别为BC和A1C的中点.求证:EF∥平面A1B1BA.【证明】由AB=AC,E为BC的中点,知AE⊥BC,而AA1⊥平面ABC,AA1∥BB1,过E作平行于BB1的垂线并以其为z轴,以EC,EA所在直线分别为x轴,y轴,建立如图所示的空间直角坐标系.因为AB=3,BE=5,所以AE=2,所以E(0,0,0),C(5,0,0),A(0,2,0),B(-5,0,0),B1(-5,0,27),A1(0,2,7),F52,1,72.所以=52,1,72,=(-5,-2,0),=(0,0,7).设平面A1B1BA的一个法向量为n=(x,y,z),则,若x=-2,则n=(-2,5,0),而·n=52×(-2)+1×5+72所以⊥n,又EF⊄平面A1B1BA,所以EF∥平面A1B1BA.【方法提炼】运用向量证明线面平行的方法(1)利用共面向量定理:设a,b为平面α内不共线的两个向量,证明存在两个实数x,y,使得l=xa+yb,则l∥α(l⊄α).(2)转化为证明直线和平面内的某一直线平行.(3)转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直(此方法最常用).角度3面面平行[典例3](1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是AD1,BD和B1C的中点.①求异面直线MN和AB所成角的大小;②求证:平面MNP∥平面CC1D1D.解析：①由题意,不妨设正方体的棱长为2,以D为坐标原点,建立空间直角坐标系Dxyz,如图所示,所以M(1,0,1),N(1,1,0),A(2,0,0),B(2,2,0),=0,1,-1,=cos==0×0+1×2+-1×002+1设异面直线MN和AB所成角为θ,则cosθ==22,所以异面直线MN和AB所成角为45°.②由①知,M1,0,1,N1D0,0,0,A2,0,0,=2,0由题意可知,DA⊥平面CC1D1D,所以平面CC1D1D的一个法向量为n=1,设平面MNP的法向量为m=x,y,z,则令x=1,则y=0,z=0,所以m=1,由n=m,得平面MNP∥平面CC1D1D.(2)如图所示,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长1,侧棱长4,AA1的中点为E,CC1的中点为F.求证:平面BDE∥平面B1D1F.【证明】以A为原点,AB,AD,AA1所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),D(0,1,0),E(0,0,2),B1(1,0,4),D1(0,1,4),F(1,1,2),因为==0,-1,2,所以DE∥FB因为DE∥FB1,DE⊄平面B1D1F,FB1⊂平面B1D1F,所以DE∥平面B1D1F,同理BD∥平面B1D1F,因为BD⊂平面BDE,DE⊂平面BDE,BD∩DE=D,所以平面BDE∥平面B1D1F.【方法提炼】运用向量证面面平行的方法方法一:证两平面的法向量平行(常用此方法).方法二:用向量法证明两平面内有两条相交直线分别平行.方法三:用向量法证明一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面.【对点训练】1.(2022·保定模拟)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2AB=4,E是BB1的中点,F是A1C1的中点,若点G在直线CC1上,且BG∥平面AEF,则A1G= (A.22 B.5 C.210 D.11解析：选A.如图,以C为原点,过C作垂直于CB的直线为x轴,CB,CC1所在直线分别为y轴,z轴,建立空间直角坐标系Cxyz,则A(3,1,0),A1(3,1,4),E(0,2,2),F32,12,4,B(0,2,0).由题可设G(0,0,a),则=(-3,1,2),=-32,-12,4,=(0,-2,a).设平面AEF的法向量m=(x,y,z),则,令x=3,则y=95,z=35,得m=3,95,3由·m=-2×95+3a5=0,得a=6,所以G(0,0,6),则=(-3=(-3)2+2.如图,已知棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,E,F分别是棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中点,求证:平面AMN∥平面EFBD.【证明】由正方体的棱长为4,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),A(4,0,0),M(2,0,4),N4,2,4,B4,4,=-2,0,4,=0,2,4,=设平面AMN的法向量为m=x,y,z,则令z=1,解得x=2,y=-2,所以m=2,-设平面EFBD的法向量为n=a,b,c,则令c=1,解得a=2,b=-2,所以n=2,-2,1,所以所以平面AMN∥平面EFBD.【加练备选】如图,在四面体A-BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=22.M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC.证明:PQ∥平面BCD.【证明】因为BC⊥CD,AD⊥平面BCD,故以C为原点,CD所在直线为x轴,CB所在直线为y轴,过点C作DA的平行线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设D(a,0,0),0<a<22,C(0,0,0),B(0,8-a2,0),A(a,0,2),M(a,0,1),Pa2,8-Qa4,0,12,=-a4,-8-a22,0,因为平面BCD的一个法向量可取为n=则·n=0,又PQ⊄平面BCD,所以PQ∥平面BCD.题型二利用空间向量证明垂直问题角度1线线垂直[典例4](1)(2023·聊城模拟)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是DD1的中点,N是A1B1的中点,则直线ON与AM的位置关系是 ()A.平行 B.垂直C.相交但不垂直 D.无法判断解析：选B.根据题意,以点A为原点,分别以AB,AD,AA1所在的直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图,设正方体的棱长为2,则O1,1,0A0,0,0则=0,2,1,=由·=0+2×-1+1×2=0,得⊥,即ON⊥AM.(2)如图,AD⊥AB,AD⊥AC,AB⊥AC,AB=AC=AD=1,E,F分别是AB,CD的中点,M,N分别是BC,BD的中点,证明:EF⊥MN.【证明】由题意,连接ED,如图,=12=12(+)=12(-),同理=+=+12(-)=12(+-),故·=12·12=14(-+·-·-·+·),又AD⊥AB,AD⊥AC,AB⊥AC,AB=AC=AD=1,则·=0,故EF⊥MN.【一题多解】因为AD⊥AB,AD⊥AC,AB⊥AC,所以以A为坐标原点,向量,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,因为AB=AC=AD=1,所以E12,0,0,F0,12,12,M12,12,0,N12,0,12,所以=-12,12,12,=0,-12,12,所以·=12×-12+12×12=0,所以EF⊥MN.【方法提炼】1.有关线线垂直的解题策略设直线l1,l2的方向向量分别为a,b,则a⊥b⇔a·b=0.2.线线垂直的方法(1)基底向量法;(2)坐标向量法.角度2线面垂直[典例5](2022·长春模拟)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,A1C的中点.证明:EF⊥平面A1CD.【证明】建立以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴的空间直角坐标系,如图,则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),D1(0,0,2),因为E,F分别为AB,A1C的中点,所以E(2,1,0),F(1,1,1),=(2,0,2),=(0,2,0),设平面A1CD的法向量为m=x,则,即2x+2令x=1,则m=1,因为=-1,0,1,所以∥m,所以EF⊥平面A1CD.【方法提炼】向量法证明线面垂直的方法(1)证明直线和平面内的两条相交直线垂直.(2)转化为证明直线的方向向量与平面的法向量共线.角度3面面垂直[典例6](2022·全国乙卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则 ()A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF∥平面A1ACD.平面B1EF∥平面A1C1D解析：选A.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC⊥BD且DD1⊥平面ABCD,又EF⊂平面ABCD,所以EF⊥DD1,因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC,所以EF⊥BD,又BD∩DD1=D,所以EF⊥平面BDD1,又EF⊂平面B1EF,所以平面B1EF⊥平面BDD1,故A正确;如图,以点D为原点,建立空间直角坐标系,设AB=2,则B12,2,2,E2,1,0,F1,2,0,BC10,2,2,则=-1,1,0,=0,1,2,=2,2,0,=2设平面B1EF的法向量为m=x1则,可取m=2,同理可得平面A1BD的法向量为n1=1,-平面A1AC的法向量为n2=1,平面A1C1D的法向量为n3=1,则m·n1=2-2+1=1≠0,所以平面B1EF与平面A1BD不垂直,故B错误;因为m与n2不平行,所以平面B1EF与平面A1AC不平行,故C错误;因为m与n3不平行,所以平面B1EF与平面A1C1D不平行,故D错误.【方法提炼】证明面面垂直的方法(1)证明两平面的法向量互相垂直;(2)证明一平面内的一条直线垂直于另一个平面.【对点训练】1.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,其中AD∥BC,AB⊥AD,PA=4,AB=AD=12BC=2,E为棱BC上的点,且BE=14BC.求证:DE⊥【证明】因为PA⊥平面ABCD,AB,AD⊂平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD,而AB⊥AD,因此可以建立如图所示的空间直角坐标系,则有P(0,0,4),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,2,0),E(2,1,0),=(2,-1,0),=(0,0,4),=(2,4,0),因为·=2×0+(-1)×0+0×4=0,·=2×2+(-1)×4+0×0=0,所以DE⊥PA,DE⊥AC,而PA,AC⊂平面PAC,且PA∩AC=A,所以DE⊥平面PAC.2.如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D是BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上,已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)求证:AP⊥BC;(2)若点M是线段AP上一点,且AM=3.试证明平面AMC⊥平面BMC.【证明】(1)以O为原点,过点O作CB的平行线且以其为x轴,以OD所在直线为y轴,以OP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4),故=(0,3,4),=(-8,0,0),所以·=0×(-8)+3×0+4×0=0,所以⊥,即AP⊥BC.(2)因为PO⊥平面ABC,AO⊂平面ABC,所以PO⊥AO,因为PO=4,AO=3,所以AP=5,因为M为AP上一点,且AM=3,所以M0,-65,125,所以=0,95,125,=-4,-165,125,=4,-165,125;设平面BMC的法向量为n=(a,b,c),则,即-4a令b=1,则n=0,1,43;设平面AMC的法向量为m=(x,y,z),则,即95y令x=5,则m=(5,4,-3);由n·m=0×5+1×4+43得n⊥m,即平面AMC⊥平面BMC.题型三与平行、垂直有关的探索性问题角度1与平行有关的探索性问题[典例7]在四棱锥P-ABCD中,平面ABCD⊥平面PCD,底面ABCD为梯形.AB∥CD,AD⊥DC,且AB=1,AD=DC=DP=2,∠PDC=120°.若M是棱PA的中点,则棱BC上是否存在一点F,使得MF与PC平行?解析：不存在.在平面PCD内过点D作DH⊥DC,交PC于点H,因为平面ABCD⊥平面PCD,且平面ABCD∩平面PCD=CD,可得DH⊥平面ABCD,又由AD⊥DC,所以AD,CD,DH两两垂直,以D为原点,DA,DC,DH所在直线分别为x轴、y轴和z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,由AB=1,AD=DC=DP=2,∠PDC=120°,可得D(0,0,0),P(0,-1,3),A(2,0,0),B(2,1,0),C(0,2,0),假设BC上存在点F,使得MF∥PC,设=λ,其中λ∈[0,1],因为M是棱PA的中点,所以M1,-12,32,又由=(-2,1,0),=(-2λ,λ,0),F(2-2λ,1+λ,0),所以=1-2λ,32+λ,-32,=(0,3,-3),设=μ,可得1-2λ此方程组无解,所以假设不成立,所以对于BC上任意一点F,MF与PC都不平行,即在棱BC上不存在点F,使得MF与PC平行.角度2与垂直有关的探索性问题[典例8](2022·南昌模拟)如图,正方形ABCD所在的平面与菱形ABEF所在的平面互相垂直,△AEF为等边三角形.AB=2.(1)求证:AE⊥CF;(2)=λ0≤λ≤1,是否存在λ,使得平面PAE⊥平面DCEF?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.解析：(1)连接BF交AE于O,因为四边形ABEF为菱形,所以AE⊥BF,又正方形ABCD所在的平面⊥平面ABEF,且平面ABCD∩平面ABEF=AB,因为BC⊥AB,所以BC⊥平面ABEF,所以BC⊥AE,又BF∩BC=B,所以AE⊥平面BCF,因为CF⊂平面BCF,所以AE⊥CF.(2)存在,以O为原点,,的方向为x轴,y轴的正方向,过点O作菱形ABEF所在的平面的垂线并以其为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,则A(0,-1,0),F(3,0,0),E(0,1,0),D(0,-1,2),C(-3,0,2),因为=λ,设点P(x,y,z),则x-3,y所以点P(3-23λ,0,2λ),=(3-23λ,1,2λ),=0,2,设平面PAE的法向量为m=x1,y令z=1,可得m=2λ23λ-3,0,1,λ≠12,=3,设平面DCEF的法向量为n=x2,y2,z2,则,令x2=由m·n=0可得λ=38.当λ=12时,=(0,1,1),=0,2,0,则y则法向量m=1,0,0,此时m·n≠0,综上可知:λ【方法提炼】解决存在性问题的两种方法(1)利用比例关系求解;(2)利用三点共线巧设.利用条件建立方程求出参数值,从而求得答案.【对点训练】1.如图